8 sgk canhdieu t1 hdg

1 ĐỖ ĐỨC THÁI (Tổng chủ biên kiêm chủ biên) LÊ TUẤN ANH – ĐỖ TIẾN ĐẠT – NGUYỄN SƠN HÀ NGUYỄN THỊ PHƯƠNG LOAN – PHẠM SỸ NAM – PHẠM ĐỨC QUANG TOÁN TẬP MỘT Số học sinh 9 8 Nữ Nam 24% 6 26% 4 Khối Khối 28% O Khối 22% Khối Khối NHÀ XUẤT BẢN ĐẠI HỌC SƯ PHẠM MỤC LỤC Chương §1 – ĐA THỨC NHIỀU BIẾN ĐƠN THỨC NHIỀU BIẾN ĐA THỨC NHIỀU BIẾN §2 – §3 – §4 – 1 A ĐƠN THỨC NHIỀU BIẾN B ĐA THỨC NHIỀU BIẾN C BÀI TẬP CÁC PHÉP TÍNH VỚI ĐA THỨC NHIỀU BIẾN A CỘNG HAI ĐA THỨC NHIỀU BIẾN B TRỪ HAI ĐA THỨC NHIỀU BIẾN C NHÂN HAI ĐA THỨC NHIỀU BIẾN D CHIA ĐA THỨC CHO ĐƠN THỨC E BÀI TẬP 10 HẰNG ĐẲNG THỨC ĐÁNG NHỚ 15 A HẰNG ĐẲNG THỨC 15 B NHỮNG HẰNG ĐẲNG THỨC .15 C BÀI TẬP 21 VẬN DỤNG HẰNG ĐẲNG THỨC VÀO PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ 23 A PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ .23 B VẬN DỤNG HẰNG ĐẲNG THỨC VÀO PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ 23 C §5 – BÀI TẬP CUỐI CHƯƠNG I Chương §1 – BÀI TẬP 25 PHÂN THỨC ĐẠI SỐ PHÂN THỨC ĐẠI SỐ A 28 32 32 KHÁI NIỆM VỀ PHÂN THỨC ĐẠI SỐ 32 MỤC LỤC §2 – §3 – §4 – B TÍNH CHẤT CƠ BẢN CỦA PHÂN THỨC 33 C ĐIỀU KIỆN XÁC ĐỊNH VÀ GIÁ TRỊ CỦA PHÂN THỨC .36 D BÀI TẬP 38 PHÉP CỘNG, PHÉP TRỪ PHÂN THỨC ĐẠI SỐ A PHÉP CỘNG CÁC PHÂN THỨC ĐẠI SỐ 42 B PHÉP TRỪ CÁC PHÂN THỨC ĐẠI SỐ .44 C BÀI TẬP 46 PHÉP NHÂN, CHIA PHÂN THỨC ĐẠI SỐ §2 – §3 – §4 – 52 A PHÉP NHÂN CÁC PHÂN THỨC ĐẠI SỐ .52 B PHÉP CHIA CÁC PHÂN THỨC ĐẠI SỐ 54 C BÀI TẬP 56 BÀI TẬP CUỐI CHƯƠNG II Chương §1 – 42 HÀM SỐ VÀ ĐỒ THỊ HÀM SỐ 60 64 64 A ĐỊNH NGHĨA .64 B GIÁ TRỊ CỦA HÀM SỐ 65 C BÀI TẬP 65 MẶT PHẲNG TỌA ĐỘ ĐỒ THỊ HÀM SỐ 68 A MẶT PHẲNG TỌA ĐỘ .68 B TỌA ĐỘ MỘT ĐIỂM TRONG MẶT PHẲNG TỌA ĐỘ 68 C ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ .69 D BÀI TẬP 70 HÀM SỐ BẬC NHẤT y = ax + b (a ̸= 0) 73 A HÀM SỐ BẬC NHẤT .73 B ỨNG DỤNG .74 C BÀI TẬP 75 ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ BẬC NHẤT y = ax + b (a ̸= 0) 78 A ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ BẬC NHẤT 78 B VẼ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ BẬC NHẤT .79 C HỆ SỐ GÓC CỦA ĐƯỜNG THẲNG y = ax + b (a ̸= 0) 80 D ỨNG DỤNG CỦA HỆ SỐ GÓC 81 Thầy Hóa - 0344.083.670 ii MỤC LỤC E §5 – BÀI TẬP 82 BÀI TẬP CUỐI CHƯƠNG III Chương §1 – §2 – §3 – HÌNH HỌC TRỰC QUAN HÌNH CHĨP TAM GIÁC ĐỀU §2 – §3 – §4 – 90 90 A HÌNH CHĨP TAM GIÁC ĐỀU .90 B DIỆN TÍCH XUNG QUANH CỦA HÌNH CHĨP TAM GIÁC ĐỀU 90 C THỂ TÍCH CỦA HÌNH CHĨP TAM GIÁC ĐỀU .91 D BÀI TẬP 91 HÌNH CHĨP TỨ GIÁC ĐỀU 94 A HÌNH CHĨP TỨ GIÁC ĐỀU .94 B DIỆN TÍCH XUNG QUANH CỦA HÌNH CHĨP TỨ GIÁC ĐỀU 94 C THỂ TÍCH CỦA HÌNH CHĨP TỨ GIÁC ĐỀU 95 D BÀI TẬP 96 BÀI TẬP CUỐI CHƯƠNG IV Chương §1 – 85 TAM GIÁC TỨ GIÁC ĐỊNH LÍ PYTHAGORE 98 102 102 A ĐỊNH LÝ PYTHAGORE 102 B ĐỊNH LÝ PYTHAGORE ĐẢO 102 C BÀI TẬP 104 TỨ GIÁC 108 A TỨ GIÁC 108 B TỔNG CÁC GÓC CỦA TỨ GIÁC 109 C BÀI TẬP 109 HÌNH THANG CÂN 112 A ĐỊNH NGHĨA .112 B TÍNH CHẤT 112 C DẤU HIỆU NHẬN BIẾT 113 D BÀI TẬP 114 HÌNH BÌNH HÀNH A 118 ĐỊNH NGHĨA .118 Thầy Hóa - 0344.083.670 iii MỤC LỤC §5 – §6 – §7 – §8 – B TÍNH CHẤT 118 C DẤU HIỆU NHẬN BIẾT 119 D BÀI TẬP 120 HÌNH CHỮ NHẬT − HÌNH VNG 123 A ĐỊNH NGHĨA .123 B TÍNH CHẤT 123 C DẤU HIỆU NHẬN BIẾT 124 D BÀI TẬP 126 HÌNH THOI 129 A ĐỊNH NGHĨA .129 B TÍNH CHẤT 129 C DẤU HIỆU NHẬN BIẾT 130 D BÀI TẬP 131 HÌNH VNG 134 A Định nghĩa 134 B TÍNH CHẤT 134 C DẤU HIỆU NHẬN BIẾT 135 D BÀI TẬP 135 BÀI TẬP CUỐI CHƯƠNG V Thầy Hóa - 0344.083.670 137 iv Chương ĐA ĐATHỨC THỨCNHIỀU NHIỀUBIẾN BIẾN Chủ đề ĐƠN THỨC NHIỀU BIẾN ĐA THỨC NHIỀU BIẾN A ĐƠN THỨC NHIỀU BIẾN Định nghĩa c Định nghĩa 1.1 Đơn thức nhiều biến (hay đơn thức) biểu thức đại số gồm số, biến, tích số biến Ví dụ Trong biểu thức sau, biểu thức đơn thức? 1 ; x; y; 2x + y; x2 y; −3xy z ; x2 y xz Lời giải 1 Các biểu thức ; x; y; x2 y; −3xy z ; x2 y xz đơn thức, cịn biểu thức 2x + y khơng phải đơn thức □ Luyện tập Trong biểu thức sau, biểu thức đơn thức? 5y; y + 3z; x3 y x2 z Lời giải Các biểu thức 5y; x3 y x2 z đơn thức, biểu thức 2x + y đơn thức □ Đơn thức thu gọn c Định nghĩa 1.2 Đơn thức thu gọn đơn thức gồm tích số với biến, mà biến nâng lên lũy thừa với số mũ nguyên dương viết lần Số nói gọi hệ số, phần lại gọi phần biến đơn thức thu gọn Ví dụ a) Trong đơn thức sau, đơn thức đơn thức thu gọn? √ 2; x; y; x2 y ; −5x2 y z ; x2 y xz b) Thu gọn đơn thức: 2x3 y z z Lời giải ĐƠN THỨC NHIỀU BIẾN.ĐA THỨC NHIỀU BIẾN √ a) Các đơn thức 2; x; y; x2 y ; −5x2 y z đơn thức thu gọn, đơn thức x2 y xz khơng phải đơn thức thu gọn b) Ta có 2x3 y z z = 2x3 y · (z · z ) = 2x3 y z □ Luyện tập Thu gọn đơn thức sau: y y z; xy x3 z Lời giải  y y z = y z  xy x z = x4 y z 3 □ Chú ý  Ta coi số đơn thức thu gọn  Từ sau, nói đến đơn thức mà khơng nói thêm ta hiểu đơn thức thu gọn Đơn thức đồng dạng c Định nghĩa 1.3 Hai đơn thức đồng dạng hai đơn thức có hệ số khác có phần biến Ví dụ Chỉ đơn thức đồng dạng trường hợp sau a) −x2 y z − x2 y z b) 0,5xy 0,5x2 y √ c) x3 y ; −6x3 y 3x3 y Lời giải a) Hai đơn thức −x2 y z − x2 y z có hệ số khác có phần biến nên chúng hai đơn thức đồng dạng b) Hai đơn thức 0,5xy 0,5x2 y khơng có phần biến nên chúng hai đơn thức đồng dạng √ c) Những đơn thức x3 y ; −6x3 y 3x3 y có hệ số khác có phần biến nên chúng đơn thức đồng dạng □ Luyện tập Chỉ đơn thức đồng dạng trường hợp sau: √ a) x2 y ; −3x2 y 5x2 y b) −x2 y z −2x2 y z Lời giải a) Ba đơn thức x2 y ; −3x2 y đơn thức đồng dạng √ 5x y có phần biến nên ba đơn thức cho ba b) Hai đơn thức −x2 y z −2x2 y z khác phần biến nên hai đơn thức cho hai đơn thức khơng đồng dạng □ Thầy Hóa - 0344.083.670 ĐƠN THỨC NHIỀU BIẾN.