Chøng minh mét sè kh«ng ph¶i lµ sè chÝnh ph¬ng Chøng minh mét sè kh«ng ph¶i lµ sè chÝnh ph¬ng Ph¬ng ph¸p 1 Nh×n ch÷ sè tËn cïng V× sè chÝnh ph¬ng b»ng b×nh ph¬ng cña mét sè nªn suy ra Sè chÝnh ph[.]
Chứng minh số số phơng Phơng pháp Nhìn chữ số tận cùng: - Vì số phơng bình phơng số nên suy ra.Số phơng phải có chữ số tận chữ số: 0,1,4,5,6,9 Từ ta giải đợc toán dạng sau đây: Bài toán Chứng minh số: n = 20042 + 20032 + 20022 - 20012 Không số phơng LG - Ta thấy chữ số tận số: 2004 2,20032,20022,20012lần lợt 6,9,4,1 Do n có chữ số tận Nên n số phơng Chú ý: Nhiều số đà cho có chữ số tận số: 0,1,4,5,6,9 nhng số phơng, ta phải lu ý thêm: Nếu số phơng chia hết cho số nguyên tố p phải chia hết cho p2 Bài toán Chứng minh số: 1234567890 số phơng LG - Ta thÊy sè: 1234567890 chia hÕt cho (v× chữ số tận 0), nhng không chia hết cho 25 (vì hai chữ số tận 90) Do số 1234567890 số phơng Chó ý: - Cã thĨ ln r»ng: Sè 1234567890 chia hết cho nhng không chia hết cho (vì hai chữ số tận 90).Nên 1234567890 số phơng Bài toán Chứng minh xnếu số có tổng chữ số 2004 số số phơng LG Ta thấy tổng chữ số 2004 nên 2004 chia hết cho mà lại không chia hết cho Nên số có tổng chữ số 2004 chia hết cho mà không chia hết cho Do số số phơng Phơng pháp Dùng tính chất số d Bài toán Chứng minh số có tổng chữ số 2006 số phơng LG - ta không gặp trờng hợp nh toán nên ta phải nghĩ đến phơng pháp khác Ta thấy chắn số chia cho d nên ta có lời giải sau: - Vì số chíng phơng chia cho d mà ( kết toán mà ta dễ dàng chứng minh đợc) - Do tổng chữ số số 2006 nên số chia cho d Nên số số phơng Bài toán ( Tơng tự toán 4) Chứng minh tổng số tự nhien liên tiếp từ đến 2005 số phơng Bài toán Chứng minh số: 20044 + 20043 + 20042 + 23 số phơng Phơng pháp Tình chứng minh n không số chÝnh ph¬ng nhng n chia cho vÉn d VD: Bài toán Chứng minh số: n = 44 + 444 + 4444 + 44444 + 15 không số phơng Nhận xét: - Nếu chia n cho số d Vậy không giải đợc theo cách toán 3,4,5,6 - Nếu xÐt ch÷ sè tËn cïng ta thÊy ch÷ sè tËn n nên không giải đợc theo cách toán 1,2 Vậy ta phải dùa vµo nhËn xÐt sau (ta cã thĨ cm): Mét số phơng chia cho số d Lúc ta giải đợc toán Phơng pháp Phơng pháp kẹp hai số phơng liên tiếp: n2 vµ (n+1)2 Ta thÊy: NÕu n vµ k N vµ thỏa mÃn điều kiện: n2 < k < (n+1)2 lúc k số phơng Bài toán Chứng minh số 4014025 số phơng Nhận xét: Số có hai chữ số tận 25 nên chia cho d chia cho d 1, nên ¸p dơng b»ng c¸ch trªn LG Ta thÊy: 20032 = 401209; 20042= 4016016 Nªn 20032< 4014025 < 20042 Chøng tá số 4014025 số phơng Bài toán Chứng minh: A = n(n+1)(n +2)(n+3) không số chÝnh ph¬ng víi mäi n N, n NhËn xÐt: Nếu đà quen dạng ta thấy A+1 phải số phơng ( toán lớp 8) nhng lớp 6,7 giải theo cách sau LG Ta cã: A+1 = n(n + 1)(n +2)(n + 3) + = (n2 + 3n)(n2 + 3n + 2) + = (n2 + 3n)2 + 2(n2 + 3n) + = (n2+3n +1)2 Mặt khác (n2 + 3n)2 < (n2 + 3n)2 + 2(n2 + 3n) = A Điều hiển nhiên vì: n > Chứng tá (n2 + 3n)2 < A < A+1= (n2+3n +1)2 Suy A số phơng Một số toán khác Bài 10 Chứng tỏ số: 235+2312+232003 không số phơng Gợi ý: Nghĩ đến phép chia cho chia cho Bài 11 Có 1000 mảnh bìa hình chữ nhật, mảnh đợc ghi số từ đến 1001 (không có mảnh ghi khác nhau) Chứng minh ghép tất mảnh bìa liền để đợc số phơng Bài 12 Chứng minh tổng bình phơng số tự nhiên liên tiếp số phơng Gợi ý: Nghĩ đến phép chia cho Một số toán liên quan số phơng Bài Chứng minh tổng n số lẻ số phơng LG Ta tính tổng n số lẻ đầu tiên: S = + + + + + (2n - 3) + (2n - 1) Lúc ta phải xét hai trờng hợp: n chẵn n lẻ Trờng hợp 1: n chẵn S = (1 + 2n - 1) + (3 + 2n - 3)+ số hạng có giá trị 2n Vậy S = 2n Có n/2 số hạng , mà = n2 Trờng hợp 2: n lẻ Để tính S ta ghép nh trờng hợp nhng ta đợc số hạng, số hạng có giá trị 2n Nªn tỉng S = 2n + n = = n2 VËy S = + + + + + (2n - 3) + (2n - 1) = n nên S số phơng Từ toán ta có nhận xét tổng quát: Tổng số lẻ bình phơng số số Bài Chứng minh số số phơng số ớc số lẻ Bài Biển số xe máy bạn Hùng số có chữ số, có đặc điểm nh sau: Số số phơng, lấy số đầu trừ số cuối cộng thêm đợc số số phơng Tìm số xe b¹n Hïng