THÔNG TIN TÀI LIỆU
1 MỤC LỤC MỞ ĐẦU Chương Một số kiến thức kết Chương Các lớp đại số Lie thực giải với đại số dẫn xuất số chiều đối chiều thấp tính toán đối đồng điều 1.1 Phân loại đại số Lie thực giải với đại số dẫn xuất đối chiều 1.2 Bài toán phân loại đại số Lie thực giải với đại số dẫn xuất đối chiều 1.3 Tính tốn đối đồng điều đại số Lie với đại số dẫn xuất thấp chiều đối chiều thấp Chương Vài lớp đại số Lie toàn phương giải tính tốn đối đồng điều 2.1 11 Phân loại đạo hàm phản xứng đại số Lie toàn phương giải có số chiều ≤ 11 2.2 Mô tả đối đồng điều đại số Lie toàn phương giải thấp chiều 14 2.3 Số Betti thứ hai đại số Lie toàn phương lũy linh kiểu Jordan 16 Chương Vài lớp siêu đại số Lie tồn phương giải tính tốn đối đồng điều 17 3.1 Phân loại siêu đại số Lie toàn phương giải chiều bất khả phân 17 3.2 Phân loại siêu đại số Lie toàn phương giải chiều bất khả phân với phần chẵn chiều 3.3 18 Đối đồng điều thứ thứ hai siêu đại số Lie toàn phương 20 DANH MỤC CÁC CƠNG TRÌNH ĐÃ CƠNG BỐ CỦA TÁC GIẢ 21 TÀI LIỆU THAM KHẢO 22 MỞ ĐẦU Lý thuyết nhóm Lie đại số Lie (gọi chung lý thuyết Lie) khởi xướng Sophus Lie, nhà toán học Na Uy từ thập niên 70 kỷ XVIII phát triển nhiều nhà toán học giới suốt kỷ XIX đầu kỷ XX Felix Klein, Friedrich Engel, Wilhelm Killing, Elie Cartan, Hermann Weyl, Nhờ đó, toán Lý thuyết Lie phân loại nhóm Lie đại số Lie, đại số Lie toàn phương, siêu đại số Lie, siêu đại số Lie tồn phương, tính tốn đối đồng điều thường nhận quan tâm cộng đồng tốn học Nhóm Lie nhóm đồng thời đa tạp khả vi, phép tốn nhóm tương thích với cấu trúc khả vi Trong trình nghiên cứu trường véctơ bất biến trái nhóm Lie, đại số Lie đời Trong lý thuyết Lie, điều thú vị là, có tương ứng 1-1 tập nhóm Lie liên thơng đơn liên tập hợp đại số Lie Trong luận án này, chúng tơi tiếp cận tốn phân loại lớp đại số Lie Theo định lý Levi - Malshev, đại số Lie hữu hạn chiều trường có đặc số khơng phân tích thành tích nửa trực tiếp đại số nửa đơn ideal giải (xem tài liệu Levi [21] năm 1905 Malshev [12] năm 1945) Từ đó, tốn phân loại đại số Lie tổng quát quy phân loại đại số Lie nửa đơn đại số Lie giải Trong đó, tốn phân loại đại số Lie nửa đơn giải triệt để Cartan [20] năm 1894 (trên C) Gantmacher [10] năm 1939 (trên R) Bởi vậy, chúng tơi cịn phải xét toán phân loại đại số Lie giải Đối với toán phân loại lớp đại số Lie giải được, có vài phép phân loại trường hợp riêng việc phân loại trường hợp tổng quát, nay, cịn tốn mở Nói chung tốn phân loại đại số Lie giải phức tạp, người ta thường tìm cách thu hẹp lớp đối tượng cần phân loại để dễ kiểm soát Cụ thể, có ba cách tiếp cận Thứ cách phân loại theo số chiều (tức cố định số chiều đại số Lie cần phân loại) Thứ hai cách phân loại theo cấu trúc (tức bổ sung thêm hay vài tính chất đặc biệt cho lớp đại số Lie cần phân loại) Thứ ba phối hợp hai cách phân loại theo số chiều theo cấu trúc cách hợp lý Về hướng phân loại theo số chiều, Mubarakzyanov [13, 14] phân loại đại số Lie giải chiều trường có đặc số không Các kết cho trường hợp chiều đạt nhà toán học Mubarakzyanov [15] Đã nhiều thập kỷ qua, toàn phân loại từ chiều trở lên chưa giải triệt để, hỗ trợ phần mềm tính tốn chun dụng Rõ ràng, khả thi tiếp cận toán phân loại đại số Lie giải theo hướng cấu trúc phối hợp hai hướng: cố định số chiều lẫn bổ sung cấu trúc Trong luận án này, theo hướng bổ sung cấu trúc đồng thời phối hợp với hướng cố định số chiều Vấn đề quan tâm luận án nghiên cứu phân loại đại số Lie thực giải với đại số dẫn xuất thấp chiều đối chiều thấp đạt số kết khả quan sau Đầu tiên kết phân loại triệt để lớp Lie(n + 1, n) đại số Lie thực giải n + chiều có đại số dẫn xuất n chiều cho trước thông qua lớp đối đồng điều