Dao động điều hòa hsg (BỒI DƯỠNG HSG LÝ)

Cho một hệ dao động như hình vẽ bên. Lò xo có khối lượng không đáng kể, độ cứng . Vật có thể trượt không ma sát trên mặt phẳng nằm ngang. Hệ đang ở trạng thái cân bằng, dùng một vật bắn vào M theo phương nằm ngang với vận tốc .

Chuyên Đề BD HSG 12: Dao Động Cơ Học 2010 - 2011 CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HSG LÝ: DAO DỘNG CƠ HỌC CHỦ ĐỀ 1: Kích thích dao động va chạm I PHƯƠNG PHÁP + Vật m chuyển động với vận tốc v0 đến va chạm vào vật M đứng yên  V  M v0 1  m mv0 mv  MV   + Va chạm đàn hồi:  M  2 mv0 mv  MV  1 m v0 v   1 M  m mv0  m  M V  V  v M + Va chạm mềm: 1 m II BÀI TOÁN MẪU Bài 1: Cho hệ dao động hình vẽ bên Lị xo có khối lượng khơng đáng kể, độ cứng k 30  N / m  Vật M 200  g  trượt khơng ma sát mặt phẳng nằm ngang Hệ trạng thái cân bằng, dùng vật m 100  g  bắn vào M theo phương nằm ngang với vận tốc v 3  m / s  Sau va chạm hai vật dính vào dao động điều hoà Xác định vận tốc hệ sau va chạm Viết phương trình dao động hệ Chọn trục toạ độ Ox trùng với phương dao động,  gốc toạ độ O vị trí cân bằng, chiều dương trục chiều với chiều v0 Gốc thời gian lúc va chạm Giải + Va chạm mềm: mv  m  M V  VËn tèc cđa hƯ sau va ch¹m : V  v 1  m / s  100  cm / s  M 1 m Trang 1/ 18 Chuyên Đề BD HSG 12: Dao Động Cơ Học + Tần số góc hệ dao động điều hồ:   2010 - 2011 k 30  10 (rad / s) M m 0,2  0,1 + Phương trình dao động có dạng: x  A sin 10t    , vận tốc: v 10 A cos10t     x t 0 0  A sin       t   + Thay vào điều kiện đầu:  10 A cos   v t 0 100  cm / s   A  ( cm )     + Vậy phương trình dao động là: x 10 sin 10t  cm  ĐS: V 100  cm / s  , x 10 sin 10t  cm  Bài 2: Một lắc lị xo, gồm lị xo có khối lượng khơng đáng kể có độ cứng k 50  N / m  , vật M có khối lượng 200  g  , dao động điều hoà mặt phẳng nằm ngang với biên độ A0 4  cm  Giả sử M dao động có vật m có khối lượng 50  g  bắn vào M theo phương ngang với vận tốc v 2  m / s  , giả thiết va chạm không đàn hồi xẩy thời điểm lị xo có độ dài lớn Sau va chạm hai vật gắn chặt vào dao động điều hồ 1) Tính động hệ dao động thời điểm sau va chạm 2) Tính dao động hệ sau va chạm, từ suy biên độ dao động hệ Giải; + Vì va chạm xẩy thời điểm lị xo có độ dài lớn nên vận tốc M trước lúc va chạm không Gọi V vận tốc hệ  M  m  sau va chạm Sử dụng định luật bảo tồn động lượng, ta có: 1 mv0  M  m V  V  v0  2 0,4  m / s  M 0,2 1 1 m 0,05   2 1) Động hệ sau va chạm: E d   M  m V   0,2  0,05 0,4 0,04  J  2 + Tại thời điểm vật có li độ x  A0 4  cm  0,04  m  nên đàn hồi: kx 50.0,04 Et   0,04  J  2 2) Cơ dao động hệ sau va chạm: E  E d  Et 0,08  J  kA 2E 2.0,08 + Mặt khác: E   A  0,04  m  4  cm  k 50 ĐS: 1) Et  E d 0,04  J  ; 2) E 0,08  J  ; A 4  cm  Bài 3: Một lắc lị xo, gồm lị xo, có độ cứng k 50  N / m  vật nặng M 500  g  dao động điều hoà với biên độ A0 dọc theo trục Ox mặt phẳng nằm ngang Hệ dao động vật 500 m  g  bắn vào M theo phương nằm ngang với vận tốc v0 1  m / s  Giả thiết va chạm hoàn toàn đàn hồi xẩy vào thời điểm lò xo có chiều dài nhỏ Sau va chạm vật M dao động điều hồ làm cho lị xo có chiều dài cực đại cực tiểu l max 100  cm  l mim 80  cm  Cho g 10  m / s  1) Tìm vận tốc vật sau va chạm Trang 2/ 18 Chuyên Đề BD HSG 12: Dao Động Cơ Học 2010 - 2011 2) Xác định biên độ dao động trước va chạm Giải 1) Vào thời điểm va