Thông tin tài liệu
BË GIO DÖC V O TO VIN HN L
M KHOA HÅC V CỈNG NGH VIT NAM HÅC VIN KHOA HÅC V CỈNG NGH PHM THÀ THU HOI MËT SÈ PHìèNG PHP GII BI TON TM KHặNG IM CếA TON TÛ ÌN IU CÜC I V BI TON CHP NHN TCH NHIU TP LUN N TIN Sß TON HÅC H NËI - 2022 VIN HN L
M KHOA HÅC V CỈNG NGH VIT NAM HÅC VIN KHOA HÅC V CỈNG NGH *** PHM THÀ THU HOI MËT SÈ PHìèNG PHP GII BI TON TM KHặNG IM CếA TON TÛ ÌN IU CÜC I V BI TON CHP NHN TCH NHIU TP LUN N TIN Sò TON HC Chuyản ng nh: To¡n ùng dưng M¢ sè: 46 01 12 Ngữới hữợng dăn khoa hồc: GS TS Nguyạn Bữớng H Nëi - 2022 ii LÍI CAM OAN C¡c k¸t qu£ Ôt ữủc luên Ăn l cổng trẳnh nghiản cựu cừa tổi, ữủc hon thnh dữợi sỹ hữợng dăn cừa GS TS Nguyạn Bữớng CĂc kát quÊ ny l mợi v chữa ữủc trẳnh by cĂc cổng trẳnh cừa ng÷íi kh¡c Tỉi xin chàu tr¡ch nhi»m v· nhúng líi cam oan cừa mẳnh iii LI CM èN Luên Ăn ny ữủc hon thnh tÔi Hồc viằn Khoa hồc v Cỉng ngh», Vi»n H n l¥m Khoa håc v Cỉng nghằ Viằt Nam dữợi sỹ hữợng dăn tên tẳnh cừa GS TS Nguyạn Bữớng TĂc giÊ xin by tọ lỏng biát ỡn sƠu sưc tợi ThƯy Trong quĂ trẳnh hồc têp v nghiản cựu, thổng qua cĂc bi giÊng v seminar tĂc giÊ luổn nhên ữủc sỹ quan tƠm giúp ù v nhỳng ỵ kián õng gõp quỵ bĂu cừa GS.TS ộ Vôn Lữu, TS Nguyạn Cổng iÃu, PGS.TS Nguyạn Thà Thu Thõy, TS Nguy¹n Thà Quýnh Anh, TS Nguy¹n Th Thúy Hoa, TS Nguyạn ẳnh Dữỡng, TS Nguyạn Dữỡng Nguyạn Tứ Ăy lỏng mẳnh tĂc giÊ xin ữủc by tọ lỏng biát ỡn sƠu sưc án cĂc thƯy cổ TĂc giÊ xin by tọ lỏng biát ỡn tợi Ban lÂnh Ôo, cĂc thƯy cổ ton th cĂn bở, cổng nhƠn viản thuởc Viằn Cổng nghằ thổng tin, Hồc vi»n Khoa håc v Cỉng ngh», Vi»n H n l¥m Khoa hồc v Cổng nghằ Viằt Nam  tÔo mồi iÃu kiằn tốt nhĐt, giúp ù tĂc giÊ quĂ trẳnh hồc têp v nghiản cựu TĂc giÊ xin chƠn thnh c£m ìn Ban Gi¡m hi»u, c¡c th¦y cỉ Bë mổn ToĂn - Khoa Cỡ s cỡ bÊn - Ôi håc H ng h£i Vi»t Nam, còng to n thº anh chà em nghiản cựu sinh, bÔn b ỗng nghiằp  luổn quan tƠm, ởng viản, trao ời v õng gõp nhỳng þ ki¸n quþ b¡u cho t¡c gi£ suèt qu¡ trẳnh hồc têp, seminar, nghiản cựu v hon thnh luên Ăn TĂc giÊ xin kẵnh tng nhỳng ngữới thƠn yảu gia ẳnh cừa mẳnh, nhỳng ngữới  luổn ởng viản, chia s v khẵch lằ tĂc giÊ cõ th hon thnh cổng viằc hồc têp v nghiản cựu cừa mẳnh, niÃm vinh hÔnh to lợn ny TĂc giÊ Mưc lưc Trang b¼a phư i Líi cam oan ii Lới cÊm ỡn iii Mửc lửc iv Mởt số kỵ hiằu v viát tưt vi M Ưu Chữỡng Mët sè kh¡i ni»m b i to¡n v ph÷ìng ph¡p cì b£n 1.1 Mët sè kh¡i ni»m cì b£n 1.2 Mởt số phữỡng phĂp tẳm khổng im cừa toĂn tỷ ỡn iằu 14 1.2.1 Phữỡng phĂp im gƯn k· v mët sè c£i bi¶n 14 1.2.2 Phữỡng phĂp tĂch tián-lũi v mởt số c£i bi¶n 19 1.3 B i toĂn chĐp nhên tĂch nhiÃu têp v cĂc phữỡng phĂp giÊi 23 1.3.1 Phữỡng phĂp giÊi bi toĂn chĐp nhên t¡ch (SFP) 24 1.3.2 Ph÷ìng ph¡p gi£i b i toĂn chĐp nhên tĂch nhiÃu têp (MSSFP) 27 1.4 Mët sè bê · bê trñ 32 Chữỡng Phữỡng phĂp lp tẳm khổng im cừa toĂn tỷ ỡn iằu cỹc Ôi khổng gian Hilbert 35 2.1 Phữỡng phĂp im gƯn kà vợi dÂy tham số bĐt ký 35 2.2 V½ dư sè minh håa 46 Chữỡng Phữỡng phĂp lp tẳm khổng im cừa tờng hai toĂn tỷ ỡn iằu cỹc Ôi khổng gian Hilbert 50 v 3.1 Phữỡng phĂp dÔng tĂch ti¸n lịi 50 3.2 V½ dư sè minh håa 68 Ch÷ìng Phữỡng phĂp hiằu chnh lp cho bi toĂn chĐp nhªn t¡ch nhi·u tªp khỉng gian Hilbert 74 4.1 Phữỡng phĂp hiằu chnh v nghiằm cõ chuân nhọ nhĐt 74 4.2 Ph÷ìng ph¡p hi»u ch¿nh l°p cho bi toĂn chĐp nhên tĂch nhiÃu têp khổng gian Hilbert 76 4.3 V½ dư sè minh håa 87 Kát luên 89 Danh mửc cĂc cổng trẳnh  cổng bố liản quan án luên Ăn 90 Ti liằu tham khÊo 91 Mởt số kỵ hiằu v viát tưt têp hủp cĂc số thüc R En khæng gian Euclide n-chi·u H khæng gian Hilbert 2H têp tĐt cÊ cĂc têp cừa khổng gian H x, y tẵch vổ hữợng cừa hai vc tì x v y ∥x∥ chu©n cõa v²c tì x inf M cên dữợi úng