1 Lời cam đoan Tôi xin cam đoan những gì viết trong luận văn là do sự tìm hiểu, học hỏi của bản thân và sự hướng dẫn tận tình của thầy Nguyễn Duy Tân Mọi kết quả nghiên cứu cũng như ý tưởng của tác gi[.]
1 Lời cam đoan Tơi xin cam đoan viết luận văn tìm hiểu, học hỏi thân hướng dẫn tận tình thầy Nguyễn Duy Tân Mọi kết nghiên cứu ý tưởng tác giả khác, có trích dẫn cụ thể Đề tài luận văn chưa bảo vệ hội đồng bảo vệ luận văn thạc sĩ chưa công bố phương tiện Tơi xin chịu trách nhiệm lời cam đoan Hà Nội, tháng 10 năm 2020 Học viên Hoàng Tùng Lời cảm ơn Đầu tiên, tơi xin tỏ lịng biết ơn sâu sắc tới thầy hướng dẫn PGS.TS Nguyễn Duy Tân người tận tâm hướng dẫn, động viên suốt thời gian làm luận văn Tôi xin chân thành cảm ơn thầy cơ, bạn bè ngồi Viện Tốn học giúp đỡ tơi hồn thành luận văn Tôi xin trân trọng cảm ơn giúp đỡ tạo điều kiện thuận lợi môi trường học tập nơi đào tạo Viện Toán học sở đào tạo Học viện Khoa học Công nghệ, Viện Hàn lâm Khoa học Công nghệ Việt Nam suốt trình thực luận văn Đặc biệt, tơi xin cảm ơn gia đình, người thân bạn bè sát cánh động viên tơi q trình học tập nghiên cứu Danh mục ký hiệu chữ viết tắt K trường hồn thiện, có đặc số khác K bao đóng đại số cố định K GK/K nhóm Galois K/K Fq trường hữu hạn với q phần tử Fq bao đóng đại số Fq E [m] deg φ nhóm m-xoắn đường cong elliptic E bậc ánh xạ φ degs φ bậc tách ánh xạ φ degi φ bậc không tách ánh xạ φ eφ (P ) φ∗ số rẽ nhánh φ ánh trường hàm cảm sinh ánh xạ hữu tỉ đường cong Danh mục hình vẽ Hình 1.1: Kiểm tra luật hợp thành Hình 1.2: Luật hợp thành đường cong elliptic Mục lục Lời cam đoan Lời cảm ơn Mục lục Kiến thức chuẩn bị 1.1 Đa tạp đại số 1.1.1 Đa tạp affine 1.1.2 Đa tạp xạ ảnh 10 1.1.3 Ánh xạ đa tạp 15 1.2 Đường cong đại số 16 1.3 Luật nhóm đường cong elliptic 20 1.4 Điểm có cấp hữu hạn 25 Đường cong elliptic trường hữu hạn 30 2.1 Định lý Hasse 30 2.2 Một định lý Gauss 37 Đường cong elliptic trường số hữu tỉ 46 3.1 Hàm độ cao 46 3.2 Định lý Mordell yếu 55 3.3 Định lý Mordell Q 74 Kết luận 85 Tài liệu tham khảo 86 MỞ ĐẦU Đường cong elliptic định nghĩa phương trình y = x3 + ax + b Đây đối tượng quan trọng lý thuyết số Chẳng hạn, sử trọng chứng minh Định lý cuối Fermat Ngồi cịn có ứng dụng lý thuyết mật mã (mật mã đường cong elliptic) Mục đích luận văn nghiên cứu tập điểm hữu tỉ đường cong elliptic trường hữu hạn trường số hữu tỉ Tìm hiểu chứng minh hai định lý chính: Định lý Hasse chặn