chạm lò xo có chiều dài nhỏ nên vận tốc vật M trước va chạm không Gọi V , v vận tốc vật M m sau va chạm Vì va chạm hồn toàn đàn hồi nên sử dụng định luật bảo toàn động lượng bảo tồn lượng, ta có: 2  V  v  0 ,5  m / s   M 1 1  mv0 mv  MV m    M  mv0 mv MV       1 m 1 2  v0   0,5  m / s  v  1  1 M  m 2) Tại thời điểm sau va chạm vật dao động có li độ vận tốc x  A0 V 3  m / s  nên  kx 50 A02 E   25 A02  t 2 đàn hồi động lúc là:  2  E  MV  0,5.0,5 0,0625  J   d 2 + Biên độ dao động điều hoà sau va chạm A  động: E  l max - l 100  80  10  cm  0,1  m  nên dao 2 kA 50.0,12  0,25  J  2 2 + Mà E t  E d  E  25.A0  ,0625 0 ,25  A0  ,1875  A0 0 ,05  m  5  cm 25 ĐS: 1) V 0,5  m / s ; v  0,5  m / s  ; 2) A0 5  cm  Bài 4: Cho hệ dao động hình vẽ bên Lị xo có khối lượng khơng đáng kể, độ cứng chưa biết Vật M 400  g  trượt khơng ma sát mặt phẳng nằm ngang Hệ trạng thái cân bằng, dùng vật m 100  g  bắn vào M theo phương nằm ngang với vận tốc v0 3,625  m / s  Va chạm hoàn toàn đàn hồi Sau va chạm vật M dao động điều hoà Chiều dài cực đại cực tiểu lò xo l max 109  cm  l mim 80  cm  Tìm chu kỳ dao động vật M độ cứng k lò xo Đặt vật m0 225  g  lên vật M, hệ gồm vật  m0  M  đứng yên Vẫn dùng vật m 100  g  bắn vào với vận tốc v 3,625  m / s  , va chạm hoàn toàn đàn hồi Sau va chạm ta thấy hai vật dao động điều hồ Viết phương trình dao động hệ  m0  M  Chọn trục Ox hình vẽ, gốc toạ độ vị trí cân gốc thời gian lúc bắt đầu va chạm Cho biết hệ số ma sát m0 M 0,4 Hỏi vận tốc v0 vật m phải nhỏ giá trị để vật m0 đứng yên (không bị trượt) vật M hệ dao động Cho g 10  m / s  Giải Trang 3/ 18 Chuyên Đề BD HSG 12: Dao Động Cơ Học 2010 - 2011 l -l 109  80 14,5  cm Biên độ dao động A  max  2 + Vì va chạm hồn tồn đàn hồi nên vận tốc M sau va chạm tính theo công thức: 2 mv0 mv  MV V v0  3,625 1,45  m / s  145  cm / s  (đây vận tốc cực M 1  2 1 mv0 mv  MV m đại dao động điều hoà) + Sau va chạm vật dao động điều hoà theo phương trình li độ x  A sin t    , phương trình vận tốc: v A cost    + Vậy vận tốc cực đại dao động điều hoà: v max A V    + Chu kì dao động: T  V 145  cm / s   10  rad / s  A 14,5  cm  2   0,628  s   + Độ cứng lò xo: k M  0,4.10 40  N / m  Tương tự câu 1) vận tốc hệ  m0  M  sau va chạm tính theo cơng thức: 2 v0  7,25 2  m / s  200  cm / s   M  m0   0,625 (đây vận tốc cực đại dao 1 1 0,1 m động điều hoà) V ' + Tần số góc dao động:   k 40  8 (rad / s ) M  m0 0,4  0,225 + Phương trình dao động có dạng: x  A sin  8t    , vận tốc: v 8 A cos8t    + Vận tốc cực đại dao động điều hoà: v max A V '  A  V ' 200  cm / s   25  cm    cm  + Pha ban đầu xác định từ điều kiện đầu:  x t 0 0 sin  0 t 0        v t 0  200  cm / s  cos   + Vậy phương trình dao động là: x 25 sin  8t     cm  Dùng vật m bắn vào hệ  m0  M  với vận tốc v0, va chạm hoàn tồn đàn hồi vận tốc hệ 8v 2 V ' v0  v0   m / s   m0  M  sau va chạm là:  M  m0  (đây vận tốc cực  6,25 29 1 m V' v đại dao động điều hoà: v max  A V '  A   )  29 v + Vậy phương trình dao động điều hồ có dạng: x  sin  8t    , gia tốc hệ là: 29 64v 64v a  x' '   A sin t      sin 8t    Do gia tốc cực đại: a max  29 29 Trang 4/ 18 Chuyên Đề BD HSG 12: Dao Động Cơ Học 2010 - 2011 + Vật m0 đặt vật M chuyển động với gia tốc a, nên chịu tác dụng lực có độ lớn: 64m0 v0 Fqt  m0 a  Fqt max  29 + Để vật m0 ln đứng n M lực