cừa têp hủp số M sup M cên trản úng cừa têp hủp số M max M M số lợn nhĐt têp hủp số M số nhọ nhĐt têp hủp số M D(A) mi·n x¡c ành cõa to¡n tû A R(A) mi·n giĂ tr cừa toĂn tỷ A A1 Ănh xÔ ngữủc cừa toĂn tỷ A A Ănh xÔ liản hủp cừa toĂn tỷ A I Ănh xÔ ỗng nhĐt f (x) dữợi vi phƠn cừa hm f tÔi im x lim inf xn giợi hÔn dữợi cừa dÂy số {xn } lim sup xn giợi hÔn trản cừa dÂy số {xn } n→∞ n→∞ xn → x d¢y {xn } hëi tử mÔnh và x xn x dÂy {xn } hởi tử yáu và x F ix(T ) têp im bĐt ởng cừa Ănh xÔ T ZerA têp khổng im cừa toĂn tỷ A SF P bi toĂn chĐp nhên tĂch M SSF P bi toĂn chĐp nhên tĂch nhiÃu têp M Ưu NhiÃu bi toĂn khoa hồc k thuêt (bi toĂn bián phƠn, bi toĂn cỹc tr, phữỡng trẳnh Ôo hm riảng, bĐt ng thực bián phƠn, ) v ới sống (bi toĂn ká hoÔch sÊn xuĐt, bi toĂn vên tÊi, bi toĂn khâu phƯn thực ôn, ) Ãu dăn án bi toĂn tờng quĂt l tẳm cüc tiºu cõa mët phi¸m h m f khỉng gian hỳu hÔn hoc vổ hÔn chiÃu Cho án nay, cõ nhiÃu phữỡng phĂp ữủc à xuĐt tẳm cỹc tiu cừa mởt phiám hm nhữ: phữỡng phĂp ữớng dốc nhĐt (phữỡng phĂp gradient), phữỡng phĂp gradient liản hủp, phữỡng phĂp Dantzig cho bi toĂn quy hoÔch tuyán tẵnh v cĂc cÊi biản cừa chúng Mởt phữỡng phĂp c biằt quan trồng tẳm cỹc tiu cừa phiám hm lỗi phÊi k án l phữỡng phĂp im gƯn kà ữủc à xuĐt bi Martinet [1] vo nôm 1970 Vẳ im cỹc tiu cừa mởt phiám hm lỗi l khổng im cừa dữợi vi phƠn cừa phiám hm õ, nôm 1976, Rockafellar [2]  à xuĐt phữỡng phĂp im gƯn kà tẳm khổng im cừa mởt toĂn tỷ ỡn iằu cỹc Ôi T khỉng gian Hilbert H , tùc l : T¼m ph¦n tû p∗ ∈ H cho ∈ T p (0.1) TĂc giÊ Â xƠy dỹng phữỡng phĂp l°p xk+1 = Jk xk + ek ho°c xk+1 = Jk (xk + ek ), k ≥ 1, (0.2) â Jk = (I + rk T )−1 l to¡n tû gi£i cõa T vỵi tham sè rk > 0, ek l v²c tì sai sè v I l ¡nh xÔ ỡn v trản H ặng  chựng minh ữủc rơng phữỡng phĂp (0.2) hởi tử yáu tợi mởt khổng im cừa T vợi iÃu kiằn têp P khæng iºm cõa T kh¡c réng, ∥ek ∥ < ∞ v rk ≥ ε > vỵi måi k ≥ k=1 Nôm 1991, Gu ăler [3]  ch rơng phữỡng phĂp im gƯn kà ch Ôt ữủc sỹ hởi tử yáu khổng gian Hilbert vổ hÔn chiÃu Nôm 1992, Eckstein v Bertsekas [4] à xuĐt phữỡng phĂp im gƯn kà tờng quĂt l m rởng cừa phữỡng phĂp im gƯn kà cho bi toĂn (0.1) Tuy nhiản, c¡c t¡c gi£ cơng ch¿ thu ÷đc sü hëi tư yáu cừa phữỡng phĂp thu ữủc sỹ hởi tử mÔnh, mởt số cÊi biản cừa phữỡng phĂp im gƯn kà  ữủc ữa nhữ: phữỡng phĂp im g¦n k· hi»u ch¿nh Tikhonov cõa Lehdihi v Moudafi (1996) [5] v ÷đc mð rëng bði Xu (2006) [6], Boikanyo v Morosanu (2012) [7]; phữỡng phĂp im gƯn kà co cõa Kamimura v W.Takahashi (2000) [8] v ÷đc têng qu¡t bi Yao v Noor (2008) [9]; phữỡng phĂp xĐp x mÃm cừa W.Takahashi (2007) [10] Trong hƯu hát cĂc cÊi biản cừa phữỡng phĂp im gƯn kà cụng nhữ bÊn thƠn phữỡng phĂp im gƯn kà tham số rk cừa toĂn tỷ giÊi Ãu b chn dữợi bi mởt hơng số lợn hỡn GƯn Ơy, nôm 2017, [11], N Bữớng, P.T.T Hoi v N.D Nguyạn  trẳnh by mởt số cÊi biản mợi cừa phữỡng phĂp im gƯn kà cho trữớng hủp rk dƯn tợi P 0, cư thº l rk tho£ m¢n rk < +∞ Mët cƠu họi ữủc t nghiản k=1 cựu l liằu cõ tỗn tÔi mởt cÊi biản cừa phữỡng phĂp im gƯn kà hởi tử m sỹ hởi tử mÔnh thu ữủc vợi dÂy {rk } l mởt dÂy số bĐt ký (0, ) khổng? Khi phiám hm cỹc tiu l tờng cừa hai phiám hm lỗi, bi toĂn ny dăn án bi toĂn tẳm khổng im cừa tờng hai toĂn tỷ ỡn iằu cỹc Ôi A, B, õ l bi toĂn: Tẳm phƯn tỷ p H cho ∈ (A + B)p∗ (0.3) B i to¡n (0.3) thu hút ữủc sỹ ỵ cừa nhiÃu nh nghiản cựu vẳ nõ l cốt lói cừa nhiÃu bi toĂn nhữ: bĐt ng thực bián phƠn, bi toĂn chĐp nhªn t¡ch, b i to¡n cüc tiºu hâa (xem [12, 13, 14]) vợi cĂc ựng dửng hồc mĂy, xỷ lỵ Ênh v bi toĂn ngữủc tuyán tẵnh Do tƯm quan trồng lỵ thuyát toĂn hồc cụng nhữ ựng dửng thỹc tá nản cĂc phữỡng phĂp giÊi bi toĂn (0.3) ữủc nhiÃu tĂc giÊ v ngoi nữợc quan tƠm nghiản