Chuyªn ®Ò 1: Số phần tử của một tập hợp.Tập hợp con 1.Một tập hợp có thể có một ,có nhiều phần tử, có vô số phần tử,cũng có thể không có phần tử nào. 2.Tập hợp không có phần tử nào gọi là tập rỗng.tập rỗng kí hiệu là : Ø. 3.Nếu mọi phần tử của tập hợp A đều thuộc tập hợp B thì tập hợp A gọi là tập hợp con của tập hợp B, kí hiệu là A ⊂ B hay B ⊃ A. Nếu A ⊂ B và B ⊃ A thì ta nói hai tập hợp bằng nhau,kí hiệu A=B. Ví dụ 4. Cho hai tập hợp A = { 3,4,5}; B = { 5,6,7,8,9,10}; a) Mỗi tập hợp có bao nhiêu phần tử? b) Viết các tập hợp khác tập hợp rỗng vừa là tập hợp con của tập hợp A vừa là tập hợp con của tập hợp B. c) Dùng kí hiệu ⊂ để thực hiên mối quan hệ giữa tập hợp A,B và tập hợp nói trong câu b). Dung hình vẽ minh họa các tập hợp đó. Giải. a) Tập hợp A có 3 phần tử , tập hợp B có 6 phần tử. b) Vì số 5 là phần tử duy nhất vừa thuộc tập hợp A vừa thuộc tập hợp B.vì vậy chỉ có một tập hợp C vừa là tập hợp con của tập hợp A ,vừa là tập hợp con của tập hợp B: C = {5}. c) C ⊂ A và C ⊂ B. biểu diễn bởi hình vẽ: Bài tập: 1. Cho hai tập hợp M = {0,2,4,… ,96,98,100}; Q = { x ∈ N* | x là số chẵn ,x 4 .chia 48 cho a thì dư 6 nên a là ước của 48 – 6 = 42 và a > 6 . do đó a là ước chung của 35 và 42 dông thồng a > 6. Ư(35) = { 1, 5, 7, 35} ; Ư(42) = {1,2,3,6,7,14,21,42}. ƯC(35,42) = { 1,7}. Vậy a = 7 . Ví dụ.2 Tìm hai số tự nhiên cố tổng 432 và ƯCLN cua chúng bằng 36. Giải. Gọi hai số tự nhiên phải tìm là a và b . vì ƯCLN(a,b) = 36 , nên a = 36c và b = 36d , (c,d) = 1. theo đề bài tổng của hai số bằng 432 nên: a + b = 432 hay 36(c + d) = 432,do đó c + d = 12. như vậy ta phải tìm các cặp số c,d có tổng bằng 12 và (c,d) = 1 . các cặp số đó là 1 và 11 ; 5 và 7.các số tự nhiên cần tìm là a = 36 , b = 396 và a = 180 , b = 252 hoặc ngược lại. Bài tập: 1. Viết các tập hợp : a) ƯC(8,12,24); ƯC(5,15,35); b) BC(8,12,24); BC(5,15,35); 2. Tìm giao của hai tập hợp : A = { n ∈ N : n là ước của 18} B = { m ∈ N : m là ước của 36}. 3. Tìm số tự nhiên a, biết rằng khi chia 264 cho a thì dư 24 , còn khi chia363 cho a thì dư 43.
Chuyªn ®Ò 1: Số phần tử của một tập hợp.Tập hợp con 1.Một tập hợp có thể có một ,có nhiều phần tử, có vô số phần tử,cũng có thể không có phần tử nào. 2.Tập hợp không có phần tử nào gọi là tập rỗng.tập rỗng kí hiệu là : Ø. 3.Nếu mọi phần tử của tập hợp A đều thuộc tập hợp B thì tập hợp A gọi là tập hợp con của tập hợp B, kí hiệu là A ⊂ B hay B ⊃ A. Nếu A ⊂ B và B ⊃ A thì ta nói hai tập hợp bằng nhau,kí hiệu A=B. Ví dụ 4. Cho hai tập hợp A = { 3,4,5}; B = { 5,6,7,8,9,10}; a) Mỗi tập hợp có bao nhiêu phần tử? b) Viết các tập hợp khác tập hợp rỗng vừa là tập hợp con của tập hợp A vừa là tập hợp con của tập hợp B. c) Dùng kí hiệu ⊂ để thực hiên mối quan hệ giữa tập hợp A,B và tập hợp nói trong câu b). Dung hình vẽ minh họa các tập hợp đó. Giải. a) Tập hợp A có 3 phần tử , tập hợp B có 6 phần tử. b) Vì số 5 là phần tử duy nhất vừa thuộc tập hợp A vừa thuộc tập hợp B.vì vậy chỉ có một tập hợp C vừa là tập hợp con của tập hợp A ,vừa là tập hợp con của tập hợp B: C = {5}. c) C ⊂ A và C ⊂ B. biểu diễn bởi hình vẽ: Bài tập: 1. Cho hai tập hợp M = {0,2,4,… ,96,98,100}; Q = { x ∈ N* | x là số chẵn ,x<100}; a) Mỗi tập hợp có bao nhiêu phần tử? b)Dùng kí hiệu ⊂ để thực hiên mối quan hệ giữa M và Q. 2.Cho hai tập