ma sát trượt Fms  m0 g lớn lực cực đại, tức là: 29 64v0  v  3,625  m / s  m0 g m0 a max  g a max  0,8.10  29 + Vậy để vật m0 đứng yên (không bị trượt) vật M hệ dao động vận tốc v vật m phải 29 thoả mãn: v  3,625  m / s   ĐS: 1) T  0,628  s  ; k 40  N / m  ; 2) x 25 sin  8t     cm  ; 29 3) v  3,625  m / s  Bài 5: Một vật nặng có khối lượng M 600  g  , đặt phía lị xo thẳng đứng có độ cứng k 200  N / m  hình vẽ Khi vị trí cân bằng, thả vật m 200  g  từ độ cao h 6  cm  so với M Coi va chạm hoàn toàn mềm, lấy g 10  m / s ;  10 1) Tính vận tốc m trước va chạm vận tốc hai vật sau va chạm 2) Sau va chạm hai vật dao động điều hoà Giải: 1) Vận tốc vật m trước lúc va chạm: v0  gh  2.10.0,06 0,2  m / s  v 20  cm / s  (hướng xuống dưới) + Hệ  M  m  lúc va chạm coi hệ kín, theo định luật bảo tồn động lượng (theo giả thiết va chạm hoàn toàn mềm): mv0  m  M V Suy ra, vận tốc hai vật sau va chạm: V v 5  cm / s  M (hướng xuống dưới) 1 m Mg 0,6.10  0,03  m  3  cm  2) Tại VTCB cũ M, lò xo nén đoạn:   k 200 + Tại VTCB hệ sau va chạm, lò xo nén đoạn:  m  M  g  0,8.10 0,04  m  4  cm '  k 200 + Suy ra: OC  l ' l   1  cm  + Chọn hệ toạ độ Ox hình vẽ, gốc O trùng với vị trí cân hệ  M  m  sau va chạm Do đó, sau va chạm hệ có toạ độ vận tốc là: x1   cm , v1 V 5  cm / s  Trang 5/ 18 Chuyên Đề BD HSG 12: Dao Động Cơ Học + Sau va chạm hệ dao động điều hoà xung quanh VTCB O với tần số góc: k 200   5  rad / s   M  m 0,6  0,2   v2 5 + Biên độ dao động: A  x  12    1    5  2 2010 - 2011 2  cm  ĐS: 1) v0 20  m / s  , V 5  cm / s  , 2) A 2  cm  Bài 6: (ĐH Kinh tế quốc dân - 2001) Con lắc lò xo gồm vật nặng M 300  g  , lị xo có độ cứng k 200  N / m  lồng vào trục thẳng đứng hình vẽ Khi vị trí cân bằng, thả vật m 200  g  từ độ cao h 3,75  cm so với M Coi ma sát không đáng kể, lấy g 10  m / s  , va chạm hồn tồn mềm Tính vận tốc m trước va chạm vận tốc hai vật sau va chạm Sau va chạm hai vật dao động điều hoà Lấy t 0 lúc sau va chạm Viết phương trình dao động hai vật hệ toạ độ O’X hình vẽ, gốc O’ trùng với vị trí cân C hệ  M  m  sau va chạm Viết phương trình dao động hai vật hệ toạ độ ox hình vẽ, gốc O vị trí cân cũ M trước va chạm Gốc thời gian cũ Giải:  m / s  (hướng xuống dưới) Hệ  M  m  lúc va chạm coi hệ kín, theo định luật bảo toàn động lượng (theo giả thiết va chạm hoàn toàn mềm): mv0  m  M V Suy ra, vận tốc hai vật sau va chạm: 1) Vận tốc vật m trước lúc va chạm: v  gh  2.10.3,75.10    m / s  20  cm / s  (hướng xuống dưới) V v0  M 1 m Mg 0,3.10  0,015  m  1,5  cm 2) Tại VTCB cũ M (vị trí O), lị xo nén đoạn: 0  k 200 + Tại VTCB C hệ sau va chạm, lò xo nén đoạn:  m  M  g  0,5.10 0,025  m  2,5  cm   k 200 + Suy ra: OC l  l 2,5  1,5 1  cm  , X  x   cm  (1) + Sau va chạm hệ dao động điều hoà xung quanh VTCB C  O’ với tần số góc: k 200   20  rad / s   M  m 0,3  0,2 + Phương trình dao động: X  A sin  20t    , vận tốc: V  X ' 20 A cos 20t    Trang 6/ 18 Chuyên Đề BD HSG 12: Dao Động Cơ Học  X t 0 OC 1  cm  t  + Chọn lúc va chạm, nên:  V t 0  20  cm / s   A 0   A sin  1 sin        20 A cos    20  tg   2010 - 2011  A 2  cm   5   5     cm  + Suy ra, li độ vật hệ toạ độ O’X là: X 2 sin  20t    3) Theo (1) ta có phương trình dao động vật hệ toạ độ Ox là: 5  x  X  1, hay x 2 sin  20t   ĐS: 1) v0      cm   5    m / s  , V 20  cm / s  , 2) X 2 sin 20t    