cựu, in hẳnh l Peaceman-Rachford (1955) [15], DouglasRachford (1956) [16], Lions v Mercier (1979) [17], Passty (1979) [18], Combettes (2004) [19], Takahashi, Wong v Yao (2010) [20], Tseng (2000) [21], Malitsky (2018) [22], Semenov (2018) [23], Ð Viằt Nam, mởt số nôm tr lÔi Ơy, bi toĂn (0.3) ữủc nhiÃu nh nghiản cựu toĂn giÊi tẵch v toĂn ựng dửng tẳm hiu v giợi thiằu Mởt số tĂc giÊ nữợc cõ cĂc cổng trẳnh nghiản cựu và bi toĂn ny cõ th k án nhữ: .V Thæng v Gibali (2018) [24], .V Thæng v Cholamjiak (2019) [25], .V Thæng v N.T Vinh (2019) [26], L.D M÷u, P.K Anh, .V Hi»u (2020) [27], Ta biát rơng, náu tờng A+B cụng l mởt toĂn tỷ ỡn iằu cỹc Ôi, thẳ cõ th Ăp dửng phữỡng phĂp (0.2) vợi T=A+B tẳm khổng im cừa tờng Tuy nhi¶n, nhi·u T khỉng ph£i l ìn i»u cỹc Ôi cho dũ A v B l ỡn iằu cỹc Ôi Do õ, ch cõ th xƠy dỹng mởt ph²p l°p düa v o to¡n tû gi£i cõa tøng to¡n tû A v B i·u n y cơng lđi th¸, cÊ T l ỡn iằu cỹc Ôi, viằc t½nh gi¡ trà cõa to¡n tû gi£i cõa T khâ hìn vi»c t½nh nâ cho tøng A v B Bði vêy, phữỡng phĂp tĂch cho giÊi bi toĂn (0.3) chẵnh l sû döng to¡n tû gi£i JrA , JrB cõa A v B thay cho dòng to¡n tû gi£i JrA+B cõa A + B Ph÷ìng ph¡p t¡ch cê iºn cừa Peaceman-Rachford [15], Douglas-Rachford [16] ữủc à xuĐt vo nhỳng nôm 1950 cho trữớng hủp c biằt cÊ A v B Ãu l toĂn tỷ tuyán tẵnh ỡn tr Nôm 1979, [17], Lions v Mercier  m rởng sỡ ỗ tĂch Douglas-Rachford cho trữớng hủp chung vợi A v B l cĂc toĂn tỷ ỡn iằu cỹc Ôi a trà Mët ph÷ìng ph¡p t¡ch thỉng dưng kh¡c ÷đc ÷a º gi£i b i to¡n (0.3) l ph÷ìng ph¡p tĂch tián-lũi Phữỡng phĂp ny ữủc à xuĐt bi Lions v Mercier [17], Passty [18] vo nôm 1979 vợi dÂy lp xk ữủc xĂc nh bi: xk+1 = Jk (I − rk A)xk , k ≥ 1, (0.4) â A, B l c¡c to¡n tû ìn i»u cüc Ôi trản H , Jk = (I + rk B)1 l to¡n tû gi£i cõa B , {rk } l dÂy số dữỡng Tuy nhiản, dÂy lp xk xĂc inh bi (0.4) cụng ch hởi tử yáu tợi mởt khỉng iºm cõa A + B º thu ÷đc sỹ hởi tử mÔnh, mởt số cÊi tián cừa phữỡng phĂp tĂch tián-lũi  ữủc ữa vợi dÂy lp ữủc xƠy dỹng kát hủp vợi cừa Mann (xem [19, 28]), Halpern (xem [29]), Mann-Halpern (xem [20, 30]) N«m 2000, Tseng [21]  à xuĐt mởt cÊi biản cừa phữỡng phĂp tĂch tián-lũi ch cƯn iÃu kiằn A l ỡn iằu v liản tửc Lipschitz trản têp lỗi õng cừa miÃn giĂ tr cừa nõ GƯn Ơy, mởt số tĂc giÊ cụng nghiản cựu phữỡng phĂp ny m khổng cƯn giÊ thiát toĂn tỷ A l - ngữủc ỡn iằu mÔnh (xem [22, 24, 25, 26, 27]) Sỹ hởi tử mÔnh cừa cĂc phữỡng phĂp thu ữủc Ãu cƯn i·u ki»n tham sè rk cõa to¡n tû gi£i ph£i b chn dữợi bi mởt hơng số lợn hỡn Mởt vĐn à nÊy sinh tứ Ơy l liằu cõ th xƠy dỹng ữủc phữỡng phĂp giÊi bi toĂn (0.3) m sỹ hởi tử mÔnh thu ữủc vợi iÃu kiằn rk dƯn tợi 0, hoc iÃu kiằn tờng quĂt hỡn cho d¢y tham sè cõa to¡n tû 77 to¡n (4.6)-(4.7) ữủc chựng minh vợi cĂc iÃu kiằn (C10), (C11), (C12) v (C13) Tø â, nh÷ nhúng h» qu£, chóng tỉi  nhên ữủc mởt số kát quÊ cho cĂc trữớng hđp mët hai tªp J1 , J2 ho°c c£ hai Ãu hỳu hÔn chựng minh kát quÊ chẵnh Ôt ữủc, chúng tổi chựng minh mởt số bờ à sau Bê · 4.1 Cho H1 v H2 l hai khỉng gian Hilbert thüc, Tj vỵi méi j ∈ J2 l Ănh xÔ khổng giÂn H2 cho jJ2 Fix(Tj ) = v A l Ănh xÔ tuyán t½nh bà ch°n tø H1 v o H2 Khi â, ∩j∈J2 A−1 Fix(Tj ) = ∩j∈J2 Fix(I − γA∗ (I − Tj )A) = A−1 (∩j∈J2 Fix(Tj )), vỵi γ l sè d÷ìng Chùng minh º chùng minh ¯ng thùc thự nhĐt, ta cƯn chựng minh A1 Fix(Tj ) = Fix(I − γA∗ (I − Tj )A), vỵi méi j J2 Thêt vêy, náu z A1 Fix(Tj ) tùc l Az = Tj Az , tø â suy (I −Tj )Az = 0, k²o theo A∗ (I Tj )Az = 0, dăn án z γA∗ (I − Tj )Az = z câ ngh¾a l z ∈ Fix(I − γA∗ (I − Tj )A) B¥y giớ, lĐy mởt phƯn tỷ z Fix(I A (I −Tj )A), tùc l γA∗ (I −Tj )Az = 0, k²o theo r¬ng A∗ (I − Tj )Az = 0, > Vẳ vêy Tj Az = Az + wj , A wj = LĐy mởt phƯn tỷ p ∈ A−1 