De thi thu tn thpt 2023 mon toan truong thpt hoai duc a ha noi

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HÀ NỘI TRƯỜNG THPT HỒI ĐỨC A ĐỀ CHÍNH THỨC (Đề thi gồm 06 trang) KÌ THI TỐT NGHIỆP THPT QUỐC GIA NĂM 2023 Năm học: 2022 – 2023 Mơn thi: TỐN (Chương trình chuẩn) Thời gian làm 90 phút (không kể thời gian phát đề) ĐỀ THI GỐC – MÃ ĐỀ LẺ NHẬN BIẾT – THƠNG HIỂU Câu Có cách chọn học sinh từ nhóm gồm 10 học sinh? A 720 B 45 C 120 D 90 Câu Cho cấp số nhân ( un ) có cơng bội dương u2 = , u4 = Giá trị u1 1 1 A u1 = B u1 = C u1 = D u1 = − 81 27 Câu Cho hình chóp S ABCD có đáy hình chữ nhật với AB = a, AD = 2a Biết SA ⊥ ( ABCD ) SA = a 15 Tính góc SC mặt phẳng ( ABCD ) A 30 B 60 C 45 D 90 C y = x4 − 3x + D y = − x + x + Câu Đồ thị sau hàm số nào? A y = x3 − 3x + B y = x3 − 3x − Câu Cho hàm số y = f ( x ) có bảng biến thiên sau Khẳng định sau đúng? A Hàm số nghịch biến khoảng ( −;3) B Hàm số nghịch biến khoảng ( 2;+  ) C Hàm số đồng biến khoảng ( −1;2 )  5 D Hàm số đồng biến khoảng  2;   2 Câu Cho hàm số y = f ( x ) có bảng biến thiên hình bên Điểm cực đại hàm số cho A (1;3) C x = B x = D x = Câu Cho hàm số y = A y = ; x = 2x −1 Đồ thị hàm số có tiệm cận ngang tiệm cận đứng là: − 2x 2 3 B y = −1; x = C y = −1; x = D y = ; x = 3 2 Câu Tìm giá trị lớn hàm số y = x3 + 3x − x + đoạn  −2; 2 A max y = −2;2 B max y = 34 Câu Cho hàm số f ( x ) liên tục có điểm cực tiểu? A D max y = 30 C max y = 10 −2;2 −2;2  −2;2 có đạo hàm f  ( x ) = x ( x + 2022 ) ( x − x + ) Hàm số f ( x ) C B D Câu 10 Cho hàm số y = f ( x ) xác định liên tục khoảng ( −; + ) , có bảng biến thiên hình vẽ: x y' ∞ + y +∞ + +∞ ∞ Có giá trị nguyên dương tham số m để phương trình f ( x ) + m = có nghiệm phân biệt? A B 11 D 13 C Câu 11 Trên khoảng ( 0; +  ) , đạo hàm hàm số y = log5 x A y = x B y = Câu 12 Đạo hàm hàm số y A y = ex e +1 ln x D y = x ln C y = x e−1 e D y = e+1 x e +1 C x = −2 D x = −3 C y = x x e tập số thực, B y = ex e −1 Câu 13 Nghiệm phương trình 3x+6 = 27 A x = B x = Câu 14 Tìm tập nghiệm S bất phương trình log(3x + 2)    A S =  − ; +     3  B S =  −;  2    C S =  − ; +     2  D S =  −;  3  Câu 15 Cho a, b hai số thực dương thỏa mãn 4log2 ( a b ) = 3a3 Giá trị ab C B A 12 D Câu 16 Tính tổng T tất nghiệm nguyên bất phương trình log (10 x ) − 3log (100 x )  −5 Câu 17 Nếu C T = 110 B T = 45 A T = 50 D T = 55  f ( x ) dx = F ( x ) + C f ( x + 1) dx = 2F ( x + 1) + C A  C  f ( 2x + 1) dx = F ( 2x + 1) + C B  f ( x + 1) dx = F ( x ) + C D  f ( x + 1) dx = F ( x + 1) + C Câu 18 Họ nguyên hàm hàm số f ( x) = x + sin x A x2 + cosx + C B x2 − cosx + C 2 C x + cosx + C 2 D x − cosx + C Câu 19 Cho  f ( x )dx = 10 Khi  2 + f ( x )dx 2 B 36 A 32 D 46 C 42 Câu 20 Cho hàm số y = f ( x ) có đồ thị hình vẽ Biết diện tích S1 = 45 S2 = Tính tích phân 12 I =  f ( x ) dx −1 A I = 32 B I = 71 C I = − 71 D I = − 32 Câu 21 Cho hình phẳng ( H ) giới hạn đồ thị hàm số y = 3x − x trục hồnh Tính thể tích V vật thể tròn xoay sinh cho ( H ) quay quanh trục Ox A V = 81  10 B V = 81 10 C V = D V =  Câu 22 Cho số phức z biểu diễn điểm A ( −4; −2 ) Số phức liên hợp số phức z A z = −4 − 2i C z = + 2i B z = − 2i D z = −4 + 2i Câu 23 Cho số phức z thỏa mãn z = 2i ( + 3i ) Phần ảo số phức z A C −8 B D 10 Câu 24 Cho số phức z thỏa mãn z − + i = z + Tìm khẳng định Trong mặt phẳng phức, quỹ tích điểm biểu diễn số phức z A đường thẳng 3x + y + = B đường thẳng 3x − y + = D đường thẳng 3x − y − = C đường thẳng 3x + y − = Câu 25 Hình đa diện sau có tất mặt khơng phải tam giác đều? A Tứ diện B Hình hai mươi mặt C Hình mười hai mặt D Bát diện Câu 26 Một khối chóp