cm ,   5      cm  3) x 2 sin  20t    III BÀI TOÁN TỰ LUYỆN Bài 7: Một cầu khối lượng M 2  kg  , gắn lò xo thẳng đứng có độ cứng k 400  N / m  Một vật nhỏ m 0,4  kg  rơi tự từ độ cao h 1,8  m  xuống va chạm đàn hồi với M (xem hình vẽ) Sau va chạm vật M dao động điều hoà Lấy g 10  m / s  a) Tính vận tốc m trước va chạm vận tốc vật sau va chạm b) Viết phương trình dao động vật M, chọn gốc tọa độ vị trí cân vật, chiều dương hướng thẳng đứng xuống, gốc thời gian lúc sau va chạm v0 6  m / s  ; V   m / s ; v    m / s  ; ĐS: a) b) x 10 sin 20t  cm Bài 8: Một cầu khối lượng M 200  g  , gắn lò xo thẳng đứng có độ cứng k 20  N / m  Một vật nhỏ m 100  g  rơi tự từ độ cao h 45  cm  xuống va chạm đàn hồi với M (xem hình vẽ) Sau va chạm vật M dao động điều hoà Lấy g 10  m / s  a) Tính vận tốc m trước va chạm b) Tính vận tốc hai vật sau va chạm Trang 7/ 18 Chuyên Đề BD HSG 12: Dao Động Cơ Học 2010 - 2011 c) Viết phương trình dao động vật M, chọn gốc tọa độ vị trí cân vật, chiều dương hướng thẳng đứng xuống, gốc thời gian lúc sau va chạm Giả sử Mđ không bị nhấc lên M dao động Gốc thời gian lúc va chạm d) Khối lượng Mđ phải thoả mãn điều kiện để khơng bị nhấc lên M dao động ĐS: a) v0 3  m / s  ; b) V 2  m / s  ; c) x 20 sin 10t  cm  ; d) M d 200  g  Bài 9: (ĐH Ngoại thương tp.HcM - 2001) Một đĩa khối lượng M 900  g  , đặt lị xo thẳng đứng có độ cứng k 25  N / m  Một vật nhỏ m 100  g  rơi xuống vận tốc ban đầu từ độ cao h 20  cm  (so với đĩa) xuống đĩa dính vào đĩa (hình vẽ) Sau va chạm hai vật dao động điều hồ a) Tính vận tốc m trước va chạm vận tốc hai vật sau va chạm b) Vị trí cân cách vị trí cân cũ khoảng bao nhiêu? c) Viết phương trình dao động hai vật, chọn gốc tọa độ vị trí cân hai vật, chiều dương hướng thẳng đứng từ tên xuống, gốc thời gian lúc bắt đầu va chạm Cho g 10  m / s    ĐS: a) v0 2  m / s  , V 0,2  m / s  , b) (cm), c) x 4 sin  5t    cm  4  Bài 10: (ĐH Ngoại Thương - 99) Cho hệ dao động hình vẽ Lị xo có khối lượng không đáng kể, độ cứng k Vật M 400  g  trượt khơng ma sát mặt phẳng nằm ngang Hệ trạng thái cân bằng, dùng vật m 100  g  bắn vào M theo phương nằm ngang với vận tốc v 1  m / s  Va chạm hoàn toàn đàn hồi Sau va chạm vật M dao động điều hoà Chiều dài cực đại cực tiểu lò xo 28  cm  20  cm  1) Tìm chu kỳ dao động vật M độ cứng k lò xo 2) Đặt vật m0 100  g  lên vật M, hệ gồm hai vật  m0  M  đứng yên Vẫn dùng vật m bắn vào với vận tốc v 1  m / s  , va chạm hoàn toàn đàn hồi Sau va chạm ta thấy hai vật dao động điều hồ Viết phương trình dao động hệ  m0  M  Chọn gốc toạ độ vị trí cân  bằng, chiều dương trục chiều với v gốc thời gian lúc bắt đầu va chạm Cho biết hệ số ma sát m0 M 0,4 Hỏi vận tốc v vật m phải nhỏ giá trị để vật m0 đứng yên (không bị trượt) vật M hệ dao động Cho g 10  m / s  ĐS: 1) T    s , k 40  N / m  , 2) x 3,73 sin 8,94t  cm , 3) v0 1,34  m / s  Trang 8/ 18 Chuyên Đề BD HSG 12: Dao Động Cơ Học CHỦ ĐỀ 2: 2010 - 2011 CHỨNG MINH MỘT VẬT DAO ĐỘNG ĐIỀU HÒA I PHƯƠNG PHÁP: CÁCH 1: Dùng phương pháp động lực học: - Chọn phương, chiều chuyển động - Xác định lực tác dụng vào vật - Định vị trí cân (tại có lực tác dụng, độ lớn lực tổng hợp đó) - Xét vị trí có độ dịch chuyển x (kể từ vị trí cân bằng):  F  k x - Áp dụng định luật II Newton để thiết lập phương trình chuyển động: - kx = ma = mx’’  x’’ = -  2x  x = Acos(  t +  ) nghiệm   k m Kết luận suy kết CÁCH 2: Dùng định luật bảo tồn ( xét Fms khơng đáng kể) Eđ + Et = E = const - Lấy đạo hàm hai vế theo t (chú ý x’’ = v’ = a; x’ = v) - Biến đổi đưa đến phương trình;  x’’ = -  2x II CÁC DẠNG TỐN: Bài 1: (Dao động điều hịa - điểm: HSG ĐBSCL An Giang 2008 – 2009, THPT chuyên TNH) Từ điểm A lòng chén tròn M đặt mặt sàn phẳng nằm ngang, người ta thả vật m nhỏ (hình vẽ) Vật m chuyển động mặt phẳng thẳng đứng, đến B quay lại Bỏ qua ma sát chén M m a Tìm thời gian để m chuyển động từ A đến B Biết A cách điểm I chén khoảng ngắn so với bán kính R Chén đứng yên b Tính hệ số ma sát nghỉ chén sàn Giải     a Ta có: ma  p  N * Chiếu lên phương tiếp tuyến: x mat  P sin  mg (0,25đ) R g Với:   (0,25đ)  x"   x 0 R Từ cho thấy m dao động điều hoà, thời gian từ A đến B chu kỳ dao động T R t   (0,25đ) g Trang 9/ 18 Chuyên Đề BD HSG 12: Dao Động Cơ Học     b Chén đứng yên nên: PM  N M  N '  Fmsn 0 2010 - 2011 (1) '  PM  N M  N cos  0 * Chiếu (1) lên phương Oy: Với N' = N Từ (2) (3) ta được: O O Fmsn x  N NM m I A P N' N M Mg  mg cos   3cos   cos   (0,25đ) (0,25đ) (4) (0,25đ) ' N sin   Fmsn 0  N sin  Fmsn  N N sin  ( N sin  ) max    NM ( N M ) (0,25đ)  N sin  mg  3cos   cos   sin  0 bé;   0  N  Mg  mg cos  3cos   cos    M 0   N sin   max ;( N M )  = 0 (0,25đ) m sin 2 Vậy:   M  m cos  * Chiếu (1) lên Ox: M (0,25đ)  mV  mV  R  N  mg cos   N  R  mg cos    2 mV   mV mgR  cos   cos    mgh mgh0    N mg  3cos   2cos   (3) Ở góc lệch , m có: y (2)  M (0,25đ) (0,25đ) (0,25đ)  Câu (HSG Tỉnh Thanh Hóa 2009): a.Xác định li độ thời điểm mà động lần dao động tử điều hoà, biết biên độ dao động 4cm b Cho hệ dao động hình bên Các lị xo có phương thẳng đứng có độ cứng k1 k2 Bỏ qua khối lượng ròng rọc lò xo Bỏ qua ma sát Xác định độ cứng tương đương hệ m thực dao động điều hoà theo phương thẳng đứng Đáp Án: kA a + Wd = 4Wt => Wt = 10 A 2 kx = kA => x =  + Hay   1,8cm 10 b + Lực kéo lực căng F dây treo m Ta có F = F2 = F1 (1) k1 k2 m (0,5 đ) (0,5 đ) (0,5 đ) + Khi lò xo k1 giãn đoạn l1 lị xo k2 giãn đoạn l2 hệ lị xo giãn đoạn l = l2 + 2l1 (2) + Ngồi ra, từ (1) có: l = 2F F F ; l1 = ; l2 = k1 k2 k Trang 10/ 18 (0,5 đ) (3) (0,5 đ) Chuyên Đề BD HSG 12: Dao Động Cơ Học 2010 - 2011 F F F kk  4  k + Thay (3) vào (2) được: (0,5 đ) k k2 k1 4k2  k1 Câu (SGD Hậu Giang đề nghị - HSG ĐBSCL 16 2008 - 2009):Một lắc đơn có chiều dài l thực dao động điều hoà xe lăn tự xuống dốc khơng ma sát Dốc nghiêng góc  so với phương nằm ngang a) Chứng minh rằng: Vị trí cân lắc vị trí có dây treo vng góc với mặt dốc b) Tìm biểu thức tính chu kì dao động lắc Áp dụng số l =1,73 m;  =300; g = 9,8 m/s2 Đáp án + Gia tốc chuyển động xuống dốc xe a = gsin Xét hệ quy chiếu gắn với xe + Tác dụng lên lắc thời điểm có lực: Trọng lượng P, lực quán tính F sức căng T dây treo 0,5 T 0,25 F 0,25 P  x Tại vị trí cân    Ta có: P  F  T 0 + Chiếu phương trình xuống phương OX song song với mặt dốc ta có: Psin - F + TX = Mà F = ma = mgsin suy TX = Điều chứng tỏ vị trí cân dây treo lắc vng góc với Ox + Vị trí cân trọng lực biểu kiến lắc P' = Pcos Tức gia tốc biểu kiến g' = gcos + Vậy chu kì dao động lắc l l T = 2 = 2  2,83 (s) g' g cos  Câu (SGD Đồng Tháp – HSG Tỉnh 2008 – 2009, THPT Cao Lảnh đề nghị): Một lị xo có độ cứng k = 54N/m, đầu cố