Fix(Tj ), suy Ap ∈ Fix(Tj ) tùc l Tj Ap = Ap Ta câ ∥Az − Ap∥2 ≥ ∥Tj Az − Tj Ap∥2 = ∥Az − Ap + wj ∥2 = ∥Az − Ap∥2 + ∥wj ∥2 + 2⟨wj , A(z − p)⟩ = ∥Az − Ap∥2 + ∥wj ∥2 + 2⟨A∗ wj , z − p⟩ = ∥Az − Ap∥2 + ∥wj ∥2 Vẳ vêy, wj = 0, tứ õ suy Tj Az = Az tùc l z ∈ A−1 Fix(Tj ) ¯ng thùc thù hai l rã r ng ∩j∈J2 A−1 Fix(Tj ) = A−1 (∩j∈J2 Fix(Tj )) Bê · ÷đc chùng minh 78 Bê · 4.2 Cho H1, H2, A v γ nh÷ Bê · 4.1 v Tj vợi mội j N+ l Ănh xÔ khổng giÂn H2 cho ∩∞ j=1 Fix(Tj ) ̸= ∅ Khi â ð â T∞ C˜ := ∩j∈N+ Fix(I − γA∗ (I − Tj )A) = Fix(T∞ ), P = I − γA∗ (I − V∞ )A, V∞ = ∞ j=1 ηj Tj v ηj thäa m¢n i·u ki»n (C12) Chựng minh Ta biát rơng [73] Ănh xÔ V l khổng giÂn vợi têp im bĐt ởng Fix(V ) = j=1 Fix(Tj ) * Trữợc tiản, ta chựng minh bao h m thùc C˜ ⊂ Fix(T∞ ) L§y iºm bĐt ký z C thẳ (I A (I − Tj )A)z = z vỵi måi j ∈ N+ Hằ P quÊ, ta nhên ữủc j=1 ηj (I − γA (I − Tj )A)z = z , I v A l cĂc Ănh xÔ tuyán tẵnh nản (I A (I V )A)z = z Vẳ vêy, z Fix(T ) * Tiáp theo, chựng minh Fix(T ) C LĐy iºm b§t ký z ∈ Fix(T∞ ) v p ∈ A−1 Fix(V∞ ) Tø z ∈ Fix(T∞ ), ta cõ A (I V )Az = Vẳ vêy V∞ Az = Az + u, A∗ u = Tø p ∈ A−1 Fix(V∞ ) suy Ap ∈ Fix(V∞ ), tùc l (V∞ )Ap = Ap Ta câ ∥Az − Ap∥2 ≥ ∥V∞ Az − V∞ Ap∥2 = ∥Az − Ap + u∥2 = ∥Az − Ap∥2 + ∥u∥2 + 2⟨u, A(z − p)⟩ = ∥Az − Ap∥2 + ∥u∥2 + 2⟨A∗ u, z − p⟩ = ∥Az Ap2 + u2 Vẳ vêy, u = 0, tø â suy V∞ Az = Az tùc l Az ∈ Fix(V∞ ) = ∩∞ j=1 Fix(Tj ) hay z ∈ A−1 (∩∞ j=1 Fix(Tj )) Theo Bê · 4.1 dăn án z jN Fix(I A (I − Tj )A) := C˜ + Bê · ÷đc chùng minh Bê · 4.3 Cho H l khæng gian Hilbert thüc v Si vỵi méi i ∈ N+ l Ănh xÔ khổng giÂn cht H GiÊ sỷ iÃu kiằn (C10) thọa mÂn Khi õ, cĂc Ănh xÔ S∞ := P∞ i=1 βi Si v I − S∞ l Ănh xÔ khổng giÂn cht Chựng minh * Trữợc tiản, ta chựng minh Ănh xÔ S l khổng giÂn cht P Xt Ănh xÔ Sk := ki=1 (i /k )Si Tứ Si l Ănh xÔ khổng giÂn cht vỵi méi 79 i ∈ N+ v h m ∥x∥2 l hm lỗi, Sk uSk v, u v = k X (βi /β˜k )⟨Si u − Si v, u − v⟩ i=1 ≥ k X (βi /β˜k )∥Si u − Si v∥2 i=1 k X ˜ ≥ (β / β )(S u − S v) i k i i = ∥Sk u − Sk v∥ ∀u, v ∈ H i=1 Pk → S∞ u v β˜k → tø i·u ki»n (C11) k → ∞ Khi â, Sk u = (1/β˜k )S k u → S∞ u Cho k → ∞ Ta bi¸t (trong [73]) l S k u := i=1 βi Si u b§t ¯ng thùc tr¶n, ta câ ⟨S∞ u − S∞ v, u − v⟩ ≥ ∥S∞ u − S∞ v∥2 , tực l S l Ănh xÔ khổng giÂn cht * B¥y gií, ta chùng minh I − S∞ l ¡nh xÔ khổng giÂn cht Thêt vêy, ta cõ (ISi )u − (I − Si )v, u − v⟩ − ∥(I − Si )u − (I − Si )v∥2 = ⟨Si u − Si v, u − v⟩ − ∥Si u Si v2 v Si l Ănh xÔ khổng giÂn cht nản I Si cụng l Ănh xÔ khổng gi¢n ch°t Khi â, ⟨(I − Sk )u − (I − Sk )v, u − v⟩ = k X (βi /β˜k )⟨(I − Si )u − (I − Si )v, u − v⟩ i=1 ≥ k X (βi /β˜k )∥(I − Si )u − (I − Si )v∥2 i=1 k X ˜k )(I − Si )u − (I − Si )v = ∥(I − Sk )u − (I − Sk )v∥2 ≥ (β / β i i=1 Cho k bĐt ng thực trản, ta câ ⟨(I − S∞ )u − (I − S∞ )v, u − v⟩ ≥ ∥(I − S∞ )u − (I − S∞ )v∥2 tùc l I − S∞ l Ănh xÔ khổng giÂn cht Bờ à ữủc chựng minh 80 Bê · 4.4 Cho H1, H2 v A nhữ Bờ à 4.1 Khi õ, vợi số cố nh tũy ỵ (0, 2/(A2 + 2)), Ănh xÔ T, := I (A (I V )A + I) l co vợi hơng số , õ V l Ănh xÔ khổng giÂn cht v α l sè kho£ng (0, 1) Khi α = 0, Tγ := I − γA∗ (I − V )A l Ănh xÔ khổng giÂn Chựng minh Thêt vêy, tứ ¯ng thùc sau ∥Tγ,α x − Tγ,α y∥2 = ∥(1 − γα)(x − y) − γ[A∗ (I − V )Ax − A∗ (I − V )Ay]∥2 = (1 − γα)2 ∥x − y∥2 + γ ∥A∗ (I − V )Ax − A∗ (I − V )Ay∥2 − 2γ(1 − γα)⟨A∗ (I − V )Ax − A∗ (I − V )Ay, x − y⟩ v i·u ki»n γ v V , ta câ ∥Tγ,α x − Tγ,α y∥2 ≤ (1 − γα)2 ∥x − y∥2 + γ ∥A∗ (I − V )Ax − A∗ (I − V )Ay∥2 − 2γ(1 − γα)∥A∗ (I − V )Ax − A∗ (I − V )Ay∥2 /∥A∥2 ≤ (1 − γα)2 ∥x − y∥2 , bði v¼ 2γ(1 − γα)/∥A∥2 ≥ γ Vẳ vêy, T, l Ănh xÔ co Ró rng, = Ănh xÔ T l Ănh xÔ khổng giÂn nh lỵ 4.1 Cho H1, H2 v A nh÷ Bê · 4.1, {Ci}i∈N + v {Qj }j∈N+ tữỡng ựng l hai hồ vổ hÔn cĂc têp lỗi õng H1 v