VietJack com Facebook Học Cùng VietJack Học trực tuyến khoahoc vietjack com Youtube VietJack TV Official CÁC DẠNG TOÁN VI ET THI VÀO 10 Dạng 1 Bài toán nhẩm nghiệm Phương pháp Để nhẩm nghiệm của phươn[.]
VietJack.com Facebook: Học Cùng VietJack CÁC DẠNG TOÁN VI-ET THI VÀO 10 Dạng 1: Bài toán nhẩm nghiệm Phương pháp - Để nhẩm nghiệm phương trình ax2 + bx + c = (a ≠ 0) ta làm sau: + B1: Tính ∆ = b2 – 4ac Nếu ∆ < khơng tồn nghiệm phương trình Nếu ∆ ≥ phương trình có nghiệm x1, x2 + B2: Trong trường hợp ∆ ≥ sử dụng Vi-et ta nhẩm nghiệm sau: - Nếu hệ số a = phương trình có dạng x2 + bx + c = 0(*) ta phân tích hệ số c thành tích số trước kết hợp với b để tìm số thỏa mãn tổng –b tích c Hai số tìm nghiệm phương trình x2 + bx + c = Tóm lại trường hợp ta có kết sau x2 + (u + v)x + uv = x1 = −u, x = − v x2 - (u + v)x + uv = x1 = u, x = v 1 1 u.x − ( u + 1) x + u = ( u ) x − u + x + u = x1 = u, x = u u u - Nếu hệ số a ≠ ta chia hai vế phương trình cho a để đưa phương trình dạng (*) nhẩm nghiệm - Nếu a + b + c = phương trình có nghiệm : x1 = 1, x = c a - Nếu a – b + c = phương trình có nghiệm : x1 = −1, x = −c a Ví dụ : Tính nhẩm nghiệm phương trình sau a x2 – 11x + 30 = b x2 – 12x + 27 = c 2x2 + 3x + = d 3x2 – 2x - = Học trực tuyến: khoahoc.vietjack.com Youtube: VietJack TV Official VietJack.com Facebook: Học Cùng VietJack Giải a Phương trình cho có ∆ = 112 – 4.30 = 121 – 120 = > nên có nghiệm phân biệt x1, x2 −b x + x = = 11 a Theo Vi-et ta có (*) c x x = = 30 a Ta thấy 30 = 15.2 = (-15).(-2) = 10.3 = (-10).(-3) = 6.5 = (-6).(-5) ta chọn hai số có tổng 11 nên hai số thỏa mãn (*) cần Suy nghiệm phương trình : x1 = 5, x2 = b Phương trình cho có ∆ = 122 – 4.27 = 144 – 108 = 36 > nên có nghiệm phân biệt x1, x2 −b x1 + x = a = 12 Theo Vi-et ta có (*) c x x = = 27 a Ta thấy 27 = 9.3 = (-9).(-3) = 1.27 = (-1).(-27) ta cần chọn hai số có 12 nên hai số thỏa mãn (*) tổng Suy nghiệm phương trình : x1 = 3, x2 = c Phương trình cho có: a - b + c = – + = Suy nghiệm phương trình : x1 = −1, x = −c −1 = a d Phương trình cho có: a + b + c = + (-2) + (-1) = Suy nghiệm phương trình : x1 = 1, x = c −1 = a Dạng 2: Tìm hai số biết tổng tích Phương pháp Học trực tuyến: khoahoc.vietjack.com Youtube: VietJack TV Official VietJack.com Facebook: Học Cùng VietJack - Bài tốn: Tìm hai số u v biết: u + v = S, u.v = P - Cách giải: + Kiểm tra điều kiện để tồn hai số u v: Nếu S2 < 4P khơng tồn hai số u v, S2 ≥ 4P tồn hai số u v + Trong trường hợp tồn tại, hai số cần tìm nghiệm phương trình x2 – Sx + P = Ví dụ: Tìm hai số biết a Tổng chúng 8, tích chúng 11 b Tổng chúng 17, tích chúng 180 Giải a.Vì S = 8, P = 11 thỏa mãn S2 ≥ 4P nên tồn hai số cần tìm Hai số nghiệm phương trình x2 – 8x + 11 = ∆ = (-8)2 – 4.11 = 64 – 44 = 20 > Suy phương trình có nghiệm phân biệt x1 = x2 = −b + + 20 = =4+ 2a −b − − 20 = =4− 2a Vậy hai số cần tìm là: b.Với S = 17, P = 180 S2 = 289 < 4P = 720 nên không tồn hai số thỏa mãn yêu cầu đề Dạng 3: Tính giá trị viết biểu thức liên hệ nghiệm Phương pháp Định lý Vi-et: Nếu x1, x2 hai nghiệm phương trình ax2 + bx + c = (a ≠ 0) Học trực tuyến: khoahoc.vietjack.com Youtube: VietJack TV Official VietJack.com Facebook: Học Cùng VietJack −b x + x = a x x = c a *) Sử dụng định lý Vi-et không cần giải phương trình ta tính tổng tích nghiệm biểu thức có liên quan đến tổng tích nghiệm thơng qua bước sau: + B1: Tính ∆ = b2 – 4ac Nếu ∆ < phương trình vơ nghiệm khơng tồn tổng tích nghiệm phương trình Nếu ∆ ≥ phương trình có nghiệm x1, x2, ta thực bước −b x1 + x = a + B2: Trong trường hợp ∆ ≥ áp dụng Vi-et ta có x x = c a Một số hệ thức thường gặp: x12 + x 2 = ( x12 + 2x1.x + x 2 ) − 2x1.x = ( x1 + x ) − 2x1.x x12 − x 2 = ( x1 + x )( x1 − x ) = ( x1 + x ) ( x1 + x ) − 4x1x x13 + x 23 = ( x1 + x ) ( x12 − x1.x + x 2 ) = ( x1 + x ) ( x1 + x ) − 3x1.x 2 x14 + x = ( x12 ) + ( x 2 ) = ( x12 + x 2 ) − 2x12 x 2 = ( x1 + x ) − 2x1x − 2x12 x 22 1 x1 + x + = x1 x x1x 2 1 x − x1 − = = x1 x x 1x 2 2 ( x1 + x ) x 1x − 4x1x ( x1 + x ) x1 x x12 − x 2 ( x1 + x )( x1 − x ) − = = = x x1 x 1x x 1x ( x1 + x ) − 4x1x x 1x 2 x13 − x 23 = ( x1 − x ) ( x12 + x1.x + x 2 ) = ( x1 − x ) ( x1 + x ) − x1.x ( = ( x1 + x ) ) − 4x1x ( x1 + x ) − x1.x Học trực tuyến: khoahoc.vietjack.com Youtube: VietJack TV Official VietJack.com Facebook: Học Cùng VietJack x14 − x = ( x12 ) − ( x 2 ) = ( x12 + x 2 )( x12 − x 2 ) 2 *)Để tìm hệ thức nghiệm x1, x2 phương trình bậc hai khơng phụ thuộc tham số ta làm sau: B1: Tìm điều kiện để phương trình có nghiệm x1, x2 (∆ ≥ 0) −b x + x = a B2: áp dụng Vi-et tìm x x = c a B3: Biến đổi kết không chứa tham số Ví dụ Ví dụ 1: Khơng giải phương trình, tính tổng tích nghiệm (nếu có) phương trình sau a x2 – 6x + = b 5x2 – 3x + = Giải a Ta có ∆ꞌ = (bꞌ)2 – ac = (-3)2 – = – = > nên phương trình có nghiệm phân biệt x1, x2 −b x + x = =6 a Theo Vi-et ta có: x x = c = a Vậy tổng nghiệm 6, tích nghiệm b Ta có ∆ = b2 – 4ac = (-3)2 – 4.5.1 = – 20 = -11 < nên phương trình vơ nghiệm Suy khơng tồn tổng tích nghiệm Học trực tuyến: khoahoc.vietjack.com Youtube: VietJack TV Official VietJack.com Facebook: Học Cùng VietJack Ví dụ 2: Biết x1, x2 nghiệm phương trình: x2 – 5x + = Khơng giải phương trình tính giá trị biểu thức A = x12 + x 22 Giải −b x + x = =5 a Vì phương trình có nghiệm x1, x2 nên theo Vi-et ta có: x x = c = a A = x12 + x 22 = ( x1 + x ) − 2x1.x = 52 − 2.2 = 25 − = 21 Vậy A = 21 Ví dụ 3: Cho phương trình x − 2(m − 1)x + m − = (m tham số) Tìm hệ thức liên hệ hai nghiệm phương trình cho mà khơng phụ thuộc vào m Giải 3 ' = − ( m − 1) − 1.( m − 3) = m − 3m + = m − + , m R 2 2 Vậy phương trình cho ln có hai nghiệm phân biệt x1, x2 x1 + x = 2(m − 1) x1 + x = 2m − 2(1) x1x = m − 2x1x = 2m − 6(2) Theo hệ thức Vi-ét, ta có: Lấy (1) – (2): x1 + x2 - x1x2 = không phụ thuộc vào m Dạng 4: Sử dụng hệ thức Vi-et để xác định tính chất nghiệm phương trình bậc hai( hai nghiệm trái dấu, dấu, ) Phương pháp: cho phương trình ax2 + bx + c =0(a ≠ 0) a Điều kiện để phương trình Hai nghiệm dấu P > Hai nghiệm trái dấu a.c < Hai nghiệm dương (lớn 0) ; S > P > Hai nghiệm âm (nhỏ 0) ; S < P > Hai nghiệm đối S = Hai nghiệm nghịch đảo P = Hai nghiệm trái dấu nghiệm âm có giá trị tuyệt đối lớn ac < S < Hai nghiệm trái dấu nghiệm dương có giá trị tuyệt đối lớn ac < S > Học trực tuyến: khoahoc.vietjack.com Youtube: VietJack TV Official VietJack.com Facebook: Học Cùng VietJack b Điều kiện để phương trình có hai nghiệm phân biệt cho x1 = px2 (với p số thực) B1- Tìm điều kiện để phương trình có hai nghiệm phân biệt −b c (1) x1x = (2) a a −b x1 + x = B3- Kết hợp (1) (3) giải hệ phương trình: a x1 = px B2- Áp dụng định lý Vi - ét tìm: x1 + x = x1 x2 B4- Thay x1 x2 vào (2) Tìm giá trị tham số c So sánh nghiệm phương trình bậc hai với số bất kỳ: B1: Tìm điều kiện để phương trình có nghiệm (∆ ≥ 0) B2: Áp dụng Vi-ét tính x1 + x2 x1x2 (*) +/ Với toán: Tìm m để phương trình có hai nghiệm > α ( x1 − ) + ( x − ) (*) Thay biểu thức Vi-ét vào hệ(*) để tìm m x − x − ( )( ) Ta có +/ Với tốn: Tìm m để phương trình có hai nghiệm < α ( x1 − ) + ( x − ) ( x1 − )( x − ) Ta có (*).Thay biểu thức Vi-ét vào hệ(*) để tìm m +/ Với tốn: Tìm m để phương trình có hai nghiệm: x1 < α < x2 Ta có ( x1 − )( x − ) (*) Thay biểu thức Vi-ét vào (*) để tìm m Ví dụ Ví dụ 1: Cho phương trình x + 5x + 3m − = (x ẩn số, m tham số) a Tìm m để phương trình có hai nghiệm b Tìm m để phương trình có hai nghiệm thỏa mãn x13 − x 32 + 3x1x = 75 Giải a Phương trình có nghiệm 52 − 4.1.( 3m − 1) 25 − ( 3m − 1) 29 − 12m m Vậy với m 29 12 29 phương trình có hai nghiệm 12 Học trực tuyến: khoahoc.vietjack.com Youtube: VietJack TV Official VietJack.com Facebook: Học Cùng VietJack 29 phương trình có nghiệm x1 , x2 12 x + x = −5 Áp dụng hệ thức Vi-ét x1x = 3m − b Với m Ta có: x13 − x 32 + 3x1x = 75 ( x1 − x ) ( ( x1 + x ) − x1x ) + 3x1x = 75 ( x1 − x )( 25 − x1x ) + 3x1x = 75 ( x1 − x )( 25 − x1x ) = 75 − 3x1x (*) Ta có x1x = 3m − 25 − x1x = 25 − 3m + = 26 − 3m Vì m 29 nên 26 – 3m ≠ 25 − x1x 12 Chia hai vế (*) cho 25 − x1x ta ( x1 − x ) = 75 − 3x1x ( 25 − x1x ) ( x1 − x ) = 75 − 3(3m − 1) 25 − (3m − 1) 78 − 9m 26 − 3m 3(26 − 3m) ( x1 − x ) = 26 − 3m x1 − x = ( x1 − x ) = Kết hợp x1 + x = −5 suy x1 = −1;x = −4 Thay vào x1x = 3m − suy m = (thỏa mãn m 29 ) 12 giá trị cần tìm Ví dụ 2: Cho phương trình x − 10mx + 9m = (m tham số) Vậy m = Tìm giá trị tham số m để phương trình cho có hai nghiệm dương phân biệt Giải Học trực tuyến: khoahoc.vietjack.com Youtube: VietJack TV Official VietJack.com Facebook: Học Cùng VietJack Điều kiện để phương trình có hai nghiệm dương phân biệt m 25m − 9m ' m(25m − 9) 25m − m m S 10m 9m 25m − P m m m m 25 m 25 m m 25 m m m 25 m Vậy với m phương trình có hai nghiệm dương phân biệt 25 Bài tập vận dụng Bài 1: Gọi x1 ; x2 nghiệm phương trình: x2 – 3x – = Khơng giải phương trình tính: A = x12 + x 22 B = ( 3x1 + x )( x1 + 3x ) Bài 2: Gọi x1 ; x2 hai nghiệm phương trình: 5x2 – 3x – = Khơng giải phương trình, tính giá trị biểu thức sau: A= 1 + x1 x Bài 3: Cho phương trình x + 2x − m = Tìm m để phương trình có hai nghiệm thỏa: x1 = −3x Bài 4: Tìm m để phương trình x2 – 10mx + 9m = có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn 2 x1 − 9x = Bài 5:Tìm giá trị m để phương trình x2 – 2(m – 1)x +m – = có nghiệm trái dấu giá trị tuyệt đối Bài 6:Tìm giá trị m để phương trình 2x + mx + m − = có nghiệm trái dấu nghiệm âm có giá trị tuyệt đối lớn nghiệm dương Học trực tuyến: khoahoc.vietjack.com Youtube: VietJack TV Official VietJack.com Facebook: Học Cùng VietJack Bài 7:Cho phương trình: 2x + ( 2m − 1) x + m − = Tìm m để phương trình có nghiệm âm Bài 8:Tìm m để phương trình mx2 – (5m – 2)x + 6m – = có hai nghiệm đối Bài 9: Cho phương trình: x − 2mx − 6m − = Tìm m để phương trình có nghiệm trái dấu thỏa mãn x12 + x 22 = 13 Bài 10: Cho phương trình: x − 2mx + 2m − = Có giá trị nguyên m nhỏ 2020 để phương trình có nghiệm dương phân biệt Bài 11: Tìm hai số u v biết a u + v = 15 u.v = 36 b u + v = u.v = c u + v = -12 u.v = 20 Bài 12: Tìm u – v biết u + v = 15, u.v = 36, u > v Bài 13: Tìm hai số x, y biết x2 + y2 = 61 xy = 30 Bài 14: Cho phương trình x2 – 7x + q = 0, biết hiệu hai nghiệm 11 Tìm q hai nghiệm phương trình Bài 15: Cho phương trình x2 – qx + 50 = 0, biết phương trình có hai nghiệm có nghiệm gấp lần nghiệm Tìm q hai nghiệm phương trình Bài 16: Giải phương trình sau cách nhẩm nghiệm: 1) 3x2 – 11x + = 2) 5x2 – 17x + 12 = 3) x2 – (1 + )x + = 4) (1 - )x2 – 2(1 + )x + + = 5) 3x2 – 19x – 22 = Bài 17: Giải phương trình sau cách nhẩm nghiệm: 1) 5x2 + 24x + 19 = 2) ( + 1)x2 + x + - = 3) x2 – 11x + 30 = 4) x2 – 12x + 27 = 5) x2 – 10x + 21 = Học trực tuyến: khoahoc.vietjack.com Youtube: VietJack TV Official VietJack.com Facebook: Học Cùng VietJack Bài 18: Cho phương trình 2x2 + (2m – 1)x + m – = (m tham số) Tìm hệ thức liên hệ hai nghiệm phương trình cho mà khơng phụ thuộc vào m Bài 19: Cho phương trình x2 + 2(m + 1)x + 2m = (m tham số) Tìm hệ thức liên hệ hai nghiệm phương trình cho mà khơng phụ thuộc vào m Bài 20: Cho phương trình 2x2 + (2m – 1)x + m – = (m tham số) Tìm hệ thức liên hệ hai nghiệm phương trình cho mà khơng phụ thuộc vào m Bài 21: Cho phương trình (m + 2)x2 - (m + 4)x + - m = (m tham số) Khi phương trình có nghiệm, tìm hệ thức liên hệ hai nghiệm phương trình cho khơng phụ thuộc vào m Bài 22: Cho phương trình mx2 + 2(m – 2)x + m – = (m tham số) Khi phương trình có nghiệm, tìm hệ thức liên hệ hai nghiệm phương trình cho khơng phụ thuộc vào m Bài 23: Cho phương trình x − (2m + 3)x + m + 3m + = Xác định m để phương trình có hai nghiệm thỏa mãn −3 x1 x Bài 24: Cho phương trình bậc hai: x 2(m 1) x (m 1) Tìm giá trị m để phương trình có hai nghiệm lớn Bài 25: Cho phương trình bậc hai x 2(m 1) x (m 1) Tìm giá trị m để phương trình có nghiệm lớn nghiệm nhỏ Học trực tuyến: khoahoc.vietjack.com Youtube: VietJack TV Official VietJack.com Facebook: Học Cùng VietJack Học trực tuyến: khoahoc.vietjack.com Youtube: VietJack TV Official