cho số điểm hữu tỉ đường cong elliptic trường hữu hạn, Định lý Mordell–Weil cấu trúc nhóm điểm hữu tỉ đường cong elliptic Q Chương I luận văn gồm bốn phần Phần thứ khái niệm, định nghĩa, tính chất tập đại số Phần thứ hai khái niệm, định nghĩa, tính chât đường cong đại sô Phần thứ ba mơ tả cách xây dựng cấu trúc nhóm đường cong elliptic Phần thứ tư cho ta mô tả điểm có cấp hữu hạn Chương II luận văn gồm hai phần Phần thứ Định lý Hasse chặn cho số điểm hữu tỉ đường cong elliptic trường hữu hạn Phần thứ hai trình bày Định lý Gauss, cho ta cơng thức tính xác số điểm hữu tỉ trường hợp riêng Định lý Hasse Chương III luận văn gồm ba phần Phần thứ xây dựng hàm độ cao chứng minh tính chất hàm Phần thứ hai Định lý Mordell yếu Phần thứ ba Định lý Mordell Q Trong phần này, ta xây dựng ví dụ cụ thể cho việc tính tốn nhóm E (Q) CHƯƠNG Kiến thức chuẩn bị 1.1 Đa tạp đại số Trong phần này, ta nêu định nghĩa tính chất đa tạp đại số không gian affine không gian xạ ảnh nhằm phục vụ cho phần sau luận văn 1.1.1 Đa tạp affine Định nghĩa 1.1.1 Không gian Affine n chiều trường K tập hợp An = An K = P = (x1 , , xn ) : xi ∈ K , K bao đóng đại số K Một cách tương tự, tập hợp điểm K -hữu tỷ An An (K) = {P = (x1 , , xn ) ∈ An : xi ∈ K} Chú ý 1.1.2 Nhóm Galois GK/K tác động lên An theo quy luật sau Với σ ∈ GK/K , ta có P σ = (xσ1 , , xσn ) , với xσi = σ (xi ) Vì vậy, An (K) xác định n o n n σ A (K) = P ∈ A : P = P ∀σ ∈ GK/K Gọi K [X] = K [X1 , , Xn ] vành đa thức n biến I ⊂ K [X] ideal vành Với I ta có tập An , VI = {P ∈ An : f (P ) = 0, ∀f ∈ I} Định nghĩa 1.1.3 (a) Một tập affine đại số tập có dạng VI (b) Nếu V tập đại số, ideal V I (V ) = f ∈ K [X] : f (P ) = 0, ∀P ∈ V (c) Một tập đại số gọi tập đại số xác định K ideal I (V ) sinh đa thức vành K [X] Ta kí hiệu tập đại số V /K Nếu V tập đại số xác định K tập điểm K -hữu tỷ V tập V (K) = V ∩ An (K) Chú ý 1.1.4 Định lý sở Hilbert K [X] K [X] vành Noether Chú ý 1.1.5 (a) Cho V tập đại số, ideal I (V /K) định nghĩa I (V /K) = {f ∈ K [X] : f (P ) = 0, ∀P ∈ V } = I (V ) ∩ K [X] Khi đó, V xác định K I (V ) = I (V /K) K [X] (b) Giả sử V xác định K Khi đó, theo Chú ý 1.1.4, tồn f1 , , fm ∈ K [X] các phần tử sinh I (V /K) Ta có V (K) tập hợp (x1 , , xn ) thỏa mãn f1 (x1 , , xn ) = · · · = fm (x1 , , xn ) = 0, với xi ∈ K (c) Nếu f (X) ∈ K [X] P ∈ An f (P σ ) = f (P )σ Vì thế, V xác định K tác động GK/K lên An cảm sinh tác động lên V Nói rõ hơn, o n σ V (K) = P ∈ V : P = P, ∀σ ∈ GK/K Định nghĩa 1.1.6 (a) Một tập đại số affine V gọi đa tạp affine I (V ) ideal nguyên tố vành K [X] (b) Cho V /K đa tạp affine Vành tọa độ affine V /K , kí hiệu K [V ], định nghĩa sau K [V ] = K [X] I (V /K) (c) Vì I (V /K) ideal nguyên tố K [X] nên K [V ] miền nguyên Vì thế, ta định nghĩa trường thương nó, kí hiệu K (V ) Ta gọi K (V ) trường hàm V /K (d) Tương tự, ta định nghĩa K [V ] K (V ) cách thay vai trò K K Tiếp theo, ta định nghĩa chiều đa tạp Định nghĩa 1.1.7 Cho V đa tạp affine Chiều V , kí hiệu dim (V ) bậc siêu việt K (V ) K Định nghĩa 1.1.8 Cho V đa tạp affine, P ∈ V f1 , , fm ∈ K [X] phần tử sinh I (V ) Khi đó, V gọi khơng kì dị (trơn) P ma trận ∂fi (P ) ∂Xj 1≤i≤m, 1≤j≤n có hạng n − dim (V ) Nếu V trơn điểm ta nói V đa tạp khơng kì dị (trơn) 10 Chú ý 1.1.9 Cho P ∈ V , ta định nghĩa ideal K [V ], kí hiêu MP sau MP = f ∈ K [V ] : f (P ) = Vì K [V ] /MP −→ K f 7−→ f (P ) đẳng cấu nên MP ideal cực đại Định nghĩa 1.1.10 (a) Vành địa phương V P , kí hiệu K [V ]P địa phương hóa K [V ] MP Ta có f K [V ]P = F ∈ K [V ] : F = , với f, g ∈ K [V ] g (P ) 6= g f (P ) f ∈ K [V ]P F (P ) = định nghĩa tốt Những g g (P ) hàm nằm K [V ]P gọi quy (xác định) P (b) Nếu F = 1.1.2 Đa tạp xạ ảnh Định nghĩa 1.1.11 Không gian xạ ảnh n chiều K , kí hiệu Pn Pn K tập lớp tương đương tập (x0 , , xn ) ∈ An+1 , tồn xi 6= Quan hệ tương đương ∼ định nghĩa sau (x0 , , xn ) ∼ (y0 , , yn ) ∗ tồn λ ∈ K cho (x0 , , xn ) = λ (y0 , , yn ) Ta kí hiệu phần tử Pn [x0 , , xn ] gọi xi tọa độ Tập hợp điểm K -hữu tỷ Pn tập Pn (K) = {[x0 , , xn ] ∈ Pn : xi ∈ K} , Em2 + F me2 + Ge4 Ta chứng minh e ≤ H (e) , m ≤ H (P ) , n ≤ H (e) Từ đó, ta rút đánh giá sau Ane + Bm2 + Cme2 + De4 ≤ (|AK| + |B| + |C| + |D|) H (P )2 , Vì Em2 + F me2 + Ge4 ≤ (|E| + |F | + |G|) H (P )2 H (P + P0 ) = H (ξ) ≤ max {|AK| + |B| + |C| + |D| , |E| + |F | + |G|} H (P )2 Ta lấy log hai vế bất đẳng thức để thu h (P + P0 ) ≤ 2h (P ) + κ3 , κ3 = log (max {|AK| + |B| + |C| + |D| , |E| + |F | + |G|}) Đặt κ0 = max {κ2 , κ3 } , ta có h (P + P0 ) ≤ 2h (P ) + κ0 , với P ∈ E (Q) , P0 6= O cho trước Như trường hợp ta có bất đẳng thức Mệnh đề chứng minh Mệnh đề sau cho phép ta đánh giá h (2P ) với 4h (P ) số phụ thuộc vào a, b, c 51 Mệnh đề 3.1.7 Cho P ∈ E (Q) bất kì, tồn số κ phụ thuộc a, b, c cho: h (2P ) ≥ 4h (P ) − κ Nhận xét 3.1.8 Mệnh đề ta nhân đôi điểm thuộc E (Q) "độ phức tạp" điểm