hợp R={m ∈ N | 69 ≤ m ≤ 85}; S={n ∈ N | 69 ≤ n ≤ 91}; a) Viết các tập hợp trên; b) Mỗi tập hợp có bao nhiêu phần tử; c) Dùng kí hiệu ⊂ để thực hiên mối quan hệ giữa hai tập hợp đó. 3.Viết các tập hợp sau và cho biết mỗi tập hợp có bao nhiêu phần tử: a) Tập hợp A các số tự nhiên x mà 17 – x = 3 ; b) Tập hợp B các số tự nhiên x mà 15 – y = 16; c) Tập hợp C các số tự nhiên x mà 13 : z = 1; d) Tập hợp D các số tự nhiên t , t ∈ N* mà 0:t = 0; 4. Tính số điểm về môn toán trong học kì I . lớp 6A có 40 học sinh đạt ít nhất một điểm 10 ; có 27 học sinh đạt ít nhất hai điểm 10 ; có 29 học sinh đạt ít nhất ba điểm 10 ; có 14 học sinh đạt ít nhất bốn điểm 10 và không có học sinh nào đạt được năm điểm 10. dung kí hiệu ⊂ để thực hiên mối quan hệ giữa các tập hợp học sinh đạt số các điểm 10 của lớp 6A , rồi tính tổng số điểm 10 của lớp đó. 5. Bạn Nam đánh số trang của một cuốn sách bằng các con số tự nhiên từ 1 đến 265 .hỏi bạn nam phải viết tất cả bao nhiêu chữ số? 6. Để tính số trang của một cuốn sách bạn Viết phải viết 282 chữ số. hỏi cuốn sách đó có bao nhiêu trang. Chuyªn®Ò2 C¸c phÐp to¸n trong N 1. Tính chất giao hoán của phép cộng và phép nhân. D a + b = b + a ; a.b = b.a Khi đổi chỗ các số hạng trong một tổng thì tổng không đổi Khi đổi chõ các thừa số trong một tích thì tích không đổi. 2. Tính chất kết hợp của phép cộng và phép nhân: (a + b ) + c = a + ( b + c); (a.b).c = a(b.c); Muốn cộng một tổng hai số với một số thứ ba , ta có thể cộng số thứ nhất với tổng của hai số thứ hai và thứ ba. Muốn nhân một tích hai số với số thứ ba ,ta có thể nhân số thứ nhất với tích của số thứ hai và số thứ ba. 3. Tính chất phân phối của phép nhân đối với phép cộng.: a(b+ c) = ab + ac Muốn nhân một số với một tổng , ta có thể nhân số đó với từng số hạng của tổng rồi cộng các kết quả lại. 1. Điều kiện để thực hiện phép trừ là số bị trừ lớn hơn hoặc bằng số trừ. 2. Điều kiện để a chia hết cho b ( a,b ∈ N ; b ≠ 0) là có số tự nhiên p sao cho a= b.p. 3. Trong phép chia có dưa; số bị chia = số chia x thương + số dư ( a = b.p + r) số dư bao giờ cũng khác 0 và nhỏ hơn số chia. Ví dụ . a) Tính tổng của các sống tự nhiên từ 1 đến 999; b) Viết liên tiếp các số tự nhiên từ 1 đến 999 thành một hang ngang ,ta được số 123….999. tính tổng các chữ số của số đó. Giải . a) Ta có 1 + 2 + 3 + ……+ 997 + 998 + 999 = (1+ 999) + ( 2 + 998 ) +(3 + 997 ) … + (409 + 501 ) = 1000.250 = 250000. b) số 999 có tổng các chữ số bằng 27, vì thế nếu tách riêng số 999 , rồi kết hợp 1 với 998; 2 với 997 ; 3 với 996;… thành từng cặp để có tổng bằng 999, thì mỗi tổng như vậy đều có tổng các chữ số là 27.vì vậy có 499 tổng như vậy ,cộng thêm với số 999 cũng có tổng các chữ số bằng 27.do đó tổng các chữ số nêu trên là 27.50= 13500. Ví dụ . Tìm số có hai chữ số,biế rằng nếu viêt chữ số 0 xen giữa hai chữ của số đó thì được số có ba chữ số gấp 9 lần số có hai chữ số ban đầu. Giải : gọi số có hai chữ số phải tìm là ab trong đó a ,b là các số tự nhiên từ 1 đến 9.theo đề bài ,ta có: ba0 = 9 ab hay 100a + b = 9( 10a + b ) hay 100a + b = 90a + 9b Do đó 5a = 4b. bằng phép thử trực tiếp ta thấy trong các số tự nhiên từ 1 đến 9 chỉ có a= 4 ,b = 5 thỏa mãn 4a = 5b. Số có hai chữ số phải tìm là 54. Bài tập : 1. Tính a) 1 + 7 + 8 +15 + 23 + ….+ 160; b) 1 + 4 + 5 + 9 + 14 +….