H2 GiÊ sỷ ̸= Ø v c¡c i·u ki»n (C10), (C11), (C12), (C13) thäa m¢n Khi â, d¢y {xk } x¡c ành bði (4.6)- (4.7) hởi tử mÔnh tợi nghiằm cõ chuân nhọ nhĐt cừa MSSFP (4.5) vợi J1 = J2 = N+ Chựng minh Trữợc tiản, ta chựng minh dÂy {xk } l b chn Thêt vêy, lĐy mởt im cố ành p ∈ Γ, tø Bê · 4.1 vỵi Tj = PQj v tẵnh chĐt khổng giÂn cừa PQj , ta biát rơng p Ci v (I k A∗ (I − PQj )A)p = p vỵi måi i, j, k ∈ N+ , v â, p = Uk p, Tγk p = p, v PCi Tγk p = p, (4.8) vợi bĐt ký i, k N+ , ð â Tγk = I − γk A∗ (I Vk )A Vẳ vêy, tứ tẵnh chĐt 81 khổng gi¢n cõa Uk v Bê · 4.4, k²o theo ∥xk+1 − p∥ = ∥Uk Tγk ,αk xk − Uk Tγk p∥ ≤ ∥Tγk ,αk xk − Tγk p∥ = ∥Tγk ,αk xk − Tγk ,αk p − γk αk p∥ ≤ (1 − γk αk )∥xk − p∥ + γk αk ∥p∥ ≤ max{∥x1 − p∥, ∥p∥} ˜ i·u â cõ nghắa dÂy {xk } l b chn Vẳ vêy, tỗn tÔi hơng số dữỡng M cho sup ∥xk ∥, ∥xk − p∥, ∥A∗ (I − Vk )Axk ∥ ≤ M k≥1 Ti¸p theo, tø Uk , Tk l Ănh xÔ khổng giÂn, I Vk l Ănh xÔ khổng giÂn cht, tứ chựng minh cho Bờ à 4.3, x2 l hm lỗi v (4.8) ta cõ ∥xk+1 − p∥2 = ∥Uk Tγk ,αk xk − Uk Tγk p∥2 ≤ ∥Tγk ,αk xk − Tγk p∥2 = ∥Tγk xk − Tγk p − γk αk xk ∥2 = ∥Tγk xk − Tγk p∥2 + (γk αk )2 ∥xk ∥2 − 2γk αk ⟨Tγk xk − Tγk p, xk ⟩ ≤ ∥xk − p∥2 − 2γk ⟨(I − Vk )Axk − (I − Vk )Ap, Axk − Ap⟩ ˜2 + γk2 ∥A∗ (I − Vk )Axk ∥2 + (γk αk )2 M − 2γk αk ⟨Tγk xk − Tγk p, xk ⟩ ≤ ∥xk − p∥2 − 2γk ∥Axk − Vk Axk ∥2 + γk2 ∥A∥2 ∥Axk − Vk Axk ∥2 ˜ − 2γk αk ⟨Tγ xk − Tγ p, xk ⟩ + (γk αk )2 M k k 2 k k ≤ ∥x − p∥ − γk (2 − γk ∥A∥ )∥Ax − Vk Axk ∥2 ˜ + 2γk αk M ˜ + (k k )2 M (4.9) Hỡn nỳa, lÔi Uk l Ănh xÔ khổng giÂn, ta cõ xk+1 Uk xk ∥ = ∥Uk Tγk ,αk xk − Uk xk ∥ ≤ ∥Tγk ,αk xk − xk ∥ (4.10) ˜ ≤ γk ∥A∥∥Axk − Vk Axk ∥ + γk αk M BƠy giớ, dũng lÔi tẵnh chĐt cừa php chiáu mảtric PCi vợi x = z k := Tk ,k xk , ta cõ th viát rơng z k PCi z k ∥2 + ∥PCi z k − p∥2 ≤ ∥z k − p∥2 , 82 v â, k X (βi /β˜k )∥z k − PCi z k ∥2 + i=1 k X (βi /β˜k )∥PCi z k − p∥2 ≤ ∥z k − p∥2 i=1 Tø x2 l hm lỗi trản H1 v bĐt ng thực tr¶n, ta câ k k X X k k k ˜k )(PC z − p) ≤ ∥z k − p∥2 ˜k )(z − PC z ) + (β / β (β / β i i i i i=1 i=1 Vẳ vêy, Tk ,k xk − xk+1 ∥2 + ∥xk+1 − p∥2 ≤ ∥Tγk ,αk xk − p∥2 = ∥Tγk xk − Tγk p − γk αk xk ∥2 = ∥Tγk xk − Tγk p∥2 − 2γk αk ⟨Tγk xk − Tγk p, xk ⟩ (4.11) ˜2 + (γk αk )2 M ˜ ˜ + (γk αk )2 M ≤ ∥xk − p∥2 + 2γk αk M M°t kh¡c, ∥Tγk ,αk xk − xk+1 ∥2 = ∥xk − xk+1 ∥2 + ∥γk αk xk + γk A∗ (I − Vk )Axk ∥2 − 2⟨γk αk xk + γk A∗ (I − Vk )Axk , xk − xk+1 ⟩ (4.12) Ti¸p theo, tø Uk l Ănh xÔ khổng giÂn, PCi l Ănh xÔ khổng giÂn cht v x2 l hm lỗi trản H1 , ∥xk+1 − p∥2 = ∥Uk Tγk ,αk xk − Uk Tγk p∥2 ≤ k X (βi /β˜k )∥PCi Tγk ,αk xk − PCi Tγk p∥2 i=1 ≤ ⟨Tγk ,αk xk − Tγk p, xk+1 − p⟩ = ⟨Tγk ,αk xk − Tγk ,αk p, xk+1 − p⟩ + γk αk ⟨p, p − xk+1 ⟩ γk = (1 − γk αk ) I − (A∗ (I − Vk )A) xk − γk αk γk ∗ k+1 − I− (A (I − Vk )A) p, x −p − γk αk + γk αk ⟨p, p − xk+1 ⟩ ≤ (1 − γk αk )∥xk − p∥∥xk+1 − p∥ + γk αk ⟨p, p − xk+1 ⟩ − γk αk k ≤ ∥x − p∥2 + ∥xk+1 − p∥2 + γk αk ⟨p, p − xk+1 ⟩, 2 83 bði v¼ I − γk [A∗ (I − Vk )A]/(1 − γk αk ) l Ănh xÔ khổng giÂn, Bờ à 4.4, (C13), (C14) v tẵnh chĐt cừa A (I Vk )A Vẳ vêy, xk+1 p2 (1 k k )∥xk − p∥2 + 2γk αk ⟨p, p − xk+1 ⟩ (4.13) Ta x²t hai tr÷íng hđp sau * Tr÷íng hủp Tỗn tÔi mởt hơng số dữỡng k0 cho ∥xk+1 − p∥ ≤ ∥xk − p∥ vỵi måi k k0 Vẳ vêy, limk xk p tỗn tÔi Tứ iÃu ny v (4.9) ta cõ lim sup γk (2 − γk ∥A∥2 )∥Axk − Vk Axk ∥2 = (4.14) k→∞ Tø i·u ki»n (C13), ta câ γk (2 − γk ∥A∥2 ) ≥ γk (2 − (2∥A∥2 /(∥A∥2 + 2)) ≥ 4ε0 /(∥A∥2 + 2) i·u n y cịng vỵi (4.14) k²o theo lim ∥Axk − Vk Axk ∥2 = k→∞ (4.15) Hìn núa, theo (4.10), (4.15) v k dăn án lim xk+1 − Uk xk ∥ = k→∞ (4.16) Do limk→∞ xk p tỗn tÔi, (4.11) v k 0, ta câ lim ∥Tγk ,αk xk − xk+1 ∥ = k→∞ (4.17) Tø ∥γk αk xk +γk A∗ (I −Vk )Axk ∥ ≤ γk αk ∥xk ∥+γk ∥A∥∥Axk −Vk Axk ∥, (4.15) v i·u