tăng lên "gần gấp lần" so với "độ phức tạp" điểm ban đầu Ta chứng minh bổ đề sau trước chứng minh mệnh đề Bổ đề 3.1.9 Cho hai đa thức φ (x) , ψ (x) ∈ Z [x] , khơng có nghiệm chung C Đặt d = max {deg φ, deg ψ} Ta có hai khẳng định sau (a) Tồn số nguyên R ≥ 1, phụ thuộc vào φ, ψ, cho với số hữu m tỉ , ta có n m m d d gcd n φ ,n ψ chia hết R n n (b) Tồn hai số r1 , r2 , phụ thuộc vào φ ψ , cho với số m mà nghiệm ψ , ta có hữu tỉ n m m m φ n dh − r1 ≤ h m ≤ dh n + r2 n ψ n Chứng minh (a) Vì φ ψ đổi vai trị cho nên ta giả sử deg φ = d ≥ e = deg ψ Ta viết φ (x) = a0 xd + a1 xd−1 + · · · + ad , ∈ Z, ψ (x) = b0 xe + b1 xe−1 + · · · + be , bj ∈ Z Ta có d nφ m n = a0 md + a1 md−1 n + · · · + ad nd , 52 nd ψ Ta đặt m n = b0 me nd−e + b1 me−1 nd−e+1 · · · + nd Φ (m, n) = nd φ m , n m d Ψ (m, n) = n ψ n Vì φ (x) ψ (x) khơng có nghiệm chung C nên (φ (x) , ψ (x)) = (1) Q [x] Vì tồn F (x) , G (x) ∈ Q [x] , cho F (x) φ (x) + G (x) ψ (x) = (3.1.4) Tồn số nguyên dương A cho AF (x) , BG (x) ∈ Z [x] Đặt D = max {deg F, deg G} Ta thay x = hai vế với AnD+d Ta thu m vào (3.1.4) Sau đó, ta nhân n nD AF Φ (m, n) + nD AGΨ (m, n) = AnD+d Gọi γ = γ (m, n) ước chung lớn Φ (m, n) Ψ (m, n) Ta thấy γ chia hết AnD+d Vì γ chia hết Φ (m, n) nên γ chia hết AnD+d−1 Φ (m, n) = Aa0 md nD+d−1 + Aa1 md−1 nD+d + · · · + Aad nD+2d Từ số hạng thứ hai vế phải trở xuất AnD+d nên γ chia hết Aa0 mD nD+d−1 Mặt khác γ chia hết AnD+d nên ta có γ chia hết Vì gcd (m, n) = nên gcd AnD+d , Aa0 md nD+d−1 gcd AnD+d , Aa0 md nD+d−1 = AnD+d−1 Vậy ta có γ chia hết AnD+d−1 nên γ chia hết Aa0 nD+d−1 Bây giờ, ta lại áp dụng lại lập luận cho Aa0 nD+d−1 Φ (m, n) để thu kết γ chia 53 hết Aa20 nD+d−2 Mỗi lần áp dụng lập luận số mũ n giảm số mũ a0 tăng lên Ta áp dụng lập luận thu γ chia hết Aa0D+d−1 Số a0 phụ thuộc vào φ ψ , không phụ thuộc m, n Như ta chứng minh xong (a) (b) Vì h (x) = h x1 với x 6= nên với m n mà φ thể đổi vai trò φ ψ cho Do có hữu hạn m n ψ m n mà 6= 0, ta có m ψ φ m n n = m n nên với số vậy, ta chọn số r1 , r2 để bất m đẳng thức với số m n Sau đó, ta kết hợp với trường hợp n mà m m φ m ψ n n 6= ta thu bất đẳng thức với n Bằng lập luận trên, ta giả sử (a) deg φ = d ≥ e = deg ψ, giữ nguyên kí hiệu cũ Bây giờ, ta chứng minh tồn hẳng số r2 không phụ thuộc m , cho n ! m m φ n ≤ dh h + r2 n ψ m n Vì nên H Vì |m| ≤ H m n m n φ ψ m n φ ψ , |n| ≤ H ! m n m n m n = Φ (m, n) Ψ (m, n) =H Φ (m, n) Ψ (m, n) nên