Luận án tiến sĩ xây dựng và khảo sát mô hình khối lượng neutrino với đối xứng vị a4 bằng phương pháp nhiễu loạn

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO VIỆN HÀN LÂM KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM HỌC VIỆN KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ - PHÍ QUANG VĂN XÂY DỰNG VÀ KHẢO SÁT MƠ HÌNH KHỐI LƯỢNG NEUTRINO VỚI ĐỐI XỨNG VỊ A4 BẰNG PHƯƠNG PHÁP NHIỄU LOẠN LUẬN ÁN TIẾN SỸ VẬT LÝ HÀ NỘI – 2017 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO VIỆN HÀN LÂM KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM HỌC VIỆN KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ - PHÍ QUANG VĂN XÂY DỰNG VÀ KHẢO SÁT MƠ HÌNH KHỐI LƯỢNG NEUTRINO VỚI ĐỐI XỨNG VỊ A4 BẰNG PHƯƠNG PHÁP NHIỄU LOẠN LUẬN ÁN TIẾN SỸ VẬT LÝ Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết vật lý toán Mã số: 62 44 01 03 Người hướng dẫn khoa học: PGS TS Nguyễn Anh Kỳ Hà Nội – 2017 Lời cảm ơn Lời xin gửi lời cảm ơn chân thành, sâu sắc tới thầy Nguyễn Anh Kỳ, người tận tình hướng dẫn, định hướng, dìu dắt, giúp đỡ đường nghiên cứu khoa học tác phong làm việc nghiêm túc mệt mỏi Thầy thời gian hướng dẫn tơi làm nghiên cứu sinh hồn thành luận án tiến sĩ Luận án khơng thể hồn thành thiếu giúp đỡ nhiệt thành phong cách làm việc chuyên nghiệp TS Nguyễn Thị Hồng Vân, TS Đinh Nguyên Dinh việc trao đổi, chia sẻ kinh nghiệm, buổi sinh hoạt nhóm, thảo luận chun mơn dài bất tận, nói tơi học nhiều điều từ đây, với nhận tơi xin gửi lời cảm ơn chân thành tới họ Môi trường điều kiện học tập, nghiên cứu tốt sở đào tạo góp phần khơng nhỏ việc hình thành kỹ làm việc kết nghiên cứu luận án Qua xin gửi lời cảm ơn đến nơi đào tạo, nghiên cứu Viện Vật lý Học viên Khoa học Công nghệ, Viện Hàn lâm Khoa học Công nghệ Việt Nam Nhân đây, muốn gửi lời cảm ơn tới Ban Giám hiệu Trường Đại học Kỹ thuật - Hậu cần CAND đồng nghiệp nơi công tác giúp đỡ, động viên, hỗ trợ tạo nhiều điều kiện tốt công tác cho thời gian làm nghiên cứu sinh hoàn thành luận án Tơi gửi lời cảm ơn đến chương trình học bổng thuộc Đề án 911, Quỹ phát triển khoa học công nghệ Quốc gia (Nafosted) theo đề tài số 103.03-2012.49 quỹ học bổng Odon Vallet thuộc Tổ chức Gặp gỡ Việt Nam hỗ trợ phần kinh phí cho tơi thời gian làm nghiên cứu sinh Và hết, tơi xin bày tỏ lịng biết ơn tới bố mẹ, gia đình nhỏ, anh chị bạn bè người ủng hộ, động viên mặt để tơi vững tin hồn thành luận án Hà Nội, Mùa Thu 2016 i Lời cam đoan Tôi xin cam đoan kết luận án "Xây dựng khảo sát mơ hình khối lượng neutrino với đối xứng vị A4 phương pháp nhiễu loạn" kết nghiên cứu thân hướng dẫn thầy hướng dẫn hợp tác nhóm nghiên cứu Kết luận án kết không trùng lặp với kết luận án cơng trình có Hà Nội, 26-09-2016 ii Mục lục Lời cảm ơn i Lời cam đoan ii Danh sách hình vẽ iv Danh sách bảng vi Mở đầu