+ 60 + 97; c) 78.31 + 78.24 + 78.17 +22.72. 2.a)Hãy viết liên tiếp 20 chữ số 5 thành một hàng ngang,rồi đặt dấu + xen giữa các chữ số đó để được tổng bằng 1000. b) Hãy viết liên tiếp tám chữ số 8 thành một hàng ngang,rồi đặt dấu + xen giữa các chữ số đó để được tổng bằng 1000. 3.Chia các số tự nhiên từ 1 đến 100 thành hai lớp : lớp số chẵn và lớp số lẻ.hỏi lớp nào có tổng các chữ số lớn hơn và lớn hơn bao nhiêu? 4. Điền các chữ số thích hợp vào các chữ để được phép tính đúng : a) ab1 + 36 = 1ab ; b) abc + acc + dbc = bcc 5. Cho ba chữ số a,b,c với 0 < a < b < c ; a) Viết tập hợp A các số có ba chữ số ,mỗi số gồm cả ba chữ số a, b ,c: b) Biết rằng tổng hai số nhỏ nhất trong tập hợp A bằng 488.tìm tổng các chữ a + b + c. 5. Cho 1 bảng vuông gồm 9 ô vuông như hình vẽ. hãy điền vào các ô của bảng các số tự nhiên từ 1 đến 10 (mỗi số chỉ được viết một lần) sao cho tổng các số ở mỗi hang ,mỗi cột ,mỗi đường chéo bằng nhau. 6. Kí hiệu n! là tích của các số tự nhiên từ 1 đến n : n! = 1.2.3…n. Tính : S = 1.1! + 2.2! + 3.3! + 4.4! + 5.5! 4 1 0 2 8 7. Trong một tờ giấy kẻ ô vuông kích thước 50.50 ô vuông .trong mỗi ô người ta viết một số tự nhiên . biết rằng bốn ô tạo thành một hình như hình vẽ thì tổng các số trong bốn ô đó đều bằng 4 .hãy chứng tỏ rằng mỗi số đó đều bằng 1. 8.Một số có bảy chữ số ,cộng với số được viets bảy chữ số đó nhưng theo thứ tự ngược lại thì được tổng là số có bảy chữ số.hãy chứng tổ rằng tổng tìm được có ít nhất một chữ số chẵn. 9.Cho bảng gồm 16 ô vuông như hình vẽ .hãy điền vào các ô bảng của bảng các số tự nhiên lẻ từ 1 đến 31 (mỗi số chỉ viết một lần.) sao cho tổng các số trong cùng một hàng, cùng một cột , cùng một đường chéo đều bằng nhau 10.Cho dãy số 1,2,3,5,8,13,21,34,….( dãy số phi bô na xi) trong đó mỗi số (bắt đầu từ số thứ ba) bằng tổng hai số đứng liền trước nó.chọn trong dãy số đó 8 số liên tiếp tùy ý.chứng minh rằng tổng của 8 số này không phải là một số của dãy đã cho. 11. Một số chắn có bốn chữ số, trong đó chứ số hàng trăm và chứ số hang chục lập thành một số gấp ba lần chữ số hàng nghìn và gấp hai lần chữ số hang đơn vị.tìm số đó. 12.Tìm các số a,b,c,d trong phếp tính sau: abcd + abc + ab + a = 4321 . 13.Hai người chơi một trò chơi lần lượt bốc những viên bi từ hai hộp ra ngoài.mỗi người đến lượt mình bốc một số viên bi tùy ý .người bốc viên bi cuối cùng đối với cacr hai hộp là người thắng cuộc.biết rằng ở hộp thứ nhất có 190 viên bi ,hộp thứ hai có 201 viên bi.hãy tìm thuật chơi để đảm bảo người bốc bi đầu tiên là người thắng cuộc. Bài tập cñng cè 1. Tính giá trị của biểu thức một cách hợp lí: A = 100 + 98 + 96 + ….+ 2 - 97 – 95 - …- 1 ; B = 1 + 2 – 3 – 4 + 5 + 6 – 7 – 8 + 9 + 10 – 11 – 12 + …- 299 – 330 + 301 + 302; 2. Tính nhanh a) 53.39 +47.39 – 53.21 – 47.21. b)2.53.12 + 4.6.87 – 3.8.40; c) 5.7.77 – 7.60 + 49.25 – 15.42. 3.Tìm x biết: 1 5 29 2 3 5 3 17 2 7 9 a) x : [( 1800+600) : 30] = 560 : (315 - 35); b) [ (250 – 25) : 15] : x = (450 - 60): 130. 