ĐA THỨC NHIỀU BIẾN Cộng, trừ đơn thức đồng dạng c Định nghĩa 1.4 Để cộng (hay trừ) đơn thức đồng dạng, ta cộng (hay trừ) hệ số với giữ nguyên phần biến Ví dụ Thực phép tính: a) 3x2 y + 4x2 y b) 4x3 y − 7x3 y c) 8xy + xy Lời giải a) 3x2 y + 4x2 y = (3 + 4)x2 y = 7x2 y b) 4x3 y − 7x3 y = (4 − 7)x3 y = −3x3 y c) 8xy + xy = (8 + 1)xy = 9xy □ Luyện tập Thực phép tính a) 4x4 y + 2x4 y b) 3x3 y − 5x3 y Lời giải a) 4x4 y + 2x4 y = (4 + 2)x4 y = 6x4 y b) 3x3 y − 5x3 y = (3 − 5)x3 y = −2x3 y □ B ĐA THỨC NHIỀU BIẾN Định nghĩa c Định nghĩa 1.5 Đa thức nhiều biến (hay đa thức) tổng đơn thức Chú ý  Mỗi đơn thức coi đa thức  Đa thức A = x2 − 2x + biến x, kí hiệu A(x)  Đa thức hai biến x, y, kí hiệu P (x, y)  Đa thức Q = x3 + y + z − 3xyz ba biến x, y, z, kí hiệu Q(x, y, z) Ví dụ Trong biểu thức sau, biểu thức đa thức x+y 2x + y + x2 y; −3xy z + x2 y z; x−y Lời giải x+y Các biểu thức 2x + y + x2 y; −3xy z + x2 y z đa thức, cịn biểu thức khơng phải x−y đa thức □ Thầy Hóa - 0344.083.670 ĐƠN THỨC NHIỀU BIẾN.ĐA THỨC NHIỀU BIẾN Luyện tập Trong biểu thức sau, biểu thức đa thức x2 + y y + 3z + y z; x+y Lời giải x2 + y đa thức Biểu thức y + 3z + y z đa thức, biểu thức x+y □ Đa thức thu gọn c Định nghĩa 1.6 Thu gọn đa thức nhiều biến làm cho đa thức khơng cịn hai đơn thức đồng dạng Ví dụ Thu gọn đa thức: Q = x2 + y + z + xy + xy + yz + yz + 2zx Lời giải Ta có Q = x2 + y + z + xy + xy + yz + yz + 2zx □ = x2 + y + z + (xy + xy) + (yz + yz) + 2zx = x2 + y + z + 2xy + 2yz + 2zx Luyện tập Thu gọn đa thức: R = x3 − 2x2 y − x2 y + 3xy − y Lời giải Ta có R = x3 − 2x2 y − x2 y + 3xy − y
= x3 + −2x2 y − x2 y + 3xy − y □ = x3 − 3x2 y + 3xy − y Giá trị đa thức c Nhận xét 1.1 Để tính giá trị đa thức giá trị cho trước biến, ta thay giá trị cho trước vào biểu thức xác định đa thức thực phép tính Ví dụ Tính giá trị đa thức P = x2 − 2xy + y x = 1; y = Lời giải Giá trị đa thức P x = 1; y = 12 − · · + 12 = − + = □ Luyện tập Tính giá trị đa thức Q = x3 − 3x2 y + 3xy − y x = 2; y = Lời giải Giá trị đa thức Q x = 2; y = 23 − · 22 · + · · 12 − 13 = − 12 + − = □ Bậc đơn thức, đa thức  Bậc đơn thức (thu gọn) có hệ số khác tổng số mũ tất biến có đơn thức  Bậc đa thức bậc cao đơn thức dạng thu gọn đa thức Thầy Hóa - 0344.083.670 HÌNH CHỮ NHẬT − HÌNH VNG  Bước Gấp mảnh giấy cho hai nửa hình trịn trùng khít Nét gấp thẳng tạo thành đường kính hình trịn Ta đánh dấu hai đầu mút đường kính hai điểm A, C  Bước Sau lại gấp tương tự mảnh giấy theo đường kính