ĐẠI CƯƠNG VỀ PHƯƠNG TRÌNH ĐẠO HÀM RIÊNG THƯỜNG DÙNG TRONG VẬT LÝ Bài giảng điện tử ĐẠI CƯƠNG VỀ PHƯƠNG TRÌNH ĐẠO HÀM RIÊNG THƯỜNG DÙNG TRONG VẬT LÝ BÀI GIẢNG ĐIỆN TỬ TS Lê Xuân Đại Trường Đại học Bách[.]
ĐẠI CƯƠNG VỀ PHƯƠNG TRÌNH ĐẠO HÀM RIÊNG THƯỜNG DÙNG TRONG VẬT LÝ BÀI GIẢNG ĐIỆN TỬ TS Lê Xuân Đại Trường Đại học Bách Khoa TP HCM Khoa Khoa học ứng dụng, mơn Tốn ứng dụng Email: ytkadai@hcmut.edu.vn TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ĐẠI CƯƠNG VỀ PHƯƠNG TRÌNH ĐẠO HÀM RIÊNG THƯỜNG TP HCM DÙNG —TRONG 2016 VẬT1 LÝ / 30 NỘI DUNG NHỮNG KIẾN THỨC CƠ BẢN ĐƯA PTĐHR CẤP VỀ DẠNG CHÍNH TẮC NHỮNG KHÁI NIỆM CHUNG VỀ TẬP HỢP NGHIỆM TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ĐẠI CƯƠNG VỀ PHƯƠNG TRÌNH ĐẠO HÀM RIÊNG THƯỜNG TP HCM DÙNG —TRONG 2016 VẬT2 LÝ / 30 Những kiến thức Định nghĩa ĐỊNH NGHĨA 1.1 Phương trình đạo hàm riêng phương trình có dạng F(x, y, , u, ux , uy , , uxx , uxy , ) = 0, (1) F−là hàm nhiều biến với biến số x, y, , u, ux , uy , , uxx , uxy , TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ĐẠI CƯƠNG VỀ PHƯƠNG TRÌNH ĐẠO HÀM RIÊNG THƯỜNG TP HCM DÙNG —TRONG 2016 VẬT3 LÝ / 30 Những kiến thức Định nghĩa Ta phải tìm hàm số u(x, y, ) cho phương trình (1) đồng thức theo biến này, ta thay u(x, y, ) đạo hàm riêng vào phương trình ux = ∂u , ∂x uy = ∂u , ∂y ∂2 u ∂2 u uxx = , uxy = , ∂x ∂x∂y Lúc hàm số u(x, y, ) gọi nghiệm phương trình đạo hàm riêng (1) TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ĐẠI CƯƠNG VỀ PHƯƠNG TRÌNH ĐẠO HÀM RIÊNG THƯỜNG TP HCM DÙNG —TRONG 2016 VẬT4 LÝ / 30 Những kiến thức Định nghĩa Chúng ta khơng tìm nghiệm riêng lẻ mà nghiên cứu tập hợp nghiệm, trường hợp riêng chọn nghiệm riêng với điều kiện bổ sung vào phương trình (1) Phương trình đạo hàm riêng (1) trở thành phương trình vi phân thơng thường, có biến số Cấp đạo hàm cao phương trình vi phân, gọi cấp phương trình vi phân TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ĐẠI CƯƠNG VỀ PHƯƠNG TRÌNH ĐẠO HÀM RIÊNG THƯỜNG TP HCM DÙNG —TRONG 2016 VẬT5 LÝ / 30 Những kiến thức Ví dụ ∂u ∂u + xy = 0− PTĐHR cấp y x ả2 u u Vớ d + sin x + u − = 0− PTĐHR ∂x ∂y Ví dụ 3x cấp ∂u 2∂ u =a − PTĐHR cấp Ví dụ ∂t ∂x2 ∂2 u ∂2 u ∂2 u Ví dụ + + = 0− PTĐHR cấp ∂x ∂y ∂z TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ĐẠI CƯƠNG VỀ PHƯƠNG TRÌNH ĐẠO HÀM RIÊNG THƯỜNG TP HCM DÙNG —TRONG 2016 VẬT6 LÝ / 30 Những kiến thức Phương trình tuyến tính ĐỊNH NGHĨA 1.2 Phương trình vi phân gọi tuyến tính, hàm số F tuyến tính theo biến u, ux , uy , , uxx , uxy , hệ số phụ thuộc vào biến số x, y, Phần lớn ta nghiên cứu phương trình tuyến tính; phương trình có dạng tổng qt thường biến đổi phương trình tuyến tính TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ĐẠI CƯƠNG VỀ PHƯƠNG TRÌNH ĐẠO HÀM RIÊNG THƯỜNG TP HCM DÙNG —TRONG 2016 VẬT7 LÝ / 30 Những kiến thức Ví dụ Ví dụ Phương trình tuyến tính cấp hai biến A ∂u ∂u + B + Cu = f , ∂x ∂y A, B, C, f hàm hai biến phụ thuộc vào x, y Ví dụ Phương trình tuyến tính cấp hai biến A ∂2 u ∂2 u ∂2 u ∂u ∂u + 2B + C + D + E + Fu = g, ∂x2 ∂x∂y ∂y ∂x ∂y A, B, C, D, E, F, g hàm hai biến phụ thuộc vào x, y TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ĐẠI CƯƠNG VỀ PHƯƠNG TRÌNH ĐẠO HÀM RIÊNG THƯỜNG TP HCM