Mơ hình chuẩn vấn đề khối lượng neutrino 11 1.1 Mơ hình chuẩn 11 1.1.1 Cấu trúc gauge mơ hình chuẩn 12 1.1.2 Phá vỡ đối xứng tự phát Cơ chế Higgs 14 1.1.3 Tương tác Yukawa khối lượng fermion 16 1.1.4 Các dòng tương tác điện yếu 18 1.2 Khối lượng chuyển hoá neutrino 20 1.2.1 Số hạng khối lượng Dirac Majorana 20 1.2.2 Ma trận trộn 23 1.2.3 Cơ chế cầu bập bênh 25 1.2.4 Chuyển hoá neutrino 31 1.2.5 Khối lượng neutrino số mở rộng mơ hình chuẩn 36 (1) Khối lượng chuyển hố neutrino mơ hình A4 2.1 Biểu diễn nhóm A4 mơ hình A4 (1) 2.2 Mơ hình chuẩn mở rộng A4 44 45 48 2.3 Phần vô hướng 49 2.4 Phần lepton 53 2.5 Khối lượng trộn neutrino 56 2.6 Pha Dirac vi phạm CP tham số Jarlskog 62 iii MỤC LỤC MỤC LỤC (10) Khối lượng chuyển hố neutrino mơ hình A4 (10) 3.1 Mơ hình chuẩn mở rộng A4 68 68 3.2 Phần vô hướng 70 3.3 Phần lepton 73 3.4 Khối lượng chuyển hoá neutrino 77 3.5 Nhận xét so sánh sơ lược hai mơ hình 87 Kết luận 89 Danh mục cơng trình cơng bố 91 A Chéo hố ma trận khối lượng neutrino 92 B Biểu diễn nhóm A4 95 C Biểu thức khai triển nhiễu loạn 101 Tài liệu tham khảo 105 iv Danh sách hình vẽ Nguồn neutrino mặt trời [13] Nguồn neutrino khí (do tia vũ trụ bắn phá hạt nhân bầu khí quyển) [13] 1.1 Đồ thị mô tả dạng Higgs [97] 15 1.2 Góc trộn neutrino biểu diễn theo góc Euler liên hệ gữa sở trạng thái riêng trạng thái khối lượng [109] 1.3 Cơ chế cầu bập bênh 25 26 1.4 Khối lượng neutrino hiệu dụng 28 1.5 Cơ chế seesaw I, III (hình trái), seesaw II (hình phải) 28 1.6 Cơ chế seesaw I 28 1.7 Cơ chế seesaw II 29 1.8 Cơ chế seesaw III 30 1.9 Các hướng để xây dựng mơ hình vật lý nghiên cứu neutrino 37 2.1 Trường thành phần mơ hình chuẩn với đối xứng vị A4 × ZN [109] 48 2.2 Phân bố δCP trường hợp NO 63 2.3 Sự phụ thuộc δCP theo sin2 θ13 trường hợp NO 64 2.4 Phân bố δCP trường hợp IO 64 2.5 Sự phụ thuộc δCP theo sin2 θ13 trường hợp IO 64 2.6 Phân bố JCP trường hợp NO IO 66 3.1 Neutrino hiệu dụng chế see-saw I 69 3.2 Cơ chế see-saw I với đối xứng vị A4 69 3.3 Khối lượng hiệu dụng |hmee i| hàm khối lượng neutrino; đồ thị (hình trái) thu (3.72) với θij ∈ 3σ δ, α21 , α31 ∈ [0, 2π], đồ thị (hình phải) từ [6] v 82 DANH SÁCH HÌNH VẼ DANH SÁCH HÌNH VẼ 3.4 JCP hàm θ13 (hình trái) hàm δCP (hình phải) với góc trộn θij ∈ 3σ pha δCP ∈ [0, 2π] 83 phân biệt tương ứng với màu đỏ xanh 84 3.5 Phân bố δCP NO (hình trái) IO (hình phải) với nghiệm 3.6 Sự liên hệ δCP θ13 NO (hình trái) IO (hình phải), vùng 1σ, 2σ and 3σ tương ứng với màu đỏ, xanh xanh da trời 85 3.7 Phân bố JCP NO IO 85 3.8 JCP hàm θ13 NO (hình trái) IO (phải phải) 86 B.1 A4 nhóm đối xứng hình tứ diện 95 vi Danh sách bảng 1.1 Một số nhóm gián đoạn sử dụng việc mở rộng mơ hình chuẩn 42 2.1 Các phiên mô hình chuẩn mở rộng với đối xứng vị A4 47 2.2 Các trường lepton vơ hướng với nhóm biến đổi A4 , Z3 , Z4 49 2.3 Dữ liệu thực nghiệm trường hợp NO IO [6, 7] 61 2.4 Giá trị trung bình δCP |JCP | trường hợp NO IO (1) mơ hình A4 66 (10) 69 3.2 Thang khối lượng mơ hình 76 3.1 Mơ hình chuẩn mở rộng với đối xứng vị A4 3.3 Giá trị trung bình δCP |JCP | trường hợp NO IO (10) mơ hình A4 86 B.1 Lớp liên hợp A4 96 Mở đầu Giới thiệu neutrino Neutrino hạt fermion có spin 1/2, trung hồ điện có khối lượng nhỏ Nó hạt đặt biệt khó ghi nhận tương tác yếu với vật chất, tương tác thông qua lực yếu hấp dẫn, lại loại hạt có nhiều vũ trụ Neutrino có loại: neutrino electron (νe ), neutrino muon (νµ ) neutrino tau (ντ ), mật độ trung bình neutrino vũ trụ nν ≈ 336 cm−3 , thiên hà mật độ lớn phản ứng hạt nhân Neutrino nguyên thuỷ tạo từ khoảng 13 tỉ năm trước, thời kỳ đầu sau Vụ nổ lớn (bigbang), thời kỳ vũ trụ nóng, đậm đặc bao gồm hạt neutrino Nó sinh từ nhiều nguồn như: mặt trời, khí trái đất, lị phản ứng hạt nhân, supernova, bigbang [1–5] Kể từ phát hiện, neutrino đóng vai trị quan trọng vật lý hạt bản, vật lý thiên văn, vũ trụ học, mảnh ghép trọng yếu nhận thức vật chất vũ trụ Do tính chất đặc biệt hiểu biết cịn hạn chế nên vấn đề vật lý neutrino đối tượng liên quan chủ đề quan tâm cần phải giải Hiện biết neutrino hạt có khối lượng nhỏ, chưa biết khối lượng xác chúng Năm 1967, ba nhà vật lý Sheldon Glashow, Abdus Salam Steven Weinberg đề xuất lý thuyết điện yếu Lý thuyết mô tả tương tác điện từ, yếu hạt bản, kể đến tương tác mạnh (cũng phát triển thời gian này), gọi mơ hình chuẩn (MHC), lý thuyết gauge đối xứng SU (3)C × SU (2)L × U (1)Y Mơ hình chuẩn đem lại thành cơng lớn vật lý hạt bản: tiên đoán tồn boson W ± , Z, dịng trung hồ, quark t c Tuy nhiên, thành cơng MHC cịn hạn chế chưa thể giải như: không thống tương tác hấp dẫn, khơng giải thích tồn (10) Khối lượng chuyển hoá neutrino KL CH neutrino A4 vùng xung quanh best fit 1σ, 2σ, 3σ, biểu diễn bảng 2.3 Các phân bố cho best fit δ¯N O = 4.417 ≈ 1.41π (với NO) δ¯IO = 4.616 ≈ 1.47π (với IO) mà chúng gần với giá trị δ = δN O ≡ 1.39π δ = δIO ≡ 1.31π [6, 7] Hình 3.6: Sự liên hệ δCP θ13 NO (hình trái) IO (hình phải), vùng 1σ, 2σ and 3σ tương ứng với màu đỏ, xanh xanh da trời Từ (3.76) (3.77), phân bố JCP trường hợp NO IO mơ tả hình 3.7 phụ thuộc JCP vào θ13 3.8 cho thấy giá trị best fit JCP thu quanh giá trị 0.032 (với NO) and 0.034 (với IO) gần với giá trị [6] Hình 3.7: Phân bố JCP NO IO 85 (10) Khối lượng chuyển hoá neutrino KL CH neutrino A4 Hình 3.8: JCP hàm θ13 NO (hình trái) IO (phải phải) Để tiện theo dõi kết tính tốn mơ hình, tổng kết kết bảng 3.3 [93] Phân bậc khối lượng thuận neutrino Phân bậc khối lượng ngược neutrino δCP /π 1.41 1.47 |JCP | 0.032 0.034 Bảng 3.3: Giá trị trung bình δCP |JCP | trường hợp NO IO mơ hình (10) A4 Kết luận đánh giá kết mơ hình (10) Mơ hình đối