��I HÅC TH�I NGUY�N TR×ÍNG ��I HÅC KHOA HÅC NGUY�N B� �ÆN MËT PH×ÌNG PH�P T�CH GI�I MËT LÎP B�I TO�N C�N B�NG LU�N V�N TH�C S� TO�N HÅC Th¡i Nguy¶n N«m 2018 ��I HÅC TH�I NGUY�N TR×ÍNG ��I HÅC KHOA HÅC[.]
I HÅC THI NGUYN TR×ÍNG I HÅC KHOA HÅC NGUYN B ặN MậT PHìèNG PHP TCH GII MậT LẻP BI TON C N BNG LUN VN THC S TON HÅC Th¡i Nguyản - Nôm 2018 I HC THI NGUYN TRìNG I HC KHOA HC NGUYN B ặN MậT PHìèNG PHP TCH GII MậT LẻP BI TON CN BNG Chuyản ngnh: TON ÙNG DƯNG M¢ sè : 8460112 LUN VN THC S TON HC Ngữới hữợng dăn khoa hồc: GS TSKH L DễNG MìU ThĂi Nguyản - Nôm 2018 i Mửc lửc Möc löc Líi c£m ìn Líi nâi ¦u Mởt số kỵ hiằu v chỳ viát tưt Bi toĂn cƠn bơng 1.1 1.2 1.3 i Mët sè kh¡i ni»m cì b£n Sỹ tỗn tÔi nghiằm v cĂc tẵnh chĐt cỡ bÊn cừa bi toĂn cƠn bơng 14 CĂc trữớng hủp riảng cừa bi toĂn cƠn bơng 18 Thuªt to¡n t¡ch gi£i b i toĂn cƠn bơng ỡn iằu 23 Kát luên Ti liằu tham khÊo 38 39 2.1 2.2 Thuêt toĂn tuƯn tỹ v sü hëi tö Thuªt to¡n song song v sü hëi tư 24 33 LÍI CM ÌN Luªn vôn ny ữủc hon thnh dữợi sỹ hữợng dăn tên tẳnh v sỹ ch bÊo nghiảm khưc cừa thƯy giĂo GS TSKH Lả Dụng Mữu (Trữớng Ôi hồc Thông Long H Nëi) Tỉi xin gûi líi c£m ìn ch¥n th nh v sƠu sưc nhĐt án thƯy TĂc giÊ cụng xin kẵnh gỷi lới cÊm ỡn án cổ giĂo PGS.TS Nguyạn Thà Thu Thõy cịng c¡c th¦y, cỉ gi¡o tham gia giÊng dÔy khõa hồc cao hồc 2016 - 2018, nhỳng ngữới  tƠm huyát giÊng dÔy v trang b cho t¡c gi£ nhi·u ki¸n thùc cì sð Xin gûi líi cÊm ỡn án Ban giĂm hiằu, o tÔo, khoa ToĂn - Tin Trữớng HKH, Ôi hồc ThĂi Nguyản  tÔo iÃu kiằn thuên lủi cho tổi quĂ trẳnh hồc têp tÔi trữớng Xin chƠn thnh cÊm ỡn gia ẳnh, bÔn b ỗng nghiằp v cĂc thnh viản lợp cao hồc toĂn K10A  luổn quan tƠm, ởng viản, giúp ù tổi thới gian hồc têp v quĂ trẳnh lm luên vôn Tuy bÊn thƠn cõ nhiÃu cè gng, song thíi gian v n«ng lüc cõa b£n thƠn cõ hÔn nản luên vôn khõ trĂnh khọi nhỳng thiáu sõt RĐt mong ữủc sỹ õng gõp quỵ bĂu cừa Quỵ thƯy, cổ ton th bÔn ồc TĂc gi£ LÍI NÂI U Cho H l mët khỉng gian Hilbert thỹc vợi tẵch vổ hữợng h., i v chuân k.k tữỡng ựng Cho C l mởt têp lỗi, âng, kh¡c réng H v f l song h m tø C × C v o R cho f (x, x) = vỵi måi x ∈ C Trong luên vôn ny ta s xt bi toĂn cƠn bơng sau Ơy, ữủc kỵ hiằu l EP(C, f ): Tẳm x∗ ∈ C cho f (x∗ , y) ≥ 0, ∀y ∈ C (1) B i to¡n EP(C, f ) cỏn ữủc gồi l bĐt ng thực Ky Fan ghi nhên sỹ õng gõp cừa lắnh vỹc ny BĐt ng thực (1) lƯn Ưu tiản, nôm 1955, ÷đc Nikaido v Isoda dịng trá chìi khỉng hđp tĂc Nôm 1972, Ky Fan gồi (1) l bĐt ng thực minimax v ữa mởt nh lỵ và sỹ tỗn tÔi nghiằm cho bi toĂn ny khổng gian hỳu hÔn chiÃu Ngay nôm õ, nh lỵ ny ữủc m