Quy tắc đếm mở rộng và một số vận dụng

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC  - NGUYỄN ĐĂNG HUY QUY TẮC ĐẾM MỞ RỘNG VÀ MỘT SỐ VẬN DỤNG Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp Mã số: 46 01 13 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC TS Trần Xuân Quý TS Đỗ Thị Phương Quỳnh THÁI NGUYÊN - 2022 Mục lục Ký hiệu viết tắt Mở đầu Chương Bài toán đếm 1.1 Một số khái niệm giải tích tổ hợp 4 1.1.1 Cơ sở phương pháp đếm 1.1.2 Hoán vị 1.1.3 Chỉnh hợp 12 1.1.4 Tổ hợp 14 1.2 Một số ứng dụng 18 1.3 Một số toán vận dụng 25 Chương Bài toán đếm mở rộng vận dụng 30 2.1 Nguyên lý bao hàm loại trừ tổng quát 30 2.2 Hệ số đa thức 35 2.3 Hàm sinh quỹ đạo đếm 2.3.1 Hàm sinh 2.3.2 Quỹ đạo đếm 2.4 Một số toán vận dụng 38 38 41 46 2.4.1 Xác định công thức dãy số 46 2.4.2 Hàm sinh với biểu thức, đẳng thức tổ hợp 51 2.4.3 Ứng dụng quỹ đạo đếm số toán 54 Kết luận 57 Tài liệu tham khảo 58 iii Ký hiệu viết tắt N Tập hợp số tự nhiên N∗ |S | Tập hợp số tự nhiên khác không Số phần tử tập hợp S Cnk Số tổ hợp chập k n Số chỉnh hợp chập k n Akn Pn = n! Số hoán vị n phần tử Qn = (n − 1)! Số hốn vị vịng quanh n phần tử Akn Số chỉnh hợp lặp chập k n Cnk Số tổ hợp lặp chập k n Mở đầu Lý thuyết tổ hợp chủ đề gắn liền với việc nghiên cứu phân bố phần tử tập hợp Thông thường, phần tử hữu hạn việc phân bố chúng phải thoả mãn điều kiện định đó, tuỳ theo yêu cầu vấn đề đặt Mỗi cách phân bố gọi cấu hình tổ hợp Bài tốn thường gặp bậc phổ thơng, đặc biệt bậc THCS toán chọn học sinh giỏi toán đếm: tốn nhằm trả lời câu hỏi có cấu hình thoả mãn điều kiện nêu? Phương pháp đếm thường dựa vào số nguyên lý số kết đếm cấu hình đơn giản Bài tốn đếm áp dụng cách có hiệu vào cơng việc mang tính chất đánh tính xác suất biến cố, tính độ phức tạp thuật toán Chủ đề toán tổ hợp hay cụ thể toán đếm khai thác số luận văn thạc sĩ, mục đích luận văn khai thác số mở rộng tổ hợp để giải tốn tổ hợp bậc phổ thơng Luận văn mang tên "Quy tắc đếm mở rộng số vận dụng" trình bày số vấn đề sau: - Khái quát lại số kiến thức giải tích tổ hợp, quy tắc đếm đề cập đến số ứng dụng toán đếm - Nêu nguyên lý bao hàm ngoại trừ tổng quát, lý thuyết hệ số đa thức quỹ đạo đếm, đồng thời đưa số toán vận dụng Để hoàn thành luận văn này, tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc TS Trần Xuân Quý, TS Đỗ Thị Phương Quỳnh tận tình hướng dẫn bảo cho tơi suốt trình làm luận văn Tác giả xin trân trọng cảm ơn Trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Ngun, thầy giáo, phịng chức trường tạo cho tác giả điều kiện tốt trình học tập trường Tác giả xin gửi lời cảm ơn chân thành tới bạn bè, bạn học viên lớp Cao học Toán K14 động viên giúp đỡ tác giả suốt thời gian học tập Cuối tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc cha mẹ, anh chị em người thân gia đình động viên giúp đỡ tác giả suốt trình học tập Thái Nguyên, ngày 05 tháng 10 năm 2022 Tác giả Nguyễn Đăng Huy Chương Bài toán đếm Trong nội dung Toán tổ hợp, toán đếm coi tiền đề để người làm quen với tư tổ hợp Do vậy, số toán đếm đưa vào chương trình sách giáo khoa tốn phổ thơng từ đầu lớp 10 Nếu nói độ phong phú cách giải khơng thể khơng nói đến tốn đếm Khơng thế, độ khó tốn đếm phân hố thành nhiều cấp độ: có toán mức độ vận dụng thấp với số liệu cụ thể, vài suy luận cơng thức đơn giản giải quyết, có tốn mức độ vận dụng cao phải tìm qua nhiều suy luận, cơng thức Thậm chí cịn có tốn đếm mà việc tìm lời giải phải kéo dài hàng kỷ Một số tốn đếm khơng phức tạp cơng thức đếm chưa tìm được, chưa chứng minh được, khơng có Bài tốn đếm cơng cụ mạnh việc giải số toán thuộc lĩnh vực khác lý thuyết xác suất, lý thuyết thuật toán Trong chương I luận văn này, tơi trình bày chi tiết khái niệm giải tích tổ hợp số toán tiêu biểu tham khảo tài liệu [2], [3], [6] 1.1 Một số khái niệm giải tích tổ hợp Trong mục này, tơi trình bày hai quy tắc đếm bản, loại hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp khơng lặp có lặp, đồng thời đưa ví dụ 1.1.1 Cơ sở phương pháp đếm Định nghĩa 1.1.1 (Quy tắc cộng) Giả sử có k cơng việc T , T , , T k Các việc làm tương ứng n1 , n2 , , nk cách giả sử hai việc làm đồng thời Khi số cách làm k việc n1 + n2 + · · · + nk Quy tắc cộng phát biểu dạng ngôn ngữ tập hợp sau: Cho n tập hợp A1 , A2 , , An tập hợp hữu hạn đôi rời nhau, tức ∀1 ≤ i, j ≤ n, Ai ∩ A j = ∅ i , j Khi số cách chọn a1 , a2 , , n [ Ak bằng: an số cách chọn phần tử a thuộc k=1 tặng kèm phiếu mua hàng giảm giá 20% sản phẩm Có cách phát sản phẩm khuyến mại cho khách hàng biết có 25 khách hàng ghé gian hàng trưng bày LỜI GIẢI Ta nhận thấy, khách hàng có C100 cách để nhận sản phẩm khuyến mại Chúng ta 98 sản phẩm khuyến mại để tặng cho khách hàng Người thứ hai có C98 cách nhận sản phẩm khuyến mại Tương cách nhận tự người thứ ba có C96 Như theo quy tắc nhân áp dụng mệnh đề 1.3 có số cách phát sản phẩm khuyến mại cho 25 khách hàng 100! 100! = 2!2!2! 2!(100 − 2.25)! 2!2! 2!50! □ 1.2 Một số ứng dụng Một ứng dụng toán tổ hợp tốn tơ màu hình vẽ Đây phương pháp phổ biến để giải tốn tổ hợp lưới vng Khơng tơ màu màu bàn cờ vua, có nhiều cách tô màu lưới vuông khác tô nhiều màu khác nhau, tô theo hàng, Ứng với tốn, người giải phải tìm cách tô theo quy luật đặc biệt mà từ lập luận giải vấn đề Dưới số ví dụ cách giải dựa phương pháp tơ màu VÍ DỤ 1.2.1 Chứng minh sáu người có ba người đơi quen nhau, có ba người đơi không quen LỜI GIẢI Biểu diễn người điểm khơng gian cho khơng có ba điểm thẳng hàng khơng có bốn điểm đồng phẳng Nối hai điểm đoạn thẳng Tô màu đoạn