CHUYÊN ĐỀ 4: BẤT ĐẲNG THỨC – CỰC TRỊ Dạng 1: TỔNG LŨY THỪA TÀI LIỆU CỦA NHÓM: CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC I-BĐT VÀ CỰ TRỊ ĐẠI SỐ Phương pháp: So sánh số hạng tổng với số hạng tổng liên tiếp để tìm mối quan hệ, Nếu muốn chứng minh lớn giá trị k đó, ta cần so sánh với số hạng có mẫu lớn hơn, ngược lại Bài 1: Chứng minh rằng: A 1 1 1 2 1002 Lời giải Ta thấy tốn có dạng tổng lũy thừa bậc hai, nên ta phân tích tổng A sau: 1 1 A 2.2 3.3 4.4 99.99 100.100 Đến ta so sánh với phân số có mẫu nhỏ hơn, u cầu tốn chứng minh nhỏ 1 1 A 98 99 99 100 1.2 2.3 3.4 98.99 99.100 1 A 1 100 1 1 1 100 Bài 2: Chứng minh rằng: 6 Lời giải Ở toán này, ta phải chứng minh hai chiều, chiều thứ ta cần chứng minh: 1 1 1 A A 99 100 Chứng minh 1 1 1 1 1 A 5.5 6.6 7.7 99.99 100.100 5.6 6.7 7.8 99.100 100.101 có: Ta 1 96 96 A 101 505 đến đây, ta so sánh 505 với sau: 96 96 1 Ta có: 505 576 cách ta nhân tử mẫu phân số với 96 để hai phân 96 96 A 505 567 số tử so sánh ta có: (1) 1 1 1 A 99 100 minh: Chiều thứ hai, ta cần chứng Ta làm tương tự sau : 1 1 1 1 1 A 5.5 6.6 7.7 99.99 100.100 4.5 5.6 6.7 98.99 99.100 1 A 100 (2) 1 A Từ (1) (2) ta có : 1 1 2 100 Bài 3: Chứng minh rằng: Lời giải TÀI LIỆU CỦA NHÓM: CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang CHUYÊN ĐỀ 4: BẤT ĐẲNG THỨC – CỰC TRỊ 1 1 1 1 1 A 3.3 4.4 99.99 100.100 2.3 3.4 4.5 99.100 Ta biến đổi: 1TÀI LIỆU 1CỦA NHÓM: CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC A 100 100 1 1 A 2 100 Bài 4: Chứng minh rằng: Lời giải Nhận thấy tổng lũy thừa số lại chẵn, nên ta đưa tổng lũy thừa hai liên tiếp sau : 1 1 1 1 1 A 50 1.2 2.3 3.4 49.50 1 1 A 1 4 50 200 100 A 100 2 2 Bài 5: Chứng minh rằng: Lời giải Nhận thấy có dạng tổng lũy thừa số, nên ta thực phép tính tổng A Việc tính xác tổng A giảm bớt sai số, nhiên khơng phải tổng tính được, 99 100 A 1 98 99 2 2 Ta tính tổng A sau: Sau lấy 2A trừ A theo vế nhóm phân số có mẫu ta : 1 100 1 1 A 99 100 B 99 2 2 , đặt 2 2 tính tổng B theo cách 1 1 100 B 99 A 99 100 2 , thay vào A ta : 2 2 ta : 100 A 100 3 3 Bài 6: Chứng minh rằng: Lời giải 1 1 100 A 1 99 100 3 , Tính tượng tự 5, ta có: 1 1 B 99 3 3 , tính B thay vào tổng A ta Đặt 1 1 100 3 B A 1 100 A A 99 99 2.3 2.3 2 Bài 7: Chứng minh rằng: A Ta có : A 1 1 2 n Lời giải 1 1 1 1 1 2.2 3.3 4.4 n.n 1.2 2.3 3.4 n n 1 n A Bài 8: Chứng minh rằng: 1 1 2 (2n) Lời giải A Ta có : 1 1 2 2 2 n 1 1 1 1 1 1 1 n 1 n n 4n 1.2 2.3 TÀI LIỆU CỦA NHÓM: CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang CHUYÊN ĐỀ 4: BẤT ĐẲNG THỨC – CỰC TRỊ A Bài 9: So sánh 1 1 2 (2n) với TÀI LIỆU CỦA NHÓM: CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Lời giải A 1 1 1 1 1 2 n 4 n 4n Bài 10: Chứng minh với số tự nhiên n > nhiên 1 1 A 2 n không số tự Lời giải 1 1 1 1 1 2 A 1.2 2.3 n n n Ta có : Mặt khác ta thấy A Vậy ta có : A 1 1 A 2 n không số tự nhiên Vậy với số tự nhiên n > 1 1 2004 A 2 2005 2005 Bài 11: Chứng minh rằng: Lời giải 1 1 1 1 2004 A 1 2 2005 1.2 2.3 3.4 2004.2005 2005 2005 Ta có 1 2016 2016 Bài 12: Chứng minh rằng: 5 Lời giải 2016 1 A 1 2005 2016 5 , Đặt tổng ngoặc B tính B ta có : 1 B 1 2015 B 4.52015 , thay vào A ta : 1 2016 5 A 1 2015 2016 A 5 16 15 (1) 2016 7 A 2016 5 5 25 25 28 Mặt khác : (2) 1 2016 2016 Từ (1) (2) ta 5 99 100 A 99 100 3 3 3 16 Bài 13: Chứng minh rằng: Lời giải 1 1 100 A (1 99 ) 100 3 3 , Tính tổng A , ta : 3 100 3 B A 99 100 A 99 4.3 4 16 Đặt tổng ngoặc 19 A 2 2 2 2 1 2 3 10 Bài 14: Chứng minh rằng: Lời giải 22 12 32 22 102 92 1 1 A 2 2 2 2 10 1 10 Ta có : TÀI LIỆU CỦA NHÓM: CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang CHUYÊN ĐỀ 4: BẤT ĐẲNG THỨC – CỰC TRỊ A 1 1 102 CỦA NHÓM: 4019 TÀI LIỆU ÁN CÁC DỰ GIÁO DỤC 2 Bài 15: Chứng minh rằng: 2 2.32 32.42 20092.2010 Lời giải 22 12 32 22 42 32 2010 2009 12.2 2 2.32 32.4 2009 2.2010 Ta có : 1 1 1 A 1 1 2 2 2009 2010 20102 A Bài 16: Chứng minh rằng: S 1 1 1 2002 2004 2 2 2 1 1 1 S 10 2004 2006 2 2 2 2 Lời giải S 5S 1 1 S 2006 S 4 2 1 1 B 2005 3 3 Bài 17: Chứng minh rằng: Lời giải 1 1 1 2B 1 1 B 2006 B B 2006 B 3 3 3 3 3 2 2015 M 2015 3 3 Bài 18: Chứng minh rằng: có giá trị khơng ngun Lời giải M M nên M < M > M khơng có giá trị ngun Tính : Chứng minh rằng: A 2 2 1003 2 2007 2008 Bài 19 Lời giải 2 2 1 1003 A 2.4 4.6 6.8 2006.2008 2008 2008 3 S 1 1.4 4.7 n(n 3) Bài 20: Chứng minh rằng: Lời giải 1 1 1 1 S 1 1 n 3 4 7 n n 3 1 1 2 2004 2004 Bài 21: Chứng minh rằng: Lời giải 1 B 1 2004 , Đặt tổng ngặc B ta có: 2 B 1 TÀI LIỆU CỦA NHÓM: CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang CHUYÊN ĐỀ 4: BẤT ĐẲNG THỨC – CỰC TRỊ 1 1 1 1 A 1 1.2 2.3 3.4 2003.2004 2004 2004 1 CỦA B TÀI A 1 LIỆU 1 B NHÓM: CÁC DỰ ÁN GIÁO 2004 2004 A DỤC 1 1 2002 2004 0, 2 2 Bài 22: Chứng minh rằng: 2 Lời giải 1 1 1 1 1 A 2004 2006 A A 2006 2 2 2 Ta có: 5A 1 A 0, 4 1 1 A 50 Bài 23: Chứng minh rằng: Lời giải 1 1 1 1 A 3.3 4.4 5.5 50.50 3.4 4.5 50.51 Ta có : Mặt khác : 1 1 1 1 1 A 3.3 4.4 5.5 50.50 3.4 4.5 49.50 A Vậy A 48 48 51 153 192 191 200 50 450 450 1 A A 1.2 3.4 99.100 Chứng minh rằng: 12 Bài 24: Cho Lời giải 1 1 1 1 A A 75 76 77 100 51 52 51 52 100 Chứng minh rằng: 1 1 25 25 75 100 12 TH1: 1 1 A 25 25 50 75 TH2: A 1 A 2 50 Chứng minh rằng: A < Bài 25: Cho Lời giải 1 1 1 1 A 1 2 2 2.2 3.3 50.50 1.2 2.3 3.4 49.50 50 Ta có: Bài 26: Chứng minh rằng: 1 1 1 a, 16 32 64 3 99 100 99 100 3 16 b, 3 3 Lời giải 1 1 1 1 1 A A 1 16 32 64 16 32 