rởng khổng gian vổ hÔn chiÃu bði Br²sis v Stampacchia N«m 1984, L.D Muu gåi (1) l bi toĂn bĐt ng thực bián phƠn v nghiản cựu tẵnh ờn nh cho bi toĂn ny Nôm 1992, lƯn Ưu tiản (1) ữủc gồi l bi toĂn cƠn bơng ti liằu [9] CĂc nghiản cựu và bi toĂn cƠn bơng cõ th chia theo hai hữợng chẵnh bao gỗm nhỳng nghiản cựu và sỹ tỗn tÔi nghiằm v cĂc thuêt toĂn giÊi bi toĂn cƠn bơng Cho án ngữới ta  ữa nhiÃu phữỡng phĂp giÊi bi toĂn cƠn bơng chng hÔn nhữ phữỡng phĂp chiáu v cĂc bián dÔng cừa nõ Tuy nhiản, tông cữớng sỹ hiằu quÊ ngữới ta  nghiản cùu c¡c ph÷ìng ph¡p t¡ch(splitting method) º gi£i b i to¡n cƠn bơng Mửc ẵch cừa bÊn luên vôn ny l giợi thiằu nhỳng kián thực cỡ bÊn nhĐt cừa bi toĂn cƠn bơng v trẳnh by mởt phữỡng phĂp tĂch giÊi mởt lợp bi toĂn cƠn bơng mợi ữủc cổng bố gƯn Ơy Luên vôn bao gỗm phƯn m Ưu, hai chữỡng, kát luên v danh mửc cĂc ti liằu tham khÊo Chữỡng trẳnh by mởt số khĂi niằm cỡ bÊn liản quan án à ti CĂc vĐn à liản quan án sỹ tỗn tÔi nghiằm v cĂc trữớng hủp riảng cừa bi toĂn cƠn bơng cụng ữủc à cêp án Chữỡng trẳnh by hai thuêt toĂn tĂch giÊi bi toĂn cƠn bơng õ song hm l tờng cừa hai song hm Thuêt toĂn Ưu l mởt thuêt toĂn tĂch tuƯn tỹ, thuêt toĂn sau l mët thuªt to¡n t¡ch song song MËT SÈ KÞ HIU V CHÚ VIT TT H : Khỉng gian Hilbert thüc; X : Khỉng gian Banach thüc; R: Tªp cĂc số thỹc; : Têp rộng; I : nh xÔ ỗng nhĐt; ha, bi = Tẵch vổ hữợng cừa v²c-tì a v b; kxk = Chu©n cõa x; ∂f (x): Dữợi vi phƠn cừa hm f tÔi x; x: Vợi mồi x; xn x: DÂy {xn } hởi tử mÔnh tợi x; xn * x: DÂy {xn } hởi tử yáu tợi x; x := y : Nghắa l, x ữủc nh nghắa bơng y ; PC (x): Hẳnh chiáu cừa x lản C Chữỡng Bi toĂn cƠn bơng Chữỡng ny trẳnh by cĂc khĂi niằm liản quan án bi toĂn cƠn bơng, sỹ tỗn tÔi nghiằm, cĂc tẵnh chĐt cỡ bÊn v cĂc trữớng hủp riảng quan trồng cừa bi toĂn cƠn bơng CĂc kián thực chữỡng ữủc trẵch tứ ti liằu [1-4], [7], [10] 1.1 Mët sè kh¡i ni»m cì b£n ành ngh¾a 1.1.(xem [4]) C°p (H, h, i) â H l mởt khổng gian tuyán tẵnh thỹc v thọa mÂn c¡c i·u ki»n: h, i : H × H → R (x, y) 7→ hx, yi hx, xi ≥ 0, ∀x ∈ H; hx, xi = ⇔ x = 0; hx, yi = hy, xi , ∀x, y ∈ H ; hλx, yi = λ hx, yi , ∀λ ∈ R, ∀x, y ∈ H ; hx + y, zi = hx, zi + hy, zi , ∀x, y, z ∈ H ÷đc gåi l khỉng gian ti·n Hilbert Khỉng gian ti·n Hilbert ¦y ừ ữủc gồi l khổng gian Hilbert Vẵ dử 1.1 L2[a,b] l khổng gian cĂc hm bẳnh phữỡng khÊ tẵch trản [a,b] vợi f L2[a,b] vổ hữợng cho Rb f (x) dx < +∞ l mët khæng gian Hilbert vợi tẵch a hf, gi = Zb f (x) g (x) dx; a v chu©n kf kL2 [a,b] b Z 2 = f (x)dx a Tr¶n H câ hai kiºu hởi tử chẵnh sau: nh nghắa 1.2.