thẳng thu (15 đoạn) hai màu xanh đỏ sau: hai người quen đoạn thẳng nối hai điểm biểu diễn hai người tô màu đỏ, trường hợp ngược lại tương ứng tô màu xanh Chọn điểm A Trong đoạn thẳng nối A với điểm cịn lại có ba đoạn thẳng màu (theo Nguyên lý Dirichlet) Không tính tổng qt, giả sử màu đỏ 18 Gọi ba đoạn AB, AC, AD Xét màu ba đoạn BC, CD, DA Có thể xảy hai khả • Nếu có đoạn màu đỏ, chẳng hạn BC màu đỏ, tam giác ABC có ba cạnh màu đỏ, tức ba người tương ứng ba điểm A, B, C quen • Nếu khơng có đoạn màu đỏ, tức ba đoạn màu xanh ba người tương ứng với ba điểm B, C, D đôi không quen Tóm lại, ln tồn ba người quen nhau, ba người đôi không quen □ VÍ DỤ 1.2.2 Chứng minh khơng thể lát kín bàn cờ quốc tế × 15− domino V− domino hình sau LỜI GIẢI Tơ màu bàn cờ hình vẽ, có 32 đen 32 trắng Với vị trí, V− domino phủ hai đen hai trắng, cịn L− domino phủ số lẻ ô đen số lẻ ô trắng Như vậy, 15 L− domino V− domino phủ số lẻ đen khơng phủ hết bàn cờ □ VÍ DỤ 1.2.3 Cho bàn cờ cỡ × 50 Mội mã đứng ô sát cạnh bàn cờ theo đường chéo hình chữ nhật × Hỏi có tồn hay không đường quân mã liên tiếp qua tất ô bàn cờ, ô lần hay không? LỜI GIẢI Tô màu ô bàn cờ bốn màu: Trắng (T), đen (D), vàng (V), xanh (X) hình vẽ sau: 19 Giả sử tồn đường thỏa mãn yêu cầu ban đầu quân mã đứng ô XT, ô mà quân mã tới XT → V D → XT → V D → Như ô VT, XD không qua Vậy không tồn đường thỏa mãn yêu cầu đặt □ VÍ DỤ 1.2.4 (trang 165, [6]) Một nhà hình lưới vng kích thước × bị bỏ cặp hình vng đơn vị hai góc đối diện Hỏi lát nhà viên gạch đá hoa × mà cắt gạch hay không? LỜI GIẢI Tơ màu lưới vng kích thước × hai màu trắng đen bàn cờ vua Nhận thấy viên đá hoa kích thước × chiếm ô đen ô trắng Nếu lát tồn nhà có dạng lưới vng kích thước × viên đá hoa số đen số trắng bảng phải Nhưng hình vẽ ta lại có 32 đen có 30 trắng Như vậy, lát nhà viên gạch đá hoa × mà khơng phải cắt gạch □ 20 Đây ví dụ mà người học thường gặp phương pháp tô màu Ở toán này, cần tìm cách tơ cho từ đưa nhận xét số lượng ô màu Nhận xét đơi đơn giản số màu đen khác số ô màu trắng, số lần xuất màu đặc biệt hình đó, màu bắt buộc xuất màu đặc biệt hình đó, màu bắt buộc xuất hình, Dưới ví dụ mà người giải cần tơ màu nhìn số lần xuất màu loại hình VÍ DỤ 1.2.5 Một sàn nhà lát viên đá hoa kích thước × × Khơng may viên đá hoa kích thưóc × bị vỡ Hỏi người ta thay viên đá hoa kích thước × hay khơng? LỜI GIẢI Chúng ta tơ màu lưới vng theo quy luật hình Khi dễ thấy viên đá hoa kích thước × lát xuống nhà chứa ô vuông màu đen Trong viên đá hoa kích thước × ln phủ màu đen không ô Như thay viên đá kích thước × viên kích thước × □ 21 Người ta thường sử dụng phương pháp tô màu để giải tốn mà đáp án thường "khơng thể thực được" Tuy nhiên phương pháp tô màu sử dụng hiệu tốn tối ưu hóa số ví dụ VÍ DỤ 1.2.6 Cho hình bậc thang bao gồm tất ô vuông thuộc hoăc nằm bên đường chéo lưới vng kích thước 2n × 2n hình LỜI GIẢI Bằng cách tơ màu hình bậc thang theo cách tơ màu bàn cờ ta hình Mỗi chuỗi tạo cách nối liên tiếp vng có chung cạnh nên chuỗi, số ô màu đen số ô màu trắng không ô vuông Mà với cách tô số ô màu trắng số ô màu đen n ô vuông cách nối liên tiếp vng, ta n chuỗi, chuỗi có số ô màu đen nhiều số ô màu trắng ô vuông Do đó, tạo n chuỗi Cách tạo chuỗi hình 22 □ VÍ DỤ 1.2.7 Trong viên đá hoa nhà kích thước × có chuột kiếm ăn Đột nhiên có tiếng mèo kêu làm chuột chạy sang viên đá hoa bên cạnh Khi có số viên đá hoa có nhiều chuột số viên đá hoa khơng có chuột Hỏi có viên đá hoa khơng có chuột nào? LỜI GIẢI Tơ màu lưới vuông theo cách tô bàn cờ vua Khi sàn nhà có 45 màu đen 36 màu trắng Vì cách tơ màu nên ô trắng nằm cạnh ô màu đen ô màu đen nằm cạnh ô màu trắng Vậy sau tiếng mèo kêu 45 chuột đứng ô màu đen chạy sang ô màu trắng 36 chuột đứng ô màu trắng chạy sang màu đen Vì có 36 chuột mà lại có tới 45 màu đen nên chắn có 45 − 36 = khơng có chuột Vậy sau tiếng mèo kêu, có khơng có chuột □ VÍ DỤ 1.2.8 Người ta lát lưới vng kích thước (2n − 1) × (2n − 1) viên đá có dạng hình Chứng minh cần sủ dụng 4n − viên đá loại LỜI GIẢI Đánh số hàng, cột theo thứ tự từ đến 2n − Sau tơ vng vị trí (x, y) màu đen với x, y số lẻ Các vng cịn lại tơ màu trắng Sau tơ, có n2 vuông đen 3n2 − 4n + ô vuông trắng 23 Chú ý hình loại ln che phủ ô đen ô trắng che phủ màu trắng Trong loại hình cịn lại ln che phủ đen ô trắng Chúng ta gọi số viên đá loại che phủ ô đen x, số viên đá loại che phủ ô trắng y, số viên đá lại z Vì số màu đen n2 nên ta có x + z = n2 Số màu trắng 3n2 − 4n + nên 2x + 3y + 3z = 3n2 − 4n + Ta có   4n − = 3n2 − 3n2 − 4n + = 3(x + z) − (2x + 3y + 3z) = x − 3y ≤ x + y Do x + y số viên đá loại nên để lát lưới vng kích thước (2n − 1)× (2n − 1) cần sử dụng 4n − viên đá loại □ Trong ví dụ trên, để giải tốn, người giải phải tìm cách tơ màu đặc biệt nhìn mối liên hệ hình loại hình loại ln chứa ô màu đen; sau sử dụng biến đổi bất đẳng thức linh hoạt kĩ làm trội Tuy nhiên sử dụng hai màu để tô màu lưới vng, cịn sử dụng nhiều màu để tô với nhiều quy luật tô màu khác Để tiện lợi q trình tơ màu lập luận, thường mã hóa màu số 1, 2, 3, , n Dưới số ví dụ mà cần sử dụng nhiều màu để tơ VÍ DỤ 1.2.9 Lát lưới vng kích thước × 21 viên gạch loại × cho sau lát có vng cịn thừa lại Hãy xác định vị trí vị trí vng thừa lại LỜI GIẢI Sử dụng ba loại màu đánh dấu 1, 2, để tô lưới vng hình 24 Ta đếm có 22 tơ màu 1, có 21 tô màu 21 ô tô màu Để ý viên gạch loại × lát vào lưới vuông phủ ba màu 1, Do sau lát 21 viên gạch loại × có 21 màu 1, 21 màu 21 ô màu che phủ Như cịn lại viên gạch màu khơng che phủ điều có nghĩa cịn