DÙNG —TRONG 2016 VẬT8 LÝ / 30 Những kiến thức Phân loại phương trình tuyến tính cấp PTVPĐHR tuyến tính cấp gọi Eliptic AC − B2 > Parabolic AC − B2 = Hyperbolic AC − B2 < g = 0, không g 6= TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ĐẠI CƯƠNG VỀ PHƯƠNG TRÌNH ĐẠO HÀM RIÊNG THƯỜNG TP HCM DÙNG —TRONG 2016 VẬT9 LÝ / 30 Những kiến thức Ví dụ ∂2 u ∂2 u Phương trình Laplace + = ∂x ∂y phương trình eliptic 2 ∂u 2∂ u =a Phương trình truyền nhiệt ∂t ∂x2 phương trình parabolic ∂2 u 2∂ u Phương trình sóng = a phương ∂t ∂x trình hyperbolic ∂2 u ∂2 u Phương trình Tricomi y + = PT ∂x ∂y eliptic y > PT hyperbolic y < TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ĐẠI CƯƠNG VỀ PHƯƠNG TRÌNH ĐẠO HÀM RIÊNG THƯỜNG TP HCM DÙNG — 2016 TRONG VẬT 10 LÝ / 30 Đưa PTĐHR cấp dạng tắc Phương trình loại Hyperbolic Đối với phương trình Hyperbolic B2 − AC > nên ta có đường cong tích phân ξ(x, y) η(x, y) a11 = a22 = Lúc phương trình thu có dạng uξη = Φ(ξ, η, uξ , uη ) Đây dạng tắc thứ phương trình loại Hyperbolic Nếu đổi biến ξ+η ξ−η , β= , ta 2 1 uξ = (uα + uβ ), uη = (uα − uβ ), uξη = (uαα − uββ ) Vậy 2 uαα − uββ = 4Φ1 Đây dạng tắc thứ hai thêm lần α = phương trình loại Hyperbolic TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ĐẠI CƯƠNG VỀ PHƯƠNG TRÌNH ĐẠO HÀM RIÊNG THƯỜNG TP HCM DÙNG — 2016 TRONG VẬT 16 LÝ / 30 Đưa PTĐHR cấp dạng tắc Phương trình loại Parabolic Đối với phương trình Parabolic B2 − AC = nên ta có đường cong tích phân ξ(x, y) a11 = A(ξx )2 + 2Bξx ξy + C(ξy )2 = p p ( Aξx + Cξy )2 = Từ suy a12 = Aξx η x + B(ξx η y + ξy η x ) + Cξy η y = p p p p ( Aξx + Cξy )( Aη x + Cη y ) = Lúc phương trình thu có dạng uηη = Φ(ξ, η, uξ , uη ) Đây dạng tắc phương trình loại Parabolic TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ĐẠI CƯƠNG VỀ PHƯƠNG TRÌNH ĐẠO HÀM RIÊNG THƯỜNG TP HCM DÙNG — 2016 TRONG VẬT 17 LÝ / 30 Đưa PTĐHR cấp dạng tắc Phương trình loại Elliptic Đối với phương trình Elliptic B2 − AC < nên ta có đường cong tích phân phức ξ(x, y) = ϕ(x, y) η(x, y) = ϕ(x, y) a11 = a22 = Lúc phương trình thu có dạng uξη = Φ(ξ, η, uξ, uη) giống phương trình loại Hyperbolic Để khơng gặp biến phức, ta đổi biến thêm lần α = ξ+η , ξ−η , ta uξη = (uαα + uββ ) Vậy 2i uαα + uββ = 4Φ1 Đây dạng tắc β= phương trình loại Elliptic TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ĐẠI CƯƠNG VỀ PHƯƠNG TRÌNH ĐẠO HÀM RIÊNG THƯỜNG TP HCM DÙNG — 2016 TRONG VẬT 18 LÝ / 30 Đưa PTĐHR cấp dạng tắc Ví dụ VÍ DỤ 2.1 Đưa phương trình sau dạng tắc x2 uxx − y uyy = A = x2 , B = 0, C = −y B2 − AC = x2 y > Đây phương trình thuộc dạng Hyperbolic Ptđt x2(dy)2 − y 2(dx)2 =0 " ⇒ xy = C1 xdy + ydx = y ⇔ = C2 xdy − ydx = x TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ĐẠI CƯƠNG VỀ PHƯƠNG TRÌNH ĐẠO HÀM RIÊNG THƯỜNG TP HCM DÙNG — 2016 TRONG VẬT 19 LÝ / 30 Đưa PTĐHR cấp dạng tắc Ví dụ y x Thực phép đổi biến ξ = xy, η = Khi ta có ux = uξξx + uηη x = uξy − uη y , x2 u y = u ξ ξy + u η η y = u ξ x + u η x 2 y ∂2 u y ∂ u ∂u y ∂ u uxx = (ux )x = y −2 + +2 ∂ξ ∂ξ∂η x ∂η x ∂η x 2 ∂u ∂u ∂u + uyy = (uy )0y = x2 + ∂ξ ∂ξ∂η ∂η2 x2 TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ĐẠI CƯƠNG VỀ PHƯƠNG TRÌNH ĐẠO HÀM RIÊNG THƯỜNG TP HCM DÙNG — 2016 TRONG VẬT 20 LÝ / 30