4. Tổng của hai số bằng 78293.số lớn trong hai số đó co chữ số hàng dơn vị là 5 ,chữ hàng chục 1,chữ số trăm là 2.nếu ta gạch bỏ các chữ số đó đi thì ta được một số bằng số nhỏ nhất .tìm hai số đó. 5.Một phếp chia có thương là 6 dư 3 .tổng của số bị chia ,số chia và số dư là 195.tìm số bị chia và số chia. 6.Tổng của hai số có a chữ số là 836.chữ số hàng trăm của số thứ nhất là 5 ,của số thứ hai là 3 .nếu gạch bỏ các chữ số 5 và 3 thì sẽ được hai số có hai chữ số mà số này gấp 2 lần số kia.tìm hai số đó. 7.Một học sinh khi giải bài toán đáng lẽ phải chia 1 số cho 2 và cộng thương tìm được với 3 .nhưng do nhâm lẫn em đó đã nhân số đó với 2 và sau đó lấy tích tìm được trừ đi 3 .mặc dù vậy kết quả vẫn đúng .hỏi số cần phải chia cho 2 là số nào? 8. Tìm số có ba chữ số .biết rằng chữ số hàng trăm bằng hiệu của chữ số hàng chục với chữ số hàng đơn vị.chia chữ số hàng chục cho chữ số hàng đơn vị thì được thương là 2 và dư 2.tích của số phải tìm với 7 là 1 số có chữ số tận cùng là 1. 9. Tìm số tự nhiên a ≤ 200 .biết rằng khi chia a cho số tự nhiên b thì được thương là 4 và dư 35 . 10. Viết số A bất kì có 3 chữ số ,viết tiếp 3 chữ số đó 1 lần nữa ta được số B có 6 chữ số.chia số B cho 13 ta được số C. chia C cho 11 ta được số D.lại chia số D cho 7.tìm thưởng của phép chia này. 11. Khi chia số M gồm 6 chữ số giống nhau cho số N gồm 4 chữ số giống nhau thì được thương là 233 và số dư là 1 số r nào đó .sau khi bỏ 1 chữ số của số M và 1 chữ số của số N thì thương không đổi và số dư giảm đi 1000.tìm 2 số M và N? chuyªn ®Ò 3 Lũy thừa vµ c¸c phÐp to¸n 1. Lũy thừa bậc n của a là tích của n thừa số bằng nhau,mỗi thừa số bằng a: a n = a.a…a ; (n thừa số a, n ≠0). 2.Khi nhân hai lũy thừa của cùng cơ số , ta giữ nguyên cơ số và cộng các số mũ a m a n = a (m+n) Ví dụ . Hãy chứng tỏ rằng: a) (2 2 ) 3 = 2 2 . 3 ; (3 3 ) 2 = 3 3 . 2 ; (5 4 ) 3 = 5 4. 3 ; b) (a m ) n = a m . n ; (m,n ∈ N). Giải: a) (2 2 ) 3 = 2 2 .2 2 .2 2 = 2 2+ 2+2 = 2 6 = 2 2.3 tương tự làm như vậy tao có: (3 3 ) 2 = 3 3 . 2 ; (5 4 ) 3 = 5 4. 3 ; b) Một cách tổng quát ta có (a m ) n = a m . n ; (m,n ∈ N). Ví dụ 9. a) Hãy so sánh : 2 3 .5 3 với (2.5) 3 ; 3 2 .5 2 với (2.5) 2 ; b) Hãy chứng minh rằng : (a.b) n = a n .b n ; (n ≠ 0); Giải . a) 2 3 .5 3 = 8.125 = 1000; (2.5) 3 = 10 3 = 1000; Vậy 2 3 .5 3 = (2.5) 3 Tương tự ta dễ dàng chưng minh được : (a.b) n = a n .b n ; (n ≠ 0); 3 2 .5 2 = (2.5) 2 ; Bài tập: 1. Viết các số sau dưới dạng lũy thừa: a) 10 ; 100 ; 1000; 10000; 100 0; (n số 0 ); b) 5 ; 25; 625; 3125; 2.So sánh các số sau: a) 3 200 với 2 3000 ; b) 125 5 với 25 7 ; c)9 20 với 27 13 d)3 54 với 2 81 ; 3.Viết các tích sau đướ dạng lũy thừa: a) 5.125.625 ; b) 10.100.1000 ; c) 8 4 .16 5 .32; d) 27 4 .81 10 ; 4.So sánh: a) 10 30 với 2 100 ; b) 5 40 với 620 10 ; 5.Một hình lập phương có cạnh là 5 m. a) tính thể tích của hình lập phương; b) nếu cạnh của hình lập phương tăng lên 2 lần , 3 lần thì thể tích của hình lập phương tăng lên bao nhiêu lần. 6. Trong cách viết ở hệ thập phân số 2 100 có bao nhiêu chữ số? C®4.Tính chất chia hết của một tổng,mét hiÖu, mét tÝch 1. Tính chất 1.nếu tất cả các số hạng của một tổng đều chia hết cho cùng một số thì tổng chia hết cho số đó : a m ; b m ; c m ⇒ a + b + c m . 