ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HOÀNG THỊ XUÂN THẾ VỊ LOGARIT CÓ TRỌNG VÀ ỨNG DỤNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN 2020 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HOÀNG THỊ XUÂN THẾ V[.]
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HOÀNG THỊ XUÂN THẾ VỊ LOGARIT CÓ TRỌNG VÀ ỨNG DỤNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - 2020 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HOÀNG THỊ XUÂN THẾ VỊ LOGARIT CÓ TRỌNG VÀ ỨNG DỤNG Chun ngành: Tốn giải tích Mã số: 8460102 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Cán hướng dẫn khoa học: GS.TSKH Nguyễn Quang Diệu Thái Nguyên - 2020 LỜI CAM ĐOAN Tơi xin cam đoan cơng trình nghiên cứu riêng tôi, kết nghiên cứu trung thực chưa cơng bố cơng trình khác Thái Ngun, ngày 29 tháng năm 2020 Tác giả luận văn Hoàng Thị Xuân ii LỜI CẢM ƠN Trước hết, em xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành sâu sắc tới Thầy hướng dẫn, GS.TSKH Nguyễn Quang Diệu Em vô biết ơn giúp đỡ tận tình, quý báu mà Thầy dành cho em suốt q trình thực khóa luận Nhờ ý tưởng mà Thầy gợi ý, tài liệu bổ ích mà Thầy cung cấp với hướng dẫn, bảo nhiệt tình Thầy cơng việc nghiên cứu, em hồn thành luận văn Em xin chân thành cảm ơn Thầy Cơ khoa Tốn trường Đại học Sư phạm Thái Nguyên, thời gian qua tạo cho chúng em môi trường học tập thuận lợi thường xuyên có lời động viên, nhắc nhở giúp chúng em thực tốt cơng việc làm khóa luận Em xin chân thành cảm ơn! Thái Nguyên, tháng năm 2020 Người thực Hoàng Thị Xuân iii Mục lục Trang bìa phụ Lời cam đoan ii Lời cảm ơn iii Mục lục iv MỞ ĐẦU I Một số kiến thức sở 1.1.Hàm điều hòa C 1.2.Năng lượng logarit lượng có trọng I Thế vị logarit có trọng 2.1.Thế vị có trọng C 9 2.2.Bất dẳng thức Bernstein-Walsh tính chất Bernstein-Markov 21 KẾT LUẬN 37 TÀI LIỆU THAM KHẢO 38 iv MỞ ĐẦU Thế vị logarit độ đo µ xác định tập K ⊂ C định nghĩa Pµ (y) := Z log K dµ(x) |x − y| Thế vị dùng để xác định lượng logarit µ từ giúp ta định nghĩa dung lượng logarit K Đây khái niệm cổ điển người ta tìm hiểu từ lâu Trong cơng trình gần Thomas Bloom, Norman Levenberg, Vilmos Totik and Franck Wielonsky, người ta nghiên cứu khái niệm vị logarit suy rộng, lượng logarit suy rộng ứng dụng Sự "suy rộng" thể xuất hàm trọng ω cơng thức Z dµ(x), log Pµ,ω (y) := |x − y|ω(x) K với ω > hàm trọng liên tục xác định K Mục đích đề tài trình bày lại cách hệ thống tính chất vị logarit có trọng, đặc biệt ứng dụng vào nghiên cứu bất đẳng thức Bernstein - Walsh Bernstein - Markov vào đánh giá chuẩn đa thức biến thông qua hàm cực trị có trọng Đề tài trình bày lại số kết báo [2] Thomas Bloom, Norman Levenberg, Vilmos Totik and Franck Wielonsky Nội dung tính chất vị logarit có trọng với ứng dụng vào vấn đề xấp xỉ đa thức đánh giá độ tăng đa thức Chúng dự kiến đạt số kết