Về phương trình diophantine x2 kxy+y2±2n=0

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC  - HỒNG GIA HỨNG VỀ PHƢƠNG TRÌNH DIOPHANTINE x2 − kxy + y2 ± 2n = Chuyên ngành: Phƣơng pháp Toán sơ cấp Mã số: 46 01 13 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC TS Trần Đức Dũng THÁI NGUYÊN - 2022 Mục lục Kiến thức chuẩn bị 1.1 Dãy Fibonacci, dãy Lucas 1.2 Phương trình Diophantine 1.3 Phương trình Pell 13 Về phương trình x2 − kxy + y ± 2n = 2.1 2.2 Phương trình x2 − kxy + y + 2n = Về phương trình x2 − kxy + y − 2n = 20 20 34 Kết luận 46 Tài liệu tham khảo 46 Mở đầu Số học lĩnh vực cổ xưa toán học lĩnh vực tồn nhiều tốn khó, giả thuyết chưa có câu trả lời Trên đường tìm kiếm lời giải cho giả thuyết đó, nhiều tư tưởng lớn, nhiều lý thuyết quan trọng tốn học nảy sinh Vì vậy, việc trang bị kiến thức số học cho học sinh từ trường phổ thông cần thiết, đặc biệt giúp ích cho học sinh có tố chất tốt kì thi chọn học sinh giỏi Một số toán số học hay gặp trường phổ thơng là: Phương trình Diophantine - phương trình đại số (một hay nhiều ẩn số) với hệ số nguyên, nghiệm tìm tập hợp tập số nguyên, tập số nguyên dương, tập số hữu tỷ Một cách ngắn gọn, phương trình Diophantine có dạng tổng qt P (x1 , x2 , , xn ) = P đa thức nhiều biến với hệ số nguyên Phương trình Diophantine lĩnh vực lý thú tốn học, tìm thấy đóng góp nhiều nhà tốn học tiếng: Euclid, Archimede, Fermat, Euler, Lagrange, Gauss, Dirichlet, Riemann, Hilbert, Một phương trình Diophantine tiếng phương trình có dạng xn + y n = z n n số nguyên dương, n ≥ Với n = 2, phương trình có vơ số nghiệm tìm tường minh tất nghiệm Với n > 2, nhà toán học thiên tài kỉ 17 Pierre de Fermat khẳng định phương trình khơng có nghiệm nguyên dương Kết luận ngày mang tên Định lý lớn Fermat hay Định lý cuối Fermat Năm 1983, nhà toán học người Anh Andrew Wiles công bố phép chứng minh định lý lớn Fermat Trong [6], tác giả xét phương trình x2 − kxy + y + x = (1) họ phương trình khơng có nghiệm ngun dương x y với k > có vơ số nghiệm ngun dương với k = Trong [3], Keskin xét phương trình x2 − kxy + y ± x = 0, (2) x2 − kxy + y ± y = (3) k > 3, phương trình x2 − kxy + y + x = khơng có nghiệm ngun dương phương trình x2 − kxy + y − x = có nghiệm ngun dương phương trình (3) có nghiệm nguyên dương với k > Trong [9], Yuan Hu hai phương trình x2 − kxy + y + 2x = (4) x2 − kxy + y + 4x = (5) có vơ số nghiệm ngun dương x y Họ phương trình (4) có vơ số nghiệm nguyên dương k = 3, phương trình (5) có vơ số nghiệm nguyên dương k = 3, 4, Trong [4], tác giả xét phương trình x2 − kxy + y + 2r x = (6) k số nguyên dương r số nguyên không âm Để kiểm tra phương trình (6) có vơ số nghiệm ngun dương, nhóm tác giả trả lời cho câu hỏi phương trình x2 − kxy + y + 2n = (7) có vơ số nghiệm nguyên dương x y số nguyên không âm n Ngoài ra, họ tất nghiệm nguyên dương phương trình (7) với ≤ n ≤ 10 Trong [5], tác giả xét phương trình x2 − kxy + y − 2r x = (8) k số nguyên dương r số nguyên không âm Để kiểm tra phương trình (8) có vơ số nghiệm nguyên dương, nhóm tác giả trả lời cho câu hỏi phương trình x2 − kxy + y − 2n = (9) có vơ số nghiệm nguyên dương x y số ngun khơng âm n Ngồi ra, họ tất nghiệm nguyên dương phương trình (9) với ≤ n ≤ 10 Mục đích luận văn nghiên cứu phương trình x2 − kxy + y ± 2n = sở đọc hiểu trình bày lại cách có hệ thống nội dung báo [4], [5] danh mục tài liệu tham khảo luận văn Luận văn gồm phần mở đầu, phần kết luận, danh mục tài liệu tham khảo, hai chương có nội dung sau: Chương " Một số Kiến thức chuẩn bị ", chương tác giả trình bày số kiến thức dãy Fibonacci, dãy Lucas, phương trình Diophantine, phương trình Pell Chương " Về phương trình x2 − kxy + y ± 2n = 0", chương tác giả trả lời câu hỏi phương trình x2 − kxy + y ± 2n = có vơ số nghiệm ngun dương x y ≤ n ≤ 10 Hơn nữa, tác giả đưa tất nghiệm nguyên dương cho hai phương trình với ≤ n ≤ 10 Nội dung chương được tham khảo từ tài liệu [4],[5] Lời cảm ơn Luận văn hoàn thành trường Đại học Khoa học, Đại học Thái Nguyên hướng dẫn tận tình TS Trần Đức Dũng Em xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới Thầy hướng dẫn hiệu truyền cho em kinh nghiệm nghiên cứu trình em học tập hoàn thiện luận văn Em xin chân thành cảm ơn thầy Khoa Tốn Tin, trường Đại học Khoa học, Đại học Thái Nguyên giảng dạy tạo điều kiện thuận lợi cho em suốt trình em học tập trường Tác giả Hoàng Gia Hứng Chương Kiến thức chuẩn bị Trong chương này, tác giả trình bày kiến thức phục vụ cho việc nghiên cứu chương sau 1.1 Dãy Fibonacci, dãy Lucas Ở phương Tây, dãy Fibonacci xuất sách Liber Abaci (năm 1202) viết Leonardo Pisano Bogollo-được biết đến với tên Fibonacci, dãy số mô tả trước tốn học Ấn Độ Fibonacci xem xét phát triển đàn thỏ lý tưởng hóa, giả định rằng: Để cặp thỏ sinh, đực, cánh đồng, đến tháng tuổi thỏ giao phối tới hai tháng tuổi, thỏ sinh thêm cặp thỏ khác, thỏ không chết việc giao phối cặp tạo cặp (một đực, cái) tháng từ tháng thứ hai trở Câu đố mà Fibonacci đặt là: Trong năm có cặp thỏ? • Vào cuối tháng đầu tiên, chúng giao phối, có cặp • Vào cuối tháng thứ hai, thỏ tạo cặp mới, có + = (cặp) thỏ cánh đồng • Vào cuối tháng thứ ba, thỏ ban đầu lại tạo cặp thỏ nữa, biến số lượng thỏ cánh đồng lúc + = (cặp) • Và vào cuối tháng thứ tư, thỏ ban đầu sinh thêm cặp mới, thỏ sinh cách hai tháng cho cặp đầu tiên, tổng số lúc + = (cặp) Vào cuối tháng thứ n, số lượng cặp thỏ số lượng cặp (bằng số lượng cặp tháng (n − 2)) cộng với số cặp tháng (n − 1) Đây số