Luận án tiến sĩ một số lược đồ xấp xỉ cho phương trình vi phân ngẫu nhiên với hệ số không chính qui

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO BỘ QUỐC PHÒNG VIỆN KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ QUÂN SỰ LƯƠNG ĐỨC TRỌNG MỘT SỐ LƯỢC ĐỒ XẤP XỈ CHO PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN NGẪU NHIÊN VỚI HỆ SỐ KHƠNG CHÍNH QUI LUẬN ÁN TIẾN SĨ TỐN HỌC HÀ NỘI – 2022 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO BỘ QUỐC PHỊNG VIỆN KHOA HỌC VÀ CƠNG NGHỆ QN SỰ LƯƠNG ĐỨC TRỌNG MỘT SỐ LƯỢC ĐỒ XẤP XỈ CHO PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN NGẪU NHIÊN VỚI HỆ SỐ KHƠNG CHÍNH QUI Ngành: Lý thuyết xác suất thống kê toán học Mã số: 46 01 06 LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS TS Ngơ Hồng Long NCVCC TS Nguyễn Hồng Hải HÀ NỘI – 2022 i LỜI CAM ĐOAN Tơi cam đoan cơng trình nghiên cứu riêng tơi Các kết trình bày luận án trung thực chưa cơng bố cơng trình khoa học khác, liệu tham khảo trích dẫn đầy đủ Tháng 11 Năm 2022 Nghiên cứu sinh Lương Đức Trọng ii LỜI CẢM ƠN Luận án hoàn thành Viện Công nghệ thông tin-Viện Khoa học Công nghệ quân sự hướng dẫn PGS.TS Ngơ Hồng Long NCVCC TS Nguyễn Hồng Hải Nghiên cứu sinh bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới TS Nguyễn Hồng Hải, người dìu dắt tơi vào đường nghiên cứu khoa học Nghiên cứu sinh xin cảm ơn PGS TS Ngơ Hồng Long, người tận tình bảo, hướng dẫn nghiên cứu truyền cho nghiên cứu sinh say mê nghiên cứu khoa học Không người thầy hướng dẫn khoa học tận tâm, nghiên cứu sinh, PGS TS Ngơ Hồng Long cịn người thầy mẫu mực để noi theo, người chia sẻ nhiều vui buồn, người ln khích lệ nghiên cứu sinh vững vàng sống Nghiên cứu sinh trân trọng cảm ơn Ban Giám đốc Viện Khoa học Công nghệ Quân sự, Thủ trưởng Viện Công nghệ thông tin, Thủ trưởng cán nhân viên Phòng Đào tạo, Viện chuyên ngành, tạo điều kiện cho nghiên cứu sinh nơi làm việc, môi trường học thuật để học tập nghiên cứu Xin cảm ơn Trường Đại học Sư phạm Hà nội, Ban Chủ nhiệm khoa Toán-Tin tạo điều kiện thuận lợi cho NCS q trình học tập cơng tác Nghiên cứu sinh xin chân thành cảm ơn TS Nguyễn Thu Thủy, ThS Kiều Trung Thủy đồng hành cộng tác khoa học Cảm ơn TS Nguyễn Ngọc Luân, người anh giúp đỡ, cho lời khuyên, lời động viên bổ ích để nghiên cứu sinh hồn thành Luận án Cuối cùng, nghiên cứu sinh xin tỏ lòng biết ơn tới gia đình, người ln bên cạnh yêu thương vô điều kiện, động viên chia sẻ khó khăn thời gian nghiên cứu sinh nghiên cứu khoa học hoàn thành Luận án Tác giả luận án iii MỤC LỤC DANH MỤC CÁC KÍ HIỆU, CHỮ VIẾT TẮT vi DANH MỤC CÁC BẢNG viii DANH MỤC CÁC HÌNH VẼ ix MỞ ĐẦU Chương SƠ LƯỢC VỀ GIẢI SỐ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN NGẪU NHIÊN 1.1 Phương trình vi phân ngẫu nhiên Itơ 1.1.1 Tích phân ngẫu nhiên Itơ 1.1.2 Phương trình vi phân ngẫu nhiên 1.1.3 Tính bị chặn liên tục mô men nghiệm phương trình vi phân ngẫu nhiên 1.1.4 Tính ổn định nghiệm phương trình vi phân ngẫu nhiên 1.2 Xấp xỉ nghiệm phương trình vi phân ngẫu nhiên 1.2.1 Phương pháp Monte-Carlo đa cấp 1.2.2 Định lý hội tụ theo trung bình 1.2.3 Lược đồ Euler 1.2.4 Lược đồ Milstein 1.3 Một số kết giải số nghiệm phương trình vi phân ngẫu nhiên 11 12 14 14 15 17 18 18 1.3.1 Sự tồn nghiệm phương trình vi phân ngẫu nhiên với hệ số khơng qui 18 1.3.2 Tính ổn định nghiệm nghiệm xấp xỉ 23 1.4 Kết luận Chương 24 iv Chương LƯỢC ĐỒ EULER-MARUYAMA KHỐNG CHẾ CHO PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN NGẪU NHIÊN 25 2.1 Giới thiệu toán 25 2.2 Một số điều kiện 26 2.3 Xấp xỉ Yamada-Watanabe 28 2.4 Sự tồn nghiệm phương trình vi phân ngẫu nhiên với hệ số khơng qui 30 2.5 Tốc độ hội tụ mạnh cho phương trình vi phân ngẫu nhiên có hệ số dịch chuyển tăng tuyến tính hệ số khuyếch tán liên tục Hăolder 35 2.6 Tốc độ hội tụ mạnh cho phương trình vi phân ngẫu nhiên có hệ số dịch chuyển tăng tuyến tớnh v h s khuych tỏn liờn tc Hăolder a phương 47 2.7 Kết luận Chương 57 Chương SỰ HỘI TỤ, TÍNH KHƠNG ÂM VÀ ỔN ĐỊNH CỦA LƯỢC ĐỒ EULER-MARUYAMA CẢI TIẾN 58 3.1 Giới thiệu toán 58 3.2 Một số điều kiện 59 3.3 Mở rộng xấp xỉ Yamada Watanabe 60 3.4 Lược đồ Euler-Maruyama cải tiến 62 3.5 Sự hội tụ 63 3.6 Tính ổn định mũ theo chuẩn Lp 69 3.7 Xấp xỉ không âm 74 3.8 Thực nghiệm giải số 75 3.9 Kết luận Chương 78 Chương LƯỢC ĐỒ MILSTEIN NỬA ẨN CHO HỆ ĐIỂM KHÔNG VA CHẠM 80 4.1 Giới thiệu toán 80 4.2 Một số điều kiện 82 4.3 Lược đồ Euler-Maruyama nửa ẩn 83 4.4 Lược đồ xấp xỉ Milstein nửa ẩn 84 v 4.4.1 Biểu diễn sai số 85 4.4.2 Một số ước lượng 86 4.4.3 Tốc độ hội tụ lược đồ 96 4.4.4 Ví dụ mơ 98 4.5 Kết luận Chương 100 KẾT LUẬN 101 DANH MỤC CƠNG TRÌNH KHOA HỌC ĐÃ CÔNG BỐ 103 TÀI LIỆU THAM KHẢO 104 vi DANH MỤC CÁC KÍ HIỆU, CHỮ VIẾT TẮT h.c.c Hầu chắn R Tập số thực R+ R d Tập số thực dương Khơng gian Euclid d-chiều Rd×m Khơng gian ma trận thực d × m x(i) k·k A> trace(A) |A| (Ω, F, P) E[X] sup inf limsup supp f Mp (D; R) Thành phần thứ i vectơ x Chuẩn Euclid Ma trận chuyển vị ma trận A Vết ma trận A Chuẩn theo vết ma trận A, |A| = p trace(A> A) Không gian xác suất có lọc {Ft }t≥0 Kỳ vọng biến ngẫu nhiên X Cận nhỏ Cận lớn Giới hạn Giá hàm f Không gian hR q trình iFt -tương thích f = {f (t)}t∈D T thỏa mãn E |f (t)|p dt < ∞ Mp (D; Rd×m ) Khơng gian q trìnhh Ft -tương thích f i RT {(fij (t))d×m }t∈D thỏa mãn E |f (t)|p dt < ∞ Lp (R+ ; R) Khơng gian q trình nhận giá trị thực, Ft -tương RT thích f = {f (t)}t≥0 thỏa mãn |f (t)|p dt < ∞ h.c.c Lp (R+ ; Rd ) Khơng gian q trình nhận giá Rd , Ft -tương RT thích f = {f (t)}t≥0 thỏa mãn |f (t)|p dt < ∞ h.c.c Lp (R+ ; Rd×m ) Khơng gian q trình Ft -tương thích f RT {(fij (t))d×m }t≥0 thỏa mãn |f (t)|p dt < ∞ h.c.c Lp (Ω; Rd ) Không