ki»n αk suy lim ∥γk αk xk + γk A∗ (I − Vk )Axk = k (4.18) Vẳ vêy, tứ tẵnh b chn cừa {xk }, ta nhên ữủc lim k k xk + γk A∗ (I − Vk )Axk , xk − xk+1 ⟩ = k→∞ (4.19) Do (4.12), (4.17), (4.18) v (4.19), ta câ lim ∥xk+1 − xk ∥ = k→∞ (4.20) Tø {xk } v {γk } l b chn, khổng mĐt tẵnh tờng quĂt, ta cõ th giÊ thiát rơng tỗn tÔi mởt têp {kj } cõa {k} cho d¢y {xkj } hëi tư yáu tợi mởt phƯn tỷ x H1 v γkj → γ ∈ [ε0 , 2/(∥A∥2 + 2)] j → ∞ Ta s³ chùng minh x ˜ ∈ Γ Tø Bê · 4.1, 4.2 v 4.3, nâ õ º chùng minh r¬ng P x˜ ∈ ∩i∈N+ Ci ∩F ix(T∞ ) ho°c x˜ ∈ F ix(U∞ )∩F ix(T∞ ) vợi U = i=1 i PCi 84 Trữợc tiản, ta chựng minh rơng x F ix(U ) Thªt vªy, tø (4.16), (4.20), ta câ lim ∥xk − Uk xk ∥ = k→∞ (4.21) Tø Uk x → U∞ x k → ∞ vỵi x ∈ H1 , ta câ Ukj x → U∞ x j Vẳ vêy, vợi bĐt ký > v im bĐt ký x H1 tỗn tÔi j (x ) > cho Ukj x − U∞ x′ ∥ < ε vỵi måi j ≥ j (x ) Vẳ vêy, vợi mồi j j (x′ ), sup ∥Ukj x − U∞ x∥ ≤ sup ∥Ukj x − U∞ x∥ = ∥Ukj x′ − U∞ x′ ∥ < ε, x∈D x∈D1 vỵi x′ ∈ D1 , D l têp b chn bĐt ký cừa H1 v D1 l têp chựa D LĐy D = {xkj }, ta câ ∥Ukj xkj − U∞ xkj ∥ < ε, i·u â k²o theo lim ∥Ukj xkj U xkj = j (4.22) Vẳ vêy, tø (4.21), (4.22) v ∥xkj − U∞ xkj ∥ ≤ ∥xkj − Ukj xkj ∥ + ∥Ukj xkj − U∞ xkj ∥ ˜ ∈ F ix(U∞ ) k²o theo r¬ng ∥xkj − U∞ xkj ∥ → Khi â, theo Bê · 1.17, x B¥y gií, ta chùng minh x ˜ ∈ F ix(T∞ ) Thªt vªy, tø (4.17), (4.20), ta câ lim ∥xk − Tγk ,αk xk ∥ = k (4.23) Bơng lêp luên tữỡng tỹ nhữ trản, ta nhên ữủc lim Vkj Axkj V Axkj = 0, j→∞ i·u n y cịng vỵi (4.23), ∥xkj − T∞ xkj ∥ ≤ ∥xkj − Tγkj ,αkj xkj ∥ + ∥Tγkj ,αkj xkj − T∞ xkj ∥ ˜ ≤ ∥xkj − Tγkj ,αkj xkj ∥ + ∥Tγkj xkj − T∞ xkj ∥ + γkj αkj M ˜ ≤ ∥xkj − Tγkj ,αkj xkj ∥ + |γkj − γ|M ˜ + γ∥Vkj Axkj − V∞ Axkj ∥ + γkj αkj M v giÊ thiát ko theo rơng xkj T xkj Dũng lÔi Bờ à 1.14, ta câ x˜ ∈ F ix(T∞ ) Rã r ng, måi d¢y hëi tư y¸u cõa {xk } hëi tư y¸u tợi mởt nghiằm cừa (1.1) 85 Tiáp theo, ta chựng minh dÂy {xk } hởi tử mÔnh tợi nghiằm cõ chuân nhọ nhĐt x cừa MSSFP (1.27) Ta nhên thĐy rơng lim supx , x xk = lim ⟨x∗ , x∗ − xkl ⟩ = ⟨x∗ , x∗ − x˜⟩ ≤ 0, l→∞ k→∞ (4.24) tø â x l nghiằm cõ chuân nhọ nhĐt cừa MSSFP (4.5) Cuối cũng, dũng (4.13) vợi p thay thá bi x , (4.24) v Bờ à 1.10 ta nhên ữủc xk −x∗ ∥ → k → ∞ * Tr÷íng hủp Tỗn tÔi dÂy {xkl } cừa {xk } cho ∥xkl − p∥ < ∥xkl +1 − p∥ vỵi måi l ∈ N+ Do â, theo Bê · 1.11, tø d¢y {xk } l bà ch°n, tỗn tÔi dÂy khổng giÊm {mk } N+ cho mk → ∞ v ∥xmk − p∥ ≤ ∥xmk +1 − p∥ v ∥xk − p∥ ≤ ∥xmk +1 − p∥ (4.25) vỵi méi k ∈ N+ Khi õ, tỗn tÔi limk xmk p, v õ cụng lêp luên giống nhữ trản, ta nhên ữủc cĂc ng thực (4.15)-(4.17) v (4.20) vợi k thay thá bi mk v mồi im giợi hÔn yáu x cừa {xmk } thuëc Γ Hìn núa, lim sup⟨x∗ , x∗ − xmk +1 ⟩ = ⟨x∗ , x∗ − x˜⟩ ≤ (4.26) k→∞ Tø (4.13) v b§t ¯ng thùc thự nhĐt (4.25) vợi p thay thá bi x suy ∥xmk − x∗ ∥2 ≤ ⟨x∗ , x∗ − xmk +1 ⟩, (4.27) vỵi méi k ∈ N+ Bði (4.26) v (4.27), lim sup ∥xmk − x∗ = (4.28) k BƠy giớ, tứ (4.20) vợi k thay th¸ bði mk v (4.28), ta câ lim ∥xmk +1 − x∗ ∥ ≤ lim ∥xmk +1 − xmk ∥ + lim ∥xmk − x∗ ∥ = 0, k→∞ k→∞ k→∞ i·u â cịng b§t ¯ng thùc thù hai (4.25) k²o theo lim ∥xk − x∗ ∥ = k nh lỵ ữủc chựng minh Tứ kát quÊ cừa nh lỵ 4.1, vợi cĂc trữớng hủp ôc bi»t cõa c¡c tªp ch¿ sè J1 v I2 chóng tổi thu ữủc cĂc nh lỵ sau 86 nh lỵ 4.2 Cho H1, H2 v A nhữ nh lỵ 4.1, {Ci}Ni=1 v {Qj }jN + tữỡng ựng l hai hồ cĂc têp lỗi, õng H1 v H2 Gi£ sû Γ ̸= Ø, d¢y l°p xk ÷đc x¡c ành bði: x1 ∈ H1 , xk+1 = U Tγk ,αk xk , (4.29) ∀k ≥ 1, PN Pk ∗ β P , T = I−γ (A (I−V )A+α I) , V = i C γ ,α k k k k i k k i=1 j=1 ηj PQj , η˜k vỵi c¡c tham sè βi , ηj , αk v γk thäa m¢n c¡c i·u ki»n (C11), (C12), (C13) ð â U = v N P (C10 ) βi > vỵi ≤ i ≤ N cho βi = i=1 Khi â, dÂy xk hởi tử mÔnh tợi nghiằm cõ chuân nhọ nh§t cõa b i to¡n ′ (4.5) Chùng minh L§y Ci = CN vỵi måi i > N , ta quay tr lÔi nh lỵ 4.1 nh lỵ 4.3 Cho H1, H2 v A nhữ nh lỵ 4.1, {Ci}iN + v {Qj }M j=1 t÷ìng ùng l hai hå c¡c têp lỗi, õng H1 v H2 GiÊ sỷ = ỉ, dÂy lp xk ữủc xĂc ành bði: x1 ∈ H1 , xk+1 = Uk (I − γk (A∗ (I − V )A + αk I))xk , ð â Uk = k P β˜k βi PCi , V = M P ∀k ≥ 1, (4.30) ηj PQj vỵi c¡c tham sè βi , ηj , αk v γk thäa i=1 i=1 m¢n c¡c i·u ki»n (C10), (C12), (C13) v M P (C11′ ) ηj > vỵi ≤ j ≤ M cho ηj = j=1 Khi â, d¢y xk hëi tư mÔnh tợi nghiằm cõ chuân nhọ nhĐt cừa bi toĂn (4.5) nh lỵ 4.4 Cho H1, H2 v A nhữ nh lỵ 4.1, {Ci}Mi=1 v {Qj }Nj=1 tữỡng ựng l hai hồ cĂc têp lỗi, õng H1 v H2 Gi£ sû Γ ̸= Ø, d¢y l°p xk ÷đc x¡c ành bði: x1 ∈ H1 , xk+1 = U (I − γk (A∗ (I − V )A + αk I))xk , ð â U = PN i=1 βi PCi , V = M P ∀k ≥ 1, (4.31) ηj PQj vỵi c¡c tham sè βi , ηj , αk v γk thäa i=1 m¢n c¡c i·u ki»n (C10′ ), (C11′ ), (C12), (C13) Khi â, d¢y xk (4.5) hởi tử mÔnh tợi nghiằm cõ chuân nhọ nhĐt cừa bi toĂn 87 4.3 Vẵ dử số minh håa Chóng tỉi x²t MSSFP (4.5) vỵi \ C := Ci and Q := i∈J1 \ Qj j∈J2 ð â (4.32) Ci = {x ∈ En : ai1 x1 + ai2 x2 + · · · + ain xn ≤ bi }, vỵi ail , bi ∈ (−∞; +∞), ≤ l ≤ n v i ∈ N+ , m Qj = {y ∈ E : m X (yl − ajl )2 ≤ Rj }, Rj > 0, (4.33) l=1 vỵi ajl ∈ (−∞; +∞), ≤ l ≤ m, j ∈ N+ , v A l ma trªn cù m ì n Trong vẵ dử thự nhĐt, chúng tỉi x²t tr÷íng hđp m = n = 2, A l ma trªn ìn và, ai1 = 1/i, ai2 = −1, bi = 0, ∀i ≥ 1, Rj = v aj = (1/j, 0), ∀j ≥ Khi â, x = (0; 0) l nghiằm nhĐt cõ chuân nhọ nhĐt cừa (4.32)-(4.33) Tứ A = I , phữỡng phĂp (4.6)- (4.7) cõ dÔng (4.34) xk+1 = Uk ((1 − γk (1 + αk ))xk + γk Vk xk ) Dũng phữỡng phĂp (4.34) vợi i = i = 1/(i(i + 1)), αk = 1/k , γk = 1/(1 + 0.05 + (1/k) v iºm bt ¦u x1 = (3.0; 3.0), chúng tổi nhên ữủc bÊng kát quÊ số sau BÊng 4.1 Kát quÊ tẵnh toĂn dũng phữỡng ph¡p (4.34) k xk+1 xk+1 xk+1 k xk+1 0.0243902439 0.3658536585 100 0.0012390505 0.0083945251 10 0.0102553274 0.0694794968 500 0.0002695347 0.0018260888 20 0.0055344982 0.0374960376 1000 0.0001394192 0.0009445606 30 0.0038180428 0.0258671112 2000 0.0000720824 0.0004883558 40 0.0029249862 0.0198166827 3000 0.0000489994 0.0000331969 Trong vẵ dử thự hai, vợi Ci , βi , ηj , Rj , γk , αk v im bưt Ưu x1 giống nhữ vẵ dử trản, chúng tổi xt têp mợi Qj = {y E3 : ∥y − aj ∥ ≤ 1} ð â aj = (1/(j + 1); 1/(j + 1); 1/(j + 1)) v A l ma cù ì vợi ai1 = 1, i = 1, 2, 3, c¡c ph¦n tû cỏn lÔi bơng Khi õ, x = (0; 0) l nghiằm nhĐt cõ chuân nhọ nhĐt Kát quÊ tẵnh toĂn bơng cĂch dũng phữỡng phĂp (4.6)-(4.7) ữủc trẳnh b y b£ng sè sau 88 B£ng 4.2 K¸t quÊ tẵnh toĂn dũng phữỡng phĂp (4.6)-(4.7) xk+1 k xk+1 k xk+1 xk+1 0.6019388274 1.5365833659 100 0.0142047415 0.0363009852 10 0.1176994981 0.3004546610 500 0.0030934268 0.0078966734 20 0.0635189516 0.1621465290 1000 0.0016001024 0.0040846244 30 0.0438193443 0.1118588139 2000 0.0008272834 0.0021118284 40 0.0356981140 0.0856945566 3000 0.0005623615 0.0014355553 Qua c¡c kát quÊ tẵnh toĂn số thu ữủc BÊng 4.1 v BÊng 4.2 cho thĐy cĂc phữỡng phĂp cừa chúng tổi sau 3000 bữợc lp thu ữủc nghiằm xĐp x khĂ gƯn nghiằm úng cừa bi toĂn (4.5) CĂc kát quÊ tẵnh toĂn ữủc chÔy trản phƯn mÃm Free Pascal IDE vợi mĂy tẵnh Intel(R) Core(TM) i5-5200U CPU @ 2.20GHz, 2.20GHz, 4.00GB of RAM KT LUN CHìèNG Trong chữỡng ny, chúng tổi à xuĐt phữỡng phĂp hiằu chnh lp cho bi toĂn chĐp nhên tĂch nhiÃu têp khổng gian Hilbert tr÷íng hđp J1 v J2 l c¡c hồ vổ hÔn ám ữủc Kát quÊ ữủc trẳnh by nh lỵ 4.1 Tứ õ, nhữ nhỳng hằ quÊ chúng tổi nhên ữủc cĂc kát quÊ cho cĂc trữớng hđp mët hai tªp ch¿ sè J1 , J2 hoc cÊ hai Ãu hỳu hÔn ( nh lỵ 4.2, nh lỵ 4.3 v nh lỵ 4.4) Phữỡng phĂp cừa chúng tổi l m rởng kát quÊ cừa Xu ữu im l tÔi mội bữợc lp ch dũng hỳu hÔn cĂc têp