Chương 2 PHÂN THỨC ĐẠI SỐ PHÂN THỨC ĐẠI SỐ A KIẾN THỨC TRỌNG TÂM I/ Khái niệm về phân thức đại số 1/ Định nghĩa Phân thức đại số (hay còn gọi là phân thức) là một biểu thức có dạng , với A và B là các[.]
Chương PHÂN THỨC ĐẠI SỐ PHÂN THỨC ĐẠI SỐ A KIẾN THỨC TRỌNG TÂM I/ Khái niệm phân thức đại số 1/ Định nghĩa A Phân thức đại số (hay gọi phân thức) biểu thức có dạng B , với A B đa thức, B khác đa thức Trong đó, A gọi tử thức (hay tử), B mẫu thức (hay mẫu) 2/ Hai phân thức A C Hai phân thức B D gọi A ×D = B ×C II/ Tính chất phân thức 1/Tính chất Nếu nhân tử mẫu phân thức với đa thức khác đa thức phân thức phân thức cho A A ×M = B B ×M (M khác 0) Nếu chia tử mẫu phân thức với đa thức khác đa thức phân thức phân thức cho A A :N = B B : N (N nhân tử chung A B) 2/ Quy tắc đổi dấu Nếu đổi dấu tử mẫu phân thức phân thức phân thức cho A -A = B -B; -A A A = =B -B B 3/ Rút gọn phân thức Khi chia tử mẫu phân thức cho nhân tử chung chúng để phân thức ( đơn giản hơn) cách làm gọi rút gọn phân thức Muốn rút gọn phân thức, ta làm theo bước : Bước 1: Phân tích tử mẫu thành nhân tử (nếu cần) Bước 2: Tìm nhân tử chung tử mẫu chia tử mẫu cho nhân tử chung 4/ Quy đồng mẫu thức Bước 1: Phân tích mẫu thức thành nhân tử tìm mẫu thức chung Bước 2: Tìm nhân tử phụ mẫu thức; Bước 3: Nhân tử mẫu phân thức với nhân tử phụ tương ứng III/ Điều kiện xác định giá trị phân thức Điều kiện biến để giá trị tương ứng mẫu thức khác gọi điều kiện để giá trị phân thức xác định P P Cho phân thức đại số Q Giá trị biểu thức Q giá trị cho trước P biến để giá trị mẫu thức khác gọi giá trị phân thức Q giá trị cho trước biến Chú ý : Nếu giá trị biến mà giá trị phân thức xác định phân thức phân thức rút gọn giá trị B CÁC DẠNG BÀI TẬP VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI Dạng 1: Tìm điều kiện xác định giá trị phân thức Điều kiện biến để giá trị tương ứng mẫu thức khác gọi điều kiện để giá trị phân thức xác định Để tìm giá trị phân thức ta thay giá trị biến vào phân thức thực phép tính Ví dụ Tìm điều kiện xác định phân thức sau : a) b) c) d) A(x) = 5x - 3x B(x) = x 6y C(x) = 5x - 3(x + 1) D(x) = x - Lời giải: a) Phân thức xác định 3x 0 hay x 0 b) Phân thức xác định y 0 hay y 0 c) Phân thức xác định 3( x 1) 0 hay x d) Phân thức xác định x 0 hay x 2 x Ví dụ Tính giá trị phân thức a) b) c) A(x) = x +1 x - với x ¹ x = B (x) = x x + với x ¹ - x = C (x) = x2 - 3x + x +1 với x ¹ - x = 2;x = - Lời giải: 1 3 a/ Với x = giá trị phân thức : 1 b/ Với x = giá trị phân thức : (2) 3.2 0 1 3 c/ Với x = giá trị phân thức : ( 2) 3.( 2) 12 12 ( 2) 1 Với x = -2 giá trị phân thức : Dạng 2: Chứng minh hai phân thức A C Hai phân thức B D gọi A ×D = B ×C 7x3y4 x2y3 Ví dụ Cho cặp phân thức 35xy với xy ¹ Chứng tỏ cặp phân thức Lời giải: 3 Ta có : x y 35 xy 35 x y 5.7 x y 35 x3 y 3 Suy : x y 35 xy 5.7 x y 7x3y4 x2y3 Nên = 35xy Dạng 3: Rút gọn phân thức Muốn rút gọn phân thức, ta làm theo bước : Bước 1: Phân tích tử mẫu thành nhân tử (nếu cần) Bước 2: Tìm nhân tử chung tử mẫu chia tử mẫu cho nhân tử chung Ví dụ Rút gọn phân thức sau 2(x + 1)2 a) 4x(x + 1) (8 - x)(- x - 2) (x + 2)2 b) 2(x - y) c) y - x Lời giải: 2(x + 1)2 2(x + 1) x + = = x ( x + ) x 2x a/ (8 - x)(- x - 2) - (8 - x)(x + 2) - (8 - x) x - = = = 2 x +2 x +2 ( x + 2) ( x + 2) b/ 2(x - y) - 2(y - x) = =- y x y x c/ Ví dụ Rút gọn phân thức sau x3 + 3x2 + 3x + x2 + x a) x3 - 3x2 + 3x - 2x - b) Lời giải: x3 + 3x2 + 3x + (x + 1)3 (x + 1)2 = = x(x + 1) x x2 + x a/ x3 - 3x2 + 3x - (x - 1)3 (x - 1)2 = = x 2( x ) b/ Dạng 4: Quy đồng mẫu nhiều phân thức Điều kiện biến để giá trị tương ứng mẫu thức khác gọi điều kiện để giá trị phân thức xác định Để tìm giá trị phân thức ta thay giá trị biến vào phân thức thực phép tính Ví dụ Quy đồng mẫu thức phân thức sau: x 2y2 3 ĐS: x y ; x y a) xy x y 2(x - 2) ĐS: x(x - 2) ; x(x - 2) 2 b) x - 2x x x x c) x - x - x x(x + 3) ĐS: (x - 3)(x + 3) ; (x - 3)(x + 3) d) x - x - x + 3(x - 3) ĐS: (x + 2)(x - 3) ; (x + 2)(x - 3) x- 4x2 ĐS: x(x - 3)(x + 2) ; x(x - 3)(x + 2) 4x 2 e) x - x - x + 2x Dạng 5: Bài toán thực tế phân thức đại số Vận dụng kiến thức liên quan để giải quyêt toán thực tế Ví dụ Cho hình chữ nhật ABCD hình vng EFGH hình bên (các số đo hình tính theo centimet) a/ Viết phân thức biểu thị tỉ số diện tích hình vng diện tích hình chữ nhật ABCD Cho biết tử thức mẫu thức phân thức vừa tìm b/ Tính giá trị phân thức x = 2; y = Lời giải: 2 a/ Diện tích hình vng EFGH : x (cm ) Diện tích hình chữ nhật ABCD : xy (cm ) Phân thức biểu thị tỉ số diện tích hình vng diện tích hình chữ nhật ABCD : x2 x xy y Tử thức x; mẫu thức 2y b/ Giá trị phân thức x = 2; y = : 2 2.8 16 Ví dụ 2 2 Một vườn có x x y y cây, có x y lấy gỗ lại ăn a/ Viết phân thức biểu thị tỉ số lấy gỗ số ăn b/ Tính giá trị phân thức cho x = 100; y = 10 Lời giải: 2 2 a/ Số ăn : x x y y x y 2 x y (cây) x2 y Phân thức biểu thị tỉ số lấy gỗ số ăn : x y x y ( x y )( x y ) x y x y 2( x y ) b/ Ta có : Giá trị phân thức x = 100; y = 10 : 100 10 110 55 2 C BÀI TẬP VẬN DỤNG Bài Chứng minh đẳng thức sau 3x + =3 a) x + với x ¹ - x2 + 2x x = x + với x ¹ - b) x- 1 = c) x - x + với x ¹ ±1 x2 + 3x - =x+4 x- d) với x ¹ Bài Cho ba phân thức bên Phân thức ? x2 - 2x + x - 2x - ; ; x(x - 1) x 2x Bài Hãy điền đa thức thích hợp vào chỗ trống đẳng thức sau 2x + = a) x + ẳ vi x - S: x2 + x ¼ = b) 2(x + 1) với x ¹ - ĐS: x x- = c) x - ¼ với x ¹ ±2 ĐS: x + x2 + 4x - x + = x- ¼ với x ¹ d) ĐS: Bài Hãy điền đa thức thích hợp vào chỗ trống đẳng thức sau - 2x + ¼ = x + với x ¹ ±2 a) x - ĐS: - x2 + 3x ¼ = b) 3x + với x ¹ - ĐS: x x2 - ¼ = c) x - x + với x ¹ ±1 ĐS: (x + 1) x2 - 5x + x - = x- ẳ vi x d) ĐS: Bài Hãy điền đa thức thích hợp vài chỗ trống đẳng thức sau x2 - x ¼ = a) x - x + với x ¹ ±1 ĐS: x x2 + 2x ¼ = b) 3x + với x ¹ - ĐS: x x- ¼ = c) x - x + với x ¹ ±1 ĐS: x2 + 3x - x + = x- ẳ vi x d) S: Bi Hồn thành chuỗi đẳng thức sau: x +1 ¼ ¼ = = , v?i x ¹ ±2; x ¹ x +2 x - x +x- ĐS: (x + 1)(x - 2) (x + 1)(x - 1) Bài Tính giá trị phân thức a) b) c) d) A(x) = x +2 x - với x ¹ x = ĐS: A(5) = B (x) = x2 + x + với x ¹ - 2x - = ĐS: B (1) = C (x) = x2 - 5x + x +1 với x ¹ - x = ĐS: C (1) = D(x) = x+3 x2 - với x ¹ ±1 | x + 1|= ĐS: D(2) = D(- 4) = 3; 15 Bài Tính giá trị phân thức a) b) A(x) = x +1 3x + với x ¹ - x = B (x) = 2x - x + với x ¹ 3x - = ĐS: 10 ĐS: A(2) = B(2) = c) d) C (x) = x2 - 4x + x +1 với x ¹ - x = D(x) = - 2x x - với x ¹ | x |= ĐS: C (3) = 0;C (- 3) = - 12 ĐS: D(1) = 1; D(- 1) = - x2 - x2 - 2x + x- Bài Cho cặp phân thức x + với x ¹ ±1 Chứng tỏ cặp phân thức Bài 10 Dùng định nghĩa hai phân thức nhau, chứng tỏ rằng: 3y 6xy = 8x ; a) x + y 3x(x + y)2 = 3x 9x (x + y) ; b) Bài 11 Chứng minh đẳng thức: x + x2 + 4x + = x + x + 6x + c) x- - x3 = -x x x2 + 2x + ( ) Bài 12 Dùng định nghĩa hai phân thức nhau, tìm đa thức A đẳng thức A x = x - x +2 Bài 13 Dùng tính chất phân thức, điền đa thức thích hợp vào chỗ trống đẳng thức (x + 1)2 ¼ = x x2 + x Bài 14 x2 + 2x + A= a) Tìm giá trị nhỏ phân thức b) Tìm giá trị lớn phân thức Bài 15 Tìm giá trị lớn P = B= - 4x2 + 4x 10 x - 2x + Bài 16 A x2 + 3x + = x2 - a) Tìm đa thức A , cho biết x - 11 M x2 + 3x + = x +1 b) Tìm đa thức M , cho biết x - Bài 17 Tìm giá trị lớn phân thức P , biết Bài 18 Tìm giá trị nhỏ phân thức Q , biết P = 15 x - 2x + Q= 18 4x - x2 - Bài 19 Tìm giá trị nguyên x để phân thức 2x + nhận giá trị nguyên 16 - x2 x- Bài 20 Hãy biến đổi hai phân thức 5x x + để hai phân thức có tử thức Bài 21 Rút gọn phân thức sau 2x - a) (x - 3) 2x2 - c) x + 4x + ĐS: x - 2(x - 2) ĐS: x + x3 - 3x2 b) x - 6x + x2 ĐS: x - x2 + 2x d) x - x - x ĐS: x - Bài 22 Rút gọn phân thức sau x3 - x2 + x - x2 - a) x2 + ĐS: x + x3 + x2 + x + b) 2x + 3x + 2x + x +1 ĐS: 2x + Bài 23 Cho phân thức A= 2x - x - 3x2 + x - ĐS: x + a) Rút gọn biểu thức ĐS: b) Tính giá trị phân thức x = - x3 + x2 - x - x +1 = Bài 24 Chứng minh đẳng thức x + 2x - x - x + 12 x2 - 2xy + y2 x- y x - xy Bài 25 Chứng tỏ hai phân thức x Bài 26 Rút gọn phân thức sau (x + 2)2 a) 2x + x +2 ĐS: x2 + 4x + b) 2x + x +2 ĐS: (1- x)(- x - 2) x +2 c) ĐS: x - x2 - y2 d) x + y ĐS: x - y Bài 27 Rút gọn phân thức sau 3x - a) x - 6x + 12x - ĐS: (x - 2) x3 + 2x2 b) x + 6x + 12x + x2 ĐS: (x + 2) Bài 28 Rút gọn phân thức: 3x(x - y)3 2 b) 2x (x - y) 2x2y5 a) 3x y ; Bài 29 Rút gọn phân thức 3x2y + 4xy2 a) 6x + 8y ; - 3x2 - 6x b) - x Bài 30 Rút gọn phân thức: a) 8x2y2(x + y) 9x3 - 18x ( 4xy x - y ); b) ( ); 3×x - x(x + 3) c) x (3 + x) ; x2 - 2x + d) x - 3x + Bài 31 Rút gọn biểu thức sau: a) P = x3 + 48(x - 5)2 ( x 2) Q = x2 - 2x + 120 - 24x ; ; b) 13 R= c) 12x3y4(x - y)2 18x2y5(y - x) Bài 32 a) Cho biểu thức b) Cho A= A= x3 + 2x2 + x x3 - x Tính giá trị biểu thức A với x = x2 - 4x + x2 - 6x + Tính giá trị biểu thức A với x = 0,2 x +y +z Bài 33 Nếu y = 2x z = 2y x + y - z bao nhiêu? Bài 34 Đưa phân thức sau mẫu thức: x- x +1 ĐS: (x - 1)(x + 1) ; (x - 1)(x + 1) x x +1 a) x + x x - x3 - b) x - x + x2 + x + ĐS: x + ; x + Bài 35 Quy đồng mẫu thức phân thức sau: 15x2y 3 ĐS: 20x y ; 20x y 3 a) 5x y 4xy x x- y 2 ĐS: (x - y) ; (x - y) x x 2 b) x - 2xy + y x - xy Bài 36 Đưa phân thức sau mẫu thức: a) x + ; 2x + 3x + ĐS: x + b) x + ; 2x - 3x - x- x+3 x+3 ĐS: (x + 3)(x - 3) ; (x + 3)(x - 3) ; (x + 3)(x - 3) c) x - ; x + x - 2x - 3x + 2 ĐS: x - ; x - ; x - 2 14 d) x ; x + x(x + 2) x +2 2x ĐS: x(x + 2) ; x(x + 2) ; x(x + 2) Bài 37 Quy đồng mẫu thức phân thức sau: a) xy xy 5y 2 ĐS: xy ; xy 2 b) x - x x - 2x ĐS: x(x - 1) ; x(x - 1) x2 - x c) x + 2x x - x2 (x - 2)2 ĐS: x(x - 2) ; x(x - 2) 3(x - 2) ĐS: (x - 2)(x - 3) ; (x - 2)(x - 3) d) x - 5x + x - 4x x- ĐS: x(x - 1)(x - 2) ; x(x - 1)(x - 2) e) x - 3x + x - x Bài 38 Đưa phân thức sau mẫu thức: (x - 2)(x - 1) x ĐS: x(x - 1) ; x(x - 1) x2 - 4x + x +1 2 a) x - 2x x - x3 - 23 b) x - x + x2 + 2x + x +2 ĐS: ; x +2 Bài 39 Quy đồng mẫu thức phân thức sau: a) x y xy 3x 2 ĐS: x y ; x y x 2(x + y) 2 ĐS: (x + y) ; (x + y) x 2x 2 b) x + 2xy + y x + xy Bài 40 Đưa phân thức sau mẫu thức: a) x - ; 2x - 3x - 1 b) x + ; 2x + x - ĐS: x - 2x - x- 6x + 24 ĐS: 2(x - 4)(x + 4) ; 2(x - 4)(x + 4) ; 2(x - 4)(x + 4) 15 2 c) x - ; x - x + 2x + 2x - ĐS: (x - 1)(x + 1) ; (x - 1)(x + 1) ; (x - 1)(x + 1) d) 2x ; x - 2x(x - 2) x- 4x ĐS: 2x(x - 2) ; 2x(x - 2) ; 2x(x - 2) 2x 3x ; Bài 41 Tìm mẫu thức chung hai phân thức: x + 3x + x + 4x + Bài 42 Quy đồng mẫu thức phân thức sau: 2x + 3x 9x2y ; a) 6xy 3x2 - 4x + x - 4x ; ; b) x - 25 - x x + Bài 43 Quy đồng mẫu thức phân thức sau: - 7y 11z 5x , , 2 12 xz 18x y 6y z ; a) 11 , 3 b) 7xy z 14x y z Bài 44 Quy đồng mẫu thức phân thức sau: x2 - x 3x + 2x ; ; 2 b) x - x + 2x + x x ; a) 3x + 15 x - 25 ; Bài 45 Cho hai phân thức x - a x - b với a < b a) Hãy xác định a b biết quy đồng mẫu thức chúng trở thành phân ĐS: a = 2,b = thức có mẫu thức chung x - 5x + b) Với a b tìm viết hai phân thức cho hai phân thức thu sau quy đồng với mẫu thức chung x - 5x + x- 2x - ĐS: x - x - ; (x - 2)(x - 3) (x - 2)(x - 3) Bài 46 Cho hai phân thức x - ax x - b với a < b a) Hãy xác định a b biết quy đồng mẫu thức chúng trở thành phân thức có mẫu thức chung x - 5x + 6x ĐS: a = 2,b = b) Với a b tìm viết hai phân thức cho hai phân thức thu sau quy đồng với mẫu thức chung x - 5x + 6x 16 x- 2x2 - 4x 2 ĐS: x - 2x x - ; x(x - 2)(x - 3) x(x - 2)(x - 3) - Bài 47 Cho hai phân thức x - ax x + b với a;b > a) Hãy xác định a b biết quy đồng mẫu thức chúng trở thành phân thức có mẫu thức chung x - x - 6x ĐS: a = ; b = b) Với a b tìm viết hai phân thức cho hai phân thức thu sau quy đồng với mẫu thức chung x - x - 6x 2x + - x2 + 3x - ĐS: x - 3x x + ; x(x + 2)(x - 3) x(x + 2)(x - 3) 17