(xem [4]) Xt dÂy {xn}n≥0 v x thuëc khæng gian Hilbert thüc H Khi õ: ã DÂy {xn } ữủc gồi l hởi tử mÔnh tợi x, kỵ hiằu xn x, náu nhữ lim kxn xk = n+ ã DÂy {xn} ữủc gồi l hởi tử yáu tợi x, kỵ hi»u xn * x, n¸u lim hω, xn i = h, xi , n+ H Ta nhưc lÔi cĂc kát quÊ giÊi tẵch hm (xem [4]) liản quan án hai loÔi hởi tử ny Mằnh à 1.1 Náu {xn} hởi tử mÔnh án x thẳ cụng hởi tử yáu án x ã Mồi dÂy hởi tử mÔnh (yáu) Ãu b chn v giợi hÔn theo sỹ hởi tử mÔnh (yáu) náu tỗn tÔi l nhĐt ã N¸u khỉng gian Hilbert thüc H l khỉng gian húu hÔn chiÃu thẳ sỹ hởi tử mÔnh v sỹ hởi tử yáu l tữỡng ữỡng ã Náu {xn }n0 l mët d¢y bà ch°n khỉng gian Hilbert thüc H thẳ ta trẵch ữủc mởt dÂy hởi tử yáu ã Náu {xn }n0 l mởt dÂy b chn khổng gian Hilbert thỹc hỳu hÔn chiÃu H thẳ ta trẵch ữủc mởt dÂy hởi tử mÔnh ã Tiáp theo, ta s nảu mởt số nh nghắa v kát quÊ cỡ bÊn cừa giÊi tẵch lỗi ữủc ph¡t biºu [1], [10] X²t C l tªp kh¡c réng khæng gian Hilbert thüc H ành nghắa 1.3.(xem [10]) Têp C khổng gian Hilbert thỹc H ữủc gồi l mởt têp lỗi náu x, y ∈ C, ∀λ ∈ [0, 1] ⇒ λx + (1 − λ)y ∈ C ành ngh¾a 1.4.(xem [10]) im a ữủc gồi l im biản cừa C náu mồi lƠn cên cừa a Ãu cõ im thuởc C v im khổng thuởc C ; Têp C ữủc gồi l têp õng náu C chựa mồi im biản cừa nõ; Têp C ữủc gồi l mởt têp compact náu C l mởt têp õng v b chn nh nghắa 1.5.(xem [10]) Cho C l mởt têp lỗi cừa khổng gian Hilbert v x ∈ C Nân ph¡p tuy¸n ngoi cừa C ữủc kỵ hiằu v nh nghắa bi: H NC (x) := {w| hw, y − xi ≤ 0, ∀y ∈ C} ành ngh¾a 1.6.(xem [10]) X²t h m f : H → R ∪ {+∞} Khi â: (i) Hm f ữủc gồi l hm lỗi trản H n¸u f (λx + (1 − λ)y) ≤ λf (x) + (1 − λ)f (y), ∀x, y ∈ H, ∀λ ∈ (0, 1); (ii) H m f ÷đc gåi l h m lỗi cht trản H náu f (x + (1 λ)y) < λf (x) + (1 − λ)f (y), ∀x 6= y ∈ H, ∀λ ∈ (0, 1); (iii) H m f ữủc gồi l hm lỗi mÔnh trản H vợi h» sè η > n¸u f (λx + (1 − λ)y) ≤ λf (x) + (1 − λ)f (y) − η λ(1 − λ) kx − yk2 , vỵi måi x, y ∈ H, ∀λ ∈ (0, 1) Dữợi Ơy l mởt số vẵ dử quen thuởc và hm lỗi Vẵ dử 1.2 Hm affine f (x) = aT x + b, â a ∈ Rn, b R l hm lỗi Nõ thoÊ mÂn ng thùc f (λx + (1 − λ)y) = λf (x) + (1 )f (y), Do õ nõ khổng lỗi cht Cho C 6= l mởt têp lỗi H m ch¿ °t δC := ∀x, y ∈ H, λ ∈ (0, 1) x ∈ C +∞ x ∈ /C h m ch¿ cõa C Do C lỗi nản C l hm lỗi Hm khoÊng c¡ch Gi£ sû C l mët tªp âng, kh¡c réng H m kho£ng c¡ch Ta nâi δC l dC (y) ÷đc nh nghắa nhữ sau: dC (y) = inf kx yk xC 26 ữủc sinh bi Thuêt toĂn thoÊ mÂn cĂc tẵnh chĐt sau (a) Tỗn tÔi M > cho n 2−T1 n kx − y k ≤ M.λn , kx n+1 n 2−T2 y k M.n n (b)Tỗn tÔi L > cho kxn+1 − xk2 ≤ kxn − xk2 + 2λn f (xn , x) + L.