điều kiện đủ để độ đo thỏa mãn tính chất Bernstein - Markov điều kiện tập compact K với trọng ω để vị logarit có trọng Pµ,ω < ∞ với độ đo xác xuất µ K Các kết dùng để đặc trưng tập cực C Chương Một số kiến thức sở Ta trình bày tóm tắt số kiến thức chuẩn bị dùng sau Những kiến thức lấy tài liệu [1] 1.1 Hàm điều hòa C Định nghĩa 1.1.1 Giả sử X không gian tôpô Hàm u : X → [−∞, +∞) gọi nửa liên tục trên X với α ∈ R tập Xα = {x ∈ X : u(x) < α} mở X Hàm v : X → [−∞, +∞) gọi nửa liên tục X −v nửa liên tục trên X Chúng ta dễ thấy định nghĩa tương đương với định nghĩa mang tính địa phương sau Giả sử u : X → (−∞, +∞] Ta nói hàm u nửa liên tục x0 ∈ X ∀ε > tồn lân cận Ux0 x0 X cho ∀x ∈ Ux0 ta có: u(x) < u(x0 ) + ε u(x0 ) 6= −∞ u(x) < − u(x0 ) 6= −∞ ε Hàm u gọi nửa liên tục X u nửa liên tục x0 ∈ X Mặt khác ta cho định nghĩa sau Giả sử E ⊂ X u : E → [−∞, +∞) hàm E Giả sử x0 ∈ E Ta định nghĩa lim sup u(x) = inf{sup{u(y) : y ∈ V }} x→x0 , x∈E inf lấy V chạy qua lân cận x0 Khi thấy hàm u : E → [−∞, +∞) nửa liên tục x0 ∈ X lim sup u(x) ≤ u(x0 ) x→x0 Ta có kết sau Định lý 1.1.2 Giả sử u hàm nửa liên tục trên không gian tôpô X K ⋐ X tập compact Khi u đạt cực đại K Chứng minh Các tập {x ∈ X : u(x) < n} với n ≥ tạo nên phủ mở K Do có phủ hữu hạn phủ K Vậy u bị chặn trên K Giả sử M = sup{u(x) : x ∈ K} Khi tập mở {x ∈ X : u(x) < M − n1 } phủ K Vậy có x0 ∈ K cho u(x0 ) ≥ M − n với n Vậy u(x0 ) = M , định lý chứng minh Tiếp theo ta cần định lý xấp xỉ sau hàm nửa liên tục Định lý 1.1.3 Giả sử u hàm nửa liên tục bị chặn trên không gian metric (X, d) Khi tồn dãy giảm hàm liên tục Φn : X → R với lim Φn (x) = u(x), ∀x ∈ X n→∞ Định nghĩa 1.1.4 Giả sử Ω tập mở C Hàm u : Ω → [−∞, +∞) gọi điều hòa Ω nửa liên tục trên Ω, u 6≡ −∞ bất thành phần liên thông Ω thỏa mãn bất đẳng thức trung bình Ω, nghĩa với w ∈ Ω tồn ̺ > cho o ≤ r < ̺ ta có u(w) ≤ 2π Z 2π u(w + reit )dt Ta kí hiệu tập hàm điều hòa Ω SH(Ω) Sau ví dụ đáng ý hàm điều hịa (1.1) Mệnh đề 1.1.5 Nếu f : Ω → C hàm chỉnh hình Ω log |f | hàm điều hòa Mệnh đề 1.1.6 Giả sử u, v hàm điều hòa tập mở Ω C Khi đó: (i) max(u, v) hàm điều hòa Ω (ii) Tập hàm điều hịa Ω nón, nghĩa u, v ∈ SH(Ω) α, β > αu + βv thuộc SH(Ω) Bây ta đến nguyên lí cực đại hàm điều hịa nói giá trị cực đại hàm đa điều hòa tập mở đạt biên tập mở Định lý 1.1.7 Giả sử u hàm điều hòa miền bị chặn Ω C Khi đó: (i) Nếu u đạt cực đại tồn thể điểm Ω u số Ω (ii) Nếu lim supz→ζ u(z) ≤ ζ ∈ ∂Ω u ≤ Ω Kết sau cho điều kiện hàm lớp C điều hòa Định lý 1.1.8 Giả sử u ∈ C (Ω) Khi u điều hịa Ω △u ≥ Ω, ∂ 2u ∂ 2u △u = + ∂x ∂y Laplace u Kết sau có lợi cần dán hai hàm điều hòa ta hàm điều hòa z1 − z2 z1 ,z2 ∈K, z1 6=z2 khơng cực, tồn ν ∈ M(K) với E Q (ν) < ∞ Chứng minh Cho D := {(z, z) : z ∈ K} Định nghĩa f (z ) − f (z ) φ(z1 , z2 ) := ; z1 − z2 15 liên tục (K × K)\D Thác triển φ D định nghĩa