gian biến ngẫu nhiên ξ nhận giá trị Rd cho E[|ξ|p ] < ∞ = = vii C[a; b] C 1,2 (R+ × R; R) Khơng gian hàm liên tục [a; b] Không gian hàm thực V (t, x) xác định R+ × R, khả vi liên tục t khả vi liên tục cấp hai x ∂ ∂x Đạo hàm riêng theo biến x Vt (t, x) Vx (t, x) Vxx (t, x) Đạo hàm hàm V theo biến số t PTVPNN Phương trình vi phân ngẫu nhiên PEM Lược đồ Euler-Maruyama gốc BEM Lược đồ Euler-Maruyama nghịch TEM Lược đồ Euler-Maruyama khống chế SIEM Lược đồ Euler-Maruyama nửa ẩn SIM Lược đồ Milstein nửa ẩn Đạo hàm hàm V theo biến số x Đạo hàm cấp hai hàm V theo biến số x viii DANH MỤC CÁC BẢNG Bảng 2.1 Một số hàm số thỏa mãn điều kiện A1-A5 28 Bảng 2.2 Sai số lược đồ hệ số thỏa mãn A3’ 40 Bảng 2.3 Sai số lược đồ khống chế hệ số thỏa mãn A4” 41 Bảng 2.4 Sai số xấp xỉ hệ số thỏa mãn A3’ 54 Bảng 2.5 Sai số lược đồ khống chế hệ số thỏa mãn A4” 55 Bảng 4.1 Tốc độ hội tụ lược đồ giải số 99 Xs∧θR − Xs∧θ R Theo bất đẳng thức Gronwall   = E Xt∧θR − Xt∧θ R Điều có nghĩa Xt∧θR = Xt∧θ hầu chắn Do R   E[|Xt − Xt0 |] = E |Xt − Xt0 |1[θR ≤t] (2.6) 32 Áp dụng bất đẳng thức Young cho q = (2.3), ta E|Xt − Xt0 |2 + 2R ≤ E|Xt − Xt0 |2 + 2R ≤ E|Xt − Xt0 |2 + 2R E [|Xt − Xt0 |] ≤ R P [θR ≤ T ]   2 E[ sup |Xt | ] + E[ sup |Xt | ] 2R 0≤t≤T 0≤t≤T C R Cho R → ∞ ta có E[|Xt − Xt0 |] = Điều có nghĩa Xt = Xt0 hầu chắn Định lý chứng minh Kết sử dụng để chứng minh Định lý 2.4.1 Bổ đề 2.4.2 ([19], Định lý 2.8, tr 149) Giả sử b(t, x) liên tục Lipschitz   theo x v (t, x) l liờn tc (1/2 + )-Hă older theo x với α ∈ 0, 21 , b(t, 0), σ(t, 0) bị chặn [0, T ] Khi đó, phương trình (2.1) có nghiệm theo nghĩa mạnh Chứng minh Định lý 2.4.1 (ii) Với N > 0, đặt   b(t, x) |x| ≤ N,      bN (t, x) = b t, N|x|x (N + − |x|) N < |x| < N + 1,    0 |x| ≥ N + 1, σN (t, x) =   σ(t, x)      |x| ≤ N, σ t, N|x|x (N + − |x|) N < |x| < N + 1,    0 |x| ≥ N + Các hàm số bN σN thỏa mãn điều kiện Bổ đề 2.4.2 Do phương trình Z XN (t) = x0 + t Z bN (s, XN (s))ds + t σN (s, XN (s))dWs (2.7) có nghiệm theo nghĩa mạnh XN (t) Phần lại chứng minh rằng N → ∞, XN hội tụ hầu chắn tới trình ngẫu nhiên X thỏa mãn phương trình (2.1) 33 Với N > 0, đặt θN = T ∧ inf{t ∈ [0, T ] : |XN (t)| ≥ N } Do tính nghiệm phương trình (2.7) nên XN (t) = XM (t) hầu chắn với t < θN N < M Tiếp theo, ta chứng minh θN = T hầu chắn với N đủ lớn Thật vậy, theo điều kiện A1’, xbN (t, x) + p0 − |σN (t, x)|2 ≤ 2L(1 + |x|2 ) với x ∈ R Suy bN (x) σN (t, x) thỏa mãn điều kiện A1’ Theo Định lý 1.1.14, tồn số Cp > không phụ thuộc vào N n, cho   E sup |XN (t)|p ≤ Cp , với N > 0≤t≤T Suy  Cp ≥ E sup |XN (t)| 0≤t≤T Do    ≥ E sup |XN (t)| 1[θN 0, q > k > 1, theo bất đẳng thức Young E [|XN +k (t ∧ θN +k ) − XN (t ∧ θN )|p ]   ≤ E [|XN +k (t)|p + |XN (t)|p ]1{θN cho sup E [|X(t)|p ] ≤ Cp0 0≤t≤T Theo định nghĩa bN (t, x), ta có Z t∧θN E [bN (s, XN (s)) − b(s, X(s))] ds