a, Ta có: 1 A A 3 A 1 1 A 64 Nên TÀI LIỆU CỦA NHÓM: CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang CHUYÊN ĐỀ 4: BẤT ĐẲNG THỨC – CỰC TRỊ 1 1 100 99 100 3 3 3 b, Ta có: TÀI NHĨM: LIỆU 1 CỦA 1 3CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC B 1 99 B 3 3 3.399 , Thay vào A ta được: Đặt 100 3 A 99 100 A 4 16 A A 4 A 1 1 1 98 100 7 50 Bài 27: Chứng minh rằng: 7 Lời giải 1 1 1 A 98 100 50 A 1 100 A 7 7 Nhân 49 A 50 Đặt Bài 28: Chứng minh rằng: 1 2012 2012 2012 2012 2 2 2011 2011 2011 20112 2011 Lời giải 2012 2012 2012 2012 2 2 Ta có: 2011 2011 , 2011 2011 , tương tự : 2012 2012 2012 2012.2011 2012 A 2 A2 2 2011 2011 2011 20112 20112 2012 2012 2012 2012 2 2 Mặt khác: 2011 2011 2011 , 2011 2011 2011 , Tương tự vậy: 2012 2012 2012 2012.2011 2012.2011 A 1 2 2 2011 2011 2011 2011 2011 2011 2011 2011 2011 2011 1 1 1 10 100 Bài 29: Chứng minh rằng: Lời giải 1 1 1 ; ; ; 100 10 Ta có : 10 10 1 1 1 100 10 10 10 100 10 10 15 2499 E 48 16 2500 Bài 30: Chứng minh rằng: Lời giải 1 1 1 E 4 16 2500 1 49 48 50 2 1 A A 1.2 3.4 99.100 Chứng minh rằng: 12 Bài 31: Cho Lời giải TÀI LIỆU CỦA NHÓM: CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang CHUYÊN ĐỀ 4: BẤT ĐẲNG THỨC – CỰC TRỊ A 1 51 52 100 Chứng minh rằng: TÀI LIỆU CỦA CÁC 1 NHÓM: 1 A 75 76 77 100 51 52 DỰ ÁN GIÁO DỤC 1 1 25 25 75 100 12 TH1: 1 1 A 25 25 50 75 TH2: A 1 Bài 32: Chứng minh rằng: 2500 Lời giải 100 2 n n , n 1 n n n n Xét số hạng tổng quát: n 1 1 n n n Do đó: 1 A 1 2500 100 2500 n = 2500 Với , ta có: 1 1 A 1.2.3 2.3.4 3.4.5 18.19.20 Bài 33: Chứng minh rằng: Lời giải 1 A A 19.40 1.2 19.20 36 36 36 36 D 3 1.3.5 3.5.7 5.7.9 25.27.29 Bài 34: Chứng minh rằng: Lời giải 4 D 9 3 9 3 25.27.29 3.29 1.3.5 3.5.7 5.7.9 1.3 27.29 Dạng 2: TỔNG PHÂN SỐ TỰ NHIÊN Phương pháp: Với tổng phân số tự nhiên, với chương trình lớp -7 ta nên cho học sinh làm theo cách nhóm đầu cuối so sánh nhóm với nhau, để tạo ngoặc có tử, so sánh bình thường 1 1 1 1 Bài 1: Chứng minh rằng: 16 36 64 100 144 196 Lời giải 1 1 1 1 1 1 14 Ta có 16 36 64 100 144 196 TÀI LIỆU CỦA NHÓM: CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang CHUYÊN ĐỀ 4: BẤT ĐẲNG THỨC – CỰC TRỊ 1 1 1 1 Bài 2: Chứng minh rằng: 13 25 41 61 85 113 TÀI LIỆU CỦA NHÓM: Lời CÁC giải DỰ ÁN GIÁO DỤC 1 1 1 1 1 1 1 1 1 Ta có 13 25 41 61 85 113 12 12 12 60 60 60 20 11 1 1 59 60 Bài 3: Chứng minh rằng: 15 21 22 23 Lời giải 1 1 1 20 20 20 40 40 sè h¹ng 59 60 20 Ta có 21 22 23 = 1 1 1 1 1 40 40 40 60 60 60 20 sè h¹ng 20 sè h¹ng 59 60 Ta có 21 22 23 1 1 25 22 11 20 40 60 30 30 15 11 1 1 59 60 Vậy 15 21 22 23 1 1 79 80 12 Bài 4: Chứng minh rằng: 41 42 43 Lời giải 1 1 1 1 VT 60 61 62 63 80 41 42 43 Nhóm thành ngoặc: Khi ta có: 