thứ đại số dẫn xuất ứng với biểu diễn phụ hợp (xem Định lý 1.1) Tiếp theo khẳng định phân loại lớp Lie(n + 2, n) đại số Lie thực giải n + chiều có đại số dẫn xuất n chiều cho trước toán wild (xem Định lý 1.2) Sau lớp đặc biệt lớp Lie(n + 2, n) tính chất wild bị phá vỡ (xem Định lý 1.3) Mặt khác, theo hướng cấu trúc, gần xuất đối tượng đại số Lie giải với cấu trúc bổ sung dạng song tuyến tính khơng suy biến bất biến tích Lie Chúng gọi đại số Lie toàn phương Từ vài thập niên gần đây, tốn phân loại đại số Lie tồn phương siêu đại số Lie toàn phương thu hút ý số nhà toán học Bởi thế, chúng tơi có sở để tiếp tục nghiên cứu tốn phân loại Việc mơ tả đối đồng điều giải trọn vẹn lớp đại số Lie nửa đơn Tuy nhiên, lớp đại số Lie giải được, số kết tính tốn đối đồng điều hạn chế trường hợp tổng quát vấn đề mở Việc mơ tả đối đồng điều tính toán số Betti đại số Lie giải được cộng đồng Tốn học quan tâm Có thể kể vài cơng trình điển hình, cơng trình [19] Santharoubane đối đồng điều đại số Lie Heisenberg h2n+1 , cơng trình [18] Pouselee đối đồng điều mở rộng đại số Lie chiều hZi đại số Lie Heisenberg h2n+1 , cơng trình [1] Bai Liu số Betti siêu đại số Lie Heisenberg, Từ đó, chúng tơi đặt nhiệm vụ nghiên cứu toán phân loại số lớp đại số Lie giải được, đại số Lie toàn phương giải được, siêu đại số lie toàn phương giải tính tốn đối đồng điều vài lớp chúng Luận án mang tên: “Tính tốn đối đồng điều toán phân loại đại số Lie, siêu đại số Lie toàn phương.” Việc thực thành cơng đề tài luận án có ý nghĩa khoa học đóng góp định cho lý thuyết Lie nói riêng, cho Lĩnh vực Đại số, Hình học Tơpơ nói chung Cụ thể đề tài có đóng góp cụ thể đây: (1) Phân loại triệt để lớp đại số Lie giải có đại số dẫn xuất đối chiều Chỉ toán phân loại đại số Lie giải có đại số dẫn xuất dối chiều toán wild, đồng thời phân loại lớp đặc biệt lớp đại số Lie tính chất wild bị phá vỡ (2) Đối đồng điều tất đại số thuộc lớp đại số Lie giải có đại số dẫn xuất chiều mô tả đầy đủ (3) Bằng cách áp dụng phương pháp Pouseele liên quan đến mở rộng đại số Lie chiều đại số Lie Heisenberg, chúng tơi thu tồn số Betti bk cho đại số Lie Kim cương tổng quát (4) Mô tả đối đồng điều tất đại số Lie toàn phương giải thấp chiều, nhóm đối đồng điều thứ hai đại số Lie toàn phương lũy linh kiểu Jordan, siêu đại số Lie toàn phương phân loại (5) Mô tả tường minh không gian đạo hàm phản xứng đại số Lie tồn phương giải thấp chiều Từ đó, tính tốn nhóm đối đồng điều thứ hai chúng 4 (6) Vận dụng mở rộng kép mở rộng kép tổng quát kết hợp với số kết phân loại quỹ đạo phụ hợp đại số Lie symplectic, phân loại số lớp các đại số Lie toàn phương giải siêu đại số Lie tồn phương giải thấp chiều (7) Tính tốn đối đồng điều siêu đại số Lie toàn phương tích superPoission phân bậc siêu đại số Các kết luận án báo cáo số Hội nghị Toán học nước quốc tế: Hội nghị nghiên cứu khoa học dành cho HV Cao học Nghiên cứu sinh Trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh (ĐHSP TP.HCM), 10/2016 Hội nghị quốc gia Đại số – Hình học – Tơpơ Thành phố Bn Ma Thuột, Đắk Lắk, 12/2016 Hội nghị Tốn học quốc tế Đại số – Hình học Trường Đại học Mahidol, Bangkok, Thái Lan (ICMA-MU 2017), 5/2017 Hội nghị Toán học Ứng dụng Trường Đại học Bách khoa, Đại học Quốc Gia Thành phố Hồ Chí Minh, 8/2017 Hội nghị khoa học Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc Gia Thành phố Hồ Chí Minh lần XI, 11/2018 Hội nghị quốc gia Đại số – Hình học – Tôpô Bà Rịa - Vũng Tàu, 12/2019 Mặc dù có nhiều cố gắng, song luận án khó tránh khỏi thiếu sót Chúng tơi mong nhận ý kiến đóng góp phản biện độc giả để chúng tơi có hội chỉnh lý, sửa chữa hồn thiện cơng trình Chúng tơi xin chân thành cám ơn 5 Chương Một số kiến thức