λn2−T ∀x ∈ C, vỵi T := min{T1, T2} Chùng minh (a) Theo Bê · 2.3 ta th§y y n l nghiằm cừa bi toĂn lỗi min{n f1 (xn , t) + kt − xn k2 , t ∈ C} n¸u v ch¿ n¸u ∈ ∂(λn f1 (xn , ·) + k · −xn k2 )(y n ) + NC (y n ), Theo ành lỵ Moreau- Rockafellar, tỗn tÔi w f1 (xn , ·)(y n ) v v ∈ NC (y n ) := {z ∈ H : hx − y n i ≤ 0, ∀x ∈ C} cho = λn w + y n − xn + v Do â v = xn − y n − λn w Theo ành ngh¾a cõa NC (y n ) ta câ hxn − y n − λn w, x − y n i 0, x C hay tữỡng ữỡng vợi hxn − y n , x − y n i ≤ λn hw, x − y n i, ∀x ∈ C Tø w ∈ ∂f1 (xn , ·)(y n ), ta thu ÷đc λn (f1 (xn , x)−f1 (xn , y n )) ≤ λn hw, x−y n i ≤ hxn −y n , x−y n i ∀x ∈ C (2.2) Trong (2.2), cho x = xn ∈ C, ta ÷đc ≤ kxn − y n k2 ≤ −λn f1 (xn , y n ) = λn |f1 (xn , y n )| (2.3) Do tẵnh liản tửc Hă older vợi bián thự nhĐt hoc thự hai cừa f1 v gi£ thi¸t f1 (x, x) = 0, ∀x ∈ C, nản tỗn tÔi Q1 > cho |f1 (xn , y n )| ≤ Q1 kxn − y n kT1 K¸t hđp (2.3) v (2.4) ta thu ÷đc kxn − y n k2−T1 ≤ (λn Q1 ) (2.4) 27 hay kxn − y n k ≤ (Q1 λn ) 2−T1 Mët c¡ch t÷ìng tü, tø xn+1 = arg min{λn f2 (y n , t) + kt − y n k , t ∈ C} ta thu ÷đc f2 (y n , x) − f2 (y n , xn+1 ) ≤ hy n − xn+1 , x − xn+1 i ∀x ∈ C (2.5) Trong (2.5) l§y x = y n v sû dửng tẵnh liản tửc Hă older vợi bián thự nhĐt cõa f2 ta câ kxn+1 − y n k ≤ (Q2 λn ) 2−T2 2−T1 °t M := max(Q1 , Q 2−T2 ), ta thu ÷đc kát quÊ nhữ mong muốn (b) Tứ (2.5), vợi mội x ∈ C, ta câ kxn+1 − xk2 = kxn+1 − y n k2 + ky n − xk2 + 2hxn+1 − y n , y n − xi = ky n − xk2 − ky n+1 − y n k2 + 2hxn+1 − y n , xn+1 − xi ≤ ky n − xk2 − kxn+1 − y n k2 + 2λn hf2 (y n , x) − f2 (y n , xn+1 )i (2.6) Mët c¡ch t÷ìng tü, tø (2.2) ta câ ky n − xk2 ≤ kxn − xk2 − ky n − xn k2 + 2λn hf1 (xn , x) − f1 (xn , y n )i (2.7) Kát hủp (2.6) v (2.7), bơng cĂch sỷ dửng tẵnh liản tửc Hă older cừa fi , i = 1; 2, ta thu ÷đc kxn+1 −xk2 ≤ kxn −xk2 +2λn (f1 (xn , x)+f2 (y n −x)−f1 (xn , y n )−f2 (y n , xn+1 )) ≤ kxn − xk2 + 2λn (f (xn , x) + |f2 (y n − x) − f2 (xn , x)| + f1 (xn , y n )) ≤ kxn −xk2 +2λn (f (xn , x)+Q2 kxn −y n kT2 +Q1 kxn −y n kT1 +Q2 ky n −xn+1 kT2 ) (2.8) ≤ kxn − xk2 + 2λn f (xn , x) + L.λn2−T T2 1−T1 L = 2(Q2 Q1 2−T1 + Q1 2−T2 + Q2 ), T = min{T1 , T2 } Sü hëi tư cõa Thuªt toĂn ữủc cho bi nh lỵ dữợi Ơy nh lẵ 2.1 Cho C l têp lỗi, õng v khĂc rộng cừa khổng gian H v giÊ sỷ rơng tĐt c£ c¡c gi£ thi¸t cõa Bê · 2.4 óng °t T : = min{T1, T2} GiÊ sỷ rơng dÂy {n} thäa m¢n i·u ki»n ∞ X n=1 λn = ∞, ∞ X λn2−T < ∞ (2.9) n=1 Khi â, dÂy số {z n} ữủc sinh bi Thuêt toĂn hëi tư y¸u ¸n mët nghi»m cõa EP(C, f ) 28 Chựng minh Viằc chựng minh nh lỵ ny ữủc chia thnh cĂc bữợc sau Bữợc DÂy {xn }, {z n } l bà ch°n Thüc ra, (2.8), l§y x = x∗ ∈ S ⊂ C, theo M»nh · 2.2 ta câ f (xn , x∗ ) ≤ 0, ∀n ≥ Do â, ta thu ÷đc kxn+1 − x∗ k2 ≤ kxn − x∗ k2 + L.