thừa phải ô tô màu Để ý hình vng kích thước × có tính đối xứng nên dễ thấy hình vng bên phải bị thừa hình vng góc cịn lại bị thừa ra; có hai góc chứa số ô bị thừa dẫn tới ô tô màu góc bên phải khơng thể bị thừa Trong hình có đánh dấu số vng màu (đánh dấu ×) tương tự; sau lấy đối xứng lại nằm vị trí màu màu nên vng màu ô bị thừa Chỉ có vng đánh số màu xám sau lấy đối xứng vị trí ô đánh số thoả mãn Như có vị trí vị trí (số màu xám) mà sau lát lưới vng kích thước × 21 viên đá × vị trí vng bị thừa □ Ngồi phương pháp tơ màu trên, tốn tổ hợp lưới giải theo phương pháp quy nạp, tốn giảm kích thước lưới theo quy luật 1.3 Một số toán vận dụng Bài toán 1.3.1 (trang 267, [2]) Một lưới tạo m đường thẳng ngang n đường thẳng đứng Có đỉnh phân biệt lưới này? LỜI GIẢI Mỗi đường thẳng ngang chứa n điểm (đó giao điểm đường 25 thẳng với đường thẳng đứng) có m đường thẳng Do tổng số giao điểm m.n □ Bài toán 1.3.2 (trang 267, [2]) Mỗi cạnh AB CD hình chữ nhật ABCD chia thành m phần nhau, cạnh BC AD chia thành n phần Bằng cách nối điểm tương ứng cạnh đối tao lưới hình chữ nhật Hãy tìm số giao điểm tạo hởi đường chéo AC đường lưới LỜI GIẢI Ta có m+1 đường thẳng ngang n+1 đường thẳng đứng Đường chéo cắt tất đường thẳng cho có số điểm trùng vào điểm lưới Dễ thấy điểm trùng với điểm lưới điểm nằm đường thẳng ngang đường thẳng đứng, số giao điểm m + n + − (m, n) (trong (m, n) ước chung lớn m n) □ Bài toán 1.3.3 (trang 268, [2]) Số giao điểm lớn ta vẽ n đường thẳng mặt phẳng? LỜI GIẢI Số giao điểm lớn xuất đường thẳng đơi có giao điểm phân biệt, khơng có ba đường dồng quy Trong trường hợp tồn n − giao điểm đường thẳng Do n(n − 1) số điểm giao Cn2 = □ Bài toán 1.3.4 Số giao điểm lớn ta vẽ n đường tròn mặt phẳng? 26 LỜI GIẢI Lập luận tương tự ví dụ trên, số giao điểm lớn đường trịn đơi có hai giao điểm phân biệt, không tồn điểm giao nằm ba đường trịn Do số điểm giao 2.Cn2 = n(n − 1) □ Bài toán 1.3.5 (trang 268, [2]) Số giao điểm lớn ta vẽ n hình tam giác (hình vng) mặt phẳng? LỜI GIẢI Vì cạnh tam giác giao với nhiều hai cạnh tam giác khác nên cạnh hai tam giác nhiều giao điểm Như cặp tam giác có điểm chung khơng có điểm chung điểm chung tam giác ta nhận 6.Cn2 = 3n(n − 1) Bằng phương pháp tương tự, ta có số giao điểm n hình vng tối đa 4n(n − 1) □ Bài toán 1.3.6 (trang 269, [2]) Cho hai đường thẳng d1 d2 song song Lấy điểm A1 , A2 , Am nằm d1 điểm B1 , B2 , , Bn nằm d2 Ta dựng tất giao điểm đoạn thẳng Ai B j , i = 1, , m : j = 1, , n Từ đoạn thẳng ta nhận số giao điểm lớn bao nhiêu? LỜI GIẢI Nếu số giao điểm lớn khơng tồn ba đường thẳng đồng quy cấu trúc Do chọn hai điểm d1 hai điểm d2 chúng xác định giao điểm m(m − 1) số cách chọn hai điểm Số cách chọn hai điểm d1 Cm2 = m.n.(m − 1).