2. Tính chất 2 ,nếu chỉ có một số hạng của tổng không chia hết cho một số ,các số hạng còn lại đều chia hết cho số đó thì tổng không chia hết cho số đó: a . . m ; b m ; c m ⇒ a + b + c . . . m . Ví dụ: Cho ba số tự nhiên a, b, c, trong đó a và b là các số chia hết cho 5 dư 3 còn c là số khi chia cho 5 dư 2. a) Chứng tổ rằng mỗi tổng (hiệu)sau: a + c ; b + c ; a - b ; đều chia hết cho 5 . b) Mỗi tổng(hiệu) sau: a+ b + c ; a + b – c ; a+ c – b ;có chai hết cho 5 không? Giải : đặt a = 5n + 3 ; b = 5m + 3 ; c = 5p + 2 ;(n,m,p ∈ N) a) từ đó ta có : a + c = (5n + 5p + 5) 5 vì các số hạng đều chia hết cho 5. Tương tự: b + c = 5m + 5p + 5 5 ; a – b = 5n – 5m 5 b) a + b + c = 5n+ 5m + 5p + 8 không chia hết cho 5 vì 8 . . . 5; tương tự: a + b – c . . . 5 ; a + c – b . . . 5. Bài tập: 1.Tìm số tự nhiên x để: a) 113 + x 7 b) 113 + x 13 2. Chứng tỏ rằng: ab + ba 11 ; abc - cba 99; 3.Chứng tỏ rằng: a) Trong ba số tự nhiên liên tiếp , có một và chỉ một số chia hết cho 3; b) Trong hai số tự nhiên liên tiếp , cố một và chỉ một số chia hết cho 4; 4. Chứng tỏ rằng : 8 10 – 8 9 - 8 8 55 ; 7 6 + 7 5 - 7 4 11; 81 7 – 27 9 - 9 13 45; 10 9 – 10 8 - 10 7 555; 5.Chứng tỏ rằng : nếu số abcd 99 thì ab + cd 99 và ngược lại. 6.Chứng tỏ rằng : nếu số abcd 101 thì ab - cd 101 và ngược lại 7.Chứng tỏ rằng: a) Mọi số tự nhiên có ba chữ số giống nhau đều chia hết cho 37; b) Hiệu giữa số có dạng 11ab và số được viết bởi chính các số đó nhưng theo thứ tự ngược lại thì chia hết cho 90. 8. Một số có ba chữ số chia hết cho 12 và chữ số hang trăm bằng chữ số hang chục . Chứng tỏ rằng tổng ba chữ số của số đó chia hết cho 12. C®6. Dấu hiệu chia hết 1. Dấu hiệu chia hết cho 9: các số có tổng các chữ số chia hết cho 9 thì chia hết cho 9 và chỉ những số đó mới chia hết cho 9. 1. Dấu hiệu chia hết cho 3: các số có tổng các chữ số chia hết cho 3 thì chia hết cho 9 và chỉ những số đó mới chia hết cho 3.Dấu hiệu chia hết cho 2 : các số có chữ số tận cùng là chữ số chẵn thì chia hết cho 2 và chỉ những số đó mới chia hết cho 2. 2. Dấu hiệu chia hết cho 5: các số có chữ số tận cùng là chữ số 0 hoặc 5 thì chia hết cho 5 và chỉ những số đó mới chia hết cho 5. 2. Ví dụ1. Dùng ba chữ số 9, 0 ,5 để ghép thành các số co ba chữ số thỏa mãn một trong các điều kiên sau: a) Số đó chia hết cho 5; b) Số đó chia hết cho 2 và cho 5. Giải. a) Một số chia hết cho 5 thì số đó tận cùng bằng 0 hoặc 5 . vậy có ba số có chữ số chia hết cho 5 là: 950 ; 590 ; 905. b)Một số chia hết cho 2 và cho 5 thì số đó tận cùng bằng 0 . vậy có hai số có chữ số chia hết cho 2 và cho 5 là: 950 ; 590 ; Ví dụ2. Cho số yx43123 . hãy thay x,y bởi các chữ số để số đã cho chia hết cho 3 và 5. Giải. Số yx43123 5 nên y = 0 hoặc y = 5. • Với y = 0 , ta có số 430123x . số này phải chia hết cho 3 , nên 1 + 2 + 3 + x + 4+ +3 3 hay 12 + (x+ 1) 3 , nhưng 1≤ x + 1 ≤ 10 ,nên x + 1 = 3 ; 6 ; 9. - Nếu x + 1 = 3 thì x = 2 ,ta được 1232430 - Nếu x + 1 = 6 thì x = 5 ,ta được 1235430 - Nếu x + 1 = 3 thì x = ,ta được 1238430 Với y = 5 , ta có số 435123x . số này phải chia hết cho 3 , nên 1 + 2 + 3 + x + 4+ +3 + 5 3 hay 18 + x 3 ,nên x = 0 ; 3 ; 6 ; 9. ta có các số sau : 1230435; 1233435; 1236435 và 1239435 Bài tập : 1. Điền chữ số vào dấu * để được số : b) Chia hết cho 2 : 46*3 ; *199 ; 1*20 ; c) Chia hết cho 5 : 5*16 ; *174 ; 6*53 ; 2. Dùng cả ba số 5,6,9 để ghép thành các số tự nhiên có ba chữ số: a) Lớn nhất và chia hết cho 5; b) Nhỏ nhất và chia hết cho 2; 3. Tìm tập hợp các số tự nhiên n vừa chia hết cho 2 vừa chia hết cho 5 và 1995 ≤ n ≤2001 . 4. Chứng tỏ rằng trong năm số tự nhiên liên tiếp luốn có một số chia hết cho 5. 