λn2−T Tø Bê · 2.1, ta suy rơng giợi hÔn lim kxn x k2 tỗn tÔi Do vêy, {xn } n l b chn, tực l tỗn tÔi số thỹc k > cho kxn k ≤ k ∀n ≥ Theo ành ngh¾a cõa z n ta suy r¬ng Pn k n k=1 λk kx k kz k ≤ Pn ≤ k k=1 λk Do {z n } l bà ch°n v tỗn tÔi mởt dÂy {z ni } {z n } cho z ni → z¯ ∈ C Bữợc Khng nh rơng z S Ta thu ÷đc tø (2.8) kxn+1 − xk2 − kxn − xk2 ≤ 2λn f (xn , x) + L.λn2−T ∀x C Do vêy, bơng cĂch sỷ dửng tẵnh lỗi cừa hm f (Ã, y) ta Ôt ữủc ni +1 kx Pni 2−T λk − xk − |x − xk λ f (x , x) Pni Pnki ≤ k=1 + Pk=1 ni k=1 λk k=1 λk k=1 λk P P ni ni λ x k 2−T λ k k ≤ 2f Pk=1 , x + L Pk=1 ni ni k=1 λk k=1 λk Pni 2−T ni k=1 λk P ≤ 2f (z , x) + L ni k=1 λk n Pni k P P 2T Bơng cĂch lĐy giợi hÔn i , rỗi sỷ dửng = ∞, λ , n n n=1 n=1 ni z * z v tẵnh liản tửc trản yáu cừa hm f (Ã, x), ta thĐy rơng f ( z , x) ≥ lim supi→∞ f (xni , x) ≥ 0, ∀x C iÃu ny rơng z S Vẳ S l têp õng, lỗi v khĂc rộng nản vợi mội xn , tỗn tÔi im un cho un = PS (xn ) 29 º ho n th nh chùng minh nh lỵ, ta cƯn chựng minh rơng un z Trong trữớng hủp õ, tĐt cÊ cĂc im giợi hÔn yáu cừa dÂy {z k } Ãu bơng z v ton bở dÂy {z k } hởi tử yáu và z Bữợc Khng nh un hởi tử Vẳ un ∈ S v f l h m gi£ ìn i»u, ta suy r¬ng f (xk , un ) ≤ ∀x ≥ Tø (2.8), ta câ kx n+p ∞ X 2−T λk − u k ≤ kx − u k + L n n n (2.10) k=n V¼ un+p = arg min{ky − xn+p k}, y ∈ S n¶n ta câ kxn+p − un+p k2 ≤ kxn+p − (un + un+p )k2 K¸t hđp (2.10) v (2.11) ta câ (2.11) kun+p − un k2 = k(un+p − xn+p ) + (xn+p − un )k2 kun+p − xn+p k2 + 2kxn+p − un k2 − 4kxn+p − (un + un+p )k2 n+p n n+p n+p ≤ 2kx − u k − 2ku −x k ∞ X n n n+p n+p 2−T (2.12) ≤ 2kx − u k − 2ku − x k + 2L λk k=n Tø â, suy r¬ng n+p ku −x n+p n n k ≤ kx − u k + L ∞ X λk2−T , ∀n, p ≥ k=n Do vªy, ∞ X lim sup ku − x k ≤ ku − x k + L λk2−T , ∀n ≥ m m n n m→∞ V¼ lim n→∞ P∞ k=n 2−T = 0, ta suy rơng lim kxn un k2 tỗn tÔi k=n k n Kát hủp iÃu ny vợi (2.12) ta suy r¬ng lim kun+p − un k2 = ∀p n iÃu ny cõ nghắa rơng {un } l dÂy Cauchy, õ nõ hởi tử án z Bữợc Khng nh rơng z = z Tứ un = PS (xn ), sû döng M»nh · 2.1, ta câ hy − un , un − xn i ≥ 0, ∀y ∈ S 30 Do z¯ ∈ S, ta câ h¯ z − un , xn − un i ≤ Khi â h¯ z − zˆ, xn − un i = h¯ z − un , xn − un i + hun − z¯, xn − un i = hun − zˆ, xn − un i = kun − zˆk.kxn − un k ≤ p.kun − zˆk (2.13) Trong â, p = sup{kxn − un k : n 1} < HÂy viát (2.13) vợi ch¿ sè k v l§y têng tø k = tợi ni , ta thu ữủc h z z, ni X k λk x − k=1 ni X k λk u i ≤ p ni X k=1 Do â, ni X k=1 ni X k λk u k=1 ni X h¯ z − zˆ, z ni − λk kuk − zˆk i ≤ p k=1 λk k=1 V¼ un → zˆ, ∞ X λk kuk − zˆk ni X λk k=1 λk = ∞, ¡p döng Bê · 2.2, vỵi an = kun − zˆk ta câ k=1 ni X lim λk kuk − zˆk k=1 ni X i→∞ = λk k=1 ni X Sau â, tø b§t ¯ng thùc k ni X k λk u k=1 ni X − zˆk ≤ λk kuk − zˆk k=1 λk k=1 ni X Ta suy r¬ng λk k=1 ni X λk uk k=1 ni i→∞ X lim = zˆ λk k=1 V¼ z ni → z¯, i·u n y k²o theo h¯ z − zˆ, z¯ − zˆi ≤ 0, tø â suy zˆ = z¯ v viằc chựng minh hon thnh 31 Chú ỵ 2.1 Vỵi T ∈ (0; 1], ta câ −2 T (1; 2] BƠy giớ, vợi mội n 1, ta thĐy n = n1 vợi ( 2 T , 1] thẳ dng suy rơng iÃu kiằn ữủc thoÊ mÂn (2.9) t f2 = nh lỵ 2.2, ta cõ hằ quÊ sau Hằ quÊ 2.1 t C l têp lỗi, õng, khĂc rộng H v f : C × C → R l song h m Gi£ sû r¬ng f l h m giÊ ỡn iằu v liản tửc T Hăolder vợi bián thự nhĐt hoc thự hai Vợi mội x C, f (x, Ã) l lỗi, nỷa liản tửc dữợi, f (Ã, x) l lóm, nỷa liản tửc trản y¸u v f (x, x) = S 6= GiÊ thiát rơng {n } l mởt dÂy số thüc d÷ìng cho ∞ X n=1 λn = ∞, ∞ X λn2−T < ∞ n=1 n Khi õ, dÂy {z } ữủc sinh bi thuêt toĂn sau: Chån x0 ∈ H n n+1 n+1 nhữ sau: Cho trữợc x , t½nh x , z xn+1 = arg min{λn f (xn , t) + kt − xn k2 : t ∈ C} Pn+1 k λ x k n+1 = Pk=1 z n+1 k=1 k s hởi tử yáu án mởt phƯn tỷ cừa têp S Vẵ dử 2.1 Cho hm f :R×R→R C =H =R f1 (x, y) = hP x + Qx + q; y − xi f2 (x, y) = kyk2 − kxk2 vỵi P = , Q = x¡c ành d÷ìng, q = −2 X²t λn = n +1 ∈ (0; 1) Bữợc 0: LĐy x0 = z = (0; 0), n = 32 Bữợc 1: n1 o y = arg f1 (x , t) + kt − x k n 2o = arg f1 (0, t) + ktk 0 °t vỵi ϕ0 (t) = f1 (0, t) + ktk2 t = (t1 , t2 ), f1 (0, t) = hq, ti = t1 − 2t2 , ktk2 = t21 + t22 n¶n 1 ϕ0 (t) = t21 + t22 + t1 − 2t2 2 ∂ϕ0 =0 ∂t Ôt =0 t2 y = (−1; 2) ⇔ ( t1 + = t2 − = ⇔ ( t1 = −1 t2 = n o 0 x = arg f2 (y , t) + kt − y k °t φ0 (t) = f2 (y , t) + kt − y k2 2 f2 (y , t) = kt − k − ky k2 = t21 + t22 − 1 kt − y k2 = (t1 + 1)2 + (t2 − 2)2 2 N¶n φ0(t) = 32 t21 + 23 t22 + t1 − 2t2 − 52 ∂φ0 ( t1 = =0 3t + = t Ôt 3t − = t2 = =0 ∂t2 −1 ⇒x = ; 3 −1 λ1 x1 1 ⇒z = =x = ; λ1 −1 32 Bữợc 2: n = 1, z = x1 = ; n1 o 1 1 y = arg f1 (x , t) + kt − x k 2 −1 3 33 °t 1 ϕ1 (t) = f1 (x1 , t) + kt − x1 k2 2 * t1 + , f1 (x1 , t) = hP x1 + Qx1 + q, t − x1 i = t − + 3 2 = 2 2 + t2 − kt − x k = t1 + 3 1 2 2 N¶n ϕ1(t) = t1 + + t2 − −1 ⇒y = ; 3 n1 o 1 x = arg f2 (y , t) + kt − y k 2 °t 1 φ1 (t) = f2 (y , t) + kt − y k2 2 h 1 2 2 i 2 = (ktk − ky k ) + t1 + + t2 − 3 2 2 i 1h 2 = t1 + t22 − + t1 + + t2 − 3 ∂φ1 −1 2t1 + 2(t1 + ) = t1 = =0 t1 Ôt ∂φ 1 2t2 + 2(t2 − ) = t2 = =0 3 ∂t2 1 −1 −4 x + x λ1 x + λ2 x 2 ⇒x = ; ⇒z = = = ; 1 3 λ1 + λ2 15 15 + 2.2 Thuªt to¡n song song v sü hëi tư Thuªt to¡n Thuªt to¡n t¡ch song song Chån