(n − 1) n(n − 1) · Như số giao điểm · □ d2 Cn2 = Bài tốn 1.3.7 Phần cạnh hình vng ta chọn n điểm khác Tìm số tất tam giác mà đỉnh điểm ta vừa lấy ba điểm, số LỜI GIẢI Từ 4n điểm chọn ta tổng cộng C4n có 4.Cn3 ba điểm khơng tạo thành tam giác, ba điểm nằm cạnh hình vng Do đó, số tam giác tạo thành − 4.Cn3 = 2n2 (5n − 3) C4n □ 27 Bài toán 1.3.8 (trang 271, [2]) Có n-giác lồi A1 A2 An Xác định số giao điểm đường chéo đa giác A1 A2 An nằm đa giác LỜI GIẢI Ta xét đường chéo cố định A1 Ak (k = 3, 4, , n − 1) xác định số giao điểm đường chéo Trong nửa mặt phẳng xác định đường thẳng A1 Ak có k − điểm nửa mặt phẳng lại chứa n − k điểm n − đỉnh lại đa giác lồi A1 A2 An Do có đường chéo A1 Ak giao với đường chéo khác (n − k) (k − 2) điểm nên số giao điểm tất đường chéo xuất phát từ A1 a1 (n) = n−1 X k=3 n−1 h X i (n + 2)k − k − 2n (n − k)(k − 2) = k=3 (n − 1)(n − 2)(n − 3) · Nếu ta cộng tất số giao điểm tất đỉnh A1 , A2 , , An đa giác ta đếm số điểm giao lần Do tổng số tất giao điểm tất đường chéo n(n − 1)(n − 2)(n − 3) n a1 (n) = = Cn4 24 □ = Bài tốn 1.3.9 (trang 271, [2]) Cho n-giác lồi H Tìm tất số tam giác mà đỉnh đỉnh H cạnh đường chéo H 28 LỜI GIẢI Từ số tất tam giác có đỉnh H ta trừ số tam giác có mơt cạnh hoăc hai cạnh cạnh đa giác cho Tổng số tất tam giác có đỉnh H Cn3 Số tam giác có cạnh cạnh đa giác n(n−4), cạnh n cạnh đa giác chọn đỉnh thứ ba tam giác n − đỉnh cịn lại Vậy số tam giác cần tính Cn3 − n(n − 4) − n = n(n − 4)(n − 5) · □ 29 Chương Bài toán đếm mở rộng vận dụng Trong chương này, tơi đề cập tới số tốn đếm mở rộng có mức độ khó cao hơn, bổ sung số kiến thức nâng cao hệ số đa thức hàm sinh, đồng thời đưa số toán vận dụng Nội dung chương tham khảo hai tài liệu [5] [6] 2.1 Nguyên lý bao hàm loại trừ tổng quát "Công thức bao hàm loại trừ" coi kết tảng lý thuyết tổ hợp Công thức cho ta công cụ tiếp cận theo hướng tự nhiên, đơn giản để đếm đại lượng Khi tập hợp khơng tính số phần tử cách dễ dàng tính chất khơng tường minh, ta dùng cơng thức bù trừ, tính phần bù nó, chia nhỏ thành nhiều tập hợp khác để xử lí riêng tốn đếm đơn giản Trong tiếng Anh, nguyên lý bù trừ Principle of inclusion and Exclusion (viết tắt PIE) Công thức bù trừ nhắc đến chương trước, chương đề cập cách tổng quát hơn: Tính chất 2.1.1 Với hai tập hợp hữu hạn A, B bất kì, ta ln có |A ∪ B| = |A| + |B| − |A ∩ B|, |A\B| = |A| − |A ∩ B| Đó công thức nguyên lý bao hàm loại trừ cho hai tập hợp Với ba tập hợp, ta có kết sau Tính chất 2.1.2 Với A, B, C ba tập hợp hữu hạn bất kì, ta có |A ∪ B ∪ C| = |A| + |B| + |C| − |A ∩ B| − |B ∩ C| − |C ∩ A| + |A ∩ B ∩ C| 30 Trong trường hợp nhỏ, ta dùng biểu đồ Venn để biểu diễn quan hệ rõ ràng Tổng quát lên, ta có nguyên lý bù trừ cho n tập hợp sau Định lý 2.1.3 Với A1 , A2 , A3 , , An tập hợp hữu hạn