Fibonacci thứ n Theo hệ, số lượng cặp thỏ dãy số sau biết đến với tên số Fibonacci Dãy Lucas dãy số đặt tên nhằm tơn vinh nhà tốn học Francois Esdouard Anatole Lucas (1842-1891), người nghiên cứu dãy Fibonacci dãy thuộc họ Fibonacci mà số dãy tổng hai số liền trước Sau giới thiệu định nghĩa dãy Fibonacci, dãy Lucas, dãy Fibonacci suy rộng, dãy Lucas suy rộng Cho k, s ̸= 0, k, s ∈ Z Đặt D = k + 4s ̸= Đa thức X − kX − s gọi đa thức đặc trưng, có nghiệm √ √ k− D k+ D ; β= α= 2 Do D ̸= suy α ̸= β, α + β = k, α.β = −s, (α − β)2 = D Định nghĩa 1.1.1 Với n ≥ xác định Un = Un (k, s), Vn = Vn (k, s) sau: U0 = 0, U1 = 1, Un = k.Un−1 + s.Un−2 (n ≥ 2), (1.1) V0 = 2, V1 = k, Vn = k.Vn−1 + s.Vn−2 (n ≥ 2), (1.2) Dãy U = ¶Un (k, s)♢n≥0 gọi dãy Fibonacci suy rộng Dãy V = ¶Vn (k, s)♢n≥0 gọi dãy Lucas suy rộng Ta sử dụng Un Vn thay cho Un (k, 1) Vn (k, 1) Với s = −1, ta biểu diễn Un Vn (un ) = (Un (k, −1)) (vn ) = (Vn (k, −1)) viết gọn (un ) (vn ) Từ công thức (1.1) cho k = 1, s = Do D = Ta có định nghĩa Định nghĩa 1.1.2 Ta xét dãy Un với U0 = 0, U1 = 1, Un = Un−1 + Un−2 (n ≥ 2) Khi đặt F0 = 0, F1 = 1, Fn = Fn−1 + Fn−2 (n ≥ 2) (1.3) Fn = Un (1, 1) gọi số Fibonacci, Fn số Fibonacci thứ n Dãy 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, gọi dãy số Fibonacci, kí hiệu (Fn ) Từ cơng thức (1.2) cho k = 1, s = Do D = Ta có định nghĩa Định nghĩa 1.1.3 Ta xét dãy Vn với V0 = 2, V1 = 1, Vn = Vn−1 + Vn−2 (n ≥ 2) Khi đặt L0 = 2, L1 = 1, Ln = Ln−1 + Ln−2 (n ≥ 2) (1.4) Ln = Vn (1, 1) gọi số Lucas, Ln số Lucas thứ n Dãy 2, 1, 3, 4, 7, 11, 18, 29, 47, 76, 123, gọi dãy số Lucas, kí hiệu (Ln ) Từ cơng thức (1.1) (1.2) cho k = 2, s = Do D = 34 y + 512 = cho (x, y) = (9un+1 − un , 9un − un−1 ) với n ∈ Z, un = Un (66, −1) Định lý 2.1.42 Mọi nghiệm nguyên dương phương trình x2 − 210xy + y + 1024 = cho (x, y) = (5un+1 − un , 5un − un−1 ) với n ∈ Z, un = Un (210, −1) Định lý 2.1.43 Mọi nghiệm nguyên dương phương trình x2 −66xy+ y + 1024 = cho (x, y) = (41un+1 − un , 41un − un−1 ) với n ∈ Z, un = Un (66, −1) (x, y) = (4U2n+1 , 4U2n−1 ) với n ≥ 0, Un = Un (8, 1) 2.2 Về phương trình x2 − kxy + y − 2n = Đầu tiên, ta phương trình x2 − kxy + y − 2n = có nghiệm nguyên dương x, y với ≤ n ≤ 10 Định lý 2.2.1 Phương trình x2 − kxy + y − = có vơ số nghiệm ngun dương x, y k > Chứng minh Theo Định lý 3.10 [5], phương trình x2 − kxy + y − = có vơ số nghiệm nguyên dương x, y k > Rõ ràng k = phương trình x2 − 2xy + y − = (x − y)2 − = có vơ số nghiệm ngun dương x, y Với k = 3, phương trình x2 − 3xy + y − = có vô số nghiệm nguyên dương (x, y) = (F2n+2 , F2n ) với n ≥ theo Định lý 1.5 [5] Nếu k = 1, phương trình x2 − xy + y − = tương đương với (2x − y)2 + 3y = Do x = y = Điều có nghĩa phương trình x2 − kxy + y − = khơng có vơ số nghiệm nguyên dương x, y với k = □ Định lý 2.2.2 Phương trình x2 − kxy + y − = khơng có nghiệm ngun dương x, y 35 Chứng minh Giả sử x2 − kxy + y − = có nghiệm nguyên dương x, y Rõ ràng x, y phải số lẻ k phải số chẵn Cho k = 2t với t số nguyên dương Thay vào phương trình ban đầu, ta có √ (x−ty)2 −(t2 −1)y = Cho u1 +v1 t2 − nghiệm phương trình u2 − (t2 − 1)v = Do từ bổ đề 2.1.1, ta có 21 (u21 + (t2 − 1)v12 ) + √ u1 v1 t2 − nghiệm phương trình x2 − (t2 − 1)y = Với t > 1, (t, 1) nghiệm phương trình x2 −(t2 −1)y = theo √ Định lý 2.1.2, ta có 21 (u21 + (t2 − 1)v12 ) + u1 v1 t2 − = t u1 v1 = Từ đây, ta suy t = Thay t vào phương trình (x − ty)2 − (t2 − 1)y = 2, ta thu (x − 3y)2 − 3y = Tuy nhiên, phương trình khơng có nghiệm ngun dương (x − 3y)2 ) ≡ (mod 3) xảy □ Định lý 2.2.3 Phương trình x2 − kxy + y − = có vơ số nghiệm ngun dương x, y k > Ngồi ra, x, y số lẻ k = Chứng minh Giả sử x2 − kxy + y − = với x, y số nguyên dương Nếu x số chẵn y số chẵn x = 2a y = 2b với a, b số nguyên dương Khi a2 − kab + b2 − = Điều dẫn đến k > theo Định lý 2.2.1 Bây ta giả sử x, y số lẻ Khi k số chẵn ∤ k Do k = 2t với t số nguyên dương lẻ Thay vào phương trình ban đầu ta có (x − ty)2 − (t2 − 1)y = Do ∤ t2 − 1, suy x − ty = 2m m2 − 41 (t2 − 1)y = Với t > 1, (t, 2) nghiệm phương trình x2 − 14 (t2 − 1)y = theo Định lý 2.1.2 Từ phương trình yn+1 = 2x1 yn − yn−1 , (xn , yn ) nghiệm phương trình x2 − 14 (t2 − 1)y = yn chẵn Tuy nhiên điều y số lẻ Khi t = 1, tức k = 2, rõ ràng phương trình x2 − kxy + y − = có vơ số nghiệm nguyên dương x, y □ 36 Định lý 2.2.4 Phương trình x2 − kxy + y − = có vơ số nghiệm ngun dương x, y k = Chứng minh Giả sử x2 − kxy + y − = với x, y số nguyên dương Nếu x số chẵn y số chẵn x = 2a y = 2b với a, b số nguyên dương Do ta thu a2 − kab + b2 − = Theo định lý 2.2.2, phương trình khơng có nghiệm ngun dương Bây ta giả sử x, y lẻ Khi k số chẵn ∤ k Do k = 2t với t số nguyên dương lẻ Thay vào phương trình ban đầu, ta có (x − ty)2 − (t2 − 1)y = 8, x − ty = 2m với m số nguyên dương Khi ta thu m2 − 41 (t2 − 1)y = Đặt d = 41 (t2 − 1) √ giả sử u1 + v1 d nghiệm phương trình u2 − dv = √ Theo bổ đề 2.1.1, 12 (u21 + dv12 ) + u1 v1 d nghiệm phương trình x2 − dy = Với t > 1, từ (t, 2) nghiệm phương trình x2 − dy = theo định lý 2.1.2, ta thu √ √ (u1 + dv12 ) + u1 v1 d = t + d Do đó, u1 v1 = u21 + 41 (t2 − 1)v12 = 2t Giải hệ phương trình, ta có t = t = 5, k = k = 10 Tuy nhiên phương trình x2 − kxy + y − = khơng có nghiệm nguyên dương với k = 10 □ Các định lý sau có chứng minh tương tự với định lý Định lý 2.2.5 Phương trình x2 − kxy + y − 16 = có vơ số nghiệm nguyên dương x, y k > Ngồi ra, x, y số lẻ k = 2, 14 Định lý 2.2.6 Phương trình x2 − kxy + y − 32 = có vơ số nghiệm ngun dương x, y k = 6, 30 Định lý 2.2.7 Phương trình x2 − kxy + y − 64 = có vơ số nghiệm ngun dương x, y k > Ngoài ra, x, y số lẻ k = 2, 18, 62 37 √ Định lý 2.2.8 Nếu u + v d nghiệm nguyên không âm phương trình Diophantine u2 − dv = N với N > 1, tồn số ngun khơng âm m cho √ √ √ u + v d = (u1 + v1 d)(x1 + y1 d)m √ u1 + v1 d nghiệm lớp phương trình u2 − dv = N √ √ mà u+v d thành phần x1 +y1 d nghiệm x2 −dy = √ Định lý 2.2.9 Cho N > x1 + y1 d nghiệm phương √ trình x2 − dy = Nếu u0 + v0 d nghiệm phương trình u2 − dv = N lớp nó, √ y1 N ≤ v0 ≤ q 2(x1 + 1) < ♣u0 ♣ ≤ v u u1 t (x1 + 1)N Định lý 2.2.10 Phương trình x2 − kxy + y − 128 = có vơ số nghiệm ngun dương x, y k = 6, 30, 126 Chứng minh Giả sử x2 − kxy + y − 128 = với x, y số ngun dương Nếu x chẵn y chẵn Do x = 2a y = 2b với a, b số nguyên dương Thay vào phương trình ban đầu, ta có a2 − kab + b2 − 32 = 0, suy k = 6, 30 theo định lý 2.2.6 Bây giả sử x, y lẻ Khi k chẵn ∤ k Do k = 2t với t số nguyên dương lẻ Từ đây, ta có (x − ty)2 − (t2 − 1)y = 128 Vì 8♣t2 − 1, ta thấy x − ty = 4m m2 − 16 (t − 1)y = Bây ta xét phương trình t2 − u − v = 16 (2.4) √ Cho u0 + v0 d nghiệm phương trình (2.4) lớp Từ (t, 4) nghiệm phương trình x2 − 16 (t − 1)y = 38 với t > theo định lý 2.1.2, ta thu √ √ 8 ≤q Ngoài ra, x, y số lẻ k = 2, 46, 82, 254 Chứng minh Giả sử x2 − kxy + y − 256 = với x, y số ngun dương Nếu x chẵn y chẵn Do x = 2a y = 2b với a, b số nguyên dương Thay vào phương trình ban đầu, ta có a2 − kab + b2 − 64 = 0, suy k > theo định lý 2.2.7 Bây giả sử x, y lẻ Khi k chẵn ∤ k Do k = 2t với t số nguyên dương lẻ Từ đây, ta có (x − ty)2 − (t2 − 1)y = 256 Vì 8♣t2 − 1, ta thấy x − ty = 4m m2 − trình 16 (t − 1)y = 16 Bây ta xét phương t2 − v = 16 (2.5) u − 16 √ Cho u0 + v0 d nghiệm phương trình (2.5) lớp Từ (t, 4) nghiệm phương trình x2 − với t > theo định lý 2.1.2, ta thu √ √ 16 16 ≤ v0 ≤ q ≤q Ngoài ra, x, y số lẻ k = 2, 46, 66, 82, 338, 1022 Bây giờ, r ≥ số nguyên chẵn phương trình x2 − kxy + y − 2r = có vơ số nghiệm ngun dương x, y với k = Ngoài ra, r ≥ số nguyên lẻ ta thấy phương trình x2 −kxy +y −2r = khơng có nghiệm nguyên dương x, y với k = Do đó, từ bây giờ, ta giả sử k ̸= Tiếp theo, chúng tơi trình bày nghiệm phương trình x2 − kxy + y − 2n = với ≤ n ≤ 10 Nghiệm phương trình x2 − kxy + y − 2n = liên quan đến số Fibonacci suy rộng số Lucas Ta nhắc lại kết biết 40 Định lý 2.2.14 Cho k ≥ Khi tất nghiệm ngun khơng âm phương trình x2 − kxy + y − = cho (x, y) = (un , un−1 ) với n > 1, un = Un (k, −1) Hệ sau chứng minh quy nạp theo r Hệ 2.2.15 Cho r ≥ số nguyên Khi tất nghiệm nguyên dương phương trình x2 − kxy + y − 22r = cho (x, y) = (2r un , 2r un−1 ) với n > Định lý 2.2.16 Cho r ≥ số nguyên Khi tất nghiệm nguyên dương