5. Chứng tỏ rằng: a) Trong ba số tự nhiên bất kì bao giờ cũng chọn được hai số có hiệu chia hết cho 2; b) Trong sáu số tự nhiên bất kì bao giờ cũng chọn được hai số có hiệu chia hết cho 5; 6. Chứng tỏ rằng: a) (5n + 7 )(4n + 6) 2 với mọi số tự nhiên n; b) (8n + 1 )(6n + 5) . . . 2 với mọi số tự nhiên n; 7. Người ta viết các số tự nhiên tùy ý sao cho số các số lẻ gấp đôi số các số chẵn. tổng các số đã viết có chia hết cho 2 hay không? Vì sao? 8. Có 5 tờ giấy .người ta xé tờ giấy đó thành 6 mảnh . lại lấy một trong số mảnh giấy nào đó, xé mỗi mảnh thành 6 mảnh.cứ như vậy sau một số lần , người ta đếm được 2001 mảnh giấy.hỏi người ta đếm đúng hay sai? 9. Cho sáu chữ số : 2 , 3 ,5 ,6 ,7 ,9. a) cố bao nhiêu số có ba chữ số ,các chữ số trong mỗi số đều khhacs nhau, được lập thành từ các chữ số trên? b) Trong các số được lập thành có bao nhiêu số nhỏ hơn 400? Bao nhiêu số là số lẻ ? bao nhiêu số chia hết cho 5? Bài tậpcñng cè: 1.Điền chữ số vào dấu * để: a) 2001 + 3*2 chia hết cho 3; b) 4*793*5 chia hết cho 9; 2. Điền chữ số vào dấu * để được số chia hết cho 3 mà không chia hết cho 9 : *51 và *745 3.Dùng ba trong 4 chữ số 3,6,9,0 hãy ghép thành số tự nhiên có ba chữ số sao cho số đó: a) Chia hết cho 9; b) Chia hết cho 3 mà không chia hết cho 9. 4. Phải thay các chữ số x, y bởi chữ số nào để số yx44123 3 5. Tổng (hiệu) sau có chia hết cho 3 , cho 9 không? 10 2001 + 2 ; 10 2001 – 1 . 6. Tìm các chữ số x,y biết rằng số yx356 chia hết cho 2 và 9. 7. Tìm các chữ số x,y biết rằng số yx171 chia hết cho 445. 8. Tìm tất cả các số có dạng ba146 , biết rằng số đó chai hết cho 3 , cho 4 và cho 5. 9. Tìm hai số tự nhiên liên tiếp , trong đó có một chữ số chia hết cho 9 , biết rằng tổng của hai số đó thỏa mãn các điều kiện sau: a) Là só có ba chữ số; b) Là số chia hết cho 5; c) Tổng của chữ số hàng trăm và chữ số hàng đơn vị là số chia hết cho 9; d) Tổng của chữ số hàng trăm và chữ số hàng chục là số chia hết cho 4; C§7 Phân tích một số ra thừa số nguyên tố. Phân tích một số tự nhiên ra thừa số nguyên tố là viết số đó dưới dạng một tích các thừa số nguyên tố . mọi số tự nhiên lớn 1 đều phân tích được ra thừa số nguyên tố. Dù phân tích một số ra thừa số nguyên tố bằng cách nào thì cuối cùng cũng được cùng một kết quả. Ví dụ . Cho sô tự nhiên A = a x b y c z trong đó a, b, c, là các số nguyên tố đôi một khác nhau, còn x, y ,z là các số tự nhiên khác 0 .chứng tỏ rằng số ước số của A được tính bởi công thức : (x + 1)(y + 1)(z + 1). Giải. Số ước số của A chỉ chứa thừa số nguyên tố a là x, chỉ chứa thừa số nguyên tố b là y, chỉ chứa thừa số nguyên tố c là z, chỉ chứa thừa số nguyên tố ab là xy, chỉ chứa thừa số nguyên tố ac là xz, chỉ chứa thừa số nguyên tố bc là yz, chỉ chứa thừa số nguyên tố abc là xyz.vì A là ước của chính nó . do đó số ước của A bằng: x + y + z + xy + yz + xz + xyz + 1 = x(z + 1) + y(z + 1) + xy(z + 1) + (z + 1) = (z + 1)(x + y + xy + 1) = (z + 1)[(x + 1) + y(x + 1)] = (x + 1)(y + 1)(z + 1). Ví dụ : số B = 2 3 3 5 5 4 thì số ước số của B là (3 + 1)(5 + 1)(4 + 1) = 4.6.5 = 120. Bài tập. 1. Tìm số tự nhiên nhỏ nhất: a) Có 9 ước; b) Có 15 ước. 2. Cho số tự nhiên B = a x b y trong đó a,b là các số nguyên tố khác nhau , x, y là các số tự nhiên khác 0 . biết B 2 có 15 ước . hỏi B 3 có bao nhiêu ước? 3. Tìm số tự nhiên a , biết 105 a và 16 ≤ a ≤ 50 . 