đánh dấu hai đầu mút đường kính hai điểm B, D Khi tứ giác ABCD hình chữ nhật (Hình 53) A B D C Em giải thích cách làm bạn Bình Hình 53 Lời giải Sau hai lần gấp bạn Bình tìm trung điểm AC BD nên tứ giác ABCD hình bình hành Mà AC = BD (đường kính đường trịn) nên ABCD hình chữ nhật □ CÓ THỂ EM CHƯA BIẾT Tỷ lệ khung hình  Tỉ lệ khung hình (cịn gọi tỉ lệ hình ảnh) thể tỉ lệ chiều rộng chiều cao (theo đơn vị đo) khung hình có dạng hình chữ nhật  Chẳng hạn, ta hiểu khung hình ti vi có tỉ lệ 16 : khung hình ti vi có dạng hình chữ nhật với chiều rộng 16 đơn vị chiều cao đơn vị  Ngày nay, thiết bị hình máy tính, hình ti vi, thường sử dụng hai tỉ lệ khung hình : 16 : (Hình 54) 16 Tỉ lệ khung hình : Tỉ lệ khung hình 16 : Hình 54  Tỉ lệ khung hình : sử dụng phổ biến hình máy tính, phù hợp làm việc văn phịng dùng cho truyển hình tiêu chuẩn, máy quay phim  Tỉ lệ khung hình 16 : tỉ lệ chuẩn quốc tế phổ biến thiết bị cơng nghệ hình điện thoại, ti vi, hình LED, Đặc điểm bật khung hình tỉ lệ 16 : cho phép hình ảnh/video hiển thị sắc nét, trọn vẹn hình Thầy Hóa - 0344.083.670 128 HÌNH THOI Chủ đề HÌNH THOI A ĐỊNH NGHĨA c Định nghĩa 6.1 Hình thoi tứ giác có bốn cạnh Ví dụ 15 Ở Hình đây, tứ giác hình thoi? Vì sao? 2,5 cm M N 2,5 cm H G 2,5 cm cm 2,5 cm Q P 2, cm a) 2,5 cm K cm I b) Lời giải  Ở Hình a), ta có M N = N P = P Q = QM (vì 2,5 cm) nên tứ giác M N P Q hình thoi  Ở Hình b), ta có GH ̸= KG (vì 2,5 cm ̸= cm) nên tứ giác GHIK khơng phải hình thoi □ B TÍNH CHẤT c Tính chất 6.1 Do hình thoi hình bình hành nên hình thoi có tất tính chất hình bình hành Định lí 6.1 Trong hình thoi: a) Các cạnh đối song song; b) Các góc đối nhau; c) Hai đường chéo vng góc với cắt trung điểm đường; d) Hai đường chéo đường phân giác góc đỉnh Ví dụ 16 Thầy Hóa - 0344.083.670 129 HÌNH THOI Cho hình thoi ABCD có hai đường chéo AC BD cắt O, AC = cm, BD = cm Tính độ dài OA, OB, AB A D B O C Lời giải Do ABCD hình thoi nên O trung điểm hai đường chéo AC, BD 1 Suy ra: OA = AC = · = 1,5 (cm); 2 1 OB = BD = · = (cm) 2 Ta có AC ⊥ BD (vì ABCD hình thoi) nên tam giác OAB vuông O Áp dụng định lí Pythagore, ta có: AB = OA2 + OB Do AB = (1,5)2 + 22 = 6, 25 hay AB = 2,5 (cm) □ ’ = 1200 Chứng minh tam giác ABD tam giác Luyện tập Cho hình thoi ABCD có ABC Lời giải Tam giác ABD có AB = AD (vì ABCD hình thoi) B Lại có AC tia phân giác góc A nên ’ = ABC ’ = 60◦ ABD A C Vậy, tam giác ABD tam giác D □ C DẤU HIỆU NHẬN BIẾT Dấu hiệu nhận biết  Hình bình hành có hai cạnh kề hình thoi  Hình bình hành có hai đường chéo vng góc với hình thoi Ví dụ 17 Thầy Hóa - 0344.083.670 130 HÌNH THOI Cho tam giác ABC vuông A Các điểm M , N thuộc tia đối tia AB, AC cho