Bình luận Từ các ví dụ trên ta nhận thấy rằng, để chứng minh phương tình có nghiệm ta thường sử dụng đánh giá hoặc Tuy nhiên đánh giá này chỉ đúng với trong khoảng nào đó, từ đó suy luận rằng cần chia[.]
- Bình luận - Từ ví dụ ta nhận thấy rằng, để chứng minh phương tình có nghiệm ta thường sử dụng đánh giá: Tuy nhiên đánh giá với khoảng đó, từ suy luận cần chia nhỏ miền xác định D để làm chặt bất phương trình đánh giá - Để xác định khoảng chia, ta sử dụng vệc giải hệ bất phương trình ví dụ để tìm khoảng đánh giá thích hợp Ví dụ Giải phương trình (VMO – 1995 Bảng B) - Phân tích - Ta nhận định phương trình có nghiệm (có thể sử dụng hỗ trợ từ máy tính bỏ túi), từ nảy sinh ý tưởng đánh giá xoay quanh giá trị - Lại có: rằng: chứng minh toán giải quyết, mà: , lúc (*) với - Từ ý tưởng xử lý vấn đề sử dụng điều kiện có nghiệm phương trình để làm ‘hẹp’ khoảng có nghiệm Thật vậy: PT Và (*) hiển nhiên Lời giải Phương trình cho tương đương với: Từ phương trình ban đầu ta có: Mà: lng Từ đó: , dấu ‘=’ xảy Hay phương trình cho có nghiệm - Chú ý: Trong số tốn việc sử dụng điều kiện có nghĩa chưa đủ để sử dụng đánh giá phương trình, từ ta nghĩ đến phương án tìm điều kiện có nghiệm phương trình Bổ đề: Xét phương trình: - Nếu để phương trình (*) có nghiệm ta cần phải có - Nếu để phương trình (*) có nghiệm ta cần phải có Ví dụ Giải phương trình - Phân tích Bài tốn nhìn có dáng dấp hàm số, nhiên phương pháp sử dụng hàm số với tốn khơng đơn giản Ta liên tưởng đến việc sử dụng đánh giá để thay Xét bất phương trình: Với điều kiện xác định khơng làm bất phương trình nghiệm đúng, từ ta nảy sinh ý tưởng làm hẹp khoảng đánh giá cách sử dụng điều kiện có nghiệm phương trình Thật vậy: Đặt ta có: Trang Rõ ràng bất phương trình nghiệm Lời giải Đặt ta có: Suy bất phương trình sau nghiệm Hay: , Dấu ‘=’ xảy - Kết luận Phương trình có nghiệm - Bình luận Phương pháp đánh giá này, thường gọi đánh giá “nhỏ” thể rõ nét kết hợp với phương pháp nhân liên hợp (xem chương sau) Cái khó khăn phương pháp tinh tế kinh nghiệm “đọc toán” người giải toán Và để rèn luyện khả đánh giá “nhỏ” mời bạn cúng làm số tập - BÀI TẬP RÈN LUYỆN Bài Giải phương trình Bài Giải phương trình Đáp số: (TH&TT) Đáp số: Bài Giải phương trình Đáp số: Bài Giải phương trình KQ: Bài Giải phương trình Đáp số: Bài Giải phương trình Đáp số: Bài Giải phương trình Đáp số: Vơ nghiệm Bài Giải phương trình Đáp số: Bài Giải phương trình Bài 10 Giải phương trình Đáp số: Đáp số: Bài 11 Giải phương trình Đáp số: Sử dụng bất đẳng thức kinh điển Các bất đẳng thức thường dùng + Bất đẳng thức AM – GM (bất dẳng thức trung bình cộng trung bình nhân) Trang - Cho số không âm a, b: Dấu ‘=’ xảy - Cho số không âm a, b, c: Dấu ‘=’ xảy - Cho n số không âm: Dấu ‘=’ xảy + Bất đẳng thức Cauchy – Bunhiakowski – Schwarz (CBS) - Với số thực a, b, x, y ta có: Dấu ‘=’ xảy Dấu ‘=’ xảy - Với 2n số Dấu ‘=’ xảy Dấu ‘=’ xảy + Thơng thường việc giải phương trình sử dụng bất đẳng thức dành riêng cho học sinh giỏi tốn, dựa sở vốn có Bất Đẳng Thức họ dựa kinh nghiệm giải toán riêng người làm sở lý luận + Bài viết không thiên nhiều đối tượng học sinh giỏi, mà muốn sử dụng sở việc kiểm tra phương trình máy tính CaSiO để phán đốn tốn nên hay không nên sử dụng bất đẳng thức - Yêu cầu Đọc ‘Sự hỗ trợ máy tính CaSiO giải phương trình vơ tỷ’ - Kiểu ĐÁNH GIÁ GIÁN TIẾP Ví