cừa hai hồ J1 v J2 nản viằc tẵnh toĂn s dng hỡn Cuối chữỡng l vẵ dử số nhơm minh hoÔ cho phữỡng phĂp  Ôt ữủc 89 KT LUN Luên Ăn  Ôt ữủc cĂc kát quÊ sau: 1) tẳm khổng im cừa toĂn tỷ ỡn iằu cỹc Ôi khổng gian Hilbert chúng tổi giợi thiằu mởt cÊi biản cừa phữỡng phĂp im gƯn kÃ, sỹ hởi tử mÔnh cừa phữỡng phĂp ny ữủc chựng minh khổng cƯn thảm iÃu kiằn no kh¡c l¶n tham sè cõa to¡n tû gi£i cõa to¡n tỷ  cho 2)  nhên ữủc mởt kát quÊ tữỡng tỹ cho bi toĂn bao hm thực bián phƠn ỡn iằu 3)  à xuĐt mởt phữỡng phĂp hiằu chnh lp giÊi bi toĂn chĐp nhên tĂch vợi hai hồ vổ hÔn cĂc têp õng lỗi iÃu quan trồng cừa phữỡng phĂp ny l mội bữợc lp ch dũng hỳu hÔn cĂc têp cừa hai hồ trản 4) ữa cĂc vẵ dử số minh hoÔ cho cĂc phữỡng phĂp à xuĐt CĂc hữợng nghiản cựu tiáp theo 1) à xuĐt v nghiản cựu sỹ hởi tử cừa cĂc phữỡng phĂp lp mợi tẳm khổng im cừa toĂn tỷ dÔng ỡn iằu, cừa tờng hai toĂn tỷ ìn i»u khỉng gian Hilbert v Banach 2) ¡nh giĂ tốc ở hởi tử tợi nghiằm cừa cĂc phữỡng ph¡p l°p º t¼m khỉng iºm cõa to¡n tû ìn iằu cỹc Ôi, tờng hai toĂn tỷ ỡn iằu cỹc Ôi khổng gian Hilbert  Ôt ữủc Chữỡng 2, Chữỡng 3) Tiáp tửc nghiản cựu phữỡng phĂp hiằu chnh lp cho giÊi bi toĂn chĐp nhên tĂch nhiÃu têp vợi tham số lp khổng phử thuởc vo chuân cừa toĂn tỷ 90 DANH MệC CC CặNG TRNH CỈNG BÈ (1) N Buong, P.T.T Hoai, Iterative methods for zeros of a monotone variational inclusion in Hilbert spaces, Calcolo, 2018, 55, art:7 (SCIE, Q1) (2) N Buong, P.T.T Hoai, K.T Binh, Iterative Regularization Methods for the Multiple-Sets Split Feasibility Problem in Hilbert Spaces, Acta Appl Math, 2019, 165, 183-197 (SCIE, Q2) (3) N.T.T Thuy, P.T.T Hoai, N.T.T Hoa, Explicit iterative methods for maximal monotone operators in Hilbert spaces, Nonlinear Functionnal Analysis and Applications, 2020, 25(4), 753-767 (SCOPUS) (4) N.T.Q Anh, P.T.T Hoai, Modified forward-backward splitting methods in Hilbert spaces, East-West Journal of Mathematics, 2020, 22(1), 1329 (5) N Buong, N.T.T Hoa, P.T.T Hoai, Iterative methods with maximal monotone operators in Hilbert spaces, K y¸u Hëi th£o quèc gia lƯn thự XXIII: Mởt số vĐn à chồn lồc cõa Cæng ngh» thæng tin v truy·n thæng, Qu£ng Ninh, ngy 5-6 thĂng 11 nôm 2020, Nh xuĐt bÊn Khoa håc v kÿ thuªt, 2020, 158-164 T i li»u tham kh£o [1] B Martinet, Regularisation dinequations variationelles par appoximations succivees, Revue Francaise dInformatiques et de Recherche Operationelle, 1970, 4, 154-159 [2] R.T Rockafellar, Monotone operators and the proximal point algorithm, SIAM J Control and Optimization, 1976, 14(5), 877-898 [3] O Gu ăler, On the convergence of the proximal point algorithm for convex minimization, SIAM J Control and Optimization, 1991, 29, 403-419 [4] J Eckstein, D.P Bertsekas, On the Douglas-Rachford splitting method and the proximal point algorithm for maximal monotone operators, Mathematical Programming, 1992, 55, 293-318 [5] N Lehdili, A Moudafi, Combining the proximal point algorithm and Tikhonov regularization, Optimization, 1996, 37, 239-252 [6] H.K Xu, A regularization method for the proximal point algorithm, Journal of Global Optimization, 2006, 36, 115-125 [7] O.A Boikanyo, G Morosanu, A generalization of the regularization proximal point method, Nonlinear Analysis and Applications., Article ID jnaa-00129, (2012), doi:10.5899/2012/ jnaa-00129 [8] S Kamimura, W Takahashi, Approximating solutions of maximal monotone operators in Hilbert spaces, Journal of Approximation Theory, 2000, 106, 226-240 [9] Y Yao, M.A Noor, On convergence criteria of generalized proximal point algorithm, Journal of Computation Applied Mathematics, 2008, 217, 46-55
Ngày đăng: 22/06/2023, 15:30
Xem thêm:
