Luận án Tiến sĩ Nghiên cứu các hiệu ứng trong không gian giới hạn của ngưng tụ BoseEinstein hai thành phần

BỘ KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO VIỆN NĂNG LƯỢNG NGUYÊN TỬ VIỆT NAM ⋆⋆⋆⋆⋆ Phạm Thế Song NGHIÊN CỨU CÁC HIỆU ỨNG TRONG KHÔNG GIAN GIỚI HẠN CỦA NGƯNG TỤ BOSE-EINSTEIN HAI THÀNH PHẦN Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết Vật lý toán Mã số: 62.44.01.03 DỰ THẢO LUẬN ÁN TIẾN SĨ VẬT LÝ Người hướng dẫn: GS TSKH Trần Hữu Phát TS Nguyễn Văn Thụ Hà Nội, 2017 LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan luận án cơng trình nghiên cứu hướng dẫn GS TSKH Trần Hữu Phát TS Nguyễn Văn Thụ Các kết nghiên cứu luận án trung thực chưa cơng bố cơng trình trước Hà Nội, ngày tháng năm 2017 Tác giả luận án Phạm Thế Song ii LỜI CẢM ƠN! Trước tiên, tác giả luận án xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc GS TSKH Trần Hữu Phát Sự hướng dẫn tận tụy động viên khích lệ thầy nguồn động lực to lớn cho tác giả suốt q trình hồn thành chương trình đào tạo làm luận án Thầy gương sáng đạo đức, tinh thần làm việc nghiêm túc, cống hiến khoa học để tác giả học tập noi theo Tác giả xin trân trọng cảm ơn TS Nguyễn Văn Thụ, thầy tận tình hướng dẫn thảo luận giúp đỡ tác giả hồn thành tính tốn quan trọng luận án Tác giả xin trân trọng cảm ơn PGS TS Lê Viết Hòa, NGƯT TS Đinh Thanh Tâm, người dẫn dắt tác giả đến với đường nghiên cứu khoa học Tác giả xin trân trọng cảm ơn bạn nhóm nghiên cứu, TS Đặng Thị Minh Huệ, ThS Hoàng Văn Quyết, ThS Nguyễn Thị Thắm nhiệt tình giúp đỡ, thảo luận luận án vấn đề nghiên cứu liên quan Tác giả xin trân trọng cảm ơn Trung Tâm Đào Tạo Hạt Nhân - Viện Năng Lượng Nguyên Tử Việt Nam, Khoa Toán Lý Tin - Trường Đại Học Tây Bắc, Khoa Vật Lý Trường Đại Học Sư Phạm Hà Nội giúp đỡ tạo điều kiện thuận lợi để tác giả hoàn thành chương trình đào tạo, hồn thành luận án Con xin bày tỏ lịng biết ơn vơ hạn Cha Mẹ, người cho thấy ánh sáng Mặt Trời, cho nghị lực vượt qua khó khăn trở ngại Xin cảm ơn người vợ hiền dịu, cảm ơn Gia đình ln nguồn động lực to lớn cho đường nghiên cứu khoa học đầy gian nan thử thách Hà Nội, ngày tháng năm 2017 Tác giả luận án Phạm Thế Song iii Mục lục Lời cam đoan ii Danh sách từ viết tắt vi Danh sách hình vẽ viii Mở đầu Chương Tổng quan ngưng tụ Bose-Einstein lý thuyết hệ ngưng tụ Bose-Einstein hai thành phần phân tách 1.1.Tổng quan ngưng tụ Bose-Einstein 1.1.1 Hiện tượng ngưng tụ Bose-Einstein 1.1.2 Phương trình Gross-Pitaevskii phương trình thuỷ động lực học hàm sóng ngưng tụ 10 1.2.Lý thuyết Gross-Pitaevskii cho hệ BECs không giới hạn 12 1.3.Phương pháp DPA cho hệ BECs không giới hạn 16 1.4.Phương pháp MDPA cho hệ BECs bị giới hạn tường cứng 18 1.5.Năng lượng dư mặt phân cách hệ BECs 22 1.5.1 Năng lượng dư tập hợp tắc lớn 22 1.5.2 Năng lượng dư tập hợp tắc 23 Chương Sức căng mặt phân cách tượng chuyển pha ướt hệ BECs bị giới hạn tường cứng 26 2.1.Trạng thái hệ BECs bị giới hạn tường cứng 27 2.1.1 Trạng thái với điều kiện biên Dirichlet tường cứng 27 2.1.2 Trạng thái với điều kiện biên Robin tường cứng 30 iv 2.2.Sức căng mặt phân cách tượng chuyển pha ướt hệ BECs tập hợp tắc lớn 33 2.2.1 Sức căng mặt phân cách tượng chuyển pha ướt với điều kiện biên Dirichlet tường cứng 33 2.2.2 Sức căng mặt phân cách tượng chuyển pha ướt với điều kiện biên Robin tường cứng 2.3.Sức căng mặt phân cách hệ BECs tập hợp tắc 40 45 2.3.1 Sức căng mặt phân cách với điều kiện biên Dirichlet tường cứng 46 2.3.2 Sức căng mặt phân cách với điều kiện biên Robin tường cứng 48 Chương Hiệu ứng kích thước hữu hạn sức căng mặt phân cách hệ BECs bị giới hạn hai tường cứng 53 3.1.Trạng thái hệ BECs bị giới hạn hai tường cứng 54 3.1.1 Trạng thái với điều kiện biên Dirichlet hai tường cứng 54 3.1.2 Trạng thái với điều kiện biên Robin hai tường cứng 55 3.2.Hiệu ứng kích thước hữu hạn sức căng mặt phân cách với điều kiện biên Dirichlet hai tường cứng Lực Casimir-like 59 3.2.1 Hiệu ứng kích thước hữu hạn sức căng mặt phân cách hệ tập hợp tắc lớn 59 3.2.2 Hiệu ứng kích thước hữu hạn sức căng mặt phân cách hệ tập hợp tắc 63 3.2.3 Lực Casimir-like 68 3.3.Hiệu ứng kích thước hữu hạn sức căng mặt phân cách với điều kiện biên Robin hai tường cứng 70 3.3.1 Hiệu ứng kích thước hữu hạn sức căng mặt phân cách hệ tập hợp tắc lớn 70 3.3.2 Hiệu ứng kích thước hữu hạn sức căng mặt phân cách hệ tập hợp tắc 73 Kết luận 77 Danh sách cơng trình cơng bố kết qủa nghiên cứu luận án 79 Tài liệu tham khảo v 80 Danh sách từ viết tắt Ký hiệu Tiếng Anh Tiếng Việt BEC Bose-Einstein condensate ngưng tụ Bose-Einstein two segregated Bose-Einstein ngưng tụ Bose-Einstein hai condensates thành phần phân tách CE Canonical ensemble tập hợp tắc GCE Grand canonical ensemble tập hợp tắc lớn BECs DPA MDPA Double-parabola approxima- tion Modified double-parabola approximation GP Gross-Pitaevskii GPE(s) Gross-Pitaevskii equation(s) TIGPEs TPA MFA gần parabol kép mở rộng Gross-Pitaevskii Time-independent Gross- Pitaevskii equations Tripple-parabola gần parabol kép (hệ) phương trình Gross- trình Gross- Pitaevskii hệ phương Pitaevskii khơng phụ thuộc thời gian approxima- tion Mean-field approximation vi gần ba parabol gần trường trung bình Danh sách hình vẽ 1.1 Khai triển hàm sóng ngưng tụ phía mặt phân cách theo phương pháp DPA 2.1 ˜ mặt phân cách hai thành Hệ BECs bị giới hạn tường cứng z˜ = −h, phần z˜ = z˜0 2.2 17 27 Cấu hình ngưng tụ với điều kiện biên Dirichlet (φj (−h) = 0), K = 1.01, ξ = 1; h = 20(a) h = 50(b) Đường màu đỏ đường màu xanh tương ứng MDPA GP 29 2.3 Sự phụ thuộc vị trí mặt phân cách vào vị trí tường cứng với K = 1.01 2.4 Cấu hình ngưng tụ với điều kiện biên Robin (λW ≫ 1), K = 3, h = 20; ξ = 1(a), 3(b) 2.5 2.6 32 (GCE) Sự biến thiên sức căng mặt phân cách theo 1/K với h = 0(đường màu đỏ) h → +∞(đường màu xanh) 35 (GCE) Sự phụ thuộc sức căng mặt phân cách vào vị trí tường cứng với K = 1.01, ξ = 2.7 30 35 (GCE) Sự biến thiên γh theo ζ = (h + z0 ) với ξ = 1(đường màu đỏ) ξ = 2(đường màu xanh) 38 2.8 Pha khơng dính ướt(a), pha dính ướt(b) ngưng tụ bề mặt tường cứng 2.9 (GCE) Giản đồ pha ướt thành phần bề mặt tường cứng ứng với h = (đường màu đỏ) h → +∞(đường màu xanh) 38 39 2.10 (GCE) Sự biến thiên sức căng mặt phân cách theo 1/K với ξ = 1.0, 3.0, vị trí tường cứng z = −20 42 2.11 (GCE) Hiệu ứng giới hạn không gian sức căng mặt phân cách với ξ = 42 2.12 (GCE) Giản đồ pha ướt thành phần bề mặt tường cứng với ζ = (h + z0 ) = 20 ζ = (h + z0 ) → +∞ 43 2.13 (GCE) Ảnh hưởng điều kiện biên tới sức căng mặt phân cách với ξ = 1, h = 20 44 vii 2.14 (CE) Sự biến thiên sức căng mặt phân cách theo 1/K với n21 = 1, ζ = (h + z0 ) = 20, 100; φj (−h) = 0, ξ = 5(a); ∂z φ2 |z=−h = 0, ξ = 10(b) 47 2.15 (CE) Sự biến thiên sức căng mặt phân cách theo 1/K n21 = 1, ζ = (h + z0 ) = 20; φj (−h) = 0, ξ = 1, 6, 11(a); ∂z φ2 |z=−h = 0, ξ = 5, 10, 15(b) 50 2.16 Sự biến thiên sức căng mặt phân cách theo 1/K ξ = 1, ζ = (h + z0 ) = 20 với n21 = 0.5, 1.0, 2.0; φj (−h) = 0(a), ∂z φ2 |z=−h = 0(b) 3.1 ˜ mặt phân cách hai thành Hệ BECs bị giới hạn hai tường cứng z˜ = ±h, phần z˜ = z˜0 3.2 51 54 Cấu hình ngưng tụ với điều kiện biên Dirichlet (φj (±h) = 0) MDPA (đường liền) lý thuyết GP (đường gạch), K = 3; ξ = 0.5(a), 1(b), 2(c) 3.3 W2 Cấu hình ngưng tụ với điều kiện biên Robin (λW ≫ 1) MDPA (đường , λ2 gạch) lý thuyết GP (đường liền) 3.4 57 58 (GCE) Hiệu ứng kích thước hữu hạn sức căng mặt phân cách ξ = 1(a) ξ = 3(b) với giá trị khác K = 1(đường liền), 1.1 (đường gạch), (đường chấm) 3.5 (CE) Sự biến thiên sức căng mặt phân cách theo h ξ = 1(a) ξ = 3(b) với K = 3.6 62 66 (GCE, CE) Sự biến thiên sức căng mặt phân cách theo 1/K ξ = 1(a) ξ = 3(b) với h → +∞(đường liền), h = 12 (đường chấm), h = 8(đường gạch) Màu xanh màu đỏ tương ứng với GCE CE 3.7 67 (GCE) Sự phụ thuộc lực Casimir-like đơn vị diện tích tường cứng vào h ξ = 1(a) ξ = 3(b) với K = 1(đường liền), K = 1.1 (đường gạch), K = 3(đường chấm) 3.8 69 (GCE) Hiệu ứng kích thước hữu hạn sức căng mặt phân cách ξ = 1, với giá trị khác K = 1.0(đường liền), 1.1 (đường gạch), (đường chấm-gạch) 3.9 72 (GCE) Sự phụ thuộc sức căng mặt phân cách vào 1/K ξ = với h = 4, 7, 10 h → ∞ 72 3.10 (GCE) Sự phụ thuộc sức căng mặt phân cách vào 1/K h = 10 với ξ = 0.5, 73 3.11 (CE) Sự phụ thuộc sức căng mặt phân cách vào h n21 = 1, ξ = với K = 1.1, 2.0, 3.0.74 viii Mở đầu Lý chọn đề tài BEC trạng thái lượng tử vĩ mô số lượng lớn hạt vi mô phần lớn hạt boson chiếm mức lượng thấp nhiệt độ hệ hạt nhỏ nhiệt độ tới hạn Trạng thái lượng tử đặc biệt liên quan mật thiết tới nhiều đặc tính quan trọng vật chất chẳng hạn siêu dẫn (superconductivity), rối lượng tử (quantum entanglement), độ trung thành lượng tử (quantum fidelity) Vì vậy, nghiên cứu BEC có ứng dụng quan trọng lĩnh vực công nghệ then chốt vật liệu, điện tử, thông tin lượng tử Không lâu sau thành cơng thí nghiệm tồn BEC (1995), pha phân tách hệ BEC hai thành phần nghiên cứu lý thuyết (1998) [1, 2] sau nghiên cứu thực nghiệm (1999) [3–12] Kể từ đó, nghiên cứu BECs thu hút nhiều quan tâm nhà khoa học toàn cầu đạt nhiều thành tựu Nhiều cơng trình nghiên cứu tính chất tĩnh, tính chất động lực học BECs công bố [13–44] Trong điển hình nghiên cứu trạng thái bản, sức căng bề mặt [2, 16, 40–44], dao động kích thích bề mặt (sóng bề mặt) [13, 15, 17, 20, 28, 29] Từ đây, nhiều tượng vật lý quan trọng BECs khám phá chẳng hạn chuyển pha ướt (wetting phase transition) [42–44], bất ổn định Rayleigh-Taylor (Rayleigh-Taylor instability), bất ổn định Kelvin-Helmholtz (Kelvin-Helmholtz instability) [18, 24–27] Sử dụng phương pháp MFA phương pháp gần khác (DPA, TPA), nghiên cứu sức căng bề mặt chuyển pha ướt Sử dụng công thức từ (3.8) đến (3.11) để xác định sức căng mặt phân cách ∆Ω = γ˜12 = AP ξ1 Z+h [(∂z φ1 )2 + ξ (∂z φ2 )2 ]dz −h +2[−(ap + am − 4)h + (ap − am )z0 ], (3.12) γ˜12 = 4(I1 + ξ I2 ) + 2[−(ap + am − 4)h + (ap − am )z0 ] (3.13) Ở Z+h I1 = (∂z φ1 )2 dz, (3.14a) (∂z φ2 )2 dz (3.14b) I2 = −h Z+h −h Tìm tích phân Ij (j = 1, 2) cách thay (3.2), (3.3) vào (3.14), √ √ √  2√2h √ 2A1 e I1 = ( 2sinh(2 2h− ) + 4h− ) + 2A1 e 2(3h−2z0 )  √ √ √ 2√2h √ √ √ 2h − − 1) + A22 ηe−2 ηh (2 ηh+ −2A1 e ( − 4h− ) + 2(e √ (3.15a) +sinh(2 ηh+ )), √ 2(3h+z ) −2 √ √ h ξ √ −2 ηh− i e 2h B12 √ 2√ξηh h √ + I2 = ηe B2 (− 2ξe ξ ηh− − ξ sinh ξ ξ 2ξ √ √ √ √ √ √ 2(5h+2z0 ) 2(3h+2z0 ) 2(2h+z0 ) 2h ξ + 2ξe ) − 2B2 ξe ξ + 2B2 e ξ (4h+ +8h+ e ξ √ √ i √ √ 2(3h+z0 ) 2h ) , (3.15b) + 2ξ) − 2ξ(e ξ − e ξ √ √ η ± = η ± Hình 3.4 vẽ cách sử dụng (3.13) công thức liên quan, biểu sức căng mặt phân cách biến thiên nhanh theo khoảng cách hai tường cứng h ξ , biến thiên chậm dần h > ξ , h± = h ± z0 , √ 61 (a) (b) Hình 3.4: (GCE) Hiệu ứng kích thước hữu hạn sức căng mặt phân cách ξ = 1(a) ξ = 3(b) với giá trị khác K = 1(đường liền), 1.1 (đường gạch), (đường chấm) 62 sức căng mặt phân cách khơng cịn phụ thuộc vào h h ≫ ξ Sự phụ thuộc sức căng mặt phân cách vào khoảng cách hai tường cứng gọi hiệu ứng kích thước hữu hạn Trường hợp K = 1, ξ = h đủ lớn, khai triển (3.13) theo h ta √ 1 √ 2 γ˜12 ≈ + − + + O , (3.16) h h h h √ γ˜12 ≈ h → +∞ Trong giới hạn h → +∞, (3.13) trở thành  √ γ˜12 = − √ √ (1 + ξ), 2+ η √ √ √ cho K → +∞ ta tính γ˜12 = 2(1 + ξ), γ˜1W = 2, γ˜2W = 2ξ Những kết khác với (32) (34) [43] Điều hiển nhiên khác biệt rõ ràng (3.1) với (1.28) 3.2.2 Hiệu ứng kích thước hữu hạn sức căng mặt phân cách hệ tập hợp tắc Từ (1.55) ta tính sức căng mặt phân cách cho hệ BECs có số hạt xác định, bị giới hạn hai tường cứng z = ±h (hình 3.1) Γ12 ∆E = = P ξ1 A = P ξ1 Z+h dz(−φ1 ∂z2 φ1 − ξ φ2 ∂z2 φ2 ) −h Z+h dz[(∂z φ1 )2 + ξ (∂z φ2 )2 ] −h = P ξ1 (I1 + ξ I2 ), (3.17) Ij (j = 1, 2) cho (3.15) Với K = 1, ξ = h đủ lớn, khai triển (3.17) theo h ta tìm √ 1 √ 2 Γ 12 ˜ ≈ 2+ − + +O (3.18) Γ12 = P ξ1 h 2h2 h h 63 Nếu hai tường cứng xa (h → +∞) √ ˜ 12 = √ 2η +√1 (1 + ξ) Γ η+ (3.19) Sử dụng cơng thức tính áp suất P = gjj n2j0 /2 cơng thức tính số hạt thành phần Nj = ~ r nj0 2mj gjj Z+h φ2j dz, (3.20) −h (3.17) trở thành Γ12 = X σj0 j=1,2 σj0 = mj gjj ~ +h R phân cách, Nj = N1 = −h  N 3 j Nj Ij , (3.21) đại lượng có thứ nguyên với sức căng mặt φ2j dz xác định cách sử dụng (3.2) (3.3), √ √ √ √ √ (2A21 e2 2h ( 2sinh(2 2h− ) − 4h− ) + 2A1 (e 2h (3 − 4h− ) √ √ √ √ √ √ √ √ √ −2 2e 2(2h−z0 ) + 2e 2(3h−2z0 ) − 2e 2z0 ) + 2e 2h− (e 2h− − 4) √ √ √ √ A22 e−2 ηh (sinh(2 ηh+ ) − ηh+ ) +4h− + 2) + , √ η √ √ √ √ √ √ 2(2h+z0 ) 2(3h+2z0 ) 2h − 2(3h+z 0) ξ ξ ξ ξ (B2 (−( 2ξe + 8h+ e − 2ξe )) N2 = e √ √ √ √ √ √ 2(2h+z0 ) 2(5h+z0 ) 2(4h+z0 ) 2h ξ ξ ξ − 2B2 ξ(e − 2e − 2e ξ ) +4 2ξe √ √ √ √ √ √ 2(5h+z0 ) 2(3h+z0 ) 2h −2B2 e ξ (4h+ + 2ξ) − 2ξe ξ + e ξ (4h+ − 2ξ))  −2√ηh  B12 2√ξ2h − − 2h− −√ e ξ sinh η ξ Trường hợp m1 = m2 = m, g11 = g22 = g , σ10 = σ20 = σ0 , từ (3.21) ta có  n 3/2 i h 20 ˜ Γ12 = I1 + I2 , N1 n10 64 (3.22) ˜ 12 = Γ12 /σ0 N Γ Nếu số hạt hai thành phần có chênh lệch lớn, chẳng hạn N1 ≫ N2 h đủ lớn cho n20 /n10 ≪ dẫn tới ξ → +∞, (3.22) trở thành ˜ 12 ≈ I1 (3.23) Γ N13 ˜ 12 theo h, với K = ξ = 1(a), ξ = 3(b), Trên hình 3.5 đồ thị Γ cho thấy sức căng mặt phân cách giảm đơn điệu theo h tiến tới hai tường cứng dịch xa Nguyên nhân tượng tương tác hai thành phần ngưng tụ làm cho áp suất hệ tăng thể tích giảm, ngược lại, thể tích hệ tăng áp suất giảm xuống, hạt phân bố đồng sức căng mặt phân cách giảm xuống Sử dụng (3.13), (3.17) công thức liên quan để so sánh sức căng mặt phân cách GCE với sức căng mặt phân cách CE ta có 2[(ap − am )z0 − (ap + am − 4)h] γ12 =4+ Γ12 I1 + ξ I2 Tỉ số γ12 Γ12 (3.24) không kết tìm cho hệ bán hữu hạn chương cho hệ vô hạn [41, 42] Hình 3.6 vẽ biến thiên ˜ 12 theo 1/K với giá trị khác h ξ cho thấy γ˜12 4Γ rõ tượng Sự xuất số hạng thứ hai bên vế phải (3.24) tác động hai tường cứng, số hạng tiến tới h → +∞, bị triệt tiêu Các cơng thức hiệu ứng kích thước hữu hạn tỉ số Γγ12 12 (3.16), (3.18) cho thấy trường hợp K = ξ = γ12 Γ12 → h → +∞ Cũng hình 3.6, sức căng mặt phân cách không biến K → 1, kết khác so với kết tìm hệ BECs vô hạn với điều kiện biên (1.28), sức căng mặt phân cách tiến tới K → [43] Điều hiển nhiên, cho dù hai tường cứng hình (3.1) xa cấu hình ngưng tụ với điều kiện biên (3.1) khác cấu hình ngưng tụ với điều kiện biên (1.28), thể rõ vùng không gian lân cận với hai tường cứng 65 (a) (b) Hình 3.5: (CE) Sự biến thiên sức căng mặt phân cách theo h ξ = 1(a) ξ = 3(b) với K = 66 (a) (b) Hình 3.6: (GCE, CE) Sự biến thiên sức căng mặt phân cách theo 1/K ξ = 1(a) ξ = 3(b) với h → +∞(đường liền), h = 12 (đường chấm), h = 8(đường gạch) Màu xanh màu đỏ tương ứng với GCE CE 67 3.2.3 Lực Casimir-like Các hình 3.4 3.5 cho thấy lượng tương tác hai thành phần ngưng tụ phụ thuộc mạnh vào khoảng cách hai tường cứng khoảng cách hai tường cứng đủ nhỏ, phụ thuộc dẫn tới hệ hai thành phần ngưng tụ tác dụng lực lên hai tường cứng Hiện tượng tương tự với hiệu ứng Casimir [81, 82], ta gọi lực tác dụng lên hai tường cứng lực Casimir-like Lực Casimir-like tác dụng lên đơn vị diện tích tường cứng GCE CE xác định theo công thức F˜GCE = − ∂h γ˜12 , ˜ 12 F˜CE = − ∂h Γ (3.25a) (3.25b) Thay (3.13) cơng thức liên quan vào (3.25a) ta vẽ hình 3.7, thay đổi lực Casimir-like theo h với giá trị khác K ξ Từ hình vẽ ta nhận thấy trường hợp hệ phân tách yếu (K < 3), lực Casimir-like lực hút hai tường cứng gần (h ∼ ξ h lớn ξ không nhiều), trở thành lực đẩy hai tường tiến xa (h ≫ ξ ) Trong trường hợp hệ phân tách mạnh (K > 3), lực Casimir-like lực hút Những tính chất khác với lực Casimir, lực hút hay lực đẩy tùy thuộc vào đặc điểm điều kiện biên điều hòa hay phi điều hòa [82] Lực Casimir-like triệt tiêu với tham số hệ h → +∞ Để kiểm chứng hiệu ứng kích thước hữu hạn hệ BECs bị giới hạn tường cứng, ta thiết lập mơ hình thí nghiệm sử dụng hai tường cứng quang học kết hợp với điều hoà để giam giữ hạt thể tích định Cộng hưởng Feshbach cho phép điều khiển tham số Tuy nhiên, giải pháp tốt điều chỉnh cường độ tương tác hạt giữ tham số khác cố định, thay đổi gjj dẫn tới thay đổi hai tham số quan trọng K ξ , việc thay đổi gjj ′ dẫn tới biến đổi tuyến tính K hạn chế mát 68 (a) (b) Hình 3.7: (GCE) Sự phụ thuộc lực Casimir-like đơn vị diện tích tường cứng vào h ξ = 1(a) ξ = 3(b) với K = 1(đường liền), K = 1.1 (đường gạch), K = 3(đường chấm) 69 hạt ngưng tụ vùng khơng gian mặt phân cách [42] Trong thí nghiệm, thay khảo sát sức căng mặt phân cách ta nên khảo sát lực Casimir-like việc khơng cho biết sức căng mặt phân cách mà cho biết phụ thuộc sức căng mặt phân cách vào khoảng cách hai tường cứng 3.3 Hiệu ứng kích thước hữu hạn sức căng mặt phân cách với điều kiện biên Robin hai tường cứng 3.3.1 Hiệu ứng kích thước hữu hạn sức căng mặt phân cách hệ tập hợp tắc lớn Bằng phương pháp sử dụng để tìm (3.9) (3.11), từ (1.43), (1.44) điều kiện biên (3.4) ta tìm đẳng thức ( 2(φ1 − 1)2 + ηφ22 z > z0 , 2 (∂z φ1 ) + ξ (∂z φ2 ) = (3.26) 2(φ2 − 1)2 + ηφ21 z z0 , số chuyển động (1.33) MDPA Nhờ đó, tính sức căng mặt phân cách ∆Ω =4 γ˜12 = AP ξ1 Z+h [(∂z φ1 )2 + ξ (∂z φ2 )2 ]dz = 4(I1 + ξ I2 ) (3.27) −h Thay (3.5) (3.6) vào (3.27) ta √ γ˜12 = 2(M ξ + N ), 70 (3.28) √ √ √ √ ( η+2 2)(h+z0 ) ηz0 √ 2(h+z 0) − ξ (e ξ − 1) e (e ξ ( η(h − z0 ) + ξ) M = M√ ηh √ −e ξ ( η(z0 − h) + ξ)), √ √ √ √ √ ( η + 2)h + ( − η)z0 √ M = (( η + 2) cosh( ) ξ √ √ √ √ √ ( − η)h + ( η + 2)z0 √ +( η − 2) cosh( )) ξ √ √ √ 2(h + z0 ) 2(h + z0 ) ) + ξ cosh( )), ( 2(h − z0 ) sinh( ξ ξ √ √ √ 2√2h √ − e2 2z0 )2 e( η+2 2)(−h−z0 ) ( η(h + z0 ) (e N √ √ +e2 η(h+z0 ) ( η(h + z0 ) − 1) + 1), √ √ √ √ √ √ N = (( η + 2) cosh(( η + 2)h + ( η − 2)z0 ) √ √ √ √ √ √ +( η − 2) cosh(( − η)h − ( η + 2)z0 )) √ √ √ ( 2(h + z0 ) sinh( 2(h − z0 )) + cosh( 2(h − z0 ))) N = √ √ η/( + η) Nếu thêm điều kiện hệ phân tách hồn tồn (M , N ) → 1, (3.28) trùng với (32) (34) [43] Kết có cấu hình ngưng tụ hình 3.3 trùng với cấu hình ngưng tụ hệ vô hạn với điều kiện biên (1.28) h → +∞ Từ (3.28) ta vẽ đồ thị phụ thuộc sức căng mặt phân cách hai ngưng tụ vào tham số hệ hình 3.8 3.9, chúng cho thấy γ˜12 phụ thuộc mạnh vào h hai tường cứng gần Khoảng biến thiên khoảng cách hai tường cứng mà γ˜12 phụ thuộc mạnh vào h rộng phân tách hệ yếu Trường hợp h ≫ ξ , sức căng mặt phân cách tiến tới K → Trường hợp h ξ h lớn ξ không nhiều, sức căng mặt phân cách không biến K → Những tượng cho thấy tương tác bị ảnh hưởng mạnh giới hạn không gian khoảng cách ngắn Áp dụng cho hệ BECs vô hạn, h → +∞, (M , N ) → 71 √ 3.0 K=3.0 ξ = 1, ϕ1 (-h) = ϕ2 (h)= 2.5 ∂ z ϕ1 z=h = ∂ z ϕ2 z=-h = γ12 Pξ1 2.0 1.5 K=1.1 1.0 K=1.0 0.5 0.0 10 12 h Hình 3.8: (GCE) Hiệu ứng kích thước hữu hạn sức căng mặt phân cách ξ = 1, với giá trị khác K = 1.0(đường liền), 1.1 (đường gạch), (đường chấm-gạch) ξ❂1 1.2 1.0 h→✰∞ 0.8 h❂10 0.6 0.4 Pξ1 h❂4 0.0 0.95 γ12 h❂7 0.2 0.96 0.97 0.98 0.99 1.00 ϕ1 ✭ h) ❂ ϕ2 ✭h✮❂ ✆z ϕ1 z✁h ❂ ✆z ϕ2 z✁✂h ❂ 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 K Hình 3.9: (GCE) Sự phụ thuộc sức căng mặt phân cách vào 1/K ξ = với h = 4, 7, 10 h → ∞ 72 h=10, ϕ1 (-h) = ϕ2 (h)= ∂ z ϕ1 z=h = ∂ z ϕ2 z=-h = ξ=1 ξ=0.5 γ12 Pξ1 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 