Skkn nâng cao chất lượng giảng dạy môn toán 6 qua một số trò chơi sách mới

ỦY BAN NHÂN DÂN QUẬN THANH XUÂN TRƯỜNG THCS VIỆT NAM- ANGIERI - OOO - SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM “MỘT SỐ KINH NGHIỆM VỀ DẠY HỌC GIẢI PHƯƠNG TRÌNH TÍCH” Lĩnh vực/ Mơn : Tốn Cấp học : Trung học sở Tên Tác giả : Nguyễn Thị Thoan Đơn vị công tác : Trường THCS Việt Nam- Angieri Chức vụ : Giáo viên NĂM HỌC 2021- 2022 CỘNG HÒA Xà HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM Độc lập - Tự - Hạnh phúc ĐƠN YÊU CẦU CÔNG NHẬN SÁNG KIẾN Kính gửi: Họ tên Phịng GD-ĐT quận Thanh Xuân Trường THCS Việt Nam - Angiêri Ngày Nơi tháng năm công sinh tác Trường THCS Nguyễn Thị Thoan 07/09/1976 Việt Nam – Angiêri Chức danh Giáo viên Trình độ chun mơn Tên sáng kiến “Nâng cao chất lượng Đại học sư phạm giảng dạy mơn tốn thơng qua số trị chơi” Tốn +) Lĩnh vực: Mơn Tốn +) Vấn đề mà sáng kiến giải quyết: “MỘT SỐ KINH NGHIỆM VỀ DẠY HỌC GIẢI PHƯƠNG TRÌNH TÍCH” Sáng kiến áp dụng từ ngày 15/01/2022 – 10/02/2022 học sinh lớp 8A8 - Mô tả chất sáng kiến: muốn đạt mục tiêu cao để giải phương trình đưa dạng phương trình tích giúp cho người học có kiến thức chắn dạng tập vận dụng đặc biệt giáo viên hướng dẫn học sinh cách nhận dạng toán để biết nên áp dụng phương pháp để vừa giải nhanh gọn vừa dễ hiểu - Đánh giá lợi ích thu dự kiến thu áp dụng sáng kiến theo ý kiến tác giả: Đề tài giúp + Giáo viên nắm rõ phương pháp giải phương trình đưa dạng “ Phương trình tích “ Đồng thời vận dụng phương pháp để giải tốn hay khó Giải phương trình sử dụng phương pháp tách hạng tử phân tích đa thức đưa dạng tích + Học sinh nắm kiến thức cách có hệ thống ; em nắm dạng tập phương pháp giải tập Học sinh thấy rõ “ Giải phương trình tích ? Và dạng tập vận dụng vận dụng Học sinh biết phân tích vế trái thành tích ( thừa số ) biến đổi vế trái thành tích đa thức ; đơn thức khác ẩn vế phải Tôi xin cam đoan thông tin nêu đơn trung thực, thật hoàn toàn chịu trách nhiệm trước pháp luật Thanh Xuân, ngày 15 tháng 04 năm 2022 Người nộp đơn (Ký ghi rõ họ tên) Nguyễn Thị Thoan PHỊNG GD-ĐT QUẬN THANH XN CỘNG HỒ Xà HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM Độc lập - Tự - Hạnh phúc TRƯỜNG THCS VIỆT NAM - AN GIÊRI BIÊN BẢN XÉT DUYỆT SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM CẤP TRƯỜNG Tác giả : Nguyễn Thị Thoan Đơn vị : Trường THCS Việt Nam – Angiêri Tên SKKN : “MỘT SỐ KINH NGHIỆM VỀ DẠY HỌC GIẢI PHƯƠNG TRÌNH TÍCH” Mơn (hoặc Lĩnh vực) : Tốn TT Nội dung Điểm hình thức (2 điểm) Trình bày quy định thể thức văn (kiểu chữ, cỡ chữ, dãn dòng, lề…) Kết cấu hợp lý: Gồm phần (đặt vấn đề, giải vấn đề, kết luận khuyến nghị) II Điểm nội dung (18 điểm) Đặt vấn đề (2 điểm) Nêu lý chọn vấn đề mang tính cấp thiết Nói rõ thời gian, đối tượng, phạm vi nghiên cứu Giải vấn đề (14 điểm) Tên SKKN, tên giải pháp phù hợp với nội hàm Nêu rõ cách làm cũ, phân tích nhược điểm Có số liệu khảo sát trước thực giải pháp Nêu cách làm thể tính sáng tạo, hiệu Có ví dụ minh chứng tường minh cho hiệu giải pháp Có tính mới, phù hợp với thực tiễn đơn vị đối tượng nghiên cứu, áp dụng Có tính ứng dụng, áp dụng Biểu điểm I 1 1 1 Điểm đánh giá Nhận xét TT Biểu điểm Nội dung nhiều đơn vị Nội dung đảm bảo tính khoa học, xác Kết luận khuyến nghị (2 điểm) Có bảng so sánh đối chiếu số liệu trước sau thực giải pháp Khẳng định hiệu mà SKKN mang lại Khuyến nghị đề xuất với cấp quản lý vấn đề có liên quan đến việc áp dụng phổ biến SKKN TỔNG ĐIỂM Điểm đánh giá Nhận xét 1 0.5 0.5 Đánh giá chung (Ghi tóm tắt đánh giá chính): Xếp loại : Xếp loại A : Từ 17 đến 20 điểm Xếp loại B : Từ 14 đến < 17 điểm Xếp loại C : Từ 10 đến < 14 điểm Không xếp loại : < 10 điểm Ngày Người chấm (Ký, ghi rõ họ tên) Người chấm (Ký, ghi rõ họ tên) tháng năm 2022 Thủ trưởng đơn vị MỤC LỤC MỘT SỐ KINH NGHIỆM VỀ DẠY HỌC GIẢI PHƯƠNG TRÌNH TÍCH I MỞ ĐẦU 1 Lí chọn đề tài Mục đích nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu Kế hoạch nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu II NỘI DUNG Cơ sở lý luận Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến kinh nghiệm 3 Các sáng kiến sử dụng để giải vấn đề DẠNG 1: PHƯƠNG TRÌNH TÍCH ĐƠN GIẢN DẠNG 2: PHƯƠNG TRÌNH BIẾN ĐỔI ÁP DỤNG PHƯƠNG PHÁP TÁCH HẠNG TỬ ĐỂ PHÂN TÍCH ĐƯA VỀ DẠNG PHƯƠNG TRÌNH TÍCH DẠNG 3: BIẾN ĐỔI PHƯƠNG TRÌNH BẬC CAO ĐƯA VỀ DẠNG PHƯƠNG TRÌNH TÍCH 12 DẠNG 4: BIẾN ĐỔI CÁC PHƯƠNG TRÌNH CĨ CHỨA ẨN Ở MẪU VỀ DẠNG PHƯƠNG TRÌNH TÍCH 14 DẠNG 5: MỘT SỐ VÍ DỤ VỀ PHƯƠNG TRÌNH TÍCH KHÁC 16 Hiệu sáng kiến hoạt động giáo dục, với thân, đồng nghiệp nhà trường 19 III KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 21 Kết luận: 21 Kiến nghị 21 TÀI LIỆU THAM KHẢO 22 MỘT SỐ KINH NGHIỆM VỀ DẠY HỌC GIẢI PHƯƠNG TRÌNH TÍCH I MỞ ĐẦU Lí chọn đề tài Chun đề giải phương trình tích học kỹ chương trình lớp , có nhiều tập ứng dụng nhiều để giải tập chương trình đại số lớp lớp Vì yêu cầu học sinh nắm vận dụng nhuần nhuyễn phương pháp giải phương trình tích vấn đề quan trọng Nắm tinh thần q trình giảng dạy tốn tơi dày cơng tìm tịi; nghiên cứu để tìm phương pháp giải phương trình tích đa dạng dễ hiểu Góp phần rèn luyện trí thơng minh lực tư sáng tạo cho học sinh SGK trình bày phương pháp phân tích vế trái thành tích đa thức phương pháp đặt nhân tử chung; tách hạng tử; phương pháp thêm bớt hạng tử; phương pháp đặt ẩn phụ… để làm số dạng tập giải phương trình tích Khi học chuyên đề học sinh thích thú: có ví dụ đa dạng, có nhiều vận dụng cách giải khác cuối đưa dạng tích từ giúp em học tập kiến thức giải số tốn khó Mục đích nghiên cứu Trong nhiều năm phân công làm nhiệm vụ trực tiếp giảng dạy Tơi tích lũy nhiều kiến thức dạng tốn “ Giải phương trình tích “ dạng tập vận dụng đặc biệt hướng dẫn học sinh cách nhận dạng toán để biết nên áp dụng phương pháp để vừa giải nhanh gọn vừa dễ hiểu; giúp cho học sinh biết nhìn nhận cách học mơn tốn cách giải tốn theo mạch kiến thức mang tính lo gic - phương pháp dạy học loại tập “Giải dạng phương trình đưa dạng phương trình tích” nhằm mục đích: Đổi phương pháp dạy học Nâng cao chất lượng dạy học bồi dưỡng học sinh giỏi Cụ thể : - Tìm hiểu thực trạng học sinh - Những phương pháp thực - Những chuyển biến sau áp dụng - Rút học kinh nghiệm Đối tượng nghiên cứu Sách giáo khoa đại số lớp ; Sách giáo viên ; sách tham khảo nâng cao Sách tập toán tập hai Học sinh lớp trường THCS Việt Nam - Angieri Kế hoạch nghiên cứu TT Thời gian từ đến Nội dung công việc Từ 2/8 đến - Chọn đề tài, viết đề cương 15/8/ 2021 nghiên cứu Sản phẩm - Bản đề cương chi tiết - Đọc tài liệu lý thuyết Từ 15/10 đến sở lý luận - Tập tài liệu lý thuyết 15/12/ 2021 - Khảo sát thực trạng, tổng - Số liệu khảo sát xử lý hợp số liệu thực tế - Trao đổi với đồng nghiệp đề Từ 15/01 đến xuất biện pháp, sáng 10/2/ 2022 kiến - Áp dụng thử nghiệm - Tập hợp ý kiến đóng góp đồng nghiệp - Hoạt động cụ thể - Hệ thống hóa tài liệu, viết Từ 15/3 đến báo cáo 10/4/ 2022 - Xin ý kiến đồng nghiệp Từ 10/4 đến 15/4/ 2020 - Hoàn thiện báo cáo, nộp Hội đồng sáng kiến cấp sở - Bản nháp báo cáo - Bản báo cáo thức Phương pháp nghiên cứu - Phương pháp đọc sách tài liệu - Phương pháp nghiên cứu sản phẩm - Phương pháp tổng kết kinh nghiệm - Phương pháp thực nghiệm - Phương pháp đàm thoại nghiên cứu vấn đề II NỘI DUNG Cơ sở lý luận Trong hoạt động giáo dục đòi hỏi học sinh cần phải tự học; tự nghiên cứu cao Tức đích cần phải biến q trình giáo dục thành trình tự giáo dục Như học sinh phát huy lực sáng tạo; tư khoa học từ xử lý linh hoạt vấn đề đời sống xã hội Một phương pháp để học sinh đạt điều mơn tốn (cụ thể mơn đại số lớp 8) khích lệ em sau tiếp thu thêm lượng kiến thức em cần khắc sâu tìm tịi tốn liên quan Để làm giáo viên cần gợi say mê học tập; tự nghiên cứu, đào sâu kiến thức em học sinh Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến kinh nghiệm a/ Thuận lợi : - Cơ sở vật chất nhà trường đầy đủ - Tài liệu tham khảo đa dạng ; đội ngũ giáo viên có lực vững vàng ,nhiệt tình - Đa số em ham học ; thích nghiên cứu b/ Khó khăn : - Lực học em không đồng Một số em học sinh tiếp thu cịn chậm khơng đáp ứng yêu cầu chương trình - Một phận học sinh chưa thật tập trung học tập; số gia đình phụ huynh cịn chưa quan tâm sâu sát tới việc học tập em Các sáng kiến sử dụng để giải vấn đề Nội dung “Giải phương trình tích” học chương III phương trình bậc ẩn mơn Đại số 8, nên số phương pháp “Giải phương trình tích” học mơn Tuy nhiên, muốn đạt mục tiêu cao để giải phương trình đưa dạng phương trình tích giúp cho người học có kiến thức chắn dạng tập vận dụng đặc biệt giáo viên hướng dẫn học sinh cách nhận dạng toán để biết nên áp dụng phương pháp để vừa giải nhanh gọn vừa dễ hiểu Sau số phương pháp “Giải phương trình tích” sử dụng là: G/V ? : Một tích ? Trong tích có thừa số tích ? - Cần cho học sinh thấy rõ : Một tích thừa số phải có thừa số - Trong tích có thừa số tích Ví dụ : Giải phương trình : (2x – 3)(x + 1) = ( I ) Phương pháp giải Tính chất nêu phép nhân viết ab = Û a = b = ( với a ; b số ) Đối với phương trình ta có : (2x – 3)(x + 1) = Û 2x – = Hoặc x + = Do để giải phương trình ( I ) ta phải giải hai phương trình 1/ 2x – = Û x = Û x = 1,5 2/ x + = Û x = - Vậy phương trình cho có hai nghiệm : x = 1,5 x = - Và ta viết tập hợp nghiệm phương trình : S = {1,5; -1} Giải phương trình gọi giải phương trình tích Giáo viên đưa dạng phương trình tích tổng qt sau GV? : Để giải phương trình tích : A(x 1) A(x ) …………….A(x n ) = ( II ) ta cần giải phương trình ? HS: Để giải phương trình ( II ) ta cần giải phương trình sau A( x ) = (1) A( x ) = (2) ……… A(xn )=0 (n) ( ) Û x x + x + x + = ( tách 3x = x + 2x ) ( ) Û x éë x + x + ( x + ) ùû = ( nhóm hạng tử ) Û x éë x ( x + 1) + ( x + 1) ùû = ( đặt nhân tử chung ) Û x ( x + 1)( x + ) = ( đặt nhân tử chung ) ìx = ìx = ï ï Û í x + = Û í x = -1 ïx + = ï x = -2 ỵ ỵ Vậy nghiệm phương trình : S = {0; -1; -2} Cách 2: Giải : Ta có x3 + 3x + x = Û x + x + x + x = ( tách x = x + x ) ( ) ( ) Û x + x + x + x = Û x ( x + 1) + x ( x + 1) = ( ) Û ( x + 1) x + x = Û ( x + 1) x ( x + ) = ( đặt nhân tử chung ) ìx +1 = ì x = -1 ï ï Û íx = Û íx = ïx + = ï x = -2 ỵ ỵ Vậy nghiệm phương trình : S = {0; -1; -2} Ví dụ 2: Giải phương trình : x - 19 x - 30 = Đối với phương trình chưa xuất nhân tử chung ; không dạng đẳng thức Do giải giáo viên cần lưu ý cho học sinh cần sử dụng phương pháp biết để phân tích vế trái thành tích ( gợi ý phương pháp tách hạng tử ) ta cần tách hạng tử : -19x = - 9x – 10x Giải : Ta có : x - 19 x - 30 = Û x - x - 10 x - 30 = ( ) ( ) Û x3 - x - (10 x + 30 ) = Û x x - - 10 ( x + 3) = ( ) Û x x - 32 - 10 ( x + 3) = Û x ( x - 3)( x + 3) - 10 ( x + 3) = ( ) Û ( x + 3) éë x ( x - 3) - 10 ùû = Û ( x + 3) x - x - 10 = ( ) Û ( x + 3) x - x + x - 10 = Û ( x + 3) éë( x - x) + ( x - 10 ) ùû = Û ( x + 3) éë x ( x - ) + ( x - ) ùû = Û ( x + 3)( x - )( x + ) = ìx + = ì x = -3 ï ï Û íx - = Û íx = ïx + = ï x = -2 ỵ î Vậy nghiệm phương trình : S = {-3; -2;5} Ví dụ 3: Giải phương trình : x + x - = Đối với phương trình ta tách hạng tử 5x = 6x – x Giải: Ta có : x + x - = Û x + x - x - = ( ) Û 3x + x - ( x + ) = Û 3x ( x + ) - ( x + ) = Û ( x + )( x - 1) = ì x = -2 ìx + = ï Ûí Ûí x = ỵ3 x - = ï ỵ ì 1ü Vậy nghim ca phng trỡnh l : ớ-2; ý ợ 3ỵ Ví dụ : Giải phương trình : x + 14 x + x = Đối với phương trình bước ta phải biến đổi vế trái thành tích cách đặt nhân tử chung để biểu thức ngoặc đơn giản Sau dùng phương pháp tách hạng tử để đưa dạng tích Giải: ( ) 2 Ta có: x + 14 x + x = Û x x + x + = 10 ( ) ( ) Û x x + x + x + = Û x éë x + x + ( x + 3) ùû = Û x éë x ( x + 3) + ( x + 3) ùû = Û x ( x + 3)( x + 1) = ì ïx = x = ì ï ï Û í x + = Û í x = -3 ï2 x + = ï ỵ ïx = ỵ 1ü ì Vậy tập nghiệm phương trình : S = ớ0; -3; - ý 2ỵ ợ Vớ d 5: Giải phương trình : x + x + 20 = Đối với phương trình vế trái chưa xuất nhân tử chung Do ta cần biến đổi để đưa vế trái dạng tích cách tách hạng tử 9x = 4x + 5x Giải: Ta có : x + x + 20 = Û x + x + x + 20 = ( ) Û x + x + ( x + 20 ) = Û x ( x + ) + ( x + ) = ìx + = ì x = -4 Û ( x + )( x + ) = Û í Ûí ỵx + = ỵ x = -5 Vậy nghiệm phương trình : S = {-4; -5} Ví dụ 6: Giải phương trình : x + x - = Ta biến đổi vế trái phương trình thành tích cách tách hạng tử x = 3x – 2x sau nhóm hạng tử đặt nhân tử chung Giải: 2 Ta có : x + x - = Û x + x - x - = ( ) Û x + 3x - ( x + ) = Û x ( x + 3) - ( x + 3) = ìx + = ì x = -3 Û ( x + 3)( x - ) = Û í Ûí ỵx - = îx = Vậy nghiệm phương trình : S = {-3; 2} 11 Ví dụ 7: Giải phương trình : x - x + = Đối với phương trình có nhiều cách giải khác sau số cách giải Cách 1: Tách hạng tử -3x = -2x - x x - 3x + = Û x - x - x + = Ta có : ( ) Û x - x - ( x - ) = Û x ( x - 1) - ( x - 1) = ìx -1 = ìx = Û ( x - 1)( x - ) = Û í Ûí ỵx - = ỵx = Vậy nghiệm phương trình : S = {1; 2} Cách : Tách hạng tử = - + Ta có : x - 3x + = Û x - 3x - + = ( ) Û x - - ( x - ) = Û ( x + )( x - ) - ( x - ) = Û ( x - ) éë( x + ) - 3ùû = Û ( x - )( x - 1) = ìx - = ìx = Ûí Ûí x = ỵ ỵx = Vậy nghiệm phương trình : S = Cách : Biến đổi -3 x = 2.x Ta có : {1; 2} ; 2= 4 x - 3x + = Û x - x + - = 4 2 é 9ư ỉ3ư ù ổ1ử ổ ỗ x - x + ÷ - = Û ê x - x + ỗ ữ ỳ - ỗ ữ = 4ø è ø ûú è ø è ëê 2 éỉ 3ư ỉ1ư ự ộổ 1ự ổ ỗ x - ữ - ỗ ữ = ờỗ x - ữ + ỳ ờỗ x - ữ + ỳ = 2ø è4ø ø û ëè ø 2û è ëè ưỉ 1ư ỉ Û ç x - + ÷ç x - - ÷ = Û ( x - 1)( x - ) = 2 øè 2ø è ìx -1 = ìx = Ûí Ûí ỵx - = ỵx = 12 Vậy nghiệm phương trình : S = {1; 2} DẠNG 3: BIẾN ĐỔI PHƯƠNG TRÌNH BẬC CAO ĐƯA VỀ DẠNG PHƯƠNG TRÌNH TÍCH Ví dụ 1: Giải phương trình x - 13 x + 36 = Đây phương trình bậc ẩn x để giải dạng phương trình ta cần đặt biến phụ sau tìm giá trị biến phụ ta lắp giá trị vào biểu thức liên quan ban đầu để tìm nghiệm , Ở ta đặt x = a ta có cách giải sau Giải: 2 Ta có : x - 13 x + 36 = Û a - 13a + 36 = ( ) Û a - 4a - 9a + 36 = Û a - 4a - ( 9a - 36 ) = Û a ( a - ) - ( a - ) = Û ( a - )( a = ) = ìa1 = ìa - = Ûí Ûí ỵa - = ỵa2 = ì x2 = ì x = ±2 ï x = a Þ Û í í Vì ta đặt ïx = ỵ x = ±3 ỵ Vậy nghiệm phương trình : S = {±2; ±3} Ví dụ 2: Giải phương trình : x + x + = Để giải phương trình giáo viên cần hướng dẫn học sinh đặt ẩn phụ là: Đặt x = a nên ta có cách giải sau Giải: 2 Ta có : x + x + = Û 2a + 5a + = ( ) Û 2a + 4a + a + = Û 2a + 4a + ( a + ) = ( tách 5a = 4a + a ) Û 2a ( a + ) + ( a + ) = Û ( a + )( 2a + 1) = (nhóm đặt NTC ) ìa = -2 ìa + = ï Ûí Ûí a = ỵ 2a + = ïỵ 13 ì x2 - ï Vì đặt x = a Þ í ïx = ỵ Điều khơng thể xẩy x ³ với giá trị x phương trình cho vơ nghiệm Tập hợp nghiệm phương trình : S = f Ví dụ : Giải phương trình : x + x + = 2 Ta biến đổi vế trái cách đặt ẩn phụ x = a để đưa dạng tích Giải: 2 Ta có : x + x + = Û 9a + 6a + = Û ( 3a ) + 2.3a + 12 = Û ( 3a + 1) = 2 Û 3a + = Û a = x2 = a Þ x2 = - Vì đặt Trường hợp xẩy Vì x ³ với giá trị x Vậy phương trình vơ nghiệm Tập hợp nghiệm phương trình : S = f Ví dụ 4: Giải phương trình : x + x - = Đặt x = a Ta có cách giải sau x - x - = Û 2a - a - = ( ) Û 2a - 8a + a - = Û 2a - 8a + ( a - ) = Û 2a ( a - ) + ( a - ) = Û ( a - )( 2a + 1) = ìa = ìa - = ï Ûí Ûí a = ỵ 2a + = ùợ Vỡ t x = a ị x = Þ x = ±2 Hoặc x = - (Loại) Vậy nghiệm phương trình : S = {±2} Ví dụ : Giải phương trình : x - 20 x + 18 = Đặt x = a nên ta có cách giải sau x - 20 x + 18 = Û 2a - 20 x + 18 = 14 ( ) ( ) Û a - 10a + = Û a - 9a - a + = ( ) Û éë a - 9a - ( a - ) ùû = Û éë a ( a - ) - ( a - ) ùû = ìa - = ìa = Û ( a - )( a - 1) = Û í Ûí ỵa - = ỵa = Vì đặt x = a Þ x = Þ x = ±3 2 Và : x = Þ x = ±1 Vậy nghiệm phương trình : S = {±1; ±3} DẠNG 4: BIẾN ĐỔI CÁC PHƯƠNG TRÌNH CĨ CHỨA ẨN Ở MẪU VỀ DẠNG PHƯƠNG TRÌNH TÍCH Đây dạng phương trình mà giải ta cần phải tìm điều kiện xác định phương trình Điều kiện xác định phương trình tìm giá trị ẩn để mẫu thức khác khơng Sau số ví dụ dạng phương trình Ví dụ 1: Giải phương trình : x+2 - = x - x x ( x - 2) (I) ìx ¹ ìx ¹ Û í Điều kiện xác định phương trỡnh l : ợx - ợx ¹ Giải: Ta có (I) Û ( x + 2) x - ( x - 2) = x+2 - = Û x - x x ( x - 2) x ( x - 2) x ( x - 2) Û ( x + 2) x - ( x - 2) = Û x2 + 2x - x + = ìx = ìx = Ûí Û x + x = Û x ( x + 1) = Û í ỵ x = -1 ỵx +1 = Vì điều kiện xác định phương trình : x ¹ x ¹ Nên với x = loại Do nghiệm phương trình : S = Ví dụ 2: Giải phương trình : Giải: {-1} ( x - 11) x-2 = ( II ) ĐKXĐ: x ¹ ±2 x+2 x-2 x -4 15 Ta có : (II) Û ( x - 11) x-2 = x+2 x-2 x -4 ( x - ) - ( x + ) = ( x - 11) Û ( x + )( x - ) ( x + )( x - ) Quy đồng mẫu hai vế Û ( x - ) - ( x + ) = ( x - 11) (Nhân hai vế với ( x + )( x - ) để khử mẫu) Khai triển chuyển vế thu gọn ta Û x - x + 20 = Û x - x - x + 20 = ( tách -9x = - 4x – 5x ) ( ) Û x - x - ( x - 20 ) = Û x ( x - ) - ( x - ) = ìx - = ìx = Û ( x - )( x - ) = Û í Ûí ỵx - = ỵx = Vì x = ; x = Thoả mãn điều kiện xác định phương trình Vậy nghiệm phương trình : S = {4;5} Ví dụ : Giải phương trình : 2x -1 = - x (III) ĐKXĐ : x ¹ x-2 x-2 Giải: Ta có : (III) Û 2x -1 - x ( x - 2) 2x -1 = -xÛ = x-2 x-2 x-2 x-2 Û = x - - x + x ( nhân hai vế với x – khử mẫu ) Û x2 - 4x + = Û ( x - 2) = Û x-2=0Û x = (Loại x = khơng thỏa mãn ĐKXĐ phương trình Vậy tập hợp nghiệm phương trình : S = Ví dụ : Giải phương trình : x + 1 = x2 + x x f ( IV ) ĐKXĐ : x ¹ 16 x3 + x x + = Û x3 + x = x + ( IV ) Û x x ( ) Û x3 - x - + x = Û x - x - (1 - x ) ( ) Û x (1 - x ) - (1 - x ) = Û (1 - x) x - = ( ) ( ) Û ( x - 1)( x - 1) x + x + = Û ( x - 1) x + x + = Vì (x 2 1 æ 1ö + x + = x + x + + = ỗ x + 2.x + ÷ + 4 è 4ứ ) 1ử ổ =ỗx+ ữ + >0 2ø è nên ( x - 1) (x ) + x + = Û ( x - 1) = Û x - = Û x = Thỏa mãn điều kiện tốn Vậy nghiệm phương trình : S = {1} DẠNG 5: MỘT SỐ VÍ DỤ VỀ PHƯƠNG TRÌNH TÍCH KHÁC Tùy theo dạng phương trình mà ta có cách biến đổi khác Để đưa phương trình cho dạng phương trình tích Sau dạng phương trình đặc trưng Ví dụ I: Giải phương trình : 2- x 1- x x -1 = 2001 2002 2003 Đây phương trình áp dụng cách giải thơng thường gặp nhiều khó khăn Do để giải phương trình ta sử dụng phương pháp sau: Để biến đổi đưa phương trình cho dạng phương trình tích đơn giản ta cộng thêm vào hai vế phương trình biến đổi phương trình sau 2- x 1- x x 2- x ỉ 1- x ỉ -x -1 = +1 = ỗ + 1ữ + ỗ + 1ữ 2001 2002 2003 2001 ố 2002 ø è 2003 ø Û 2003 - x 2003 - x 2003 - x 2003 - x 2003 - x 2003 - x = + Û =0 2001 2002 2003 2001 2002 2003 17 1 ỉ Û ( 2003 - x ) ỗ ữ = 2003 - x = Û x = 2003 è 2001 2003 2003 ø 1 ¹0 2001 2002 2003 Vì : Vậy nghiệm phương trình : S = {2003} Ví dụ : Giải phương trình : x +1 x + x + x + x + x + + + = + + 94 93 92 91 90 89 Cộng thêm vào hai vế phương trình ta æ x +1 ö æ x + ö æ x + ỉ x + ỉ x + ỉ x + + 1ữ + ỗ + 1ữ + ỗ + 1ữ = ç + 1÷ + ç + 1÷ + ç + 1ữ ỗ ố 94 ứ ố 93 ứ ố 92 ø è 91 ø è 90 ø è 89 ø Û x + 95 x + 95 x + 95 x + 95 x + 95 x + 95 + + = + + 94 93 92 91 90 89 Û x + 95 x + 95 x + 95 x + 95 x + 95 x + 95 + + =0 94 93 92 91 90 89 1 1 ỉ Û ( x + 95 ) ỗ + + - - - ữ = è 94 93 92 91 90 89 ø Û x + 95 = Û x = -95 Vì : 1 1 1 + + - - ¹0 94 93 92 91 90 89 Vậy nghiệm phương trình : S = {-95} Ví dụ 3: Giải phương trình : 59 - x 57 - x 55 - x 53 - x 51 - x + + + + = -5 41 43 45 47 49 Đối với phương trình ta chuyển hạng tử -5 sang vế trái tách thành hạng tử, hạng tử đơn vị nên ta có cách giải sau: 59 - x 57 - x 55 - x 53 - x 51 - x + + + + = -5 41 43 45 47 49 æ 59 - x ỉ 57 - x ỉ 55 - x ỉ 53 - x ỉ 51 - x ỗ + 1ữ + ỗ + 1ữ + ỗ + 1ữ + ỗ + 1ữ + ç + 1÷ = è 41 ø è 43 ø è 45 ø è 47 ø è 49 ø Û 100 - x 100 - x 100 - x 100 - x 100 - x + + + + =0 41 43 45 47 49 18 1 1 ổ (100 - x ) ỗ + + + + ÷=0 è 41 43 45 47 49 ø Û 100 - x = Û x = 100 Vì : 1 1 + + + + ¹0 41 43 45 47 49 Vậy nghiệm phương trình : S = {100} Ví dụ : Giải phương trình : x +1 x + x + x + x + x + + + = + + 59 58 57 56 55 54 Để giải phương trình giáo viên cần hướng dẫn cho học sinh cộng thêm vào hai vế phương trình tách thành nhóm sau: x +1 x + x + x + x + x + + + = + + 59 58 57 56 55 54 ỉ x +1 ỉ x + ö æ x + ö æ x + ö æ x + ö æ x + ỗ + 1ữ + ỗ + 1ữ + ỗ + 1ữ = ỗ + 1ữ + ỗ + 1ữ + ỗ + 1ữ ố 59 ứ ố 58 ứ è 57 ø è 56 ø è 55 ø è 54 ø Û x + 60 x + 60 x + 60 x + 60 x + 60 x + 60 + + = + + 59 58 57 56 55 54 Û x + 60 x + 60 x + 60 x + 60 x + 60 x + 60 + + =0 59 58 57 56 55 54 1 1 ỉ Û ( x + 60 ) ỗ + + - - - ÷ = è 59 58 57 56 55 54 ø Û x + 60 = Û x = -60 Vì : 1 1 1 + + - - ¹0 59 58 57 56 55 54 Vậy nghiệm phương trình : S = {-60} Ví dụ 5: Giải phương trình : x - x - 15 x - 25 x - 1990 x - 1980 x - 1970 + + = + + 1990 1980 1970 15 25 Đối với phương trình giáo viên hướng dẫn cho học sinh trừ hai vế đơn vị tách phần ta có cách giải sau 19 Giải : x - x - 15 x - 25 x - 1990 x - 1980 x - 1970 + + = + + 1990 1980 1970 15 25 æ x - ỉ x - 15 ỉ x - ỉ x - 1990 ỉ x - 1980 ổ x - 1970 ỗ - 1ữ + ỗ - 1ữ + ỗ - 1ữ = ç - 1÷ + ç - 1÷ + ç - 1÷ è 1990 ø è 1980 ø è 1970 ø è ø è 15 ø è 25 ø Û x - 1995 x - 1995 x - 1995 x - 1995 x - 1995 x - 1995 + + = + + 1990 1980 1970 15 25 Û x - 1995 x - 1995 x - 1995 x - 1995 x - 1995 x - 1995 + + =0 1990 1980 1970 15 25 1 1 ỉ Û ( x - 1995 ) ỗ + + - - - ữ=0 ố 1990 1980 1970 15 25 ø Û x - 1995 = Û x = 1995 Vì : 1 1 1 + + - - ¹0 1990 1980 1970 15 25 Vậy nghiệm phương trình : S = {1995} Hiệu sáng kiến hoạt động giáo dục, với thân, đồng nghiệp nhà trường - Đề tài giúp giáo viên nắm rõ phương pháp giải phương trình đưa dạng “ Phương trình tích “ Đồng thời vận dụng phương pháp để giải tốn hay khó Giải phương trình sử dụng phương pháp tách hạng tử phân tích đa thức đưa dạng tích - Trước hết giáo viên phải làm cho học sinh thấy rõ “ Giải phương trình tích ? Và dạng tập vận dụng vận dụng nào? (Phân tích vế trái thành tích ( thừa số ) biến đổi vế trái thành tích đa thức ; đơn thức khác ẩn vế phải 0) - Học sinh nắm kiến thức cách có hệ thống ; em nắm dạng tập phương pháp giải tập Học sinh thấy rõ “ Giải phương trình tích ? Và dạng tập vận dụng vận dụng Học sinh biết phân tích vế trái thành tích ( thừa số ) biến đổi vế trái thành tích đa thức ; đơn thức khác ẩn vế phải 20 - Kết trước sau áp dụng sáng kiến: + Khi chưa thực dạy phương pháp giải phương trình tích Khảo sát 20 em kết đạt sau GIỎI Lớp 8A8 SL KHÁ TL 10% SL TL 5% TB SL 12 YẾU TL 60% SL KÉM TL 25% SL TL 10% + Kết sau thực giảng dạy phương pháp gải phương trình tích LỚP 8A8 GIỎI KHÁ TB YẾU KÉM SL TL SL TL SL TL SL TL SL TL 40% 10 50% 10% 0% 0% 21 III KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ Kết luận: - Việc áp dụng phương pháp biến đổi phương trình để đưa dạng phương trình tích có hiệu Làm cho học sinh thay đổi tính tư duy; nhận thức nhanh hơn; nhìn nhận vấn đề sâu rộng hơn; chắn Học sinh biết phân tích biến đổi nhìn nhận tốn nhiều khía cạnh khác Kết khảo sát cao nhiều so với chưa áp dụng phương pháp - Trong trình thực thân tránh khỏi khiếm khuyết thiếu sót Nên thân tơi mong đóng góp ý kiến quý báu từ quý thầy giáo nói chung q thầy giáo mơn tốn nói riêng Nhất đồng chí tổ chuyên môn để thân đúc rút nhiều kinh nghiệm trình dạy học nói chung việc dạy học mơn tốn nói riêng có việc dạy học giải phương trình tích Tơi xin chân thành cảm ơn Kiến nghị - Đối với giáo viên môn: Cần tạo cho học sinh có nhiều quỹ thời gian để em tham dự chuyên đề rút từ kinh nghiệm - Đối với BGH nhà trường: Nhà trường cần tạo điều kiện thuận lợi kinh phí để thực chun đề có tính chất liên quan Tơi xin cam kết nội dung nghiên cứu thực Thanh Xuân, ngày 15 tháng năm 2022 Người thực Nguyễn Thị Thoan 22 TÀI LIỆU THAM KHẢO TT TÊN SÁCH TÁC GIẢ NHÀ XUẤT BẢN Sách giáo khoa đại số tập Phan Đức Chính Nhà xuất giáo dục II Tôn Thân Sách hướng dẫn giáo viên Nguyễn Huy Đoan Nhà xuất giáo dục đại số tập II Lê Văn Hồng Nhà xuất giáo dục Vũ Hữu Bình Nhà xuất giáo dục Sách tập đại số tập II Ơn tập đại số Lê Đình Phi Đại học quốc gia Hà Các toán hay đại số Nguyễn Ngọc Đạm Nội Các toán chọn lọc Nguyễn Quang (Bồi dưỡng học sinh khá; Hanh Nhà xuất đại học giỏi) Ngô Long Hậu sư phạm Hà Nội Nguyễn Đức Tấn Nhà xuất đại học Phan Hoàng Ngân quốc gia Thành phố Nguyễn Anh Hồng Hồ Chí Minh 405 Bài tập đại số Nguyễn Đức Hòa