xứng vị A4 xuất phát từ ý tưởng thiết kế mơ hình khối lượng neutrino, gồm loại trường lepton tích, neutirno vơ hướng mà loại có số trường thành phần với số biểu diễn bất khả quy đối xứng A4 Khối lượng neutrino mơ hình sinh tổng đóng góp q trình seesaw từ trường neutrino vô hướng thành phần Sử dụng phương pháp nhiễu loạn với chênh lệch nhỏ số tương tác Yukawa VEV trường vô hướng đơn tuyến nhóm A4 , chúng tơi thu khối lượng neutrino ma trận U˜ Từ đây, đánh giá phụ thuộc khối lượng hiệu dung |hmee i| vào khối lượng neutrino m0 , phụ thuộc θ13 , δCP vào tham số JCP , biểu diễn đồ thị hình 3.3 3.4, kết phù hợp với đánh giá từ thực nghiệm Ngoài ra, chúng tơi tiến hành tính tốn trường hợp đặc biệt (y = z = ma trận UP M N S (3.72)) thu biểu thức giải tích (3.80) liên hệ góc trộn θij δCP Từ biểu thức liên hệ sử dụng liệu thực 86 (10) Nhận xét so sánh sơ lược hai mơ hình KL CH neutrino A4 nghiệm θij , mô tả phân bố δCP , JCP theo hình 3.5, 3.7, phục thuộc δCP , JCP vào θ13 hình 3.6, 3.8 trường hợp NO IO Từ đồ thị xác định giá trị trung bình δCP JCP hai trường hợp NO IO, biểu diễn bảng 3.3, giá trị gần với liệu thực nghiệm [6, 7] Điều khẳng định thêm độ tin cậy phương pháp tính tốn mơ hình xây dựng 3.5 Nhận xét so sánh sơ lược hai mơ hình Từ kết nghiên cứu trên, nhận thấy hai mơ hình có khác biệt mơ hình có ưu riêng, nhiên thiếu sót bỏ qua việc so sánh giống khác hai mơ hình (1) (10) Hai mơ hình A4 A4 có giống mở rộng mơ hình chuẩn với đối xứng vị A4 , có khác thành phần trường mơ hình khác nhau, từ dẫn tới cấu trúc tương tác có đóng góp khác vào khối lượng neutrino Hai mơ hình xây dựng theo hai sở biểu diễn khác (1) đối xứng A4 : Các biểu diễn mơ hình A4 theo sở Altarelli-Feruglio, (10) có vi tử T chéo S khơng chéo, biểu diễn A4 theo sở Ma(10) Rajasekaran có vi tử S chéo T khơng chéo So với mơ hình A4 mơ (1) hình A4 cần áp đặt thêm đối xứng Z3 × Z4 để không phá vỡ cấu trúc mô hình chuẩn loại số hạng tương tác khơng mong muốn Trong hai mơ hình, nguồn gốc khối lượng trộn neutrino giải thích theo chế cầu bập bênh (seesaw) xử lý phương pháp nhiễu loạn Nhưng (1) mơ hình lại có đặc trưng riêng Trong mơ hình A4 khối lượng trộn neutrino tìm kết nhiễu loạn trung bình chân khơng (u1 , u2 , u3 ) (10) trường vô hướng φN , cịn mơ hình A4 chúng tìm từ trình nhiễu loạn hệ số tương tác Yukawa trường neutrino tương tác với trường vô hướng kết hợp với nhiễu loạn trung bình chân khơng trường vơ hướng đơn tuyến A4 Một điểm khác biệt đáng ý khác hai mơ hình chế seesaw áp dụng (1) mơ hình A4 giống chế seesaw ngun thuỷ (seesaw-I) đưa vào neutrino phân cực phải (đơn tuyến SU (2)L ) có cấu trúc tam (10) tuyến A4 , cịn seesaw áp dụng mơ hình A4 tổng tồn trình seesaw tương ứng với trường neutrino phân cực phải (có cấu trúc gồm tam 87 Nhận xét so sánh sơ lược hai mô hình (10) KL CH neutrino A4 tuyến đơn tuyến tương ứng với tất biểu diễn bất khả quy nhóm A4 ) Ở trình seesaw thơng thường coi trình hiệu dụng từ trình thành phần ứng với biểu diễn bất khả quy khác A4 Hai mơ hình mở rộng khơng mâu thuẫn với mơ hình chuẩn giới hạn kết tính tốn khối lượng trộn neutrino phù hợp với liệu thực nghiệm Từng mơ hình có ưu điểm riêng mình, để khẳng định mơ hình mơ hình vật lý thực cần triển khai nhiều nghiên cứu lý thuyết thực nghiệm đặc biệt nghiên cứu q trình ngồi phạm vị vật lý neutrino 88 Kết luận Kết luận án đạt được: (1) (10) Đề xuất hai mơ hình, ký hiệu A4 A4 , cách mở rộng mơ hình chuẩn với nhóm đối xứng vị A4 , để khảo sát khối lượng chuyển hoá neutrino Hai mơ hình xây dựng cách điển hình tự nhiên có số trường lepton vô hướng số biểu diễn bất khả quy nhóm A4 Sử dụng phương pháp nhiễu loạn để xây dựng khảo sát hai mơ hình, bao gồm xác định ma trận trộn neutrino U nhiễu loạn quanh ma trận trộn kiểu TBM UT BM , ln cơng việc khó khăn nói chung mơ hình xây dựng từ trước tới Sự khác áp dụng phương pháp (1) nhiễu loạn với hai mơ hình mơ hình A4 nhiễu loạn thực (10) VEV trường vơ hướng, cịn A4 nhiễu loạn thực hệ số tương tác Yukawa Đánh giá cấu trúc trung bình chân khơng (VEV) trường vô hướng hệ số tương tác hai mô hình ảnh hưởng chúng tới khối lượng neutrino, khảo sát giới hạn nhiễu loạn tính tốn khối lượng neutrino Đây thành công chúng tơi phạm vi hai mơ hình này, phần lớn mơ hình A4 khác thường áp đặt điều kiện lên VEV vô hướng tùy tiện chọn VEV cách tự khơng có nguồn gốc nên kết (khối lượng tính chất neutrino) dựa vào khơng có sở vật lý vững Tìm hai mơ hình biểu thức giải tích liên hệ góc trộn pha Dirac δCP , từ đây, mô tả phân bố (bằng đồ thị) δCP JCP dựa liệu thực nghiệm góc trộn Các phân bố cho thấy giá trị trung bình δCP JCP gần với kết thực nghiệm Ngoài ra, kết tính tốn số phù hợp tốt với liệu thực nghiệm Ví dụ, góc trộn 89 Kết luận pha Dirac (sin θ13 ≈ 9, 03◦ , δCP ≈ 1, 39π) khối lượng neutrino (mi < 0.2eV ) (1) xác định mơ hình A4 sát với đánh giá thực nghiệm Ngoài ra, trình nghiên cứu nghiên cứu sinh lĩnh hội tích luỹ kiến thức lý thuyết trường lượng tử, hạt bản, lý thuyết nhóm kỹ tính tốn xử lý số Đây công cụ thiếu việc nghiên cứu vật lý lượng cao, vật lý lý thuyết vật lý tốn, phục vụ lâu dài cho công tác nghiên cứu giảng dạy nghiên cứu sinh Kết nghiên cứu luận án phù hợp với thực nghiệm, định hướng để mở rộng nghiên cứu sau: i Áp dụng nhiễu loạn bậc cao để nâng độ xác kết lý thuyết tham chiếu số liệu thực nghiệm (thường có độ xác ngày cao) ii Mở rộng nghiên cứu phần quark để đánh giá tồn diện mơ hình xây dựng Tiến hành khảo sát khối lượng trường vô hướng mơ hình nghiên cứu iii Các mơ hình luận án có cấu trúc trường phong phú (chứa nhiều trường so với mơ hình chuẩn), nên