phương trình x2 − (22r − 2)xy + y − 22r = cho (x, y) = (Un+1 (2r , −1), Un−1 (2r , −1)) với n > Chứng minh Giả sử x2 − (22r − 2)xy + y − 22r = với x, y số nguyên dương Dễ thấy 2r ♣x + y Đặt u = (x + y)/2r v = y Khi ta thu x = 2r u − v y = v Thay vào phương trình ban đầu, ta có x2 − (22r − 2)xy + y − 22r = 0, ta thu (2r u − v)2 − (22r − 2)(2r u − v)v + v − 22r = Do u2 − 2r uv + v − = Theo Định lý 2.2.14 ta thu u = Un (2r , −1) v = Un−1 (2r , −1) với n > Suy x = 2r Un (2r , −1) − Un−1 (2r , −1) = Un+1 (2r , −1) y = Un−1 (2r , −1) Có nghĩa (x, y) = (Un+1 (2r , −1), Un−1 (2r , −1)) với n > Ngược lại, (x, y) = (Un+1 (2r , −1), Un−1 (2r , −1)), từ công thức (1.9), suy x2 − (22r − 2)xy + y − 22r = □ Hệ 2.2.17 Mọi nghiệm nguyên dương phương trình x2 −14xy+ y − 16 = cho (x, y) = (un+1 , un−1 ) với n > 1, un = Un (4, −1) 41 Hệ 2.2.18 Mọi nghiệm nguyên dương phương trình x2 −62xy+ y − 64 = cho (x, y) = (un+1 , un−1 ) với n > 1, un = Un (8, −1) Hệ 2.2.19 Mọi nghiệm nguyên dương phương trình x2 − 254xy + y − 256 = cho (x, y) = (un+1 , un−1 ) với n > 1, un = Un (16, −1) Hệ 2.2.20 Mọi nghiệm nguyên dương phương trình x2 − 1022xy + y − 1024 = cho (x, y) = (un+1 , un−1 ) với n > 1, un = Un (32, −1) Định lý 2.2.21 Cho r > số nguyên lẻ Khi tất nghiệm nguyên dương phương trình x2 − (2r − 2)xy + y − 2r = cho (x, y) = (un+1 − un , un − un−1 ) với n ≥ 1, un = Un (2r − 2, −1) Chứng minh Giả sử x2 − (2r − 2)xy + y − 2r = với x, y số nguyên dương Ta thấy x, y có tính chẵn lẻ Khơng tính tổng qt, ta giả sử x ≥ y Dễ thấy 2(r+1)/2 ♣x + y Ngồi ra, ta có 2r 2r (x − y) − ( − 1)(x + y)2 = 2r 4 Suy x+y x−y ) − (2r−1 − 2)( (r+1)/2 )2 = 2 √ − + 2(r−1)/2 2r−1 − 2) nghiệm phương ( Do α = (2r−1 trình x2 − (2r−1 − 2)y = theo định lý 2.1.2 Mặt khác từ phương trình √ √ (xn + yn d) = (x1 + y1 d)n ta có x+y x−y = xn ; (r+1)/2 = yn 2 với n ≥ 1, √ xn + yn 2r−1 − = αn 42 Dễ thấy xn = Vn (2r − 2, −1)/2 yn = 2(r−1)/2 Un (2r − 2, −1) Khi ta thu x = (vn + 2r un )/2 yn = (2r un − )/2 Vì = un+1 − un−1 nên x = (un+1 − un−1 + 2r un )/2 = (un+1 + un+1 + 2un )/2 = un+1 + un Tương tự, ta có y = un + un−1 Suy (x, y) = (un+1 + un , un + un−1 ) với n ≥ Ngược lại, (x, y) = (un+1 + un , un + un−1 ), từ phương trình (1.9), suy x2 − (2r − 2)xy + y − 2r = □ Hệ 2.2.22 Mọi nghiệm nguyên dương phương trình x2 − 6xy + y − = cho (x, y) = (un+1 + un , un + un−1 ) với n ≥ 1, un = Un (6, −1) Hệ 2.2.23 Mọi nghiệm nguyên dương phương trình x2 −30xy+ y − 32 = cho (x, y) = (un+1 + un , un + un−1 ) với n ≥ 1, un = Un (30, −1) Hệ 2.2.24 Mọi nghiệm nguyên dương phương trình x2 − 126xy + y − 128 = cho (x, y) = (un+1 + un , un + un−1 ) với n ≥ 1, un = Un (126, −1) Hệ 2.2.25 Mọi nghiệm nguyên dương phương trình x2 − 510xy + y − 512 = cho (x, y) = (un+1 + un , un + un−1 ) với n ≥ 1, un = Un (510, −1) Để tìm tất nghiệm nguyên dương lẻ phương trình sau x2 − (2r − 10)xy + y − 2r = 0, x2 − (2r − 26)xy + y − 2r = 0, x2 − (2r − 50)xy + y − 2r = 0, 43 x2 − r (2 − 122)xy + y − 2r = 0, 11 ta cần định lý 2.2.8 Định lý 2.2.26 Cho r > số nguyên chẵn Khi tất nghiệm nguyên dương chẵn phương trình x2 − 13 (2r − 10)xy + y − 2r = cho (x, y) = (un+2 + 3un+1 , un+1 + 3un ) với n ≥ (x, y) = (3un+1 + un , 3un + un−1 ) với n > 0, un = Un ( 31 (2r − 10), −1) Chứng minh Giả sử x2 − 31 (2r − 10)xy + y − 2r = với số nguyên dương x, y Phương trình tương đương với 1 (x − (2r−1 − 5)y)2 − (2r−1 − 8) (2r−1 − 2)y = 2r 3 Khơng tính tổng quát, ta giả sử x ≥ 13 (2r−1 − 5)y Vì r > 4, ta thu x − 13 (2r−1 − 5)y = 4m với m số nguyên dương Khi ta có phương trình (2r−1 − 8)(2r−1 − 2) y = 2r−4 m − 144 Đặt d = (2r−1 −8)(2r−1 −2) 144 (2.6) Khi ta có m2 − dy = 2r−4 (2.7) Lại từ định lý 2.2.9 phương trình (2.7) có hai họ nghiệm Nghiệm √ √ 2r−1 +4 2r−1 +4 họ 12 + d 12 − d Theo định lý 2.2.8, nghiệm nguyên dương phương trình (2.7) cho an + bn √ cn + dn √ với n ≥ √ 2r−1 + √ + d)(xn + yn d) d=( 12 √ 2r−1 + √ − d)(xn + yn d) d=( 12 44 với n ≥ 1, x2n − dyn2 = Vì nghiệm phương trình √ √ α = 31 (2r−1 − 5) + d, ta thu xn + yn d = αn √ √ xn = 21 (αn + β n ) yn = 12 (αn − β n ) d, β = 31 (2r−1 − 5) − d Do ta thu bn = 1 r−1 + 4)yn + xn dn = 12 (2r−1 + 4)yn − xn 12 (2 Ta thấy xn = 12 ( 13 (2r − 10), −1) yn = 4un ( 31 (2r − 10), −1) Điều suy bn = 31 (2r−1 + 4)un + 12 = un+1 + 3un với n ≥ dn = 31 (2r−1 + 4)un − 21 = 3un + un−1 với n ≥ Thay vào phương trình (2.7), ta thu (x, y) = (un+2 + 3un+1 , un+1 + 3un ) với n ≥ (x, y) = (3un+1 + un , 3un + un−1 ) với n > Ngược lại, (x, y) = (un+2 +3un+1 , un+1 +3un ) với n ≥ (x, y) = (3un+1 +un , 3un +un−1 ) với n > 0, theo phương trình (1.9), suy x2 − 13 (2r − 10)xy + y − 2r = □ Hệ 2.2.27 Mọi nghiệm nguyên dương phương trình x2 −18xy+ y − 64 = cho (x, y) = (un+2 + 3un+1 , un+1 + 3un ) với n ≥ (x, y) = (3un+1 + un , 3un + un−1 ) với n > 0, un = Un (18, −1) Hệ 2.2.28 Mọi nghiệm nguyên dương phương trình x2 −82xy+ y − 256 = cho (x, y) = (un+2 + 3un+1 , un+1 + 3un ) với n ≥ (x, y) = (3un+1 + un , 3un + un−1 ) với n > 0, un = Un (82, −1) Hệ 2.2.29 Mọi nghiệm nguyên dương phương trình x2 − 338xy + y − 1024 = cho (x, y) = (un+2 + 3un+1 , un+1 + 3un ) với n ≥ (x, y) = (3un+1 + un , 3un + un−1 ) với n > 0, un = Un (338, −1) Các định lý sau có chứng minh tương tự với định lý 2.2.26 Định lý 2.2.30 Cho r ≥ số nguyên 4♣r Khi tất nghiệm nguyên dương chẵn phương trình x2 − 15 (2r − 26)xy + y − 2r = cho (x, y) = (un+2 + 5un+1 , un+1 + 5un ) với n ≥ (x, y) = (5un+1 + un , 5un + un−1 ) với n > 0, un = Un ( 51 (2r − 26), −1) 