định, đầu gắn vật M = 240g đứng yên mặt phẳng nằm ngang H3 Bi khối lượng m = 10g bay với vận tốc V0 = 10m/s theo phương ngang đến va chạm với M Bỏ qua ma sát, cho va chạm đàn hồi xuyên tâm Viết phương trình dao động M sau va chạm Chọn gốc tọa độ vị trí cân M, chiều dương chiều va chạm, gốc thời gian lúc va chạm Đáp án - ĐL BT động lượng : mV0 = mV0’ + MV  m(V0 – V0’) = MV (1) (0,5 đ) Trang 11/ 18 0,25 0,25 0,25 0,25 0,5 0,5 Chuyên Đề BD HSG 12: Dao Động Cơ Học - ĐL BT động : 2010 - 2011 1 mV02 = mV0’2 + MV2 2 m(V02 – V0’2) = MV2 (2) V0 + V0’ = V V0’ = V – V0 (3) 2mV0 = (m + M )V 2mV0  V= = 0,8 m/s mM (0,5 đ)  Từ (1) (2)   Thế (3) vào (1)  Ta có :   (0,5 đ) k 15rad / s m (0,25 đ) V = Vmax = A  A = 5,3 cm (0,5 đ) Chọn t = x = v >   = -  (0,5 đ) Phương trình dao động : x = 5,3 cos ( 15t -  ) (cm) ( 0,25 đ) Bài (HSG Thừa Thiên Huế 2007 - 2008): Cho hệ gồm hai vật có khối lượng m m2 nối với k m m lị xo nhẹ có độ cứng k, chiều dài tự nhiên l  Hệ đặt mặt phẳng ngang trơn nhẵn Một lực F khơng đổi có phương nằm ngang (dọc theo trục lò xo) bắt đầu tác dụng vào vật m2 hình vẽ a, Chứng tỏ vật dao động điều hồ Tính biên độ chu kỳ dao động vật b, Tính khoảng cách cực đại khoảng cách cực tiểu hai vật trình dao động F Đáp Án: - Xét hệ quy chiếu gắn với khối tâm G hệ - Gia tốc khối tâm: a G = F m1 + m - Gọi O1 O2 vị trí m1 m2 lò xo trạng thái tự nhiên : O1O2 = l0; - Vị trí O1 O2 cách G đoạn l1 l2, thoả mãn điều kiện : m1l1 = m2l2 = m2(l0 - l1)  l1 = m l0 m1l0 ; l2 = m1 + m m1 + m - Ta coi hệ gồm : vật m gắn vào đầu lị xo có chiều dài l 1, đầu l1 gắn cố định vào G vật m gắn vào đầu lò xo có chiều dài l 2, đầu l2 gắn cố định vào G - Độ cứng lò xo l1 l2 : k1 = k(m1 + m ) k(m1 + m ) k = ; m2 m1 0,5 * Phương trình dao động vật: Chọn trục toạ độ cho vật gắn với khối tâm G hệ hình vẽ - Vật m1 : Fqt - Fdh = m1a1 m m 1 m1F - k1x1 = m1x1 hay m1 + m Fq t Fd h F q t2 F Fd h x1 Trang 12/ 18 O O x Chuyên Đề BD HSG 12: Dao Động Cơ Học 2010 - 2011 k m1F )=0  x1 + (x1 m1 (m1 +m )k1 0,5 k1 m1F  Đặt : ω1 = ; X1 = x1 X1 + ω12 X1 = (*): vật m1 dao động điều m1 (m1 + m )k1 hoà Nghiệm phương trình (*) có dạng : X1 = A1sin (ω1t + 1 ) m2F - k x = m x 2 - Vật m2 : F - Fqt - Fdh = m 2a hay F m1 + m k2 m1F  Đặt : ω2 = ; X2 = x X 2 + ω22 X = : vật m2 dao động điều m2 (m1 + m )k 0,25 hồ Nghiệm phương trình (*) có dạng : X = A 2sin (ω2 t + 2 ) * Chu kì dao động vật: - Vật m1 : T1 = 2π m1m = 2π ; ω1 (m1 + m )k - Vật m2 : T2 = 2π m1m = 2π ω2 (m1 + m )k 0,25 * Biên độ dao động vật: m1m F + A1sin(ω1t + 1 ) (m1 + m ) k v1 = A1ω1cos(ω1t + 1 ) m1m F A1 = Khi t = (m1 + m ) k  1   / x1 = - Vật m1 : x1 = 0,5 v1 = m12 F + A 2sin(ω2 t + 2 ) - Vật m2 : x = (m1 + m ) k v = A ω2 cos(ω2 t + 2 ) Khi t = m12 F (m1 + m ) k 2   / A2 = 0,5  x2 = v2 = b, Khoảng cách cực đại cực tiểu hai vật trình dao động : Hai vật dao động pha hai trục toạ độ phương ngược chiều nên lmax = l0 + 2(A1 + A2) = l0 + m1F ; (m1 + m )k 0,5 lmin = l0 Bài (HSG 2009 - 2010 ): Một lắc đơn gồm bi nhỏ có m = 100g treo vào dây dài l= 0 = 1,57m nơi có gia tốc trọng trường g = 9,81m/s Kéo lắc khỏi vị trí cân góc 0,10 rad thả nhẹ cho dao động Bỏ qua ma sát khối lượng dây a/ Chứng minh lượng dao động lắc tỷ lệ với bình phương biên độ góc 0 tìm giá trị lượng đó? b/ Tìm động lắc góc lệch  = 0 / ? Trang 13/ 18 