AM = AB, AN = AC Chứngg minh tứ giác BCM N hình thoi C B M A N Lời giải Tứ giác BCM N có A trung điểm hai đường chéo BM CN nên BCM N hình bình hành ’ = 90◦ hay BM ⊥ CN Do tam giác ABC vuông A nên BAC Hình bình hành BCM N có hai đường chéo BM CN vng góc với nên BCM N hình thoi □ Luyện tập Cho tam giác ABC cân A có M trung điểm BC Trên tia đối tia M A lấy điểm N cho M N = M A Chứng minh tứ giác ABN C hình thoi Lời giải Tứ giác ABN C có M trung điểm hai B đường chéo BC AN nên ABN C hình bình hành Do tam giác ABC cân A, có AM trung tuyến nên AM đường cao BM ⊥ BC N Hình bình hành ABN C có hai đường chéo AN A M BC vng góc với nên ABN C hình thoi C □ D BÀI TẬP L Bài 25 Cho hình bình hành ABCD có tia AC tia phân giác góc DAB Chứng minh ABCD hình thoi Lời giải Gọi O giao điểm AC BD Vì ABCD hình bình hành nên O trung điểm BD Xét tam giác ABD có AO vừa phân giác góc DAB, vừa đường trung tuyến nên ABD tam giác cân hay AB = AD Hình bình hành ABCD có hai cạnh kề AB = AD nên hình thoi B A O C D □ L Bài 26 Cho hình thoi ABCD có hai đường chéo AC BD cắt O Chứng minh: AC + BD2 = 4(OA2 + OB ) = 4AB Thầy Hóa - 0344.083.670 131 HÌNH THOI Lời giải Vì ABCD hình thoi nên AC ⊥ BD Áp dụng định lí Pythagore vào tam giác vng AOB ta có OA2 + OB = AB Từ ta có B A 2 2 2 C O AC +BD = (2OA) +(2OB) = 4(OA +OB ) = 4AB D □ ’ = 40◦ Tính số đo góc hình thoi ABCD L Bài 27 Cho hình thoi ABCD có CDB ’ Vì ABCD hình thoi nên DB tia phân giác góc CDA B Do ’ = · CDB ’ = · 40◦ = 80◦ CDA Hình thoi hình bình hành, hai góc kề có tổng b = 180◦ − D “ = 100◦ 180◦ , hay A b= Hình thoi có cặp góc đối diện nhau, ta có A ◦ ◦ b = 100 ; B “= D “ = 80 C A C O D L Bài 28 Hình bên mơ tả lưới mắt cáo có dạng hình thoi với độ dài hai đường chéo 45 mm 90 mm Độ dài cạnh lưới mắt cáo milimét (làm tròn kết đến hàng đơn vị) ? 45 mm 90 mm Lời giải Đặt tên đỉnh cạnh hình vẽ bên, ta có B 4AB = AC + BD2 = 902 + 452 = 10125 Do AB = 2531,25 hay AB ≈ 50,3 mm A C O D □ L Bài 29 Một viên gạch trang trí có dạng hình thoi với độ dài cạnh 40 cm số đo góc 60◦ Diện tích viên gạch centimét vng (làm trịn kết đến hàng phần trăm)? 40 cm Lời giải Thầy Hóa - 0344.083.670 132 HÌNH THOI Đặt tên đỉnh cạnh hình vẽ bên giả sử số đo góc A 60◦ Ta có tam giác ABD nên BD = AB = 40 cm Vì O trung điểm BD nên BO = BD = 20 cm Do đó, áp dụng định lí Pythagore vào tam giác vng AOB ta có AB = OA2 +OB ⇒ OA2 = AB −OB = 402 −202 = 1200 B A O C D Suy OA = 34,64 ⇒ AC = 69,28 (cm) Diện tích viên gạch diện tích hình thoi ABCD 1 S = AC · BD = · 69,28 · 40 = 1385,6 (cm2 ) 2 Thầy Hóa - 0344.083.670 □ 133 HÌNH VNG Chủ đề HÌNH VNG A ĐỊNH NGHĨA c Định nghĩa 7.1 Hình vng tứ giác có bốn góc vng bốn cạnh Ví dụ 18 Ở hình 66, tứ giác hình vng? Vì sao? A B D C Hình 66 a) M Q N P Hình 66 b) G H K I Hình 66 c) Lời giải b=B “=C b=D “ (vì 90◦ ) AB = BC = CD = DA (vì  Ở Hình 66a), ta có A cm ) nên tứ giác ABCD hình vng c, N “, Pb, Q b khơng góc vng nên tứ giác M N P Q khơng phải  Ở Hình 66b), ta có M hình vng  Ở Hình 66c), ta có GH ̸= HI (vì 3, cm̸= cm ) nên tứ giác GHIK khơng phải hình vng □ B TÍNH CHẤT Trong hình vng: a) Các cạnh đối song song b) Hai đường chéo nhau, vng góc với cắt trung điểm đường c) Hai đường chéo đường phân giác góc đỉnh Ví dụ 19 Cho hình vng ABCD có hai đường chéo AC BD cắt O Chứng minh tam giác OAB, OBC, OCD, ODA tam giác vuông cân Lời giải Do ABCD hình vng nên AC = BD, AC ⊥ BD, AC BD cắt A B trung điểm O đường Suy tam giác OAB, OBC, OCD, ODA tam giác vuông O OA = OB = OC = OD Do tam giác OAB, OBC, OCD, ODA tam giác vng cân D C □ Thầy Hóa - 0344.083.670 134 HÌNH VNG Ví dụ 20 Một mặt bàn cờ vua có dạng hình vng với độ dài cạnh 40 cm (Hình 68) Độ dài đường chéo mặt bàn cờ vua centimét (làm trịn kết đến hàng phần mười)? Hình 68 Lời giải Gọi độ dài đường chéo mặt bàn cờ vua x (cm) với x > Áp dụng định lí Pythagore, ta có: x2 = 402 + 402 = 3200 √ Mà x > nên x = 3200 ≈ 56,6 (cm) □ C DẤU HIỆU NHẬN BIẾT  Hình chữ nhật có hai cạnh kề hình vng  Hình chữ nhật có hai đường chéo vng góc với hình vng  Hình chữ nhật có đường chéo đường phân giác góc hình vng Ví dụ 21 Cho đường tròn tâm O Giả sử AC BD hai đường kính đường trịn cho AC ⊥ BD (Hình vẽ) Chứng minh tứ giác ABCD hình vng B A O C D Lời giải Vì tứ giác ABCD có hai đường chéo AC BD cắt trung điểm O đường nên ABCD hình bình hành Hình bình hành ABCD có AC = BD nên ABCD hình chữ nhật Hình chữ nhật ABCD có hai đường chéo vng góc với nên ABCD hình vng □ D BÀI TẬP L Bài 30 Cho hình thoi ABCD có AC = BD Chứng minh ABCD hình vng Lời giải Thầy Hóa - 0344.083.670 135 HÌNH VNG A / D / O / B / Gọi O giao điểm AC BD ⇒ OA = OC = OB = OD (tính chất đường chéo hình thoi) Ta có AO đường trung tuyến ứng cạnh DB AO = DB ⇒ △DAB vuông A ’ = 90◦ ⇒ DAB ’ = BCD ’ = CDA ’ = 90◦ Tương tự: ABC ⇒ Tứ giác ABCD hình chữ nhật Mà AB = AD (ABCD hình thoi) ⇒ ABCD hình vuông C □ / b = 90◦ Chứng minh ABCD hình vng L Bài 31 Cho hình thoi ABCD có A Lời giải ’ = ABC ’ = 90◦ Do ABCD hình thoi nên ADC (1) A ’ ’ BAD = BCD ’ + BCD ’ = 180◦ Mà BAD ’ = BCD ’ = 90◦ ⇒ BAD (2) Từ (1) (2) suy tứ giác ABCD hình chữ nhật O / / D Ta có AB = AD (do ABCD hình thoi) ⇒ ABCD hình vng B / C □ L Bài 32 Cho tam giác ABC vuông A có đường phân giác AD Gọi H, K hình chiếu D AB, AC Chứng minh tứ giác AHDK hình vng Lời giải ’ + AKD ’ + KDH ÷ + AHD ’ = 360◦ Ta có HAK C ◦ ÷ = 90 ⇒ KDH ⇒ Tứ giác AHDK hình chữ nhật Mà AD tia phân giác nên AHDK hình vng D K A H B □ L Bài 33 Cho hai mảnh giấy, mảnh giấy có dạng hình vng có độ dài cạnh dm Hãy √ trình bày cách cắt ghép hai mảnh giấy để hình vng có độ dài cạnh dm Lời giải √ Do hai hình vng có độ dài cạnh dm nên độ dài đường chéo dm Cắt hai hình vng thành tam giác vuông theo đường chéo √ Ghép bốn tam giác vng lại ta hình vng có độ dài cạnh dm □ Thầy Hóa - 0344.083.670 136 BÀI TẬP CUỐI CHƯƠNG V Chủ đề BÀI TẬP CUỐI CHƯƠNG V TRẮC NGHIỆM b = 60◦ , B “ = 70◦ , C b = 80◦ Khi đó, D “ d Câu Cho tứ giác ABCD có A A 130◦ B 140◦ C 150◦ D 160◦ Lời giải □ Chọn đáp án C b = 80◦ Khi đó, C b d Câu Cho hình thang cân ABCD có AB ∥ CD, A ◦ ◦ ◦ A 80 B 90 C 100 D 110◦ Lời giải □ Chọn đáp án C d Câu Cho hình bình hành M N P Q có góc khác 90◦ , M P cắt N Q I Khi A IM = IN B IM = IP C IM = IQ D IM = M P Lời giải □ d Câu Cho hình chữ nhật M N P Q Đoạn thẳng M P đoạn thẳng sau đây? A N Q B MN C NP D QM Lời giải □ Chọn đáp án A TỰ LUẬN L Bài 34 Hình 72 mơ tả cao m Biết trời nắng, đổ bóng mặt đất, điểm xa bóng cách gốc khoảng m Tính khoảng cách từ điểm xa bóng đến đỉnh m Thầy Hóa - 0344.083.670 137 BÀI TẬP CUỐI CHƯƠNG V Lời giải Áp √ dụng Định lý Pitago ta khoảng cách từ điểm xa bóng đến đỉnh 32 + 42 = m □ L Bài 35 Màn hình ti vi có dạng hình chữ nhật vợi kích thước hình ti vi tính độ dài đường chéo hình (đơn vị: inch, inch = 2,54 cm) Người ta đưa công thức tính khoảng cách an tồn xem ti vi để giúp khách hàng chọn ti vi phù hợp vởi phịng sau: Khoảng cách tối thiểu = 5,08 · d cm; Khoảng cách tối đa = 7,62 · d cm Trong đó, d kích thước hình ti vi tính theo inch Với ti vi có chiều dài hình 74,7 cm; chiều rộng hình 32 cm: a) Kích thước hình ti vi inch (làm tròn kết đến hàng đơn vị)? b) Khoảng cách tối thiểu khoảng cách tối đa để xem ti vi mét (làm tròn kết đến hàng phần mười)? Lời giải a) Kích thước hình ti vi b) √ 74,72 + 322 ≈ 81 cm Đổi đơn vị 81 cm ≈ 32 inch  Khoảng cách tối thiểu 5,08 · 32 ≈ 162,6 cm  Khoảng cách tối đa 7,62 · 32 ≈ 243,8 cm □ ’ = BCD, ’ ABD ’ = CDB ’ Chứng minh ABCD hình L Bài 36 Cho tứ giác ABCD có DAB bình hành Lời giải Xét tứ giác ABCD có A B ’ = BCD ’  DAB ’ = CDB ’  ABD D C ⇒ ABCD hình bình hành (hai cặp góc đối nhau) □ L Bài 37 Cho hình chữ nhật ABCD có M , N , P , Q trung điểm cạnh AB, BC, CD, DA Chứng minh tứ giác M N P Q hình thoi Lời giải A M Q D B N P C Xét △AQM △BN M có b=B “ = 90◦  A Thầy Hóa - 0344.083.670 138 BÀI TẬP CUỐI CHƯƠNG V  AM = BM  AQ = BN Suy △AQM ∽ △BN M (c-g-c) ⇒ QM = M N (cạnh tương ứng) Tương tự ta có  △BN M ∽ △CN P ⇒ M N = N P  △CN P ∽ △DQP ⇒ N P = QP  △DQP ∽ △AQM ⇒ QP = QM Vậy tứ giác M N P Q có QM = M N = N P = P Q hình thoi □ L Bài 38 Cho tam giác ABC vuông cân C Trên cạnh AC, BC lấy điểm D, G cho AD = CG < AC Từ điểm D kẻ DE vuông góc với AC ( E thuộc AB) Chứng minh tứ giác CDEG hình chữ nhật Lời giải C D G A B E b = 45◦ nên △DAE vuông cân D, suy AD = DE Xét △DAE vng D có A Xét tứ giác CDEG có  DE = GC(= AD)  DE ∥ GC (cùng vng góc với CA) b = 90◦ nên CDEG hình chữ nhật Suy CDEG hình bình hành, mà A □ L Bài 39 Cho hình vng ABCD Trên cạnh AB, BC, CD, DA lấy điểm M , N , P , Q cho AM = BN = CP = DQ < AB Chứng minh tứ giác M N P Q hình vuông Lời giải | A M | Q N | D Thầy Hóa - 0344.083.670 B | P C 139 BÀI TẬP CUỐI CHƯƠNG V Tứ giác M N P Q có AM = BN = CP = DQ hình thoi Vì ABCD hình vng nên AD = AB ⇔ AQ + DQ = BM + AM ⇒ AQ = M B Xét △AM Q △BN M có  AM = BN (giả thuyết) b=B “ = 90◦  A  AQ = BM (cmt) ÷ ÷ Suy △AM Q = △BN M (c-g-c), suy AM Q = BN M (góc tương ứng) ◦ ◦ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ Ta có BM N + BN M = 90 ⇒ BM N + AM Q = 90 , QM N = 90◦ ÷ Hình thoi M N P Q có QM N = 90◦ nên hình vng □ L Bài 40 Cho hình bình hành ABCD Gọi M điểm nằm A B, N điểm nằm C D cho AM = CN Gọi I giao điểm M N AC Chứng minh: a) △IAM = △ICN ; b) Tứ giác AM CN hình bình hành; c) Ba điểm B, I, D thẳng hàng Lời giải M | A B I D | N C a) Xét △IAM △ICN có  AM = CN ’ ’ (vì AB ∥ DC hai góc so le trong)  M AI = ICN ’I = IN ’  AM C (vì AB ∥ DC hai góc so le trong) Suy △IAM = △ICN (g-c-g) b) Xét tứ giác AM CN có  AM ∥ N C (vì AB ∥ DC)  AM = N C (vì △IAM = △ICN ) Suy AM N C hình bình hành c) Ta có I trung điểm AC (vì AM CN hình bình hành) Xét hình bình hành ABCD có I trung điểm AC, I trung điểm BD, hay ba điểm B, I, D thẳng hàng □ Thầy Hóa - 0344.083.670 140 BÀI TẬP CUỐI CHƯƠNG V L Bài 41 Cho hình thoi ABCD hình bình hành BCM D Gọi O giao điểm AC BD Chứng minh: a) OD = CM tam giác ACM tam giác vuông; b) Ba điểm A, D, M thẳng hàng; c) Tam giác DCM tam giác cân Lời giải B O A C D M a) Vì ABCD hình thoi nên O trung điểm BD hay OD = BD Ta có BCM D hình bình hành nên BD = CM , OD = CM ® AC ⊥ BD Xét △ACM có ⇒ AC ⊥ CM Vậy △ACM vng C CM ∥ BD ® DA ∥ BC b) Ta có , suy ba điểm A, D, M thẳng hàng DM ∥ BC ® DC = BC c) Xét △DCM ta có ⇒ DC = DM Vậy △DCM cân D DM = BC □ L Bài 42 Cho hình vng ABCD có M, N trung điểm cạnh BC, CD Gọi O giao điểm AM BN Chứng minh: a) △ABM = △BCN ; c) AM ⊥ BN ’ =M ÷ b) BAO BO; Lời giải A B | O M | D Thầy Hóa - 0344.083.670 | | N C 141 BÀI TẬP CUỐI CHƯƠNG V a) Xét △ABM △BCN ta có  AB = BC “= C b = 90◦  B  BM = CN = Å ã AB Suy △ABM = △BCN (c-g-c) ’ =M ÷ b) Vì △ABM = △BCN ⇒ BAO BO (góc tương ứng) ÷ + BM ÷ ÷ + BM ÷ ÷ = 90◦ hay AM ⊥ BN c) Ta có BAM O = 90◦ ⇒ OBM O = 90◦ , BOM □ Thầy Hóa - 0344.083.670 142