Khối phần mềm thực thi mã hóa reed – solomon và chương trình mô phỏng

LỜI NÓI ĐẦU Hàng năm quan tâm ban giám hiệu, sinh viên trường Đại học Giao thông vận tải có điều kiện thực nghiên cứu khoa học Năm học 2011-2012 ngoại lệ, nhờ sinh viên khóa 49 chúng em có hội tham gia sân chơi bổ ích Được giúp đỡ thầy cô khoa Điện – Điện tử mơn Kỹ thuật viễn thơng, nhóm chúng em đăng kí tham gia với mục tiêu học hỏi thêm kiến thức mà chúng em khó có hội tiếp cận giảng đường Những chúng em thu hoạt động nghiên cứu lần góp phần khơng nhỏ vào hành trang chúng em bước vào thực tế công việc sau tốt nghiệp Vì vậy, chúng em xin dành trang đầu báo cáo để gửi lời cảm ơn chân thành tới ban giám hiệu Trường đại học giao thông vận tải, thầy cô Khoa Điện – Điện tử nói chung thầy mơn Kỹ thuật viễn thơng nói riêng mở sân chơi hỗ trợ chúng em kiến thức, kỹ kinh nghiệm hoạt động nghiên cứu khoa học Đặc biệt, chúng em xin chân thành cảm ơn thầy Lê Minh Tuấn người trực tiếp hướng dẫn chúng em thực đề tài Vì thời gian điều kiện có hạn nên đề tài chúng em khơng khỏi thiếu sót Vì kính mong q thầy cơ, ban giám khảo tồn thể bạn tham gia góp ý cho chúng em để nghiên cứu hoàn hảo Về phần mình, chúng em nỗ lực để hoàn thiện đề tài MỤC LỤC PHẦN - TỔNG QUAN VỀ MÃ HĨA 1.1 Mã hóa – biện pháp chống nhiễu truyền dẫn số 1.2 Các loại mã PHẦN - CƠ SỞ TOÁN HỌC CỦA MÃ 2.1 Trường 2.1.1 Sơ lược trường 2.1.2 Trị riêng trường .4 2.1.3 Chu kỳ phần tử 2.2 Trường GF(2) GF(2m) .5 2.2.1 Trường GF(2) đa thức trường GF(2) 2.2.2 Xây dựng trường GF(2m) từ GF(2) PHẦN - TỔNG QUAN VỀ MÃ KHỐI TUYẾN TÍNH 3.1 Mã khối tuyến tính .8 3.1.1 Ma trận sinh cách mã hóa 3.1.2 Khả phát sửa sai .9 3.1.3 Cách phát sai mã khối tuyến tính 10 3.1.4 Cách sửa sai thuật toán giải mã 11 3.2 Mã vòng .13 3.2.1 Định nghĩa tính chất mã vòng 13 3.2.2 Cách mã hóa mã vịng 14 3.2.3 Mã BCH nhị phân 14 3.2.4 Mã BCH không nhị phân .15 PHẦN - MÃ REED – SOLOMON 16 4.1 Đa thức sinh cách mã hóa .16 4.2 Mã Reed – Solomon hiệu lỗi chùm 18 4.3 Giải mã mã Reed – Solomon .18 4.3.1.Tính Syndrome .18 4.3.2 Đa thức định vị lỗi σ(X) 19 4.3.3 Xác định giá trị lỗi .22 4.3.4 Ví dụ 22 PHẦN – KHỐI PHẦN MỀM THỰC THI MÃ HÓA REED – SOLOMON VÀ CHƯƠNG TRÌNH MƠ PHỎNG 24 5.1 Khối phần mềm thực thi mã hóa Reed – Solomon 24 5.2 Chương trình mơ mã hóa Reed – Solomon 24 5.2.1 Giao diện phần mềm mô 25 5.2.2 Sơ đồ khối mô tả hoạt động chương trình 29 KẾT LUẬN VÀ HƯỚNG PHÁT TRIỂN CỦA ĐỀ TÀI TÀI LIỆU THAM KHẢO 31 30 PHẦN - TỔNG QUAN VỀ MÃ HĨA 1.1 Mã hóa – biện pháp chống nhiễu truyền dẫn số Vài thập kỉ gần đây, nhu cầu hệ thống truyền dẫn số với độ tin cậy hiệu cao tăng mạnh đòi hỏi mạng số liệu có quy mơ lớn, tốc độ cao cho trao đổi, xử lý lưu trữ thông tin số phục vụ cho quân sự, trị, kinh tế - tài nhu cầu trao đổi thông tin khác người Vì kết hợp truyền thơng cơng nghệ thơng tin bắt buộc để tạo nên hệ thống mà mục tiêu kiểm sốt lỗi q trình truyền dẫn, giúp cho phía thu nhận xác thơng tin mà phía phát phát Năm 1948, Claude Elwood Shannon chứng minh cần mã hóa thơng tin theo cách thích hợp khả xảy lỗi nhiễu tác động lên kênh truyền giảm tới mức mong muốn mà đánh đổi tốc độ truyền dẫn hay không gian lưu trữ Đây tiền đề cho nhiều nỗ lực sau nhằm tìm kiếm phương thức mã hóa giải mã hiệu để kiểm sốt