K Hình 3.10: (GCE) Sự phụ thuộc sức căng mặt phân cách vào 1/K h = 10 với ξ = 0.5, Tác động độ dài hồi phục hàm sóng ngưng tụ đến sức căng mặt phân cách thể hình 3.10 3.3.2 Hiệu ứng kích thước hữu hạn sức căng mặt phân cách hệ tập hợp tắc Sử dụng (3.14) với hàm sóng ngưng tụ cho (3.5) (3.6) ta tính √ √ √ I1 = e−2 ηh (2A22 η(h + z0 ) − A22 η sinh(2 η(h + z0 ))) √ √ √ √ √ √ 2(2h−z0 ) 2z0 2h + A1 (− 2A1 e −2 − 8A1 e (h − z0 ) + 2A1 e √2 √ √ e 2(2h−z0 ) + 2e 2z0 ), (3.29a) √ √  η(z0 − h) √ ηh √ ) + η(h − z0 )) I2 = B12 ηe ξ (ξ sinh( ξ ξ √ √ 2h √ 2(h + z0 ) −2B2 ( B2 e− ξ ( 2ξ sinh( ) + 4(h + z0 )) ξ √ √ 2(2h+z0 ) 2(h+z0 ) − ξ (e ξ − 1)  ξe √ ) , (3.29b) + 73 Z+h N1 = φ21 dz −h √ √ √ √ √ 2 2h = (2A1 e ( 2sinh(2 2h− ) − 4h− ) + 2A1 (e 2h (3 − 4h− ) √ √ √ √2h √2h √ √2(3h−2z ) √ √2z 2(2h−z0 ) 0 −2 2e ) + 2e − (e − − 4) + 2e − 2e √ √ √ √ A22 e−2 ηh (sinh(2 ηh+ ) − ηh+ ) +4h− + 2) + (3.30) √ η ∂z ϕ1 0.20 z=h z=-h =0 K=3 K=2 K=1.1 N31 σ10 Γ12 = ∂z ϕ2 n21 = 1, ξ = 0.25 0.15 0.10 0.05 0.00 10 12 h Hình 3.11: (CE) Sự phụ thuộc sức căng mặt phân cách vào h n21 = 1, ξ = với K = 1.1, 2.0, 3.0 Thay (3.29), (3.30) vào (3.22) ta vẽ hình 3.11 mơ tả phụ thuộc sức căng mặt phân cách vào tham số hệ Các đồ thị cho thấy áp suất hệ tăng (giảm) theo tăng (giảm) thể tích mà cịn cho thấy tác động lớn cường độ tương tác hạt đến áp suất hệ ˜ 12 = I1 + ξ I2 , công thức (3.27) γ˜12 = 4(I1 + Từ (3.17) ta có Γ ξ I2 ) Ở đây, tích phân Ij (j = 1, 2) cho (3.29), ta 74 ˜ 12 = 4, giống kết tìm cho hệ vơ hạn tính tỉ số γ˜12 /Γ hệ bán hữu hạn Tổng kết chương Dưới tổng kết thảo luận kết quan trọng đạt chương • Với điều kiện biên Dirichlet (3.1), điều kiện biên Robin (3.4) tường cứng điều kiện liên tục mặt phân cách, cấu hình ngưng tụ MDPA tiệm cận với cấu hình ngưng tụ tìm phương pháp giải số TIGPEs lý thuyết GP lần khẳng định tính đắn phương pháp MDPA, phương pháp cho kết tốt áp dụng cho hệ BECs với cấu hình khơng gian (vơ hạn, bán hữu hạn, hữu hạn) • Sự xuất tường cứng làm cho độ lệch khỏi z = mặt phân cách tỷ lệ với bất đối xứng độ dài hồi phục hàm sóng ngưng tụ hai thành phần, mặt phân cách nằm z = số trường hợp đặc biệt, ξ = h → +∞ • Sự phụ thuộc tương tác vào khoảng cách hai tường cứng đáng kể khoảng cách ngắn hiệu ứng kích thước hữu hạn sức căng mặt phân cách thể rõ hai tường cứng gần (h ∼ ξ ) Hiện tượng phù hợp với kết tìm thấy cho hệ bán hữu hạn chương hệ tường cứng (hình 2.1) hệ hai tường cứng (hình 3.1) trường hợp hai tường cứng xa nhau, hiệu ứng kích thước hữu hạn gần bị triệt tiêu • Hiệu ứng kích thước hữu hạn thể rõ xuất số ˜ 12 hạng phụ thuộc mạnh vào h công thức xác định tỉ số γ˜12 /Γ (3.24), số hạng tiến tới hai tường cứng dịch xa 75