tích 30a3 diện tích mặt đáy 15a Chiều cao khối chóp A 3a B 2a C 9a D 6a Câu 27 Diện tích tồn phần ( Stp ) hình trụ có độ dài đường sinh l = 2a , bán kính r = a A Stp =  a B Stp = 4 a C Stp = 6 a D Stp = 8 a Câu 28 Một khối nón có diện tích xung quanh 8 ( cm2 ) bán kính đáy ( cm ) Thể tích khối nón A V = 5 cm3 ) ( B V = 2 cm3 ) ( C V = 4 cm3 ) ( D V = 8 cm3 ) ( Câu 29 Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu ( S ) có phương trình x2 + y + z − x − y − z − = Mặt cầu ( S ) có tâm I bán kính R A I ( 2; 2; ) R = B I ( 2; 2; ) R = C I (1;1; ) R = D I (1;1; ) R = Câu 30 Trong không gian, gọi A điểm thuộc mặt cầu tâm I bán kính R Khẳng định sau đúng? A IA  R C IA  R B IA = R D IA = R Câu 31 Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , phương trình mặt phẳng qua điểm A (1; − 2;3) có → véc tơ pháp tuyến n = ( 2;1; − 3) A x + y − 3z − = C x − y + 3z − 13 = B x + y − 3z + = D x + y − 3z − 13 = Câu 32 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, phương trình sau phương trình tắc đường thẳng  qua hai điểm A (1; −2; ) B ( 3;1;1) ? x −1 y + z − = = −1 x +1 y − z + = = C −1 x−3 = x −1 = D A B y −1 z −1 = −1 y+2 z−2 = 1 Câu 33 Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng ( P ) : x − y + z − = đường thẳng x +1 y − z −1 = = Phương trình đường thẳng  qua điểm A ( −2;1; −3) , song song với ( P ) vuông −5 góc đường thẳng d  x = −2 + 2t  x = −2 + 2t  x = −2 − 2t  x = − 2t     A  y = + 3t B  y = − 3t C  y = −1 − 3t D  y = + 3t  y = −3 + t  y = −3 + 1t  y = −3 + t  z = −3 − t     d: Câu 34 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho điểm M ( −1;3; −2 ) đường thẳng d có phương trình x = + t   :  y = − 2t Tính khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng  z = 1+ t  A B 2 C D VẬN DỤNG – VẬN DỤNG CAO Câu 35 Từ hộp chứa bi xanh, bi đỏ bi vàng, lấy ngẫu nhiên đồng thời năm bi Xác suất để bi lấy có đủ ba màu 310 136 106 185 A B C D 429 273 273 231 Câu 36 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng tâm O cạnh a Tam giác SAB nằm mặt phẳng vng góc với mặt phẳng ( ABCD ) Khoảng cách từ điểm O đến mặt phẳng ( SCD ) A 21a 14 B 21a C 21a D a 21 Câu 37 Cho hàm số f  ( x ) = ( x − ) ( x − x + 3) với x  Có giá trị nguyên dương m để hàm số y = f ( x − 10 x + m + ) có điểm cực trị? C 17 B 16 A 18 D 15 Câu 38 Có giá trị nguyên tham số m thuộc đoạn  −2022; 2023 để hàm số y = 3x − 8x3 − 18x + m nghịch biến khoảng ( 3; ) ? A 2044 B 2055 C 2024 D 2032 Câu 39 Gọi x1 , x2 hai nghiệm phương trình log ( log x ) log ( log x ) = Giá trị log x1 log x2 A −6 B C D 233 Câu 40 Có cặp số nguyên ( x; y) thỏa mãn ( ) ( ) ( ) log x + 16 y + 112 y + log3 x + 16 y  log y + log 684 x + 1216 y + 720 y ? B 56 A 48 C 64 D 76 Câu 41 Xét hàm số f ( x ) liên tục R , thỏa mãn điều kiện ( x + ) f ( x ) + ( x + 1) f  ( x ) = e x f ( 0) = Tính f ( ) e A f ( ) = e2 C f ( ) = e B f ( ) = e2 D f ( ) = Câu 42 Cho hàm số f ( x) có đạo hàm cấp hai, liên tục nhận giá trị dương đoạn  0;1 thỏa mãn f '( x) − f ( x) f '( x) + x f '( x) + ( x + 1) f ''( x) = 0, x  [0;1], a   f ( x ) dx = b ( a, b số nguyên dương A 181 1 1 f '   = f   = Biết tích phân 2  2 a phân số tối giản), giá trị a + b b C 10 B 25 D 26 Câu 43 Trong tập số phức, xét phương trình z − ( m − 1) z + 2m − = ( m tham số thực) Gọi S tập hợp giá trị nguyên m để PT có hai nghiệm phân biệt z1 , z2 thỏa mãn z1 = z2 Số phần tử tập S A B C D Câu 44 Cho số phức z thỏa mãn z − + z + = 20 Gọi M , m modun lớn nhỏ z Giá trị M − m A B C D 14 Câu 45 Cho khối lập phương ABCD ABC D Gọi M trung điểm cạnh BB Biết khoảng cách từ A 2a đến mặt phẳng ( MDA ) Thể tích khối lập phương cho a3 A 2a B C 8a D a3 Câu 46 Cho hình lăng trụ ABC ABC  có cạnh đáy a ; biết khoảng cách hai đường thẳng AB A C a 15 Thể tích khối lăng trụ ABC ABC  tính theo a bằng: 5 A 3a3 B 3a C 3a D 3a Câu 47 Cho hình nón có đỉnh S , chiều cao 3a Gọi A B hai điểm thuộc đường tròn đáy cho diện tích tam giác SAB 9a , khoảng cách từ tâm đường tròn đáy đến mặt phẳng ( SAB ) a Tính thể tích khối nón giới hạn hình nón cho A 219 a B 73 a C 73 a 24 D 73 a x −1 y +1 z + = = mặt phẳng 2 ( P ) : x + y + z − = Gọi I giao điểm d ( P ) Biết IM = , khoảng cách từ điểm M thuộc d Câu 48 Trong không gian Oxyz , cho đường thẳng d : đến ( P ) B A 15 C D Câu 49 Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho điểm A(8; −8;8) Gọi M điểm cho MA = 3MO (Với O gốc tọa độ) Khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng ( P ) : x + y + z + 19 = đạt giá trị nhỏ A + 3 C − 3 B 3 D Câu 50 Trong không gian Oxyz , cho điểm M (1; 2; − 1) , mặt phẳng ( ) : x + y − z + = mặt cầu ( S ) : ( x − 1) + ( y + 2) + ( z − 1) = 25 Gọi ( P ) mặt phẳng qua M , vng góc với mặt phẳng ( ) đồng thời cắt mặt cầu ( S ) theo giao tuyến đường trịn có bán kính nhỏ Mặt phẳng ( P ) qua điểm 2 sau đây? A A ( −3;1;7 ) C C ( 5; 2;9 ) B B (1;3;1) D D (1; − 9; ) ĐÁP ÁN CHI TIẾT ĐỀ LẺ NHẬN BIẾT – THÔNG HIỂU Câu Có cách chọn học sinh từ nhóm gồm 10 học sinh? A 720 B 45 C 120 D 90 Lời giải: Số cách chọn học sinh từ nhóm gồm 10 học sinh C102 = 45 Câu Cho cấp số nhân ( un ) có cơng bội dương u2 = , u4 = Giá trị u1 1 1 A u1 = B u1 = C u1 = D u1 = − 81 27  q = u2 = u1.q =  q2 =   Lời giải: Ta có:   q = −3 ( L ) u = u q =  Với q =  u1.3 = 1  u1 = Câu Cho hình chóp S ABCD có đáy hình chữ nhật với AB = a, AD = 2a Biết SA ⊥ ( ABCD ) SA = a 15 Tính góc SC mặt phẳng ( ABCD ) A 30 B 60 C 45 Lời giải D 90 S A D B C Ta có hình chiếu vng góc SC ( ABCD ) AC => góc SC mặt phẳng ( ABCD ) SCA Ta có AC = AB2 + AD2 = a Xét tam giác SAC vng A ta có tan SCA = Vậy góc SC mặt phẳng ( ABCD ) 60 SA a 15 = =  SCA = 60 AC a Câu Đồ thị sau hàm số nào? A y = x3 − 3x + C y = x4 − 3x + B y = x3 − 3x − D y = − x + x + Lời giải: Hàm số y = ax3 + bx2 + cx + d với a  cắt Oy ( 0;1) Câu Cho hàm số y = f ( x ) có bảng biến thiên sau Khẳng định sau đúng? A Hàm số nghịch biến khoảng ( −;3) B Hàm số nghịch biến khoảng ( 2;+  )  5 D Hàm số đồng biến khoảng  2;   2 Lời giải: Dựa vào bảng biến thiên ta có hàm số đồng biến khoảng ( 2;3) C Hàm số đồng biến khoảng ( −1;2 )  5 Suy hàm số đồng biến khoảng  2;   2 Câu Cho hàm số y = f ( x ) có bảng biến thiên hình bên Điểm cực đại hàm số cho A (1;3) B x = C x = D x = Lời giải: Từ bảng biến thiên, ta có hàm số cho có điểm cực đại x = 2x −1 Đồ thị hàm số có tiệm cận ngang tiệm cận đứng là: − 2x 2 3 A y = ; x = B y = −1; x = C y = −1; x = D y = ; x = 3 2 2x −1 Lời giải: Ta có: lim = −1  y = −1 tiệm cận ngang đồ thị hàm số, x →+ − x 2x −1 lim+ = −  x = tiệm cận đứng đồ thị hàm số 3 − 2x x→ Câu Cho hàm số y = Câu Tìm giá trị lớn hàm số y = x3 + 3x − x + đoạn  −2; 2 B max y = 34 A max y = C max y = 10 −2;2 −2;2  −2;2 D max y = 30 −2;2  x = 1 ( −2; ) Lời giải: Ta có y = 3x2 + x − ; y =    x = −3  ( −2; ) Vì y ( −2 ) = 30 ; y (1) = ; y ( ) = 10 nên max y = 30 −2;2 Câu Cho hàm số f ( x ) liên tục có điểm cực tiểu? A có đạo hàm f  ( x ) = x ( x + 2022 ) ( x − x + ) Hàm số f ( x ) C B D x = Lời giải: Giải f  ( x ) =  x ( x + 2022 ) ( x − x + ) =   x = −2022  x = Bảng xét dấu: Hàm số có điểm cực tiểu Câu 10 Cho hàm số y = f ( x ) xác định liên tục khoảng ( −; + ) , có bảng biến thiên hình vẽ: x y' ∞ + y +∞ + +∞ ∞ Có giá trị nguyên dương tham số m để phương trình f ( x ) + m = có nghiệm phân biệt? A B 11 D 13 −m Lời giải: Phương trình: f ( x ) + m =  f ( x ) = C −m Đồ thị hàm số y = f ( x ) cắt đường thẳng y = ba điểm phân biệt khi: −m −4     m  −4 + Mà m  Suy ra: m  1;2;3;4;5;6;7 Câu 11 Trên khoảng ( 0; +  ) , đạo hàm hàm số y = log5 x A y = x B y = Câu 12 Đạo hàm hàm số y A y = ex e +1 ln x x Lời giải: Ta có y ' = ( log5 x ) = C y = D y = x ln D y = e+1 x e +1 x ln x e tập số thực, C y = x e−1 e Lời giải: Ta có y = xe  = exe−1 B y = ex e −1 ( ) Câu 13 Nghiệm phương trình 3x+6 = 27 A x = B x = C x = −2 x+6 x+6 Lời giải: Ta có: = 27  =  x + =  x = −3 Câu 14 Tìm tập nghiệm S bất phương trình log(3x + 2)  D x = −3 3  B S =  −;  2    A S =  − ; +       C S =  − ; +     Lời giải: Ta có: log(3x + 2)   3x +   x  − 2  D S =  −;  3  Câu 15 Cho a, b hai số thực dương thỏa mãn 4log2 ( a b ) = 3a3 Giá trị ab C B A 12 ( Lời giải: Ta có 4log2 ( a b ) = 3a3  a b ) D = 3a3  ab = Câu 16 Tính tổng T tất nghiệm nguyên bất phương trình log (10 x ) − 3log (100 x )  −5 C T = 110 D T = 55 Lời giải: Điều kiện: x  Bất phương trình cho tương đương với: ( log10 x ) − ( log10 + log10 x )  −5 B T = 45 A T = 50  ( log10 x ) − 3log10 x +    log10 x    x  10  x  Do   x  1; 2; ;10   x  1;10 10 (10 + 1) Vậy T = + + + + 10 = = 55 Câu 17 Nếu  f ( x ) dx = F ( x ) + C A  f ( 2x + 1) dx = 2F ( 2x + 1) + C B  f ( x + 1) dx = F ( x ) + C C f ( x + 1) dx = F ( x + 1) + C D  f ( x + 1) dx = F ( x + 1) + C  Nếu  Lời giải 1 1 f ( x ) dx = F ( x ) + C  f ( x + 1) d ( x + 1) =  f ( u ) d ( u ) = F (u ) + C = F ( x + 1) + C 2 2 Câu 18 Họ nguyên hàm hàm số f ( x) = x + sin x x2 + cosx + C A B x2 − cosx + C 2 C x + cosx + C Lời giải: Ta có: F ( x ) =  ( x + sin x ) dx = Câu 19 Cho A 32  f ( x )dx=10 D x − cosx + C x2 − cos x + C  2 + f ( x )dx Khi B 36 Lời giải: Ta có C 42 D 46 5 2  2 + f ( x )dx =  2.dx + 3 f ( x )dx = +3.10 =36 Câu 20 Cho hàm số y = f ( x ) có đồ thị hình vẽ Biết diện tích S1 = I =  f ( x ) dx −1 10 45 S2 = Tính tích phân 12 A I = 32 B I = 71 C I = − 71 D I = − Lời giải: Dựa đồ thị hàm số ta có S1 = 32  f ( x ) dx = 12 −1 S2 =  − f ( x ) dx = 45 45   f ( x ) dx = − 4 Do I =  f ( x ) dx =  f ( x ) dx +  f ( x ) dx = 3 −1 −1 45 32 − =− 12 Câu 21 Cho hình phẳng ( H ) giới hạn đồ thị hàm số y = 3x − x trục hồnh Tính thể tích V vật thể trịn xoay sinh cho ( H ) quay quanh trục Ox A V = 81  10 V =   ( 3x − x D V =  x = Lời giải: Phương trình hồnh độ giao điểm: 3x − x =   x = B V = ) 2 81 10 C V =  x5  dx =   ( x − x + x ) dx =   3x3 − x +  0  3  3 35  81 =   3.3 − +  =   10  Câu 22 Cho số phức z biểu diễn điểm A ( −4; −2 ) Số phức liên hợp số phức z A z = −4 − 2i D z = −4 + 2i C z = + 2i B z = − 2i Lời giải: Số phức z biểu diễn điểm A ( −4; −2 ) z = −4 − 2i Do số phức liên hợp số phức z z = −4 + 2i Câu 23 Cho số phức z thỏa mãn z = 2i ( + 3i ) Phần ảo số phức z A C −8 B D 10 Lời giải : Ta có: z = 2i ( + 3i ) = −6 + 8i  z = −6 − 8i Vậy phần ảo số phức z −8 Câu 24 Cho số phức z thỏa mãn z − + i = z + Tìm khẳng định Trong mặt phẳng phức, quỹ tích điểm biểu diễn số phức z A đường thẳng 3x + y + = B đường thẳng 3x − y + = D đường thẳng 3x − y − = C đường thẳng 3x + y − = Lời giải: Giả sử số phức z có dạng: z = x + yi 11 ( x, y  ) Ta có: z − + i = z +  x + yi − + i = x + yi +  ( x − 1) + ( y + 1) i = ( x + ) + yi  ( x − 1) + ( y + 1) 2 = ( x + 2) + y2  ( x − 1) + ( y + 1) = ( x + ) + y 2 2  x2 − x + + y + y + = x2 + x + + y  x − y + =  3x − y + = Vậy tập hợp điểm biểu diễn số phức z đường thẳng 3x − y + = Câu 25 Hình đa diện sau có tất mặt tam giác đều? A Tứ diện B Hình hai mươi mặt C Hình mười hai mặt D Bát diện Lời giải: Hình mười hai mặt có tất mặt ngũ giác Câu 26 Một khối chóp tích 30a3 diện tích mặt đáy 15a Chiều cao khối chóp A 3a B 2a C 9a D 6a 3V 3.30a = = 6a Lời giải: V = S h  h = S 15a Câu 27 Diện tích tồn phần ( Stp ) hình trụ có độ dài đường sinh l = 2a , bán kính r = a A Stp =  a B Stp = 4 a C Stp = 6 a D Stp = 8 a 2 2 Lời giải: Ta có diện tích tồn phần hình trụ: Stp = 2 rl + 2 r = 4 a + 2 a = 6 a Câu 28 Một khối nón có diện tích xung quanh 8 ( cm2 ) bán kính đáy ( cm ) Thể tích khối nón A V = 5 cm3 ) ( 2 cm3 ) ( 4 cm3 ) ( S xq 8 = = Lời giải: Ta có: S xq =  rl  l =  r  B V = C V = D V = 8 cm3 ) ( h = l − r = 42 − 22 = 8 Nên Vnón = 3.4 = 3 Câu 29 Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu ( S ) có phương trình x2 + y + z − x − y − z − = Mặt cầu ( S ) có tâm I bán kính R A I ( 2; 2; ) R = C I (1;1; ) R = B I ( 2; 2; ) R = D I (1;1; ) R = Lời giải: Mặt cầu ( S ) có tâm I (1;1; ) bán kính R = 12 + 12 + 22 − ( −3) = Câu 30 Trong không gian, gọi A điểm thuộc mặt cầu tâm I bán kính R Khẳng định sau đúng? A IA  R C IA  R B IA = R 12 D IA = R Câu 31 Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , phương trình mặt phẳng qua điểm A (1; − 2;3) có → véc tơ pháp tuyến n = ( 2;1; − 3) A x + y − 3z − = C x − y + 3z − 13 = B x + y − 3z + = D x + y − 3z − 13 = → Lời giải: Phương trình mặt phẳng qua điểm A (1; − 2;3) có véc tơ pháp tuyến n = ( 2;1; − 3) ( x − 1) + ( y + ) − ( z − 3) =  x + y − 3z + = Câu 32 Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, phương trình sau phương trình tắc đường thẳng  qua hai điểm A (1; −2; ) B ( 3;1;1) ? x−3 = x −1 = D Lời giải x −1 y + z − = = −1 x +1 y − z + = = C −1 A B y −1 z −1 = −1 y+2 z−2 = 1 Đường thẳng  qua hai điểm A B nên có vectơ phương AB = ( 2;3; −1) Vậy phương trình tắc  là: x −1 y + z − = = −1 Câu 33 Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng ( P ) : x − y + z − = đường thẳng x +1 y − z −1 = = Phương trình đường thẳng  qua điểm A ( −2;1; −3) , song song với ( P ) vng −5 góc đường thẳng d  x = −2 + 2t  x = −2 + 2t  x = −2 − 2t  x = − 2t     A  y = + 3t B  y = − 3t C  y = −1 − 3t D  y = + 3t  y = −3 + t  y = −3 + 1t  y = −3 + t  z = −3 − t     d: Lời giải Vectơ phương d ud = ( 7; −5;1) Vectơ pháp tuyến mặt phẳng ( P ) n( P ) = ( 2; −3;5) Đường thẳng  song song với mặt phẳng ( P ) nên u ⊥ n( P ) Đường thẳng  vng góc với đường thẳng d nên u ⊥ nd Suy ra: u =  n( P ) , ud  = ( 22;33;11) Đường thẳng  qua A nhận u = ( 2;3;1) làm vectơ phương  x = −2 + 2t  Từ suy  :  y = + 3t  z = −3 + t  Câu 34 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho điểm M ( −1;3; −2 ) đường thẳng d có phương trình x = + t   :  y = − 2t Tính khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng  z = 1+ t  A B 2 C Lời giải 13 D Gọi H hình chiếu vng góc M xuống đường thẳng   MH = d ( M ;  ) Vì H   nên H có toạ độ H ( + t ;3 − 2t ;1 + t ) Ta có MH = ( + t; −2t;3 + t ) Vì MH ⊥  nên MH ⊥ ud  MH ud =  ( + t ) − ( −2t ) + ( + t ) =  6t + =  t = −1 Suy MH = ( 2; 2; )  d ( M ;  ) = MH = 22 + 22 + 22 = VẬN DỤNG – VẬN DỤNG CAO Câu 35 Từ hộp chứa bi xanh, bi đỏ bi vàng, lấy ngẫu nhiên đồng thời năm bi Xác suất để bi lấy có đủ ba màu 136 106 185 310 A B C D 429 273 273 231 Lời giải Số cách chọn viên bi 15 viên bi n (  ) = C155 = 3003 Gọi A :’’ viên bi lấy có đủ màu ” Gọi A :’’ viên bi lấy có khơng đủ màu ” Chọn viên bi không đủ màu xảy trường hợp + viên màu đỏ có cách + viên màu vàng có C65 = cách + Chỉ có xanh đỏ có C44 C51 + C43 C52 + C42 C53 + C41C54 = 125 + Chỉ có xanh vàng có C44 C61 + C43 C62 + C42 C63 + C41C64 = 246 + Chỉ có đỏ vàng có C54 C61 + C53 C62 + C52 C63 + C51C64 = 455 ( ) ( ) Vậy n A = 833  n (  ) − n A = 2170  p ( A ) = n ( A) n () = 310 429 Câu 36 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng tâm O cạnh a Tam giác SAB nằm mặt phẳng vng góc với mặt phẳng ( ABCD ) Khoảng cách từ điểm O đến mặt phẳng ( SCD ) A 21a 14 B 21a C 21a D a 21 Lời giải O Gọi H trung điểm AB Do tam giác SAB cạnh a nên SH ⊥ AB SH = Mặt khác ( SAB ) ⊥ ( ABCD ) nên SH ⊥ ( ABCD )  SH ⊥ CD (1) 14 3a Ta có HO  ( SCD ) = M trung điểm CD Suy d ( O, ( SCD) ) = Có: HM = a HM ⊥ CD (2) Từ (1) (2) suy CD ⊥ ( SMH ) nên ( SCD ) ⊥ ( SHM ) d ( H , ( SCD) ) Trong ( SHM ) , kẻ HK ⊥ SM , suy HK ⊥ ( SCD ) Từ suy HK = d ( H , ( SCD) ) Trong tam giác SHM vuông H có HK đường cao, ta có: 21a HK 21a 1 = + = + =  HK =  d ( O, (SCD) ) = = 2 HK HS HM 3a a 3a 14 21a Vậy, d ( O, ( SCD) ) = 14 Câu 37 Cho hàm số f  ( x ) = ( x − ) ( x − x + 3) với x  Có giá trị nguyên dương m để hàm số y = f ( x − 10 x + m + ) có điểm cực trị? A 18 B 16 C 17 Lời giải D 15 x = Ta có f  ( x ) =   x = , x = nghiệm kép nên qua giá trị x = f  ( x )  x = không bị đổi dấu Đặt g ( x ) = f ( x − 10 x + m + ) g ' ( x ) = f  ( u ) ( x − 10 ) với u = x − 10 x + m + x =  x − 10 =   2 ( x − 10 x + m + − ) = ( x − 10 x + m + − ) =  Nên g  ( x ) =   2  x − 10 x + m + = (1)  x − 10 x + m + =    x − 10 x + m + =  x − 10 x + m + = ( ) Hàm số y = f ( x − 10 x + m + ) có điểm cực trị g  ( x ) đổi dấu lần Hay phương trình (1) phương trình ( ) phải có hai nghiệm phân biệt khác 1'   '    , (Với h ( x ) = x − 10 x + m + p ( x ) = x − 10 x + m + ) h ( 5)   p ( 5)   17 − m  19 − m     m  17 − 17 + m   −19 + m  Vậy có 16 giá trị nguyên dương m thỏa mãn Câu 38 Có giá trị nguyên tham số m thuộc đoạn  −2022; 2023 để hàm số y = 3x − 8x3 − 18x + m nghịch biến khoảng ( 3; ) ? A 2044 B 2055 C 2024 Lời giải 15 D 2032 f ( x ) = 3x − x − 18 x + m f ' ( x ) = 12 x3 − 24 x − 36 x = 12 x ( x − x − 3) x = f ' ( x ) =   x = −1  x = Bảng biến thiên f ( x ) Để hàm số f ( x ) nghịch biến ( 3; ) f ( ) = m − 32   m  32 m  Do    m   −2022; 2023  m  −2022; ; − 1; 0;1; 2; ;32 Câu 39 Gọi x1 , x2 hai nghiệm phương trình log ( log x ) log ( log x ) = Giá trị log x1 log x2 A −6 B C Lời giải 1  Ta có log ( log x ) log ( log x ) =  log  log x  log ( log x ) = 2  D 233 t =  log ( log x ) − 1 log ( log x ) = Đặt t = log ( log x ) ( t − 1) t =   t = −2 + t =  log ( log x1 ) =  log x1 = + t = −2  log ( log x2 ) = −2  log x2 = Vậy log x1 log x2 = Câu 40 Có cặp số nguyên ( x; y) thỏa mãn ( ) ( ) ( ) log x + 16 y + 112 y + log3 x + 16 y  log y + log 684 x + 1216 y + 720 y ? B 56 A 48 C 64 Lời giải D 76 Điều kiện: y  ( ) ( ) ( + 720 y ) − log (9 x Ta có: log x + 16 y + 112 y + log3 x + 16 y  log y + log 684 x2 + 1216 y + 720 y ( ) (  log x + 16 y + 112 y − log y  log3 684 x + 1216 y  x + 16 y + 112 y   684 x + 1216 y + 720 y   log    log3   y x + 16 y     2  x + 16 y   720 y   log  + 112   log3  + 76  y  x + 16 y     x + 16 y   720 y   log  + 112  − log3  + 76   y  x + 16 y    16 + 16 y ) ) Đặt: t = x + 16 y (t  0) y  720  Bất phương trình trở thành: log (t + 112) − log3  + 76   (1)  t   720  Xét hàm số f (t ) = log (t + 112) − log3  + 76   t  có f (t ) = 720 +  0, t  (t + 112) ln 76t + 720t ln ( ) Suy hàm số đồng biến khoảng (0; +)  720  Mà f (144) = log (144 + 112) − log3  + 76  =  144  Từ (1)  f (t )  f (144)  t  144  x + 16 y −16 y + 144 y (vì y  )  144  x  y Điều kiện: −16 y + 144 y    y  Đếm cặp giá trị nguyên ( x; y) Với y = hay y =  x  128 8 − x  x {3; 2; 1;0} nên có 14 cặp 3 Với y = hay