triển khai nghiên cứu theo hướng nghiên cứu vật chất tối neutrino trơ/lạ thang khác nhau, bao gồm thang lượng thấp, số hướng khác vật lý hạt vũ trụ học mà mơ hình chuẩn chưa giải iv Hai mơ hình đề xuất nói cho kết phù hợp với thực nghiệm Tuy nhiên, câu hỏi đặt mơ hình hai mơ hình mơ hình vật lý thật bỏ ngỏ đòi hỏi khảo sát sâu 90 Danh mục cơng trình cơng bố Nguyen Anh Ky, Phi Quang Văn and Nguyen Thi Hong Vân, “A neutrino mixing model based on an A4 × Z3 × Z4 flavour symmetry”, Phys Rev D 94, no 9, 095009 (2016), arXiv:1610.00304 [hep-ph] Dinh Nguyen Dinh, Nguyen Anh Ky, Phi Quang Văn and Nguyen Thi Hong Vân, “A see-saw scenario of an A4 flavour symmetric standard model”, arXiv:1602.07437 [hep-ph] Phi Quang Van and Nguyen Thi Hong Van, “On the CP violation phase in a neutrino mixing model with an A4 flavor symmetry” Communications in Physics, vol 26, (2016), pp 1-9 Dinh Nguyen Dinh, Nguyen Anh Ky, Phi Quang Van and Nguyen Thi Hong Van, “A prediction of δCP for a normal neutrino mass hierarchy in an extended standard model with an A4 flavour symmetry”, J Phys Conf Ser 627, no 1, 012003 (2015) Dinh Nguyen Dinh, Nguyen Anh Ky, Nguyen Thi Hong Vân and Phi Quang Văn, “Model of neutrino effective masses”, Phys Rev D 74, 077701 (2006) Các kết luận án dựa công bố tác giả từ đến 91 Phụ lục A Chéo hoá ma trận khối lượng neutrino Xét ma trận phức M n × n Ta thấy M M † ma trận phức có trị riêng dương [3] (A.1) M M † |ψi i = Xi |ψi i, Xi = hψi |M M † |ψi i = X j |hψi |M |ψj i| > 0, i, j = 1, 2, , n (A.2) Giả sử đặt Xi = m2i Ta có M M † = U m2 U † , (A.3) đó, U ma trận unitary m2ij = m2i δij Ma trận M viết dạng M = U mV † , m = √ (A.4) m2 giả thiết tất trị riêng M M † khác khơng, ta có V † = m−1 U † M, (A.5) ma trận V ma trận unitary Từ (A.5) ta có V = M † U m−1 92 (A.6) Phụ lục A Chéo hoá ma trận khối lượng neutrino Từ (A.1), (A.5) (A.6) ta có V † V = m−1 U † M M † U m−1 = m−1 U † U m2 U † U m−1 = (A.7) Chúng ta thấy ma trận phức khơng tầm thường M n × n chéo hố phép biến đổi bi-unitary (A.4) Phương trình (A.4) dùng để chéo hoá ma trận khối lượng quark, lepton neutrino Bây chéo hoá ma trận phức M ma trận đối xứng M = MT (A.8) Từ việc chéo hoá ma trận phức trên, ta có M = V mW † , (A.9) V W hai ma trận unitary mik = mi δij , mi > Từ (A.8) (A.9) ta có M T = (W T )† mV T (A.10) Từ (A.9) (A.10) ta có M M † = V m2 V † , M T (M T )† = (W † )T m2 W T (A.11) Từ giả thiết M ma trận phức đối xứng, ta thu biểu thức V m2 V † = (W † )T m2 W T (A.12) W T V m2 = m2 W T V (A.13) Suy Từ công thức ta thấy ma trận W T V giao hoán với ma trận m2 ma trận W T V ma trận chéo Ta có W T V = S(α), (A.14) Sij = eiαi δij (A.15) 93 Phụ lục A Chéo hoá ma trận khối lượng neutrino Do đó, W † = S ∗ (α)V T (A.16) M = U mU T , (A.17) Vậy từ (A.9) (A.16) ta tìm U = V S ∗ α