Chuyên Đề BD HSG 12: Dao Động Cơ Học Hướng dẫn: Dùng định luật bảo tồn phép tính gần tính E = mgl02/ - Thay số tìm E = 7,7.10-3 J - Từ Et = mgl2/ với  = 0 / = 0,05 rad  Et = 1,93 10-3 J 2010 - 2011 - Từ E = Ed + Et  Ed = 5,77 10-3 J Bài 7(Tỉnh Thái Nguyên HSG 2009 - 2010 ): Một lắc gồm cầu kim loại khối lượng m = 0,1kg treo vào điểm A cố định đoạn dây mảnh có độ dài l = 5m Đưa cầu khỏi vị trí cân (sang phải) đến dây treo nghiêng với phương thẳng đứng góc α0 = 90 bng cho dao động tự khơng vận tốc đầu Lấy g = π2 = 10m/s2 a/ Tính chu kỳ dao động T lắc, viết phương trình dao động lắc Chọn gốc tọa độ vị trí cân bằng, chiều dương hướng sang phải, gốc thời gian lúc lắc qua vị trí cân lần thứ hai b/ Tích điện cho cầu với điện tích q đặt lắc điện trường nằm ngang có E = 10 5V/ m Con lắc dao động nhỏ với chu kỳ T’= x.T Tính q theo x? Biện luận Hướng dẫn: a/ Phương trình dao động:   co s( t  ) Phương trình vận tốc: v   l sin( t  ) + Ta có:   g l  10  2(rad / s) => T  2   2  4, 44 (s) 9  + Biên độ góc  90   (rad) 180 20 + Chọn gốc thời gian lúc vật qua VTCB lần 2: x0 = 0, v0 >   t = ta có:   co s  0  co s  0    mà v0 > => φ = 2   Vậy phương trình:   co s( 2.t  )(rad) 20 ( Có thể viết ptdđ dạng s s sin(t  ) với s0  l ) l l g qE   x.2   g '  mà  g ' g  a  b/ T’ = x.T =>  g  g' g x m g 2 2 2 mg  qE    qE  2  g     g   1    q   x x x E m x  m 5 10 Thay số: q   x (C) Biện luận: Bài tốn có nghiệm x < x Bài 8(Tỉnh Thanh Hóa HSG 2010 - 2011 ): Một lắc lò xo treo thẳng đứng gồm vật nặng khối lượng m = 1kg, lò xo nhẹ có độ cứng k = 100N/m Đặt giá B nằm ngang đỡ vật m để lị xo có chiều dài tự nhiên Cho giá B chuyển động xuống với gia tốc a = 2m/s2 không vận tốc ban đầu a Tính thời gian từ giá B bắt đầu chuyển động vật rời giá B b Chọn trục tọa độ có phương thẳng đứng, chiều dương hướng xuống, gốc tọa độ vị trí cân vật, gốc thời gian lúc vật rời giá B Viết phương trình dao động điều hịa vật Trang 14/ 18 Chuyên Đề BD HSG 12: Dao Động Cơ Học Hướng dẫn: 2010 - 2011 a Tìm thời gian  Khi vật VTCB lị xo giãn: Δl = Tần số dao động: ω =     mg = 0,1 m k  Fdh  N m k k = 10 rad/s m  Vật m: P + N + Fdh = ma Chiếu lên Ox: mg - N - k l = ma Khi vật rời giá N = 0, gia tốc vật a = m/s2  Suy ra: B  P O x m(g - a) at = k 2m(g - a)  t= = 0,283 s ka Δl = b Viết phương trình  Quãng đường vật rời giá S = at = 0,08 m Tọa độ ban đầu vật là: x0 = 0,08 - 0,1 = - 0,02 m = -2 cm Vận tốc vật rời giá là: v0 = at = 40 cm/s v02 = cm 2 Tại t = 6cos  = -2 v  suy  = -1,91 rad  Biên độ dao động: A  x02  0,5 Phương trình dao động: x = 6cos(10t - 1,91) (cm) Bài 9(Tỉnh Thanh Hóa HSG 2009 - 2010 ): Một lắc đơn treo vào trần toa đoàn tàu hoả Khi tàu đứng yên, lắc dao động bé với chu kì T Tính chu kì dao động bé lắc đoàn tàu chuyển động với tốc độ không đổi v đường ray nằm mặt phẳng nằm ngang có dạng cung trịn bán kính cong R Cho biết gia tốc trọng trường g; bán kính cong R lớn so với chiều dài lắc khoảng cách hai ray Bỏ qua mát lượng Hướng dẫn: điểm Khi tàu đứng yên, chu R kỳ dao động bé lắc T 2π l g  l Khi tàu chuyển động, chu kỳ dao động bé lắc T' 2π g'    F   Trong g' gia tốc trọng trường biểu kiến: g' g  lt g  a lt m v2 v2  l bỏ qua so với R R  l.sin  R   g 2R  v4 v4 Trên hình vẽ ta có g  a lt nên g'  g  a lt2  g   R R Với a lt  Trang 15/ 18  g  alt  'g 0,5đ 0,5đ 