kết Chương dành cho việc giới thiệu khái quát khái niệm nhóm Lie, đại số Lie, đại số Lie toàn phương, siêu đại số Lie toàn phương đối đồng điều chúng đồng thời nêu vắn tắt số kết quả, tính chất biết 0.1 Nhóm Lie Đại số Lie - Đối đồng điều Trong mục này, chúng tơi giới thiệu khái niệm nhóm Lie, đại số Lie số khái niệm liên quan như: ideal đại số Lie, đồng cấu đại số Lie, tích nửa trực tiếp, đại số Lie giải được, đại số Lie lũy linh, đối đồng điều đại số Lie Đồng thời, nhắc lại Định lý Levi-Malcev, khái niệm toán wild, đồng dạng yếu 0.2 Đại số Lie toàn phương đối đồng điều Trong mục này, chúng tơi giới thiệu khái niệm đại số Lie tồn phương, đối đồng điều số khái niệm liên quan như: khái niệm ideal, idael không suy biến, đẳng cấu đẳng cự, tổng trực tiếp trực giao Bên cạnh đó, chúng tơi trình bày khái niệm tích super-Poisson vận dụng vào tính tốn đối đồng điều đại số Lie toàn phương 0.3 Siêu đại số Lie toàn phương đối đồng điều Trong mục này, giới thiệu khái niệm siêu đại số Lie toàn phương, đối đồng điều siêu đại số Lie, siêu đạo hàm, siêu đạo hàm siêu phản xứng, tích super-Poisson phân bậc vận dụng vào tính tốn đối đồng điều siêu đại số Lie toàn phương 6 Chương Các lớp đại số Lie thực giải với đại số dẫn xuất số chiều đối chiều thấp tính tốn đối đồng điều Trong chương này, chúng tơi nghiên cứu tốn phân loại tính tốn đối đồng điều lớp đại số Lie thực giải với đại số dẫn xuất đối chiều thấp Trước tiên, giới thiệu kết phân loại triệt để lớp đại số Lie thực giải với ideal dẫn xuất đối chiều Sau đó, chúng tơi giới thiệu khái niệm tốn wild toán phân loại lớp đại số Lie thực giải với ideal dẫn xuất đối chiều wild, đồng thời đưa phân loại lớp lớp tính wild bị phá vỡ Ngồi ra, chúng tơi giới thiệu kết phép mô tả tất đối đồng điều lớp đại số Lie thực giải với ideal dẫn xuất chiều với hệ số trường sở đối đồng điều lớp đặc biệt đại số Lie thực giải với ideal dẫn xuất đối chiều 1, lớp đại số Lie Kim cương tổng quát Các kết chương công bố báo quốc tế: Bài đầu “Classification of real solvable Lie algebras whose simply connected Lie groups have only zero or maximal dimensional coadjoint orbits ” Tạp chí Revista de la UM năm 2016 (một trường hợp riêng Định lý 1.1), thứ hai “On the problem of classifying solvable Lie algebras having small codimensional derived algebras” Tạp chí Communications in Algebras năm 2022 (Định lý 1.1, 1.2 1.3) thứ ba “Cohomology of some families of Lie algebras and quadratic Lie algebras” Tạp chí East-West Journal of Mathematics năm 2018 7 1.1 Phân loại đại số Lie thực giải với đại số dẫn xuất đối chiều Đầu tiên ta xét đại số Lie lũy linh n chiều a, với đại số Lie Lie(n + 1, n) có đại số dẫn xuất a mở rộng a đạo hàm a Định lý 1.1 Cho đại số Lie lũy linh n chiều a bất kỳ, toán phân loại tất đại số Lie thuộc lớp Lie(n + 1, n) có đại số dẫn xuất a tương đương với toán phân loại lớp tương đương đạo hàm không gian đối đồng điều thứ a thỏa mãn điều kiện tương đương Mệnh đề 1.1.1, sai khác đồng dạng tỉ lệ Mệnh đề 1.1.1 Cho a đại số Lie lũy linh n chiều g = RY ⊕D a với D ∈ Der(a) Bằng cách đánh số lại (nếu cần), ta giả sử a1 = span{X1 , , Xm } với ≤ m < n Khi điều kiện sau tương đương nhau: g ∈ Lie(n + 1, n); g1 = a; span{Xm+1 , , Xn } ⊂ D(a) + a1 ; rank (dij )i>m = n − m, (dij )n ∈ Matn (R) ma trận biểu diễn D tương ứng với sở {X1 , , Xn }; ˜ : a/a1 → a/a1 đẳng cấu tuyến tính, D ˜ cảm sinh từ D D không gian thương a/a1 1.2 Bài toán phân loại đại số Lie thực giải với đại số dẫn xuất đối chiều Mỗi đại số Lie thuộc lớp Lie(n + 2, n) với đại số dẫn xuất h mở rộng h cặp đạo hàm Tuy nhiên, mở rộng h cặp đạo hàm thuộc lớp Lie(n + 2, n) Sau điều kiện cần đủ cặp đạo hàm để mở rộng đại số Lie