Do vậy, ma trận đối xứng phức M chéo hoá theo (A.17), việc chéo hoá dùng để chéo hoá ma trận khối lượng neutrino Majorana 94 Phụ lục B Biểu diễn nhóm A4 Nhóm A4 nhóm hốn vị chẵn vật, nhóm đối xứng hình tứ diện đều, minh hoạ hình B.1, A4 có 12 phần tử chia thành lớp liên hợp (bảng B.1) nên có biểu diễn bất khả quy [55, 57] m1 + m2 + m3 + = (B.1) Các lớp liên hợp Hình B.1: A4 nhóm đối xứng hình tứ diện Mà ta có biểu thức trực giao X α χα(C1 ) 2 = X mn n2 = m1 + 4m2 + 9m3 + = 12 (B.2) n mn số biểu diễn bất khả quy n số chiều biểu diễn bất khả quy mi thỏa mãn (B.1), từ (B.2) thu nghiệm (m1 , m2 , m3 ) = (3, 0, 1) Do vậy, nhóm A4 có đơn tuyến 1, , tam tuyến Nhóm A4 biểu diễn ′ ′′ 95 Phụ lục B Biểu diễn nhóm A4 Lớp C1 C2 C3 C4 n 4 χ1 1 1 χ 1′ ω ω2 χ1′′ ω2 ω χ3 0 -1 Bảng B.1: Lớp liên hợp A4 thơng qua hốn vị sở S T (B.3) S = T = (ST )3 = Các biểu diễn unitary cho : S = T = 1, ′ : S = T = ei2π/3 ≡ ω, ′′ : S = T = ei4π/3 ≡ ω , đây, ω = ei2π/3 = −1/2 + √ 3/2, thoả mãn ω = ω ∗ + ω + ω = Và có biểu diễn unitary chiều  0   S =  −1  0 −1          , T =  0     0 96 (B.4) Phụ lục B Biểu diễn nhóm A4 Ma trận × tam tuyến biểu diễn chiều C1 C2 C3 C4    :      :      :      :   0    ,     0 ,     ,  0  0   0 −1          0 ,     −1    −1        0 ,     −1 0    −1 0 0 −1 0           −1  ,   ,  −1  ,      0 0 −1 −1    −1       −1     0 ,  −1    −1  ,  0 0 −1    −1 0  ,   −1   0 −1  ,  0 (B.5) ma trận tích vi tử S T (B.4) A4 có quy tắc nhân (B.6) × = 1, ′ ′′ ′ ′ × = 1, ′′ ×1 =1 , ′′ ′ ′′ ′′ × = 1, ′ ×1 =1, ′ ′′ × = + + + 3S + 3AS Nếu có tam tuyến 3a ∼ (a1 , a2 , a3 ) 3b ∼ (b1 , b2 , b3 ), với phép nhân nhóm ta có đơn tuyến tam tuyến = a1 b1 + a2 b2 + a3 b3 , ′ = a1 b1 + ω a2 b2 + ωa3 b3 , ′′ = a1 b1 + ωa2 b2 + ω a3 b3 , 3S ∼ (a2 b3 , a3 b1 , a1 b2 ), 3A ∼ (a3 b2 , a1 b3 , a2 b1 ) 97 (B.7) Phụ lục B Biểu diễn nhóm A4 Ngoài biểu diễn theo sở S chéo (B.4), A4 có biểu diễn theo sở T chéo, sở thu qua biến đổi unitary  0    ′   T = V †T V =  ω  ,   0 ω  −1 2 1 ′  † S = V SV =  −1 3 2 −1 đó,   1     V = √  ω ω   3 ω2 ω (B.8)    ,  (B.9) (B.10) Ma trận V ma trạn unitary × tất phần tử có giá trị tuyệt đối 98 Phụ lục B Biểu diễn nhóm A4 Trong sở ma trận biểu diễn chiều là:   0     C1 : =   ,   0     −1 2ω 2ω 0    1     C2 : T =  ω  , ST =  −ω 2ω  , 3    2 2ω −ω 0 ω     −1 2 −1 2ω 2ω   1 1     T S =  2ω −ω 2ω  , ST S =  2ω −ω , 3 3   2ω 2ω −ω 2ω −ω     −1 2ω 2ω 0         2 2 C3 : T =  ω  , ST =  −ω 2ω  , 3    2 2ω −ω 0 ω     −1 2 −1 2ω 2ω     1     T S =  2ω −ω 2ω  , T ST =  2ω −ω , 3 3   2 2ω 2ω −ω 2ω −ω     −1 2 −1 2ω 2ω   1 1     C4 : S =  −1  , T ST =  2ω −1 2ω  , 3 3   2ω 2ω −1 2 −1   −1 2ω 2ω   1  T ST =  2ω −1 2ω  3  2ω 2ω −1 (B.11) Trong sở tích hai tam tuyến 3a ∼ (a1 , a2 , a3 ) 3b ∼ (b1 , b2 , b3 ) ′ ′′ × = + + + 3S + 3A 99 (B.12)