20 1 1 20 20 1 VT 80 80 80 60 80 12 60 60 60 20 sè h¹ng 20 sè h¹ng 2010 2011 2012 1 1 B 2011 2012 2010 17 Bài 5: So sánh A B biết : Lời giải 1 1 A 1 1 3 3 2011 2012 2010 2010 2011 2010 2012 Tổng B có 15 số 1 1 1 1 1 5 67 72 B 3 12 13 17 10 24 24 Vậy A > B A 1 1 M 17 Chứng minh rằng: M < Bài 6: Cho Lời giải Tổng M có 13 số 1 1 1 1 1 1 1 17 Ta có: 10 11 TÀI LIỆU CỦA NHÓM: CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang CHUYÊN ĐỀ 4: BẤT ĐẲNG THỨC – CỰC TRỊ 1 1 M 2 17 Vậy TÀI LIỆU CỦA NHÓM: CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC 3 3 S 10 11 12 13 14 Chứng minh rằng: S Bài 7: Cho Lời giải 3 3 3 3 3 15 S 1 S 10 11 12 13 14 15 15 15 15 15 15 Ta có 3 3 3 3 3 15 S 1,5 S 10 11 12 13 14 10 10 10 10 10 10 Ta có Vậy S 5 5 20 21 22 49 Chứng minh rằng: < S < Bài 8: Cho Lời giải Tổng có 30 số hạng: 5 5 S 30 3 S 50 50 50 50 Ta có: S 5 5 30 S 20 20 20 20 20 Ta có Vậy < S < 1 1 A A 101 102 103 200 Bài 9: Chứng minh rằng: Lời giải Ta thấy tổng A có 100 số, ta nhóm thành 50 ngoặc, ngoặc có hai phân số, gốm phân số đứng đầu phân số đứng cuối, dồn sâu vào tổng 1 A 200 102 199 150 151 101 S 50 ngc 301 301 301 101.200 102.199 150.151 50 sè h¹ng 1 A 301 101.200 102.199 150.151 50 sè h¹ng , Lúc ta so sánh tất với chung phân số đầu cuối, A ta có: TH1: Ta chứng minh 1 50 301 300 300 A 301 301 150.151 150.151 453 453 480 150.151 150.151 (1) A ta có: TH2: Ta chứng minh 1 50 301 303 A 301 301 101.200 101.200 404 404 101.200 101.200 TÀI LIỆU CỦA NHÓM: CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC (2) Trang CHUYÊN ĐỀ 4: BẤT ĐẲNG THỨC – CỰC TRỊ A Từ (1) (2) TÀI LIỆU CỦA NHÓM: CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC 1 1 200 Bài 10: Chứng minh rằng: 12 101 102 103 Lời giải 1 A 101 102 200 tổng Nhận thấy tổng 5 7 A A , mà 12 12 Nên ta chứng minh 1 1 A A 11 12 13 70 Chứng minh rằng: Bài 11: Cho Lời giải Thấy tổng A có 60 số hạng A cách nhóm số ngoặc thơng thường TH1: Ta chứng minh 81 81 81 1 1 1 A 11 70 12 69 40 12.69 40.41 41 11.70 30 sè h¹ng 30 ngc Ta có: 81 81 81 81.30 243 240 240 A 40.41 40.41 40.41 40.41 164 164 180 A , làm không chứng minh TH2: Tuy nhiên để chứng minh Lý do: việc chứng minh nhỏ mà so sánh lớn lượng dư thừa, dẫn đến tổng A lớn , để giảm bớt lượng dư, tùy vào toán, nên nhóm thành ngoặc 1 1 1 1 1 1 1 A 20 21 30 31 40 41 50 51 60 61 70 11 1 1 1 1 1 1 1 A 21 31 31 41 41 51 51 61 61 11 11 21 10 10 10 10 10 10 1 1 A 1 11 21 31 41 51 61 1 1 1 0,5 6 5= = A Vậy 1 1 S S 31 32 33 60 , Chứng minh rằng: 5 Bài 12: Cho Lời giải Nhóm tổng S thành ngoặc 1 1 10 10 10 S 40 41 50 51 60 31 41 51 31 10 10 10 1 30 40 50 5 TÀI LIỆU CỦA NHÓM: CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang 10