y =  x  224 14 14 − x  x {4; 3; 2; 1;0} nên có 18 cặp 3 Với y = hay y =  x  32  −4  x   x {5; 4; 3; 2; 1;0} nên có 22 cặp 320 8 − x  x {5; 4; 3; 2; 1;0} nên có 22 cặp 3 Vậy có 76 cặp giá trị nguyên ( x; y) thỏa mãn đề Với y = hay y =  x  Câu 41 Xét hàm số f ( x ) liên tục R , thỏa mãn điều kiện ( x + ) f ( x ) + ( x + 1) f  ( x ) = e x f ( 0) = Tính f ( ) e A f ( ) = Ta có: B f ( ) = e C f ( ) = Lời giải ( x + ) f ( x ) + ( x + 1) f  ( x ) = e x e2 e2 Với x =  e ( + 1) f ( ) = e 2.2 +  f ( ) = 17 e2  ( x + 1) f ( x ) + f ( x ) + ( x + 1) f  ( x ) = e x  ( x + 1) f ( x ) + ( x + 1) f ( x )  = e x  e x ( x + 1) f ( x ) + e x ( x + 1) f ( x )  = e x  e x ( x + 1) f ( x )  = e2 x  e x ( x + 1) f ( x ) = e2 x + C f ( 0)= C =0 Với x =  e0 ( + 1) f ( ) = e 2.0 + C ⎯⎯⎯→ D f ( ) = Câu 42 Cho hàm số f ( x) có đạo hàm cấp hai, liên tục nhận giá trị dương đoạn  0;1 thỏa mãn f '( x) − f ( x) f '( x) + x f '( x) + ( x + 1) f ''( x) = 0, x  [0;1], a   f ( x ) dx = b ( a, b số nguyên dương A 181 B 25 1 1 f '   = f   = Biết tích phân 2  2 a phân số tối giản), giá trị a + b b C 10 Lời giải D 26 f ( x) − f ( x) f  ( x) + x f  ( x) + ( x + 1)  f  ( x) =  f  ( x) + f  ( x) + xf  ( x) + ( x + 1)  f  ( x) = f ( x) f  ( x) + f  ( x)  (2 x + 2) f  ( x) + ( x + 1)  f  ( x) = f ( x) f  ( x) + f  ( x)   (2 x + 2) f  ( x) + ( x + 1)2  f  ( x) = f ( x) f  ( x) + f  ( x)  ( x + 1)2  f  ( x)  = [2 f ( x) + 1] f  ( x)  ( x + 1)2  f  ( x) = f ( x) + f ( x) + C1 Theo giả f  ( x)  f ( x) + f ( x) + Do  1 1 f    = f   =  = + C1  C1 =  ( x + 1)2  f  ( x) = f ( x) + f ( x) + 4 2 2 thiết: = ( f ( x)  0) ( x + 1) f  ( x)dx 1  f ( x) +  2  Theo giả thiết: = −1 −1 dx  = + C2 ( x + 1) ( x + 1) f ( x) + 2 1 13 1 1  1 f   = f   =  C2 =  =  f ( x ) = x +    f ( x )  dx =   x +  dx = ( x + 1) 2 12 2 2 0 f ( x) + a = 13   a + b = 25 b = 12  Câu 43 Trong tập số phức, xét phương trình z − ( m − 1) z + 2m − = ( m tham số thực) Gọi S tập hợp giá trị nguyên m để PT có hai nghiệm phân biệt z1 , z2 thỏa mãn z1 = z2 Số phần tử tập S A B C Lời giải Xét phương trình z − ( m − 1) z + 2m − = , ta có:  =  − ( m − 1)  − ( 2m − ) = m2 − 4m + m  TH1:    m2 − 4m +    m 1 Phương trình cho có hai nghiệm thực phân biệt z1 , z2  z + z = ( m − 1) Theo định lí Vi-et ta có:   z1 z2 = 2m − Theo đề ta có: z1 = z2  z1 = − z2  z1 + z2 = 18 D  ( m − 1) =  m = TH2:     m  Phương trình ln có hai nghiệm phức z1 , z2 ln thỏa mãn z1 = z2 Do S = 2 Vậy tổng phần tử tập S Câu 44 Cho số phức z thỏa mãn z − + z + = 20 Gọi M , m modun lớn nhỏ z Giá trị M − m A B C Lời giải: Gọi z = x + yi ( x; y  ) Theo giả thiết, ta có: z − + z + = 20  x − + yi + x + + yi = 20  ( x − 6) + y2 + ( x + 6) D 14 + y = 20 (*) Gọi M ( x; y ) , F1 ( 6;0 ) F2 ( −6;0 ) Khi (*)  MF1 + MF2 = 20  F1.F2 = 12 nên tập hợp điểm M đường elip ( E ) có hai tiêu điểm F1 F2 , độ dài trục lớn 20 ta có c = 6; 2a = 20  a = 10 b2 = a − c = 64  b = x2 y + =1 100 64 Suy max z = OA = OA = 10 z = 10 z = OB = OB = z = 8i Do đó, phương trình tắc ( E ) Vậy M − m = * Nhận xét: Ở ta sử dụng định nghĩa để nhận dạng phương trình elip Câu 45 Cho khối lập phương ABCD ABC D Gọi M trung điểm cạnh BB Biết khoảng cách từ A 2a đến mặt phẳng ( MDA ) Thể tích khối lập phương cho a3 A 2a B C 8a Lời giải 19 D a3 Gọi độ dài cạnh lập phương x ( x  0) Gọi I = AB  AM , M trung điểm BB BB // AA nên B trung điểm AI , suy AI = x Ta có d ( A, ( ADM ) ) = d ( A, ( ADI ) ) = AH , với AH ⊥ IK H , AD ⊥ IK K Vì tứ diện AADI có AA , AD , AI đơi vng góc nên AH ⊥ ( ADI ) Xét hai tam giác vuông AKI , AAD có đường cao AH , AK , 1 1 1 9 = + = + + = = x=a 2 2 