45 Hệ 2.2.31 Mọi nghiệm nguyên dương phương trình x2 −46xy+ y − 256 = cho (x, y) = (un+2 + 5un+1 , un+1 + 5un ) với n ≥ (x, y) = (5un+1 + un , 5un + un−1 ) với n > 0, un = Un (46, −1) Định lý 2.2.32 Cho r ≥ số nguyên 3♣r Khi tất nghiệm nguyên dương chẵn phương trình x2 − r 73 (2 − 50)xy + y − 2r = cho (x, y) = (un+2 + 7un+1 , un+1 + 7un ) với n ≥ (x, y) = (7un+1 + un , 7un + un−1 ) với n > 0, un = Un ( 71 (2r − 50), −1) Hệ 2.2.33 Mọi nghiệm nguyên dương phương trình x2 −66xy+ y − 512 = cho (x, y) = (un+2 + 7un+1 , un+1 + 7un ) với n ≥ (x, y) = (7un+1 + un , 7un + un−1 ) với n > 0, un = Un (66, −1) Định lý 2.2.34 Cho r ≥ 10 số nguyên 10♣r Khi tất nghiệm nguyên dương chẵn phương trình x2 − 11 (2r − 122)xy + y − 2r = cho (x, y) = (un+2 + 11un+1 , un+1 + 11un ) với n ≥ (2r − (x, y) = (11un+1 + un , 11un + un−1 ) với n > 0, un = Un ( 11 122), −1) Hệ 2.2.35 Mọi nghiệm nguyên dương phương trình x2 −82xy+ y −1024 = cho (x, y) = (un+2 +11un+1 , un+1 +11un ) với n ≥ (x, y) = (11un+1 + un , 11un + un−1 ) với n > 0, un = Un (82, −1) Định lý 2.2.36 Mọi nghiệm nguyên dương phương trình x2 −46xy+ y −1024 = cho (x, y) = (3un+2 +7un+1 , 3un+1 +7un ) với n ≥ (x, y) = (7un+1 + 3un , 7un + 3un−1 ) với n > 0, un = Un (46, −1) Định lý 2.2.37 Mọi nghiệm nguyên dương phương trình x2 −66xy+ y −1024 = cho (x, y) = (3un+2 +5un+1 , 3un+1 +5un ) với n ≥ (x, y) = (5un+1 + 3un , 5un + 3un−1 ) với n > 0, un = Un (66, −1) 46 KẾT LUẬN Trong luận văn này, tác giả trình bày lại kết sau Trả lời câu hỏi phương trình x2 − kxy + y ± 2n = có vơ số nghiệm nguyên dương x y ≤ n ≤ 10 Đưa tất nghiệm nguyên dương cho hai phương trình x2 − kxy + y ± 2n = với ≤ n ≤ 10 47 Tài liệu tham khảo [1] M DeLeon (1976), Pell’s equation and Pell number triples , Fibocacci Q., 14, pp 456 − 460 [2] M.J.Jacobson and H.C Williams (2006), Solving the Pell equation, Springer [3] R.Keskin (2010), Solutions of some quadratic Diophantine equations, Comput Math Appl., 60, pp 2225 − 2230 [4] R.Keskin, O.Karaatli , Z,Siar (2012), On the Diophantine equation x2 − kxy + y + 2n = 0, Misklolc Math Notes , 13, pp 375 − 388 [5] R.Keskin, O.Karaatli , Z,Siar (2013), On the Diophantine equation x2 − kxy + y − 2n = 0, Czechoslovak Mathematical Journal, 63, pp 783 − 797 [6] A.Marlewski and P.Zarzycki (2004), Infinitely many positive solutions of the Diophantine equation x2 − kxy + y + x = 0, Comput Math Appl., 47, pp 115 − 121 [7] T.Nagell (1981), Introduction to number theory, New York: Chelsea Publishing Company [8] P Ribenboim (2006), My numbers, my friend Popular lectures on number theory, Springer 48 [9] P.Yuan and Y.Hu (2011), On the Diophantine equation x2 − kxy + y + lx = 0, l ∈ ¶1, 2, 4♢, Comput Math Appl., 61, pp 573 − 577