4. Một trường có 805 học sinh. Cần phải xếp mỗi hang bao nhiêu học sinh để học sinh ở mỗi hàng là như nhau , biết rằng không xếp quá 35 hàng và cũng không ít hơn 15 hàng. 5. Số tự nhiên n có tổng các ước bằng n (không kể n) được gọi là số hoàn chỉnh (số hoàn thiện , số hoàn toàn). a) Chứng tỏ rằng các số 28,496 là số hoàn chỉnh. b) Tìm số hoàn chỉnh n , biết n = p.q trong đó p,q là các số nguyên tố. 6. Tìm số tự nhiên n, biết rằng số n có 30 ước và khi phân tích thành thừa số nguyên tố thì có dạng n = 2 x 3 y trong đó x + y = 8. C®8. Ước chung và Ước chung lớn nhất 1Ước chung của hai hay nhiều số là ước của tất cả các số đó. Bội chung của hai hay nhiều số là bội của tất cả các số đó. .ƯCLN của hai hay nhiều số là số lớn nhất trong tập hợp các ước chung của các số đó. 2. Muốn tìm ƯCLN của hai hay nhiều số , ta thực hiện ba bước sau: Bước 1: Phân tích mỗi số ra thừa số nguyên tố. Bước 2 : Chọn các thừa số nguyên tố chung. Bước 3 : Lập tích các thừa số đó , mỗi thừa số lấy với số mũ nhỏ nhất của nó.tích đó là ƯCLN phải tìm. Chú ý: Hai hay nhiều số có ƯCLN là 1 gọi là các số nguyên tố cùng nhau. Trong các số đã cho , nếu số nhỏ nhất là ước của các số còn lại thì ƯCLN của các số đã cho là số nhỏ nhất đó. 3.Muốn tìm ước chung của các số đã cho ,ta tìm các ước ƯCLN của các số đó Ví dụ1. Tìm số tự nhiên a biết rằng khi chia 39 cho a thì dư 4, còn khi chia 48 cho a thì dư 6. Giải. Chia 39 cho a thì dư 4 , nên a là ước của 39 – 4 = 35 và a > 4 .chia 48 cho a thì dư 6 nên a là ước của 48 – 6 = 42 và a > 6 . do đó a là ước chung của 35 và 42 dông thồng a > 6. Ư(35) = { 1, 5, 7, 35} ; Ư(42) = {1,2,3,6,7,14,21,42}. ƯC(35,42) = { 1,7}. Vậy a = 7 . Ví dụ.2 Tìm hai số tự nhiên cố tổng 432 và ƯCLN cua chúng bằng 36. Giải. Gọi hai số tự nhiên phải tìm là a và b . vì ƯCLN(a,b) = 36 , nên a = 36c và b = 36d , (c,d) = 1. theo đề bài tổng của hai số bằng 432 nên: a + b = 432 hay 36(c + d) = 432,do đó c + d = 12. như vậy ta phải tìm các cặp số c,d có tổng bằng 12 và (c,d) = 1 . các cặp số đó là 1 và 11 ; 5 và 7.các số tự nhiên cần tìm là a = 36 , b = 396 và a = 180 , b = 252 hoặc ngược lại. Bài tập: 1. Viết các tập hợp : a) ƯC(8,12,24); ƯC(5,15,35); b) BC(8,12,24); BC(5,15,35); 2. Tìm giao của hai tập hợp : A = { n ∈ N : n là ước của 18} B = { m ∈ N : m là ước của 36}. 3. Tìm số tự nhiên a, biết rằng khi chia 264 cho a thì dư 24 , còn khi chia363 cho a thì dư 43. [...]... 12 3 Tóm lại từ đẳng thức 3.24 = 6. 12, ta lập được 4 cặp phân số bằng nhau Cách làm tương tự với hai đẳng thức còn lại , ta được 8 cặp phân số bằng nhau nữa Vậy có tất cả 12 cặp phân số bằng nhau: 3 12 24 12 3 6 24 6 = ; = ; = ; = ; 6 24 6 3 12 24 12 3 3 48 48 24 3 6 48 6 = ; = ; = ; = ; 6 24 6 3 24 48 24 3 6 24 48 24 6 12 48 12 = ; = ; = ; = ; 12 48 12 6 24 48 24 6 Ví dụ Tìm các cặp số nguyên x, y... sau: 3 24 = 6. 12 ; 3.48 = 6. 24; 6. 48 = 12.24 Với đẳng thức 3.24 = 6. 