AH AK AI AA AD AI 4x 4a Vậy VABCD ABC D = a3 Câu 46 Cho hình lăng trụ ABC ABC  có cạnh đáy a ; biết khoảng cách hai đường thẳng AB A C A a 15 Thể tích khối lăng trụ ABC ABC  tính theo a bằng: 3a3 B 3a 3a Lời giải C Ta có AB / / AB  AB / / ( ABC )  d( AB , AC ) = d( AB ,( ABC )) = d( B ,( ABC )) = D a 15 Đặt AA = x  Tam giác CAB cân C , CA = CB = a + x Diện tích tam giác CAB 1 a2 3a + x SCAB = CH AB = a a + x − = a = a 3a + x 2 4 Thể tích lăng trụ V = x a2 (1) a 15 a 3a + x Lại có V = 3VB ABC = d( B ,( ABC )) S ABC = a a 15 = a 3a + x  x = 15 3a + x  x = a Do x a2 3a V = x = 4 20 3a Câu 47 Cho hình nón có đỉnh S , chiều cao 3a Gọi A B hai điểm thuộc đường trịn đáy cho diện tích tam giác SAB 9a , khoảng cách từ tâm đường tròn đáy đến mặt phẳng ( SAB ) a Tính thể tích khối nón giới hạn hình nón cho A 219 a B 73 a 24 Lời giải 73 a C D 73 a Gọi O , R tâm bán kính đáy khối nón Gọi K , H hình chiếu O lên AB , SK AB ⊥ OK    AB ⊥ ( SOK ) Suy AB ⊥ OH AB ⊥ SO  OH ⊥ SK    OH ⊥ ( SAB ) Suy khoảng cách từ tâm O đến mặt phẳng ( SAB ) OH OH ⊥ AB  1 1 1 1 = + = − = 2− =  Trong tam giác vng SOK có  2 2 2 OK OH SO a ( 3a ) 9a OH SO OK OK = 3a  3a  81a 9a  SK = SK = SO + OK = ( 3a ) +   =   Tam giác cân SAB có SSAB = 2 2.SSAB 2.9a SK AB  AB = = = 4a SK 9a Suy BK = 2a  3a  Trong tam giác vng OBK có OB = OK + BK =    + 2a   2 ( ) = a 146 1  a 146  73 a3 Thể tích khối nón V =  r h =    3a = 3   x −1 y +1 z + = = mặt phẳng 2 ( P ) : x + y + z − = Gọi I giao điểm d ( P ) Biết IM = , khoảng cách từ điểm M thuộc d Câu 48 Trong không gian Oxyz , cho đường thẳng d : đến ( P ) A 15 B C 21 D Lời giải Từ giả thiết suy đường thẳng d có véc tơ phương u = ( 2; 2;1) , mặt phẳng ( P ) có véc tơ pháp tuyến n = (1; 2; ) Gọi  góc d ( P )  sin  = Mà sin  = d ( M , ( P )) IM u.n = u.n 8 = 3.3  d ( M , ( P )) = Câu 49 Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho điểm A(8; −8;8) Gọi M điểm cho MA = 3MO (Với O gốc tọa độ) Khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng ( P ) : x + y + z + 19 = đạt giá trị nhỏ A + 3 C − 3 Lời giải B 3 D Gọi M ( x; y; z ) Khi MA = 3MO  ( x − 8) + ( y + 8) + ( z − 8) = ( x + y + z )  x + y + z + x − y + z − 24 = 2 Suy tập hợp điểm M thỏa MA = 3MO mặt cầu ( S ) tâm I ( −1;1; −1) bán kính R = 3 Vì d ( I , ( P ) ) =  R nên ( P ) không cắt ( S ) Do khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng ( P ) đạt giá trị nhỏ d = d ( I , ( P ) ) − R = − 3 Câu 50 Trong không gian Oxyz , cho điểm M (1; 2; − 1) , mặt phẳng ( ) : x + y − z + = mặt cầu (S ) : ( ) đồng thời mặt phẳng qua M , vng góc với mặt phẳng ( S ) theo giao tuyến đường trịn có bán kính nhỏ Mặt phẳng ( P ) qua điểm cắt mặt cầu sau đây? A A ( −3;1;7 ) B B (1;3;1) C C ( 5; 2;9 ) D D (1; − 9; ) ( x − 1) + ( y + 2) + ( z − 1) 2 = 25 Gọi ( P)  Lời giải: Gọi VTPT mặt phẳng ( P ) n = ( A ; B ; C ) với A2 + B + C  ( P ) qua điểm M (1; 2; − 1) nên phương trình ( P ) A ( x − 1) + B ( y − ) + C ( z + 1) =  Ax + By + Cz − A − B + C = Do ( P ) ⊥ ( ) nên nP n =  A + B − C =  C = A + B Mặt cầu ( S ) có tâm I (1; − 2;1) bán kính R = ( P) cắt ( S ) theo giao tuyến đường trịn có bán kính nhỏ d ( I , ( P ) ) lớn Ta có d ( I , ( P ) ) = A − 2B + C − A − 2B + C A2 + B + C = 2C − B A2 + B + ( A + B ) = 2A A2 + 5B + AB * A = : d ( I , ( P )) = * A  : d ( I , ( P )) = 2 B B + 5  + A  A = 2 B B 5  + + A  A 22 = 2  B 2 5 +  +  A 5  30 Dấu xảy Vậy max d ( I , ( P ) ) = B =− A B 30 = − A Chọn B = −2, A =  C =  Phương trình ( P ) là: x − y + z = Thay tọa độ điểm A, B, C , D vào phương trình mặt phẳng ( P ) ta thấy mặt phẳng ( P ) qua điểm B (1;3;1) 23