thuộc lớp Lie(n + 2, n) Sử dụng điều kiện chứng minh toán phân loại Lie(n + 2, n) chứa toán phân loại cặp ma trận vuông sai khác đồng dạng yếu (xem Futorny et al [9, Theorem 1]), cụ thể ta có định lý sau Định lý 1.2 Phân loại lớp đại số Lie Lie(n + 2, n) toán wild Từ tính chất wild tốn phân loại Lie(n+2, n), xem xét trường hợp đặc biệt (xem Belitskii et al [3], Section 3) Từ nguyên nhân dẫn đến tính chất wild Định lý 1.2, cách tự nhiên ta xem xét lớp Liead (n+2, n) Lie(n+2, n) cho cặp đạo hàm mở rộng có đạo hàm Đối với lớp này, ta có kết sau Định lý 1.3 Cho đại số Lie lũy linh n chiều h, toán phân loại tất đại số Lie thuộc lớp Liead (n + 2, n) với đại số Lie dẫn xuất h tương đương với phân loại lớp tương đương đạo hàm ngồi khơng gian đối đồng điều thứ R ⊕ h thỏa mãn điều kiện tương đương Mệnh đề 1.2.1, sai khác đồng dạng tỉ lệ Mệnh đề 1.2.1 Cho h đại số Lie lũy linh n chiều g = RZ ⊕D k = RZ ⊕D (RY ⊕D0 h) có D ∈ Der(k), D(k) ⊂ h D0 ∈ Der(h) Bằng cách đánh số lại (nếu cần), ta giả sử h1 = span{X1 , , Xm } với ≤ m < n Khi đó, điều kiện sau tương đương: g ∈ Lie(n + 2, n); g1 = h; span{Xm+1 , , Xn } ⊂ D(k) + D0 (h) + h1 ; ˜ + Im D ˜ , D ˜ : k/h1 → k/h1 D ˜ : h/h1 → h/h1 tương ứng h/h1 = Im D đồng cấu cảm sinh từ D D0 đại số Lie thương k/h1 h/h1 1.3 Tính tốn đối đồng điều đại số Lie với đại số dẫn xuất thấp chiều đối chiều thấp Định lý 1.4 Số Bettti đại số Lie thuộc lớp Lie(n, 1) mô tả sau: (i) b1 (aff(R)) = 1, b2 (aff(R)) = n−1 ; ≤ k ≤ n (ii) bk (aff(R) ⊕ Rn−2 ) = k 2m 2m ; (iii) bk (h2m+1 ) = bn−k (h2m+1 ) = − k−2 k m > 1, ≤ k ≤ m n − n − + , (iv) bk (h3 ⊕ Rn−3 ) = bn−k (h3 ⊕ Rn−3 ) = k−2 k n > 3, ≤ k ≤ n (v) n−2m−1 n−2m−1 bk (h )= )= 2m+1 ⊕ R bn−k (h2m+1 ⊕ R n−1 n−1 − ; n > 2m + > 3, ≤ k ≤ m = k k−2 n−2m−1 bk (h2m+1 ⊕ Rn−2m−1 )= ) = bn−k (h 2m+1 ⊕ R n − 2m − i=0 k−i 2m 2m ; Ci = i − i i − m+1 i + m+1 − n > 2m + > 3, m + ≤ k ≤ n2 = min{k,2m+1} P Ci Xét lớp đại số Lie giải g2n+2 (Λ) C, với Λ = (λ1 , λ2 , , λn ) ∈ Cn số cho trước, có sở {X0 , , Xn , Y0 , , Yn } với tích Lie thỏa mãn [Y0 , Xi ] = λi Xi , [Y0 , Yi ] = −λi Yi , [Xi , Yi ] = λi X0 , i = 1, 2, , n, tích Lie khác khơng Để cho gọn ta viết g2n+2 thay cho g2n+2 (Λ) Với hai số nguyên dương p q, gọi α(p, q) số phần tử tập hợp ( ) p q X X λi1 , , λip , λj1 , , λjq : λil = λjl l=1 l=1 α(p, 0) = α(0, p) số phần tử tập hợp ( ) p X λi1 , , λ ip : λil = l=1 Ta qui ước α(p, q) = p < q < Khi ta có kết số Betti: 10 Định lý 1.5 Giữ nguyên kí hiệu trên, số Betti đại số Lie Kim cương mô tả sau: (i) Nếu k = 0, 1, 2n + 2n + bk (g2n+2 ) = (ii) Nếu ≤ k ≤ n bk (g2n+2 ) = X X α(p, q) + p+q=k X α(p, q) − p+q=k−1 X α(p, q) − p+q=k−2 α(p, q) p+q=k−3 (iii) Nếu k = n + X bk (g2n+2 ) = α(p, q)+2 p+q=n+1 X X α(p, q)−2 p+q=n α(p, q)−2 p+q=n−1 X α(p, q) p+q=n−2 (iv) Nếu n + ≤ k ≤ 2n bk (g2n+2 ) = X p+q=k−1 α(p, q) + X p+q=k−2 α(p, q) − X p+q=k α(p, q) − X α(p, q) p+q=k+1 Sau ta xét vài trường hợp đặc biệt để minh họa kết sau: (i) Nếu λ1 = λ2 = = λn k = 0, k = 1, n n n n − ≤ k ≤ n, k k−2 k−2 k 2 2 n n n n − bk (g2n+2 ) = k = n + 1, n+1 n+1 n−1 n−1 2 n n n n − n + ≤ k ≤ 2n, k−1 k+1 k−1 k+1 2 2 k = 2n + 1, k = 2n + (ii) Nếu λ1 = λ2 = = λn−1 = λ, λn = 2λ n−1 n−1 n−1 n−1 bk (f) = + k k k k −1 −1 2 2 n−1 n−1 + (−1)k−1 +1 (−1)k−1 −3 k k + + 2 2 Từ đó, ta thu tất số Betti g2n+2 thông qua số Betti f 11 Chương Vài lớp đại số Lie tồn phương giải tính tốn đối đồng điều Trong chương này, ta thảo luận đại số Lie toàn phương, tức đại số Lie giải trang bị thêm dạng song tuyến tính đối xứng bất biến tích Lie Trước hết, giới thiệu khái niệm mở rộng kép mở rộng T ∗ công cụ quan trọng để giải toán phân loại đại số Lie tồn phương Tiếp theo, chúng tơi giới thiệu phép mô tả không gian