12 , trước hết ta lập một cặp phân số 3 12 = (1) Để lập các cặp phân số bằng nhau 6 24 khác ta làm như sau: • Tráo đổi vị trí số 3 và 24 của (1), ta được cặp phân số 24 12 = 6 3 • Tráo đổi vị trí số 6 và 12 của (1), ta được cặp phân số 3 6 = 12 24 • Tráo đổi vị trí số 3 và 24 , 6 và 12 của (1), ta được cặp phân số 24 6 = 12 3 Tóm... cặp số nguyên x, y biết : Giải Từ 2 x = y −3 2 y = , suy ra xy = - 6 x −3 Để tìm các cặp số nguyên x , y ta phải xét tất cả các cách phân tích số -6 dước dangjtichs của hai số nguyên: ( - 6) = ( - 1) .6 = 6 ( -1) = ( -2) 3 = ( - 3) 2 Vì vai trò của x , y như nhau nên có 8 cặp số nguyên thỏa mãn đề bài : x -1 6 1 -6 2 -3 -2 3 y 6 -1 -6 1 -3 2 3 -2 Bài tập 1.Viết các phân số sau dưới dạng phân số co mẫu... 5 .6 + 20.3 2 5.7 2.11 Giải rút gọn các phân số: 4(5 +11) 4.5 + 4.11 4. 16 16 = = = ; 4(2.7 − 3) 8.7 + 4.3 4.11 11 − 5(3.8 − 2.7) −15.8 +10.7 −5.10 −10 −5 = = = = ; 5 (6 + 4.3) 5 .6 + 20.3 5.18 18 9 2 5 10 2 4.5 2 7 2.2 3.5.5.7 = 3 = = 3 2 7.11 77 2 5.7 11 2 5.7.7.11 Quy đồng mẫu ba phân số : 16 −5 10 ; ; 11 9 77 Mẫu chung : 7.9.11 = 69 3 Các thừa số phụ tương ứng : 9.7 = 63 ; 7.11 = 77 và 9 Vậy : 16 16. 63... được viết bởi các chữ số 1 , 2, 3 ,4, 5 ,6 ,7 ,8 ,9 và trong mỗi số các chữ số đều khác nhau 2 Tìm hai số tự nhiên biết rằng tổng của chúng bằng 66 , ƯCLN của chúng bằng 12 3 Tìm 2 số tự nhiên ,biết tích của chúng bằng 864 và ƯCLN của chúng bằng 6 4 Một lớp học có 28 nam và 24 nữ.có bao nhiêu cách chia số học sinh của lớp thành các tổ sao cho số nam và nữ được chia đều cho các tổ 5 Người ta muốn chia 240... – ( 29 – 363 2) – 51 Giải áp dụng quy tắc dấu ngoặc và tính chất của tổng đại số ta có: A = - 3752 – ( 29 – 363 2) – 51 = - 3752 – 29 + 363 2 – 51 = - (3752 – 363 2) – ( 29 + 51) A = - 120 – 80 = - 200 Bài tập 1 Tính nhanh: a) 4524 – ( 864 – 999) – ( 36 + 3999); b) 1000 – ( 137 + 572) + ( 263 – 291 ); c) - 329 + ( 15 – 101) – ( 25 – 440) 2 Tìm số nguyến x , biết : a) 3 – ( 17 – x) = 289 – ( 36 + 289) b)... cho: (n - 6) ( n – 1 ) Giải (n - 6) ( n – 1 ) hay [ ( n – 1 ) – 5] ( n – 1 ) suy ra ( - 5) ( n – 1 ) hay (n – 1) là ước của ( - 5) Do đó: • Nếu n – 1 = -1 thì n = 0; • Nếu n – 1 = 1 thì n = 2; • Nếu n – 1 = - 5 thì n = -4; • Nếu n -1 = 5 thì n = 6 Thử lại: • Với n = 0 thì n – 6 = - 6 , n- 1 = -1 và (– 6) ( - 1); • Với n = 2 thì n – 6 = - 4 , n- 1 = 1 và (– 4) 1; • Với n = -4 thì n – 6 = - 10... số là 6 211109 −188887 −17 −17 k = Các phân số pahir tìm có dạng (k 211109 19 19k ∈ Z , k ≠ 0) Vì tổng giữa tử và mẫu của phân số là 6 nên – 17k + 19k = 6 suy ra k = 3 Vậy phân số phải tìm là : −17.3 −51 = 19.3 57 Bài tập 1 Rút gọn các phân số sau: a) 2 3.3 2 2.3 2.5 b) ( −2) 3 33.5 5.7.8 3.2 4.5 3.14 2 Rút gọn các phân số sau: a) 5 2 .61 1. 16 2 + 6 2.12 6. 15 2 25 28 + 25 24 + + 25 4 + 1 ; b) 2 .61 2.10... cho 2, cho 3 , cho 4 , cho 5 , cho 6 đều dư 1 , nhưng khi chia cho 7 thì không còn dư a) Tìm số nhỏ nhất có tính chất trên b) Tìm dạng chung của các số có tính chất trên Giải a) Gọi x là số phải tìm thì x – 1 ( 2 ,3 ,4, 5 , 6) nên x – 1 là bội chung của 2, 3, 4, 5, 6 BCNN ( 2,3,4,5 ,6) = 60 Vậy x – 1 nhận các giá trị: 60 ,120,180,240,300,… do đó x nhân các giá trị: 61 ,121 ,181,241,301,… Trong các số... ,181,241,301,… Trong các số trên, số nhỏ nhất chia hết cho 7 là số 301 b) Vì x – 1 là bội của 60 nên x- 1 = 60 n hay x = 60 n + 1 (n ∈ N*) và x 7 ta có : x = 60 n + 1 = 7.8n – 7 + 4 (n + 2) Vì 7.8n 7 ,do đó để x 7 thì phải có 4(n + 2) 7 hay n + 2 dặt n + 2 = 7k thì n = 7k 7 * – 2 (k ∈ N ) x = 60 n + 1 = 60 (7k - 2) + 1 = 420k – 119 để tìm x ta chỉ việc cho k các giá trị : k = 1, 2, 3, … Bài tập