0,5đ Chuyên Đề BD HSG 12: Dao Động Cơ Học T' 2010 - 2011 gR g T gR  T'  Vậy suy T  g'  4 v4  g 2R v  g2R 0,5đ 0,5đ 0,5đ Bài 10(Tỉnh Đồng Nai HSG 2010 - 2011 ): Cho hệ gồm hai vật nhỏ có khối lượng m1 = m2 = m = 100 g nối với lò xo nhẹ có độ cứng k = 150 N/m; chiều dài tự nhiên l = 50 cm Hệ đặt mặt phẳng ngang trơn nhẵn ( hình vẽ ) Ban đầu lị xo khơng dãn ; m2 tựa vào tường trơn hệ vật đứng yên viên đạn có khối lượng m / bay với vận  tôc V0 ( V0 = 1,5 m/s ) dọc theo trục lò xo đến ghim vào vật m1 m2 m1 a) Tính khoảng thời gian m2 tiếp xúc với tường kể từ lúc viên đạn ghim vào m1 tính vận tốc khối tâm hệ m2 rời khỏi tường b) Sau hệ vật rời khỏi tường, tính chiều dài cực đại cực tiểu lị xo q trình hệ vật nói chuyển động Hướng dẫn: Câu a Nội dung Kể từ lúc va chạm, m2 tiếp xúc với tường suốt thời gian lò xo bị nén Trong suốt thời gian hệ vật ( m1+ m /2) dao động điều hịa với chu kì T 2 m1  m / k T Vậy khoảng thời gian cần tìm : t   m1  m / 0,1s k Vận tốc hệ ( m1+ m /2) sau va chạm xác định m 3m V V0  v0  v0  2 Khi vật m2 bắt đầu rời khỏi tường, theo định luật bảo tồn lượng tốc độ hệ ( m1+ m /2) v0 Vận tốc khối tâm hệ xác định :  m1  m2  m /  VG  m1  m /  v0 V  VG  0,3m / s Câu b Nội dung Gắn hệ quy chiếu vào khối tâm  hệ  , hệ quy chiếu ta có  m1  m /  v1  m2 v2 0   Trong v1 v2 vận tốc ( m1+ m /2) m2 Vậy hai vật ( m1+ m /2) m2 chuyển động ngược chiều Trang 16/ 18 2,00 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ Chuyên Đề BD HSG 12: Dao Động Cơ Học 2010 - 2011 vận tốc vật triệt tiêu vận tốc vật triệt tiêu Lúc chiều dài lò xo cực đại cực tiểu Độ biến dạng lò xo lúc tính : 1 2 k l   m1  m /   v0  VG   m2   VG  2 1 2 k l   m1  m /   v0  VG   m2   VG  2 m 1cm 15k  l V0 Vậy chiều dài cực đại lò xo lmax l0  l 51cm Và chiều dài cực tiểu cùa lò xo lmin l0  l 49cm Bài 11(Tỉnh Thái Nguyên HSG 2010 - 2011 ): O Con lắc lị xo hình vẽ Vật nhỏ khối lượng m = 200g, lị xo lí tưởng có độ cứng k = 1N/cm, góc α = 300 Lấy g = 10m/s2 a/ Chọn trục tọa độ hình vẽ, gốc tọa độ trùng với vị trí cân Viết phương trình dao động Biết thời điểm ban đầu lị xo bị dãn 2cm vật có vận tốc v0 = 10 15 cm/s hướng theo chiều dương b/ Tại thời điểm t1 lị xo khơng biến dạng Hỏi t2 = t1 +  m x α s, vật có tọa độ bao nhiêu? c/ Tính tốc độ trung bình m khoảng thời gian Δt = t2 - t1 Hướng dẫn: a/ Tại VTCB   0,25 k g sin   m l => Δl = 1cm, ω = 10 v0     Biên độ: A = x   Vậy: x = 2cos( 10 5t  rad/s, T =  5 => A = 2cm    0,25 s  M 0,25 K )cm b/ Tại t1 vật M có vận tốc v1, sau Δt =  -1 = 1,25T - vật K (nếu v1 > 0) => tọa độ x2 = cm - vật N (nếu v1 < 0) => tọa độ x2 = - cm c/ Quãng đường m được: - Nếu v1 s1 = 11  x K' N => vtb = 26,4m/s - Nếu v1>0 => s2 =  => vtb = 30,6m/s Trang 17/ 18 O 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 Chuyên Đề BD HSG 12: Dao Động Cơ Học 2010 - 2011 Bài 12(Tỉnh Gia Lai HSG 2008 - 2009 ): Một vật dao động điều hồ, lúc vật vị trí M có toạ độ x = 3cm vận tốc 8(cm/s); lúc vật vị trí N có toạ độ x = 4cm có vận tốc 6(cm/s) Tính biên độ dao động chu kỳ dao động vật Hướng dẫn: + Áp dụng hệ thức độc lập: A  x  +Tại M: A  x  v12 2  32  82 2 62 v22 +Tại N: A  x      2 v2 , được: 2 (1) 0,25 0,5 (2) 0,5 +Giải hệ (1) (2) được: A = cm  2(rad / s)  T  2 2   3,14( s )  Tham khảo thêm tài liệu liên quan đến lắc đơn Trang 18/ 18 0,75