lỗi xảy truyền dẫn mơi trường nhiễu cao Và ngày nay, việc sử dụng mã hóa kiểm sốt lỗi trở thành phần tất yếu hệ thống truyền thơng máy tính số Hình 1.1 thể sơ đồ khối khái quát hệ thống truyền dẫn: Hình 1.1 Sơ đồ khối khái quát hệ thống truyền dẫn Ý tưởng việc mã hóa khái quát lại sau: Giả sử có nguồn phát nguồn nhị phân đối xứng phát tín hiệu Ở đầu nhận ta quy ước chế giải mã nhận tín hiệu đốn bên phát phát tín hiệu 0, nhận tín hiệu đốn bên phát phát tín hiệu Với chế giải mã này, xác suất xảy lỗi cao Có hướng để làm giảm xác xuất giải mã lỗi: để gửi tín hiệu thay gửi một, gửi chuỗi tín hiệu tương tự với tín hiệu Ở đầu nhận, ta quy ước chế giải mã chuỗi nhận có nhiều tín hiệu giải mã thành tín hiệu Ví dụ chuỗi nhận 010 giải mã thành 0, nhận 110 giải mã thành Cơ chế hiển nhiên làm giảm xác suất giải mã lỗi lại nảy sinh vấn đề khác làm giảm hiệu suất truyền thông tin lần Nếu mã hóa tín hiệu thành chuỗi 2n + tín hiệu 2n + tín hiệu mã hóa cho tín hiệu xác suất giải mã sai tiến tới n tiến tới ∞ Đổi lại, hiệu suất truyền thông tin giảm 2n + lần Chúng ta giảm xác suất giải mã xuống gần không giảm hiệu suất truyền thông tin xuống gần mà nhỏ ngưỡng chấp nhận Ý tưởng phương án khai thác ý tưởng phương án phía chỗ: thay gửi – khác biệt bit mã hóa chúng thành 000 111 – khác biệt bit làm giảm xác suất giải mã lỗi 1.2 Các loại mã Ngày nay, có loại mã sử dụng rộng rãi mã khối mã chập Đối với mã khối, mã hóa chia nhỏ chuỗi thơng tin thành tin có độ dài k bit thêm vào n – k bit dư để tạo thành từ mã có độ dài n bit n – k bit dư có nhờ đưa k bit thơng tin qua thuật tốn đặc biệt, giúp cho mã có khả phát sửa lỗi Vì đầu vào có k bit tin nên tương ứng có 2k từ mã độ dài n bit đầu mã hóa, tập hợp 2k từ mã tạo thành mã khối (n, k) Hiển nhiên số lượng bit dư lớn khả phát sửa lỗi mã lớn hiệu suất truyền tin mã nhỏ Để tăng khả phát sửa lỗi mà không làm giảm hiệu suất truyền tin mã, tăng lượng bit dư đồng thời tăng độ dài từ mã Bộ mã hóa mã chập tạo từ mã độ dài n với k bit tin n – k bit dư Tuy nhiên từ mã mã chập không phụ thuộc vào k bit tin mà phụ thuộc vào m tin trước nhờ nhớ bậc m Trong khuôn khổ đề tài nghiên cứu khoa học này, nhóm chúng em xin khơng đề cập tới mã chập PHẦN - CƠ SỞ TOÁN HỌC CỦA MÃ 2.1 Trường 2.1.1 Sơ lược trường Nhìn chung trường tập hợp phần tử mà tập hợp cộng, trừ nhân chia mà kết nằm tập hợp Phép cộng nhân phải có tính giao hoán, kết hợp phân phối Gọi F tập hợp mà tồn phép toán nhị phân cộng nhân Tập F phép toán cộng nhân trường thỏa mãn điều kiện: - F nhóm giao hốn với phép cộng, phần tử đơn vị phép cộng gọi phần tử khơng kí hiệu Tập hợp phần tử khác F nhóm giao hốn với phép nhân Phần tử đơn vị phép nhân gọi đơn vị đơn vị nhân F kí hiệu Phép nhân có tính chất phân phối với phép cộng, với phần tử a,b,c ∈ F: a.(b + c) = a.b + a.c Phép trừ a cho b trường phép cộng a với –b Nếu b ≠ 0, phép chia a cho b phép nhân a với b-1 Một số tính chất trường: - Với phần tử a trường: a.0 = 0.a =0 Với phần tử a, b ≠ trường: a.b ≠ a.b = a ≠  b = Với a, b thuộc trường: -(a.b) = (-a).b = a.(-b) Với a ≠ 0, a.b = a.c => b = c Tập hợp {0,1} với phép cộng phép nhân modul cho bảng 2.1 bảng 2.2 tạo thành trường có phần tử, thường gọi trường nhị phân Một trường có số phần tử xác định gọi trường hữu hạn trường Galois Do đó, trường nhị phân cịn kí hiệu GF(2) Trường nhị phân GF(2) có vai trị quan trọng lý thuyết mã hóa mà sử dụng rộng rãi máy tính số truyền dẫn số (hoặc lưu trữ) Bảng 2.1 Phép cộng modul Bảng 2.2 Phép nhân modul 2.1.2 Trị riêng trường Xét trường GF(q) Xét dãy tổng phần tử đơn vị Vì trường đóng với phép cộng nên kết tổng phần tử trường Vì k nhận vơ hạn giá trị mà trường có q phần tử nên tồn hai giá trị k1 k2 khác (giả sử k1 > k2 ) cho: Từ suy ra: Đến dẫn khái niệm trị riêng trường Trị riêng trường số nguyên dương nhỏ λ cho 2.1.3 Chu kỳ phần tử Xét phần tử a khác trường GF(q) Xét luỹ thừa ak a với k = 1, 2, 3, … Vì trường đóng với phép nhân nên ak phần tử trường Vì k nhận vơ hạn giá trị mà trường có q phần tử nên tồn hai giá trị k1 k2 khác (giả sử k1 > k2 ) cho: Từ suy ra: =1 Đến dẫn khái niệm chu kỳ phần tử trường Chu kỳ phần tử a trường GF(q) số nguyên dương nhỏ n cho an = 2.2 Trường GF(2) GF(2m) 2.2.1 Trường GF(2) đa thức trường GF(2) Nhìn chung, xây dựng mã với kí tự từ trường GF(q) nào, q số nguyên tố lũy thừa số nguyên tố Tuy nhiên, mã với kí tự từ trường nhị phân GF(2) hay trường mở rộng GF(2m) sử dụng rộng rãi truyền dẫn số hệ thống lưu trữ thông tin hệ thống số thường mã hóa dạng nhị phân Trong số học nhị phân, ta dùng phép cộng modul phép nhân modul Hầu hết giống tốn học thơng thường trừ việc ta coi = + = Chú ý + = => = -1 Một đa thức trường GF(2), chẳng hạn kí hiệu f(X), đa thức có dạng f(X) = a0 + a1X + a2X2 + … + anXn hệ số ∈ GF(2) GF(2) có phần tử Đa thức GF(2) cộng, trừ, nhân, chia theo cách thông thường Phép cộng nhân hệ số phép cộng nhân modul Các đa thức GF(2) ln thỏa mãn tính chất giao hoán, kết hợp phân phối Một đa thức bậc m GF(2) gọi tối giản khơng thể phân tích thành tích đa thức có bậc nhỏ m lớn Ví dụ: X2 + X khơng phải đa thức tối giản X2 + X + đa thức tối giản Ngoài ra, đa thức trường GF(2) cịn có tính chất đáng ý Gọi f(X) đa thức GF(2), ta có: f2(X) = (f0 + f1 X + … + fn Xn)2 = [f0 + (f1X + f2X2 + … + fnXn)]2 = + f0(f1X + f2X2 + … + fnXn) + f0(f1X + f2X2 + … + fnXn) + (f1X + f2X2 + … + fnXn)2 = + (f1X + f2X2 + … + fnXn)2 Tiếp tục khai triển phương trình ta có: f2(X) = + (f1X)2 + (f2X2)2 + … + (fnXn)2 Do hệ số đa thức nên = fi Vì vậy: f2(X) = f0 + f1X2 + f2(X2)2 + … + fn(X2)n = f(X2) Từ phương trình trên, với l ≥ 0: = 2.2.2 Xây dựng trường GF(2m) từ GF(2)  Đa thức nguyên thủy Cho p(X) đa thức tối giản bậc m GF(2) số nguyên dương n Nếu n số nguyên dương nhỏ đồng thời thỏa mãn điều kiện sau: n = 2m + Xn + chia hết cho p(X) p(X) gọi đa thức nguyên thủy Ví dụ: p(X) = X3 + X + Ta thấy với n = 1, 2, , Xn +1 khơng chia hết cho p(X) với n = 23 – = thì: X7 + = (X3 + X + 1) (X4 + X2 + X + 1) nên p(X) = X3 + X + đa thức nguyên thủy  Xây dựng trường GF(2m) từ đa thức nguyên thủy Việc xây dựng trường GF(2m) từ đa thức nguyên thủy bậc m đơn giản Chúng em xin đưa ví dụ minh họa, việc chứng minh phương pháp thầy bạn xem tài liệu tham khảo Giả sử ta cần xây dựng trường GF(23) từ đa thức p(X) = X3 + X + Cho p(α) = α3 + α + = suy ra: α3 = α + α4 = α3.α = (α +1)α = α2 + α α5 = α.α4 = α3 + α2 = α2 + α + α6 = α.α5 = α3 + α2 + α = α + + α2 + α = α2 + α7 = α.α6 = α3 + α = α + + α = = α0 Vậy phần tử trường GF(23) {0, α0, α1, α2, α3, α4, α5, α6}