KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN NĂM HỌC 2023 - 2024 Mơn: Tốn (Đề chung) Thời gian làm bài: 120 phút, không kể thời gian giao đề UBND TỈNH HÀ NAM SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ CHÍNH THỨC (Đề thi gồm 01 trang) Câu I (2,0 điểm) Rút gọn biểu thức A = − 27 + 7 + 1 x (với x ≥ 0, x ≠ ) − + x −4 x +4 x−4 a) Rút gọn biểu thức P b) Tìm tất số nguyên x để P đạt giá trị nguyên Cho biểu thức P = Câu II (1,5 điểm) Giải phương trình x + x − 15 = x ( − y ) = + y − xy Giải hệ phương trình 2 x − 14 = ( y − 3) Câu III (1,5 điểm) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho parabol ( P ) có phương trình y = x , đường thẳng (d ) có phương trình y = x + m − 4m + (với m tham số) đường thẳng ( ∆ ) có phương trình y =( a − 3) x + (với a tham số) Tìm a để đường thẳng (d ) đường thẳng ( ∆ ) vng góc với Chứng minh đường thẳng (d ) cắt parabol ( P ) hai điểm phân biệt A, B với m Gọi A ( x1 ; y1 ) , B ( x2 ; y2 ) (với x1 < x2 ), tìm tất giá trị tham số m cho x1 − 2023 − x2 + 2023 = y1 + y2 − 48 Câu IV (4,0 điểm) Cho đường tròn ( O ) Từ điểm M bên ngồi đường trịn kẻ hai tiếp tuyến MA, MB với đường tròn ( O ) ( A, B tiếp điểm) Lấy điểm C cung nhỏ AB ( C khơng nằm cung AB , C khác A B ) Gọi D, E , F hình chiếu vng góc C đường thẳng AB, AM , BM Chứng minh tứ giác AECD nội tiếp đường tròn = CFD Chứng minh CDE Gọi I giao điểm AC ED , K giao điểm CB DF Chứng minh CD ⊥ IK Đường tròn ngoại tiếp hai tam giác CIE CKF cắt điểm thứ hai N ( N khác C ) Chứng minh đường thẳng NC qua trung điểm đoạn thẳng AB Câu V (1,0 điểm) Cho a, b, c số không âm thỏa mãn a + b + c = 1011 Chứng minh: (b − c ) 2022a + 2 + (c − a) 2022b + 2 + (a − b) 2022c + 2 ≤ 2022 - HẾT - Thí sinh sử dụng máy tính bỏ túi khơng có chức soạn thảo văn khơng có thẻ nhớ Họ tên thí sinh:………………………………… Số báo danh: Cán coi thi số 1………………………… Cán coi thi số 2…………… SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HÀ NAM KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN Năm học: 2023-2024 (Hướng dẫn chấm thi có 04 trang) ĐỀ CHÍNH THỨC HƯỚNG DẪN CHẤM MƠN TỐN (ĐỀ CHUNG) Ghi chú: - Điểm tồn khơng làm tròn - Các cách giải khác mà cho điểm tương đương Nội dung Câu I (2,0 điểm) Điểm (1,0 điểm) Rút gọn biểu thức A = − 27 + 7 + (2 + 3) + 7(2 + 3) A = −9 +7 A = −9 0,5 0,25 0,25 A = 14 1 x (với x ≥ 0, x ≠ ) − + x −4 x +4 x−4 a) (0,5 điểm) Rút gọn biểu thức P x P = + x − 16 x − x +2 = P = x−4 x −2 b) (0,5 điểm) Tìm tất số nguyên x để P đạt giá trị nguyên P đạt giá trị nguyên ⇔ x − =±1 x − =1 ⇔ x = ⇔ x = (thỏa mãn điều kiện x ≥ 0, x ≠ ) (1,0 điểm) Cho biểu thức P = x − =−1 ⇔ x =1 ⇔ x =1 (thỏa mãn điều kiện x ≥ 0, x ≠ ) Câu II (1,5 điểm) (0,75 điểm) Giải phương trình x + x − 15 = 0,25 0,25 0,25 0,25 ∆ ' = + 15 = 16 > 0,25 Phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 =−1 + 16 =3 0,25 x2 =−1 − 16 =−5 0,25 x ( − y ) = + y − xy (0,75 điểm) Giải hệ phương trình − = − x 14 y ( ) 4x − y 4x − y = = x ( − y ) = + y − xy ⇔ ⇔ −y 2y 2 x −= x= 2 x − 14 = ( y − 3) 3 x = ⇔ x − y = x = ⇔ y = −3 Vậy hệ phương trình có nghiệm ( x; y= ) 0,25 0,25 0,25 (1; −3) Câu III (1,5 điểm) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho parabol ( P ) có phương trình y = x , đường thẳng (d ) có phương trình y = x + m − 4m + (với m tham số) đường thẳng ( ∆ ) có phương trình y =( a − 3) x + (với a tham số) (0,5 điểm) Tìm a để đường thẳng (d ) đường thẳng ( ∆ ) vuông góc với (d ) ⊥ ( ∆ ) ⇔ ( a − 3) =−1 0,25 ⇔ a = 0,25 2 (1,0 điểm) Chứng minh đường thẳng (d ) cắt ( P ) hai điểm phân biệt A, B với m Gọi A ( x1 ; y1 ) , B ( x2 ; y2 ) (với x1 < x2 ), tìm tất giá trị tham số m cho x1 − 2023 − x2 + 2023 = y1 + y2 − 48 Phương trình hồnh độ giao điểm đường thẳng (d ) ( P ) x = x + m − 4m + ⇔ x − x − m + 4m − = (1) ∆ =' m − 4m + 10= ( m − ) + > ∀m Vậy đường thẳng (d ) cắt ( P ) hai điểm phân biệt A, B với m 0,25 a.c =− m + 4m − =− ( m − ) − < ∀m ⇒ Phương trình (1) ln có hai nghiệm trái dấu x1 < < x2 x1 − 2023 < ⇒ x1 − 2023 − x2 + 2023 = − ( x1 + x2 ) x2 + 2023 > x1 − 2023 − x2 + 2023= y1 + y2 − 48 ⇔ − ( x1 + x2 )= x12 + x22 − 48 0,25 ⇔ − ( x1 + x2 )= ( x1 + x2 ) 0,25 − x1.x2 − 48 ⇔ −2= 22 − ( − m + 4m − ) − 48 0,25 m = ⇔ m − 4m − 12 =0 ⇒ m = −2 Câu IV (4,0 điểm) Cho đường tròn ( O ) Từ điểm M bên ngồi đường trịn kẻ hai tiếp tuyến MA, MB với đường tròn ( O ) ( A, B tiếp điểm) Lấy điểm C cung nhỏ AB ( C khác A B ) Gọi D, E , F hình chiếu vng góc C AB, AM , BM (1,0 điểm) Chứng minh tứ giác AECD nội tiếp đường tròn 3 DC ⊥ AD ⇒ ADC =90° AE ⊥ EC ⇒ AEC =90° 180° ADC + AEC = ⇒ Tứ giác AECD nội tiếp đường tròn = CFD 2.(1,0 điểm) Chứng minh CDE = Tứ giác AECD nội tiếp ⇒ CDE CAE + CFB = CDB CBD = 180° ⇒ Tứ giác CDBF nội tiếp ⇒ CFD = CAE ( Cùng chắn cung AC ) Mà CBD 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 = 0,25 CFD ⇒ CDE 3.(1,0 điểm) Gọi I giao điểm AC ED , K giao điểm CB DF Chứng minh CD ⊥ IK = Tứ giác CDBF nội tiếp ⇒ CFD CBD = CFD (Chứng minh trên) CDE = CBA (1) = CBD hay CDI ⇒ CDE 0,25 = CBF Tứ giác CDBF nội tiếp CDF = CAB (Cùng chắn cung BC ) Mà CBF = ( 2) CAB ⇒ CDK 1800 Từ (1) , ( ) ⇒ ICK + IDK = ICK + IDC + CDK = ACB + CBA + CAB = ⇒ Tứ giác CIDK nội tiếp = CDK Suy CIK = CAB (Chứng minh trên) Mà CDK = CAB ⇒ CIK 0,25 0,25 ⇒ IK // AB 0,25 Mà CD ⊥ AB ⇒ CD ⊥ IK (1,0 điểm) Đường tròn ngoại tiếp hai tam giác CIE CKF cắt điểm thứ hai N Chứng minh đường thẳng NC qua trung điểm đoạn thẳng AB Gọi NC cắt IK , AB P, Q = CAB (Chứng minh trên) CIK = hay CAB = CEI Tứ giác AECD nội tiếp đường tròn ⇒ CAD CED = ⇒ CEI CIK ⇒ IK tiếp tuyến đường tròn ngoại tiếp tam giác CIE Chứng minh tương tự: IK tiếp tuyến đường tròn ngoại tiếp tam giác CKF 0,25 Xét hai tam giác PIC , PNI có chung, PIC = PNI (cùng chắn cung IC ) IPN ⇒ ∆PIC ∽ ∆PNI 0,25 PI PC = ⇒ PI = PC.PN PN PI Chứng minh tương tự: PK = PC.PN Vậy PI = PK 0,25 ⇒ IP CP PK = = AQ CQ QB 0,25 Mà PI = PK ⇒ AQ = QB Hay Q trung điểm AB Câu V (1,0 điểm) Cho a, b, c số không âm thỏa mãn a + b + c = 1011 Chứng minh rằng: IK // AB ⇒ (b − c ) 2022a + + (c − a) 2022b + (a − b) 2022c + + 2 ≤ 2022 2 Ta có: ( b − c= ) 2022a + (b + c ) 2022a + 2 (b − c ) ⇒ 2022a + ≤ 2022a + ⇒ (b − c ) 2022a + ⇒ (b − c ) 2022a + ≤ 2 ⇒ + (b − c ) 2022a + (vì bc ≥ 0) 2 (c − b) 2 ≤ ≤ 1011 + b 2 + + (c − a) 2022b + 0,25 0,25 1011 + c (c − a) 2022b + 0,25 bc = 1011 + a dấu = xảy ⇔ ≤ 1011 a + b + c = 2022c + (b − c ) 2022a + (b + c ) 2022a + 2 − 2bc ≤ (1011 − a ) (1011 + a ) (c − a) 2022b + Tương tự: (a − b) 2022c + 2 + ≤ (a − b) 2022c + 3.1011 + a + b + c 2 ≤ 4.1011 = 2022 2 2 1011 a + b + c = Dấu = xảy ⇔ = bc = ca = ab (Khi ba số a, b, c có số 1011 hai số 0) -Hết - 0,25