dụ Giải phương trình - Phân tích (VMO – 1995 – bảng A) - Sử dụng máy tính CaSiO ta kiểm tra giá trị hàm số nhận thấy: gian , ta đồng thời giá trị lớn, điều chứng tỏ bất đẳng thức khơng chặt Từ ta sử dụng đánh giá qua đại lượng trung - Nhận thấy nghiệm, đồng thời xuất đại lượng xuất bất đẳng thức AM – GM trường hợp khả thi - Ta có: giúp nhận , từ chứng minh , Thật vậy: Áp dụng bất đẳng thức AM – GM ta có: tốn giải ln Lời giải Trang Dấu ‘=’ xảy Ta chứng minh: , (*) Thật vậy: luông với Dấu ‘=’ xảy Từ ta có: Hay phương trình cho có nghiệm Ví dụ Giải phương trình (TH&TT) - Bình luận Đây tốn quen thuộc với nhiều bạn, xuất hầu hết tài liệu bạn đọc Nếu hỏi làm nào? Nhiều người nói bạn nghe! Nhưng lại hỏi lại làm vậy? - Trước hết ta kiểm tra bảng TABLE máy tính CaSiO, nhận thấy giá trị khơng q gần với (nghĩa khơng có dạng 0.0000000000001 chẳng hạn) hay nói cách khác bất đẳng thức khơng chặt Từ ta phán đốn sử dụng đánh giá qua đại lượng trung gian - Thứ hai: tất nhiên xuất thức quen thuộc CBS lưu ý phương trình có nghiệm Lời giải Điều kiện làm nhắc nhớ đến bất đẳng thức Áp dụng bất đẳng thức CBS ta có: Dấu ‘=’ xảy Ta chứng minh: thật vậy: Dấu ‘=’ xảy Hay nói cách khác phương trình có nghiệm , với Ví dụ Giải phương trình - Phân tích Ta nhận thấy vấn đề: - Bất đẳng thức - Nghiệm phương trình - khơng chặt dùng CBS (tất nhiên dùng AM – GM chẳng sao) Lời giải Điều kiện Áp dụng bất đẳng thức CBS ta có: Dấu ‘=’ xảy Ta chứng minh: , thật vậy: Trang với x Dấu ‘=’ xảy Hay phương trình cho có nghiệm Ví dụ Giải phương trình Điều kiện Lời giải Với điều kiện ta có , Suy Áp dụng bất đẳng thức AM – GM ta có: Ta chứng minh: (*) Thật vậy: với hay (*) chứng minh Dấu ‘=’ xảy - Kết luận phương trình cho có nghiệm Ví dụ Giải phương trình Điều kiện Lời giải Áp dụng bất đẳng thức CBS ta có: Áp dụng bất đẳng thức AM – GM ta lại có: Do đó: Ta chứng minh: thật vậy: , với bất đẳng thức Do phương trình có nghiệm - BÀI TẬP RÈN LUYỆN Bài Giải phương trình Đáp số: Bài Giải phương trình Đáp số: Bài Giải phương trình Đáp số: Bài Giải phương trình Đáp số: Dấu ‘=’ xảy Trang Bài Giải phương trình Đáp số: Bài Giải phương trình Bài Giải phương trình Đáp số: Bài Giải phương trình (Chọn ĐT dự thi VMO 2013 – ĐHSP Hà Nội) Đáp số: Bài Giải phương trình Đáp số: Bài 10 Giải phương trình (Chọn ĐT dự thi VMO 2013 – Lương Thế Vinh, Đồng Nai) - Kiểu ĐÁNH GIÁ TRỰC TIẾP Đáp số: Ví dụ Giải phương trình - Phân tích Kiểm tra hàm số bảng TABLE máy tính CaSiO – Xem hỗ trợ máy tính CaSiO Ta nhận thấy , đồng thời giá trị gần với 0, điều chứng tỏ bất đẳng thức sử dụng chặt Việc sử dụng đánh giá gián tiếp không nên sử dụng - Nhân tử tốn đó: - (Xem hỗ trợ máy tính CaSiO), nên sử dụng bất đẳng thức trung bình cộng trung bình nhân ta có: Cộng (1) (2) ta điều cần Lời giải Điều kiện Dấu ‘=’ xảy kh Vậy nghiệm phương tình cho Trang Ví dụ Giải phương trình - Phân tích - Chúng ta dễ dàng kiểm chứng đồng thời bất đẳng thức chặt Nghiệm phương trình - Đồng thời xuất đại lượng quen thuộc AM – GM CBS Điều kiện làm ta liên tưởng đến hai bất đẳng thức Lời giải Theo bất đẳng thức AM – GM: Theo bất đẳng thức CBS Suy Nên VT = VP Hay phương trình có nghiệm Ví dụ Giải phương trình Điều kiện Lời giải Áp dụng bất đẳng thức CBS, ta có: Dấu ‘=’ xảy Xét hàm số Ta có: Suy phương trình (*) có nghiệm - Kết luận Phương trình cho có nghiệm Trang