d¢y {λn } ⊂ (0, ) Bữợc LĐy x0 H t t0 = x0 , n = 34 Bữợc Cho xn , t½nh y n , z n , xn+1 v tn+1 nh÷ sau: y n = arg min{λn f1 (xn , t) + kt − xn k2 : t ∈ C} z n = arg min{λn f2 (xn , t) + kt − xn k2 : t ∈ C} n n y + z xn+1 = Pn+1 k n+1 k=1 λk x t = Pn+1 k=1 k Bữợc Cêp nhêt n := n + v quay lÔi bữợc Sỹ hởi tử cừa Thuêt toĂn ữủc cho bi nh lỵ dữợi Ơy nh lẵ 2.2 GiÊ sỷ rơng tĐt cÊ cĂc iÃu kiằn (B1) (B3) ữủc thoÊ mÂn; song hm fi l Ti Hăolderliản tửc theo bián thự nhĐt ho°c thù hai (i = 1, 2) X X Th¶m núa, λn = ∞; λn < ∞ vỵi T : = min{T1, T2} Khi â, d¢y 2−T n=1 n {t } n=1 ữủc sinh bi Thuêt toĂn hởi tử yáu án mởt phƯn tỷ cừa têp S Chùng minh Tø (2.2) suy r¬ng hxn − y n , x − xn i ≤ λn [f1 (xn , x) − f1 (xn , y n )] − kxn − y n k2 , x ∈ C T÷ìng tü, ta câ hxn − z n , x − xn i ≤ λn [f1 (xn , x) − f2 (xn , z n )] − kxn − z n k2 , x ∈ C yn + zn ta thu Bơng cĂch cởng hai bĐt ng thực cuối v sỷ dưng xn+1 = ÷đc 2hxn − xn+1 , x − xn i ≤ λn [f (xn , x) − f1 (xn , y n ) − f2 (xn , z n )] − kxn − y n k2 − kxn − z n k2 Do â, kxn+1 − xk2 = kxn − xk2 + kxn+1 − xn k2 + 2hxn+1 − xn , xn − xi ≤ kxn − xk2 + kxn+1 − xn k2 + λn [f (xn , x) − f1 (xn , y n ) −f2 (xn , z n )] − kxn − y n k2 − kxn − z n k2 ≤ kxn − xk2 + λn [f (xn , x) − f1 (xn , y n ) − f2 (xn , z n )] + k(y n − xn ) n n n n +(z − x )k − kx − y k − kxn − z n k2 ≤ kxn − xk2 + λn f (xn , x) + λn |f1 (xn , y n )| + λn |f2 (xn , z n )| ≤ kxn − xk2 + λn f (xn , x) + K.λn2−T 35 PhƯn cỏn lÔi cừa viằc chựng minh tữỡng tỹ nhữ chựng minh nh lỵ 2.2 Vẵ dử 2.2 Cho h m f :R×R→R C =H =R f1 (x, y) = hP x + Qx + q; y − xi f2 (x, y) = kyk2 − kxk2 vỵi P = , Q = x¡c ành d÷ìng, q = 11 X²t d¢y λn = n +1 (0; +) Bữợc 0: LĐy x0 = t0 = 0, n = Bữợc 1: n o 0 y = arg f1 (x , t) + kt − x k : t ∈ R °t ϕ0 (t) = f1 (0, t) + ktk2 2 = t1 + t2 + t1 + t2 2 =0 t Ôt ∂ϕ0 =0 ∂t2 ⇒ y = (−1; −1) t2 + = ⇔ t1 = t2 = −1 o z = arg f2 (x , t) + kt − x k : t ∈ R °t ⇔ ( t1 + = n φ0 (t) = f2 (0, t) + ktk2 = ktk2 + ktk2 = (t21 + t22 ) 2 ⇒ z = (0; 0) y + z −1 −1 ⇒x = = ; 2 36 −1 −1 ⇒t =x = ; 2 Bữợc 2: t cõ o 1 y = arg f1 (x , t) + kt − x k : t ∈ R 2 n1 1 ϕ1 (t) = f1 (x1 , t) + kt − x1 k2 2 f1 (x1 , t) = hP x11 + Qx12 + q, t − x1 i " −1 −1 # t1 + = −1 , −1 t2 + 2 1 1 −1 t1 + − t2 + = 2 2 −1 −1 = t1 − t2 − 2 1 kt − x1 k2 = (t1 + )2 + (t2 + )2 2 h 1 1 1i ⇒ ϕ1 (t) = (t1 + ) + (t2 + ) − t1 − t2 − 2 2 ∂ϕ 1 t1 + − = =0 t1 Ôt ∂ϕ ⇔ t = t = ⇔ 1 t2 + − = =0 ∂t2 −1 −1 ⇒ y1 = ( ; ) 4 n1 o 1 1 z = arg f2 (x , t) + kt x k 2 t Ôt 1 φ1 (t) = f2 (x1 , t) + kt − x1 k2 2 1 2 2 = (ktk2 − kx1 k2 ) + t1 + + t2 + 2 2 2 1 2 2 = t1 + t2 − + t1 + + t2 + 2 2 2 ∂φ1 t1 + t2 + = =0 −1 ∂t1 ∂φ ⇔ ⇔ t = t = =0 t2 + t2 + = ∂t2 37 ⇒ z1 = ( −1 −1 ; ) 4 y + z −1 −1 = ; x = 4 Câ 1 x + x λ1 x + λ2 x 1 2 2 t = x + x = = 1 λ1 + λ2 + 3 2 −2 −2 = x + x =( ; ) 5 5 38 KT LUN Bi toĂn cƠn bơng cõ nhiÃu ựng dửng thỹc tiạn, chng hÔn vêt lỵ, ngnh k thuêt, lỵ thuyát trỏ chỡi, vên tÊi, kinh tá, hằ thống mÔng Bi toĂn cƠn bơng bao hm cĂc bi toĂn quan trồng nhữ bi toĂn lỗi, bĐt ng thực bián phƠn, im bĐt ởng Kakutani, bi toĂn mnimax, mổ hẳnh cƠn bơng Nash Hai thuêt toĂn lp mợi ữủc dỹa trản thuêt toĂn tĂch ữủc trẳnh by giÊi cĂc bi toĂn cƠn bơng ữủc cho bi tờng hai song hm, õ ta cõ th xỷ lỵ mội phƯn cừa song hm ban Ưu mởt cĂch ởc lêp Ta cụng chựng minh tẵnh hởi tử cừa thuêt toĂn Luên vôn  à cêp nhỳng vĐn à sau: Trẳnh by mởt cĂch hằ thống cĂc kián thực cỡ bÊn nhĐt và bi toĂn cƠn bơng theo bĐt ng thực Ky Fan Giợi thiằu thuêt toĂn tĂch giÊi mởt lợp bi toĂn cƠn bơng khổng gian Hilbert thỹc Sỹ hởi tử cừa thuêt toĂn  ữủc phƠn tẵch v chựng minh chi tiát 39 Ti liằu tham khÊo [1] Nguyạn Vôn HiÃn, Lả Dụng Mữu, Nguyạn Hỳu in (2005), giÊi tẵch lỗi ựng dửng, NXB Ôi hồc Quốc gia H Nởi Nhêp mổn [2] Lả Dụng Mữu (2003), "Bi toĂn cƠn bơng", preprint, Viằn ToĂn hồc, VAST [3] TrƯn Vụ Thiằu, Nguyạn Th Thu Thừy (2011), tuyán, NXB Ôi håc Quèc gia H Nëi [4] Ho ng Töy (2010), H Nởi GiĂo trẳnh tối ữu phi Hm thỹc v giÊi tẵch hm, NXB Ôi hồc Quốc gia Tiáng Anh [5] E Blum and W Oettli (1994), From Optimization and variational inequality to equilibrium problems, The Math Student 63, pp 127-149 [6] Trinh Ngoc Hai and Nguyen The Vinh (2017), "Two new splitting algorithms for equilibrium problems", RACSAM, 111, Issue 4, pp 10511069 DOI: 10.1007/s13398-016-0347-6 [7] Igor Konnov (2001), equalities, Springer Combined Relaxation Methods for Variational In- [8] G.M.Korpelevich (1976), The extragradient method for finding saddle points and other problems, Ekon Math.Metody 12, pp 747-756 [9] L.D.Muu and W Oettli (1992), Convergence of an adaptive penalty scheme for finding constrained equilibria, Nonlin Anal TMA 18, pp 1159-1166 [10] R.T.Rockafellar (1970), Princeton, New Jersey Convex Analysis, Princeton University Press, 40 An iterative method for equilibrium problems, variational inequality problems and fixed point problems for a nonexpansive semigroup in a Hilbert spaces, Bulletin of the Malaysian Mathematical Sci- [11] N.T.T Thuy, ences Society, (to appear) [12] Q.D Tran., L.D Muu and V.H Nguyen (2008), Extragradient algorithms extended to equilibrium problems, Optim 57, pp 749-776