đạo hàm phản xứng tính tường minh số Betti lớp đại số Lie tồn phương giải có số chiều bé vừa phân loại [8] Duong Minh Thành Ushirobira năm 2014 Sau đó, số Betti thứ hai đại số Lie tồn phương kiểu Jordan tính tốn tường minh Các kết chương công bố 02 báo Bài thứ “Số Betti không gian đạo hàm phản xứng đại số Lie toàn phương giải số chiều bé 7” năm 2015 thứ hai “Số Betti thứ hai đại số Lie lũy linh kiểu Jordan” năm 2019 Cả hai đăng Tạp chí Khoa học Tự nhiên, ĐHSP TPHCM 2.1 Phân loại đạo hàm phản xứng đại số Lie tồn phương giải có số chiều ≤ Định lý 2.1 Không gian đạo hàm phản xứng số Betti thứ hai đại số Lie giải chiều mô tả theo bảng sau đây: 12 Đại số Lie toàn phương Mô tả đạo hàm phản xứng Số Betti thứ hai ⊥ g4 ⊕ C3 ⊥ g5 ⊕ C2 y z −x1 −x2 −x3 x y −b t −x1 −x2 ⊥ g6,1 ⊕ C ⊥ g6,2 ⊕ C 0 x 0 0 0 0 −z −y x1 x2 0 −x 0 0 0 −u 0 u 0 0 w v z 0 0 −x 0 0 −c 0 0 −t b −x −y x1 c −z −y1 0 x y1 0 −y2 0 u A 0 t t D = B −A −C C 0 a c y 0 x3 −w −v x2 y2 −u 11 0 b d z 0 0 0 0 0 0 D= 0 t −a −b x1 0 h −c −d x2 −t −h −y −z x3 −x1 −x2 −x3 0 0 13 Đại số Lie toàn phương Mô tả đạo hàm phản xứng Số Betti thứ hai ⊥ g6,3 ⊕ C g7,1 g7,2 g7,3 a a x 0 b y 0 0 0 0 D= 0 z −a 0 0 t −b −a −z −t −x −y −x1 −x2 −x3 0 2x b −a 0 x −c b 0 0 x 0 D= 0 e 0 −b 0 y −2x 0 d −b −x −y −d −e a c b −a 0 0 −c y 0 0 0 0 D= 0 e 0 −y 0 d −b 0 x 0 −d −x −e a c c −a 0 −c b 0 0 0 0 D = −b a 0 0 −d e b −c d −f −a c −e f 0 a −b 0 0 x1 x2 x3 −x 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2 Trong bảng trên, sở không gian vectơ C, C2 C3 sở trực chuẩn; 14 x, y, z, t, h, a, b, c, d, e, f, u, v, w, x1 , x2 , x3 , y1 , y2 số thực; A ma trận vng × có vết khơng, B ma trận × phản xứng, C = y1 y2 y3 với y1 , y2 , y3 ∈ C Trên không gian đạo hàm phản xứng đại số Lie toàn phương, sau loại bỏ đạo hàm ,chúng tơi có nhóm đối đồng điều thứ hai.Từ ta suy hệ sau Hệ 2.1.1 Đối đồng điều thứ hai tất đại số Lie toàn phương giải bất khả phân có số chiều bé cho bảng sau: Đại số Lie Nhóm đối đồng điều thứ hai tồn phương g4 {0} g5 span {[X1∗ ∧ Z1∗ − X2∗ ∧ Z2∗ ] , [X1∗ ∧ Z2∗ ] , [X2∗ ∧ Z1∗ ]} [X ∗ ∧ Z ∗ ] , [X ∗ ∧ Z ∗ ] , [X ∗ ∧ Z ∗ ] , [X ∗ ∧ Z ∗ ] , [X ∗ ∧ Z ∗ ] , 3 2 span [X ∗ ∧ Z ∗ ] , [X ∗ ∧ Z ∗ − X ∗ ∧ Z ∗ ] , [X ∗ ∧ Z ∗ − X ∗ ∧ Z ∗ ] 1 3 2 3 g6,1 g6,2(±1) span {[X1∗ ∧ Z1∗ ] , [X1∗ ∧ Z2∗ ] , [X2∗ ∧ Z1∗ ]} g6,2(λ) , λ 6= ±1 span {[X1∗ ∧ Z1∗ ]} g6,3 span {[X2∗ ∧ Z1∗ ]} g7,1 span {[2X1∗ ∧ Z1∗ + X2∗ ∧ Z2∗ + X3∗ ∧ Z3∗ ] , [X1∗ ∧ X3∗ ]} g7,2 span {[X2∗ ∧ X3∗ ] , [T ∗ ∧ Z2∗ ]} g7,3 {0} 2.2 Mô tả đối đồng điều đại số Lie toàn phương giải thấp chiều Trong mục này, chúng tơi tính tốn đối đồng điều đại số Lie toàn phương giải thấp chiều phương pháp tính tốn tích super-Poisson Định lý 2.2 Đối đồng điều đại số Lie giải bất khả phân có số chiều bé chiều mô tả sau: 15 H1 H2 H3 bk g4 X1∗ {0} X2∗ ∧ Z1∗ ∧ Z2∗ (1,0,1) g5 X1∗ , Z1∗ ∧ X2∗ , Z2∗ ∧ X1∗ , T ∗ ∧ X1∗ ∧ Z1∗ , T ∗ ∧ X1∗ ∧ Z2∗ , (2,3,3,2) X2∗ g6,1 T ∗ ∧ X2∗ ∧ Z1∗ X1∗ , X1∗ ∧ Z2∗ , X1∗ ∧ Z3∗ , X1∗ ∧ X2∗ ∧ Z1∗ , X1∗ ∧ X2∗ ∧ Z2∗ , X2∗ , X2∗ ∧ Z1∗ , X2∗ ∧ Z3∗ , X1∗ ∧ X2∗ ∧ Z3∗ , X1∗ ∧ X3∗ ∧ Z1∗ , X3∗ X3∗ ∧ Z1∗ , X3∗ ∧ Z2∗ , X1∗ ∧ X3∗ ∧ Z2∗ , X2∗ ∧ X3∗ ∧ Z1∗ , X1∗ ∧ Z1∗ − X3∗ ∧ Z3∗ , X1∗ ∧ Z2∗ ∧ Z3∗ , X2∗ ∧ Z1∗ ∧ Z3∗ , X2∗ ∧ Z2∗ − X3∗ ∧ Z3∗ X3∗ ∧ Z1∗ ∧ Z2∗ , (3,8,12,8,3) X1∗ ∧ Z1∗ ∧ Z2∗ + X3∗ ∧ Z2∗ ∧ Z3∗ , X1∗ ∧ Z1∗ ∧ Z3∗ − X2∗ ∧ Z2∗ ∧ Z3∗ , X2∗ ∧ Z1∗ ∧ Z2∗ − X3∗ ∧ Z1∗ ∧ Z3∗ g6,2 (λ) X3∗ X1∗ ∧ Z1∗ (1,1,2,1,1) X1∗ ∧ Z1∗ ∧ Z3∗ − λX2∗ ∧ Z2∗ ∧ Z3∗ (λ 6= ±1, 0) g6,2 (1) X1∗ ∧ X3∗ ∧ Z1∗ , X3∗ X1∗ ∧ Z1∗ , X1∗ ∧ Z2∗ , X1∗ ∧ X3∗ ∧ Z1∗ , X1∗ ∧ Z2∗ ∧ Z3∗ , X2∗ ∧ Z1∗ X2∗ ∧ Z1∗ ∧ Z3∗ , (1,3,4,3,1) X1∗ ∧ Z1∗ ∧ Z3∗ − X2∗ ∧ Z2∗ ∧ Z3∗ g6,2 (−1) X3∗ X1∗ ∧ Z1∗ , X1∗ ∧ X2∗ , X1∗ ∧ X3∗ ∧ Z1∗ , X1∗ ∧ X2∗ ∧ Z3∗ , Z1∗ ∧ Z2∗ Z1∗ ∧ Z2∗ ∧ Z3∗ , (1,3,4,3,1) X1∗ ∧ Z1∗ ∧ Z3∗ + X2∗ ∧ Z2∗ ∧ Z3∗ g6,3 X3∗ X1∗ ∧ Z2∗ X1∗ ∧ X3∗ ∧ Z1∗ , X1∗ ∧ Z2∗ ∧ Z3∗ , (1,1,3,1,1) X1∗ ∧ Z1∗ ∧ Z3∗ + X2∗ ∧ Z2∗ ∧ Z3∗ g7,1 X3∗ , X1∗ ∧ X3∗ , Z1∗ ∧ Z2∗ Z1∗ g7,2 X3∗ , X3∗ (2,2,3,3,2,2) X1∗ ∧ Z1∗ ∧ Z2∗ − X3∗ ∧ Z2∗ ∧ Z3∗ X2∗ ∧ X3∗ , X1∗ ∧ Z1∗ Z2∗ g7,3 Z1∗ ∧ Z2∗ ∧ Z3∗ , X1∗ ∧ X3∗ ∧ Z2∗ , T ∗ ∧ X2∗ ∧ X3∗ , T ∗ ∧ X2∗ ∧ Z2∗ , (2,2,3,3,2,2) X1∗ ∧ Z1∗ ∧ Z3∗ − T ∗ ∧ Z2∗ ∧ Z3∗ {0} X1∗ ∧ X2∗ ∧ Z3∗ , X1∗ ∧ Z1∗ ∧ Z3∗ − X2∗ ∧ Z2∗ ∧ Z3∗ − 2T ∗ ∧ Z1∗ ∧ Z2∗ (1,0,2,2,0,1) 16 2.3 Số Betti thứ hai đại số Lie toàn phương lũy linh kiểu Jordan Cho khối Jordan lũy linh Jn , khơng gian vectơ q = C2n với sở tắc {X1 , , Xn , Y1 , , Yn } Cho ánh xạ tuyến tính C : q → q với ma trận sở tắc Jn C= t −Jn Khi C ∈ o(2n) Gọi j2n = q ⊕ CX0 ⊕ CY0 mở rộng kép bước q C Xét không gian vectơ q = C2n+1 với sở tắc {X1 , , Xn , T, Y1 , , Yn } Cho ánh xạ tuyến tính C : q → q với ma trận sở tắc Jn+1 M , C= t −Jn M = (mij ) ma trận (n + 1) × n có tất số hạng không ngoại trừ mn+1,n = −1 Khi C ∈ o(2n + 1) Gọi j2n+1 = q ⊕ CX0 ⊕ CY0 mở rộng kép bước q C Định lý 2.3 Với ký hiệu trên, số Betti thứ hai tất đại số Lie toàn phương lũy linh kiểu Jordan cho công thứ sau: hni + với n ≥ hni n + 1 (ii) b2 (j3 ) = b2 (g5 ) = 3, b2 (j2n+1 ) = + + với n ≥ 2 (i) b2 (j4 ) = b2 (g6,1 ) = 8, b2 (j2n ) = n + 17 Chương Vài lớp siêu đại số Lie toàn phương giải tính tốn đối đồng điều Chương 3, chương cuối luận án Chúng lượt giới thiệu kết phân loại lớp siêu đại số Lie giải bất khả phân lớp siêu đại số Lie giải bất khả phân chiều với phần chẵn chiều (Định lý 3.1 3.2) Một phần kết hai mục công bố báo “Phân loại siêu đại số Lie toàn phương giải chiều với phần chẵn bất khả phân chiều” đăng Tạp chí Khoa học Tự nhiên, Trường ĐHSP TP.HCM năm 2016 Ngồi ra, cịn giới thiệu kết tính tốn đối đồng điều thứ thứ hai lớp siêu đại số Lie toàn phương (Định lý 3.3) Kết công bố báo “The Second Cohomology Group of Elementary Quadratic Lie Superalgebras” đăng Tạp chí quốc tế East-West Journal of Mathematics năm 2017 3.1 Phân loại siêu đại số Lie toàn phương giải chiều bất khả phân Định lý 3.1 Cho g siêu đại số Lie toàn phương giải chiều bất khả phân (i) Nếu g có phần lẻ tầm thường, g đẳng cấu đẳng cự với đại số Lie toàn phương sau: g7,1 = span {X1 , X2 , X3 , T, Z1 , Z2 , Z3 } : [X3 , X2 ] = X1 , [X3 , T ] = X2 , [X3 , Z1 ] = −Z2 , [X3 , Z2 ] = −T, [X2 , Z1 ] = [T, Z2 ] = Z3 18 g7,2 = span {X1 , X2 , X3 , T, Z1 , Z2 , Z3 } : [X3 , X1 ] = X1 , [X3 , T ] = X2 , [X3 , Z1 ] = −Z1 , [X3 , Z2 ] = −T, [X1 , Z1 ] = [T, Z2 ] = Z3 g7,3 = span {X1 , X2 , X3 , T, Z1 , Z2 , Z3 }: [X3 , X1 ] = X1 , [X3 , X2 ] = −X2 , [X3 , Z1 ] = −Z1 , [X3 , Z2 ] = Z2 , [X1 , Z1 ] = [Z2 , X2 ] = Z3 , [X1 , X2 ] = T, [X1 , T ] = −Z2 , [X2 , T ] = Z1 (ii) Nếu g có phần lẻ khơng tầm thường, g đẳng cấu đẳng cự với siêu đại số Lie tồn phương sau: gs7,1 (λ, µ) = g0 ⊕ g1 = span {X1 , X2 , T, Z1 , Z2 } ⊕ span {Y1 , T1 }: [X1 , X2 ] = T, [X1 , T ] = −Z2 , [X2 , T ] = Z1 , [X1 , T1 ] = λY1 , [X2 , T1 ] = µY1 , [T1 , T1 ] = λZ1 + µZ2 gs7,2 (λ, µ) = g0 ⊕ g1 = span {X1 , X2 , T, Z1 , Z2 } ⊕ span {Y1 , T1 }: [X1 , X2 ] = T, [X1 , T ] = −Z2 , [X2 , T ] = Z1 , [X1 , Y1 ] = λY1 , [X1 , T1 ] = −λT1 , [X2 , Y1 ] = µY1 , [X2 , T1 ] = −µT1 , [Y1 , T1 ] = λZ1 + µZ2 3.2 Phân loại siêu đại số Lie toàn phương giải chiều bất khả phân với phần chẵn chiều Kết mục phân loại siêu đại số Lie toàn phương giải chiều bất khả phân với phần chẵn chiều: Định lý 3.2 Cho g siêu đại số Lie toàn phương giải chiều với phần chẵn chiều Nếu g bất khả phân g đẳng cấu đẳng cự với siêu đại số Lie toàn phương sau đây: gs8,6,1 (λ, µ, ν) = g0 ⊕ g1 = g6,1 ⊕ span{Y1 , T1 }: [X1 , T1 ] = −λT1 , [X2 , Y1 ] = µY1 , [X2 , T1 ] = −µT1 , [X3 , Y1 ] = νY1 , [X3 , T1 ] = −νT1 , [Y1 , T1 ] = λZ1 +µZ2 +νZ3 , λ, µ, ν số phức khơng đồng thời khơng 19 gs8,6,2 (λ, µ) = g0 ⊕g1 = g6,1 ⊕span{Y1 , T1 }: [X3 , T1 ] = Y1 , [X1 , T1 ] = λY1 , [X2 , T1 ] = µY1 , [T1 , T1 ] = λZ1 + µZ2 + Z3 , λ, µ số phức gs8,6,3 (λ) = g0 ⊕ g1 = g6,2 (λ) ⊕ span{Y1 , T1 }: [X3 , T1 ] = Y1 , [T1 , T1 ] = Z3 , λ số phức khác khơng gs8,6,4 (λ, µ) = g0 ⊕ g1 = g6,2 (λ) ⊕ span{Y1 , T1 }: [X3 , Y1 ] = µY1 , [X3 , T1 ] = −µT1 , [Y1 , T1 ] = µZ3 , λ, µ số phức khác khơng 1 gs8,6,5 (λ) = g0 ⊕ g1 = g6,2 (λ) ⊕ span{Y1 , T1 }: [X3 , Y1 ] = Y1 , [X3 , T1 ] = − T1 , 2 [Z1 , T1 ] = Y1 , [Y1 , T1 ] = Z3 , [T1 , T1 ] = X1 , λ số phức khác khơng 1 gs8,6,6 (µ) = g0 ⊕ g1 = g6,2 ⊕ span{Y1 , T1 }: [X3 , Y1 ] = Y1 , [X3 , T1 ] = − T1 , 2 [Z1 , T1 ] = Y1 , [Z2 , T1 ] = Y1 , [Y1 , T1 ] = Z3 , [T1 , T1 ] = X1 + µX2 , µ số phức khác khơng gs8,6,7 = g0 ⊕ g1 = g6,3 ⊕ span{Y1 , T1 }: [X3 , T1 ] = Y1 , [T1 , T1 ] = Z3 gs8,6,8 (λ) = g0 ⊕g1 = g6,3 ⊕span{Y1 , T1 }: [X3 , Y1 ] = λY1 , [X3 , T1 ] = −λT1 , [Y1 , T1 ] = λZ3 , λ số phức khác không 1 gs8,6,9 = g0 ⊕ g1 = g6,3 ⊕ span{Y1 , T1 } : [X3 , Y1 ] = Y1 , [X3 , T1 ] = − T1 , [Z2 , T1 ] = 2 Y1 , [Y1 , T1 ] = Z3 , [T1 , T1 ] = X2 10 gs8,6,10 (λ) = g0 ⊕g1 = (g4 ⊕ C2 )⊕span{Y1 , T1 }: [X, T1 ] = λY1 , [U1 , T1 ] = Y1 , [U2 , T1 ] = iY1 , [T1 , T1 ] = λZ + U1 + iU2 , {U1 , U2 } sở C2 , λ số phức khác khơng 11 gs8,6,11 (λ, µ) = g0 ⊕ g1 = (g4 ⊕ C2 ) ⊕ span{Y1 , T1 }: [X, Y1 ] = λY1 , [X, T1 ] = −λT1 , [U1 , Y1 ] = µY1 , [U1 , T1 ] = −µT1 , [U2 , Y1 ] = iµY1 , [U2 , T1 ] = −iµT1 , [Y1 , T1 ] = λZ + µU1 + iµU2 , {U1 , U2 } sở C2 , λ, µ số phức khác khơng 12 gs8,6,12 (λ, µ) = g0 ⊕ g1 = (g5 ⊕ C) ⊕ span{Y1 , T1 }: [X1 , T1 ] = λY1 , [X2 , T1 ] = µY1 , [U, T1 ] = Y1 , [T1 , T1 ] = λZ1 + µZ2 + U, {U } sở C, λ, µ số phức khơng đồng thời khơng 20 13 gs8,6,13 (λ, µ, ν) = g0 ⊕ g1 = (g5 ⊕ C) ⊕ span{Y1 , T1 }: [X1 , Y1 ] = λY1 , [X1 , T1 ] = −λT1 , [X2 , Y1 ] = µY1 , [X2 , T1 ] = −µT1 ,[U, Y1 ] = νY1 , [U, T1 ] = −νT1 , [Y1 , T1 ] = λZ1 + µZ2 + νU, {U } sở C, λ µ số phức không đồng thời không, ν 6= 3.3 Đối đồng điều thứ thứ hai siêu đại số Lie toàn phương Trong mục này, cách áp dụng kết mối quan hệ toán tử đối bờ tích super-Poison phân bậc, chúng tơi trình bày việc mơ tả nhóm đối đồng điều thứ hai siêu đại số Lie toàn phương phân loại [7] Nhắc lại có xác siêu đại số Lie toàn phương bản: gs4,1 , gs4,2 , gs6 Định lý 3.3 Với ký hiệu trên, nhóm đối đồng điều thứ thứ hai siêu đại số Lie toàn phương xác định sau (i) H (gs4,1 , C) = span Y0∗ , Y1∗ , H (gs4,1 , C) = span Y0∗ ⊗ X1∗ , X1∗ Y1∗ − 2X0∗ ∧ Y0∗ với {X0∗ , Y0∗ , X1∗ , Y1∗ } sở đối ngẫu {X0 , Y0 , X1 , Y1 } (ii) H (gs4,2 , C) = span Y0∗ , H (gs4,2 , C) = {0} với {X0∗ , Y0∗ , X1∗ , Y1∗ } sở đối ngẫu {X0 , Y0 , X1 , Y1 } (iii) H (gs6 , C) = span Y0∗ , Z1∗ , T1∗ , n h 2 i h ∗ 2 i H (gs6 , C) = span Y0∗ ⊗ X1∗ , Y0∗ ⊗ Y1∗ , Z1∗ , T1 , X1∗ Z1∗ − X0∗ ∧ Y0∗ , Y1∗ T1∗ − X0∗ ∧ Y0∗ với {X0∗ , Y0∗ , X1∗ , Y1∗ , Z1∗ , T1∗ } sở đối ngẫu {X0 , Y0 , X1 , Y1 , Z1 , T1 } 21 DANH MỤC CÁC CƠNG TRÌNH ĐÃ CƠNG BỐ CỦA TÁC GIẢ Cao Trần Tứ Hải Dương Minh Thành (2015), “Số Betti không gian đạo hàm phản xứng đại số Lie toàn phương giải số chiều ≤ 7”, Tạp chí Khoa học Tự nhiên, Trường ĐHSP TP.HCM, số 5(70), tr 86-96 Cao Trần Tứ Hải Dương Minh Thành (2016), “Phân loại siêu đại số Lie toàn phương giải chiều với phần chẵn bất khả phân chiều”, Tạp chí Khoa học Tự nhiên, Trường ĐHSP TP.HCM, số 12 (90), tr 162-174 Cao Trần Tứ Hải Dương Minh Thành (2019), “Số Betti thứ hai đại số Lie lũy linh kiểu Jordan”, Tạp chí Khoa học Tự nhiên, Trường ĐHSP TP.HCM số 16 (16), tr 877-890 Le Anh Vu, Ha Van Hieu, Nguyen Anh Tuan, Cao Tran Tu Hai, Nguyen Thi Mong Tuyen (2016), “Classification of real solvable Lie algebras whose simply connected Lie groups have only zero or maximal dimensional coadjoint orbits”, Revista de la UMA, Vol 57, no 2, 119-143 Cao Tran Tu Hai, Duong Minh Thanh and Le Anh Vu (2017), “The Second Cohomology Group of Elementary Quadratic Lie Superalgebras”, East-West Journal of Mathematics, Vol 19 , no 1, 32-42 Cao Tran Tu Hai, Duong Minh Thanh and Le Anh Vu (2018), “Cohomology of some families of Lie algebras and quadratic Lie algebras”, East-West Journal of Mathematics, Vol 20, no 2, 188-201 Le Anh Vu, Cao Tran Tu Hai, Duong Quang Hoa, Nguyen Anh Tuan, Vo Ngoc Thieu (2022), “On the problem of classifying solvable Lie algebras having small codimensional derived algebras”, Communications in Algebras, Vol 50, no 9, 3775–3793 22 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] W Bai, W Liu (2017), “Cohomology of Heisenberg Lie Superalgebras”, J of Math Physics 58 021701 [2] I Bajo, S Benayadi, and M Bordemann (2007), “Generalized double extension and descriptions of quadratic Lie superalgebras”, arXiv:0712.0228v1 [3] G R Belitskii, R Lipyanski, V V Sergeichuk, “Problems of classifying associative or Lie algebras and triples of symmetric or skew-symmetric matrices are wild”, Linear Algebra Appl 407 (2005) 249–262 [4] M Bordemann (1997), “Nondegenerate invariant bilinear forms on nonassociative algebras”, Acta Math Univ Comenianac LXVI, no 2, 151 – 201 [5] P Donovan, M R Freislich (1973), The representation theory of finite graphs and associated algebras,Carleton Lecture Notes 5, Ottawa [6] M T Duong (2014), “The Betti number for a family of solvable Lie algebras”, Bulletin of the Malaysian Mathematical Sciences Society, 40, Issue 2, 735–746 [7] M T Duong and R.Ushirobira (2014), “Singular quadratic Lie superalgebras”, J of Algebra 407, 372–412 [8] M T Duong and R.Ushirobira (2014), “Solvable quadratic Lie algebras of dimension ≤ 8”, arXiv:1407.6775v1 [9] V Futorny, T Klymchuk, A P Petravchuk, V V Sergeichuk (2018), “Wildness of the problems of classifying two-dimensional spaces of commuting linear operators and certain Lie algebras”, Linear Algebra Appl 536 201–209 [10] F R Gantmacher (1939), “On the classification of real simple Lie groups”, Sb Math., (2), 217–250 23 [11] N Jacobson (1944), “Schur’s Theorem on commutative matrices”,Bull Amer Math Soc 50 (6) 431–436 [12] Malcev A I (1945), “On solvable Lie algebras”, Izv Ross Akad Nauk Ser Mat., (5), 329–356 [13] G M Mubarakzyanov (1963), “On solvable Lie algebras”, Izv Vyssh Uchebn Zaved Mat 114–123 [14] G M Mubarakzyanov (1963), “Classification of real structures of Lie algebras of fifth order”, Izv Vyssh Uchebn Zaved Mat 99–106 [15] Mubarakzyanov, G M (1963), “Classification of solvable Lie algebras of sixth order with a non-nilpotent basis element”, Izv Vyssh Uchebn Zaved Mat 4:104– 116 [16] T D Pham, M T Duong, A V Le (2012), “Solvable quadratic Lie algebras in low dimensions”, East-West J of Math 14 (2) 208-218 [17] G Pinczon and R Ushirobira (2007), "New applications of graded Lie algebras to Lie algebras, generalized Lie algebras and Cohomology", J Lie Theory 17 (3), 633 – 668 [18] H Pouseele (2005), “On the cohomology of extensions by a Heisenberg Lie algebra”, Bull Austral.Math Soc 71, 459-470 [19] L J Santharoubane (1983), “Cohomology of Heisenberg Lie algebras”, Proc Amer Math Soc 87, 23-28 [20] E J Cartan (1894), Sur la structure des groupes de transformations finis et continus, Ph.D Thesis, Nony, Paris [21] E E Levi (1905), “Sulla struttura dei gruppi finiti e continui”, Atti Accad Sci Torino Cl Sci Fis Mat Natur., 40, 551–565
Ngày đăng: 25/06/2023, 13:28
Xem thêm: