Đang tải... (xem toàn văn)
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM NGUYỄN THỊ ÁNH LY THUẬT TOÁN SLICE CHO PHÂN TÍCH BẤT KHẢ QUY CỦA IĐÊAN ĐƠN THỨC LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN 2016 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC[.]
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM NGUYỄN THỊ ÁNH LY THUẬT TỐN SLICE CHO PHÂN TÍCH BẤT KHẢ QUY CỦA IĐÊAN ĐƠN THỨC LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - 2016 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM NGUYỄN THỊ ÁNH LY THUẬT TỐN SLICE CHO PHÂN TÍCH BẤT KHẢ QUY CỦA IĐÊAN ĐƠN THỨC Chuyên ngành: Đại số lý thuyết số Mã số: 60 46 01 04 LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS NGUYỄN THỊ DUNG THÁI NGUYÊN - 2016 Lời cam đoan Tôi xin cam đoan luận văn hoàn toàn trung thực không trùng lặp với luận văn trước Các thông tin, tài liệu luận văn ghi rõ nguồn gốc Thái Nguyên, ngày tháng năm 2016 Học viên NGUYỄN THỊ ÁNH LY i Lời cảm ơn Luận văn hoàn thành hướng dẫn khoa học PGS.TS Nguyễn Thị Dung, giảng viên Trường Đại học Nông Lâm- Đại học Thái Nguyên Đầu tiên, tơi xin chân thành bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc tới Trong suốt q trình làm luận văn, cô dành nhiều thời gian công sức để bảo hướng dẫn từ điều nhỏ nhặt tới vấn đề khó khăn ln kiên nhẫn, tận tình quan tâm giúp đỡ tơi để hồn thành luận văn Tơi xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc tới thầy giáo Viện Toán học Đại học Thái Nguyên, người tận tình giảng dạy khích lệ, động viên tơi vượt qua khó khăn học tập Tôi xin cảm ơn ban lãnh đạo Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên, Khoa Sau đại học tạo điều kiện thuận lợi, giúp đỡ suốt thời gian học tập Cuối xin cảm ơn bạn bè, người thân giúp đỡ, động viên, ủng hộ tơi để tơi hồn thành tốt khóa học Thái Ngun, ngày tháng năm 2016 Học viên NGUYỄN THỊ ÁNH LY ii Mục lục Lời cam đoan i Lời cảm ơn ii Mục lục iii Mở đầu 1 Iđêan đơn thức 1.1 Iđêan đơn thức đồ thị iđêan đơn thức 1.2 Các phép toán iđêan đơn thức 1.2.1 Giao iđêan đơn thức 1.2.2 Căn iđêan đơn thức 1.2.3 Phép chia iđêan đơn thức 10 1.3 Iđêan đơn thức bất khả quy phân tích 12 1.4 Phân tích tham số iđêan đơn thức 15 1.4.1 Iđêan tham số 15 1.4.2 Phần tử góc 16 Thuật toán Slice 18 2.1 Đơn thức chuẩn cực đại, đế phân tích 18 2.2 Nhãn 22 2.3 Thuật toán Slice 22 2.4 Slice sở 29 2.5 Sự kết thúc lựa chọn then chốt 30 2.6 Giả mã 31 iii 2.7 Cải tiến thuật toán sở 33 2.7.1 Đơn thức chặn chứa slice 33 2.7.2 Tách độc lập 38 Tài liệu tham khảo 41 iv Mở đầu Một kết Đại số giao hốn định lý phân tích bất khả quy chứng minh Emmy Noether năm 1921 Trong báo Emmy Noether chứng minh iđêan vành Noether viết thành giao hữu hạn iđêan bất khả quy Cho A vành giao hốn có đơn vị đặt R = A[X1 , , Xd ] vành đa thức d biến A Một iđêan đơn thức m-bất khả quy theo nghĩa iđêan đơn thức nhỏ nhất, tức khơng thể viết thành giao không tầm thường iđêan đơn thức Cho J iđêan đơn thức R, phân tích m-bất khả quy J biểu diễn J = ∩ni=1 Ji thành giao iđêan m-bất khả quy, phân tích gọi rút gọn Ji * Ji′ với i 6= i′ phân tích m-bất khả quy rút gọn không kể đến thứ tự iđêan đơn thức phân tích Chú ý J ( R iđêan đơn thức bất khả quy ln iđêan m-bất khả quy điều ngược lại A miền nguyên Gần phân tích bất khả quy iđêan đơn thức trở thành vấn đề tính tốn áp dụng nhiều lĩnh vực từ túy toán học đến toán học ứng dụng lĩnh vực sinh học, Một vài ví dụ áp dụng phân tích bất khả quy iđêan đơn thức cát tuyến iđêan đơn thức lũy thừa hình thức iđêan đơn thức đưa B Sturmfels and S Sullivant [8], vấn đề Frobenius đưa B.H Roune [7], kỹ thuật nghịch đảo mạng sinh học đưa A.S Jarrah [3] Mục đích luận văn giới thiệu thuật tốn Slice, thuật tốn dùng để tính phân tích bất khả quy iđêan đơn thức, nghĩa viết iđêan đơn thức thành giao rút gọn iđêan đơn thức bất khả quy Các kết trình bày lại chứng minh chi tiết phần báo "The slice Algorithm for Irreducible Decomposition of Monomial ideals" tác giả B Roune [6] Cho k trường đặt R = k[x1, , xn ], với n > vành đa thức n biến lấy hệ số k, I iđêan đơn thức R Một đơn thức m ∈ R gọi đơn thức chuẩn cực đại I m ∈ / I mxi ∈ I, với i = 1, , n Tập tất đơn thức chuẩn cực đại I ký hiệu msm(I) Nếu biểu diễn I đồ thị đơn thức chuẩn cực đại I ứng với điểm nằm ngồi I nằm góc "gần nhất" so với phần đồ thị thuộc I Tập đơn thức chuẩn cực đại msm(I) đóng vai trị quan trọng thuật toán Slice ý tưởng thuật toán bắt nguồn từ kết sau Miller Sturmfels [4]: Chọn số nguyên t cho t lớn bậc đơn thức tập đơn thức sinh rút gọn min(I) định nghĩa φ (xm ) = (ximi +1 | mi + < t) Khi đó, ánh xạ φ song ánh từ tập chuẩn cực đại msm(I + (xt1 , , xtn )) vào tập iđêan đơn thức bất khả quy irr(I) I Vì thế, tốn tìm phân tích bất khả quy quy tốn tìm tập đơn thức chuẩn cực đại Thuật tốn Slice cung cấp cơng cụ để tính msm(I) cách tách thành hai tập gọi slice slice Cả hai slice phụ thuộc vào cách chọn đơn thức gọi then chốt Các đơn thức slice lại coi tập chuẩn cực đại iđêan Tiếp theo slice lại tách thành slice đơn giản trình tiếp tục tách thành slice đủ đơn giản để tính tập đơn thức chuẩn cực đại chúng Cấu trúc luận văn gồm hai chương Chương luận văn dành để nhắc lại số kiến thức iđêan đơn thức: đồ thị, phép tốn giao, căn, chia phân tích bất khả quy, phân tích tham số iđêan đơn thức Chương giới thiệu thuật tốn slice: mơ tả thuật tốn thơng qua tập đơn thức chuẩn cực đại; chứng minh thuật toán dừng đoạn giả mã để thực thuật toán; mục chương giới thiệu số cải tiến cho phiên sở thuật toán Phần kết luận luận văn tổng kết số công việc thực Chương Iđêan đơn thức Ký hiệu A vành giao hốn có đơn vị đặt R = A[X1 , , Xd ] Chương dành để nhắc lại số kiến thức iđêan đơn thức: đồ thị, phép tốn, phân tích tham số iđêan đơn thức Các kết chương viết dựa theo [5] 1.1 Iđêan đơn thức đồ thị iđêan đơn thức Định nghĩa 1.1.1 Một iđêan đơn thức R iđêan R sinh đơn thức theo biến X1 , , Xd Ví dụ 1.1.2 Đặt R = A[X,Y ] (i) Iđêan I = (X , X 3Y,Y )R iđêan đơn thức (ii) Iđêan J = (X −Y , X ) iđêan đơn thức J = (X ,Y ) (iii) Iđêan R iđêan đơn thức = (0)R / R = 1R R = X10 · · · Xd0 R Với iđêan đơn thức khác không I ⊆ R, ta ký hiệu [[I]] tập hợp tất đơn thức chứa I Khi tập hợp [[I]] ⊂ R tập vơ hạn khơng iđêan Theo định nghĩa, ta có [[I]] = I ∩ [[R]] Hơn nữa, với iđêan đơn thức I ⊆ R, ta có I = ([[I]])R Mệnh đề 1.1.3 Cho I J hai iđêan đơn thức R (i) I ⊆ J [[I]] ⊆ [[J]] (ii) I = J [[I]] = [[J]] Định nghĩa 1.1.4 (i) Cho f g đơn thức R Khi f gọi bội đơn thức g tồn đơn thức h ∈ R cho f = gh n (ii) Với đơn thức f = X n = X1n1 Xd d ∈ R, ta có d-số tự nhiên n = (n1 , , nd ) ∈ Nd gọi véc tơ lũy thừa f Vì thế, có tương ứng − đơn thức R với véc tơ Nd đơn thức R = A[X1 , , Xd ] độc lập tuyến tính A nên véctơ lũy thừa đơn thức f ∈ R hoàn toàn xác định Cho d số nguyên dương Giả sử Nd ta định nghĩa quan hệ < sau: m = (m1 , , md ) < (n1 , , nd ) với i = 1, , d ta có mi ≥ ni theo thứ tự thơng thường N Khi nhờ vào tính độc lập tuyến tính đơn thức R, kết sau nói tích đơn thức đa thức khơng đơn thức (xem [5, Bổ đề 2.1.9]) Bổ đề 1.1.5 Cho f = X m g = X n đơn thức R Nếu h đa thức R cho f = gh m < n h = X p đơn thức, pi = mi − ni Ví dụ 1.1.6 Đặt R = A[X,Y ] Cho f = X 2Y g = X 3Y, m1 = < n1 = nên theo Bổ đề 1.1.5 f khơng bội g ngược lại g bội f Cho d số nguyên dương, với n ∈ Nd , đặt [n] = {m ∈ Nd | m < n} = n + Nd Kết cho ta tiêu chuẩn để kiểm tra xem đơn thức f thuộc iđêan sinh đơn thức g Đặc biệt điều kiện tương đương (i) (iv) cho phép ta kiểm tra cách làm việc véc tơ lũy thừa Bổ đề 1.1.7 Cho f = X m g = X n đơn thức R Khi điều kiện sau tương đương: (i) f ∈ gR (ii) f bội g (iii) f bội đơn thức g (iv) m < n (v) m ∈ [n] Vì ta có song ánh đơn thức [[R]] số thuộc Nd , nên theo Bổ đề 1.1.7 (iii) ⇔ (iv), ta xây dựng quan hệ tập hợp