tối ưu hóa ứng ụng dành cho cơ khí

1 Lời nói đầu Các bài toán tối u nhằm nghiên cứu giải bài toán cực trị của một hàm dới những ràng buộc nào đó. Các phơng pháp tối u là một công cụ hữu hiệu giúp chúng ta có những giải pháp tốt nhất để giải quyết một vấn đề. Ngày nay, với sự phát triển của kỹ thuật tin học, phạm vi ứng dụng của tối u hóa ngày càng mở rộng. Giáo trình Tối u hóa ứng dụng nhằm mục đích giới thiệu cho ngời đọc những vấn đề cơ bản nhằm xác lập một vấn đề tối u dới những ràng buộc nhất định và từ đó tìm kỹ thuật giải thích hợp. Nội dung giáo trình mô tả phần cơ sở lý thuyết ngắn gọn, đủ dùng cho phơng pháp tính và thuật toán. Một số ví dụ minh họa cho phơng pháp giải và các bài tập ứng dụng. Nguyễn Đắc Lực 2 Mục lục Lời nói đầu Mục lục Chơng 1: Cơ sở của đại số tuyến tính 1.1. Ma trận và các phép tính ma trận 1.2. Định thức và các tính chất của chúng 1.3. Ma trận nghịch đảo và hạng của ma trận 1.4. Hệ phơng trình tuyến tính Chơng 2: Khái niệm về các bài toán tối u hóa 2.1. Bài toán tối u hóa tổng quát 2.2. Các bài toán tối u Chơng 3: Bài toán tối u tuyến tính 3.1. Một số ví dụ về bài toán tối u 3.2. Phát biểu bài toán 3.3. Tính đối ngẫu và định lý cơ bản của tối u tuyến tính 3.4. Các phơng pháp giải bài toán tối u tuyến tính 3.5. Thuật toán đơn hình giải bài toán tối u tổng quát Chơng 4: Bài toán tối u nguyên tuyến tính 4.1. Bài toán tối u nguyên tuyến tính 4.2. Một số mô hình thực tiễn Chong 5; Bài toán tối u động 5.1. Bản chất bài toán tối u động 5.2. Quá trình phân phối nhiều bớc 5.3. Cấu trúc quá trình tối u động 5.4. Phơng trình điều khiển tối u các dự trữ Chơng 6: Bài toán tối u phi tuyến không ràng buộc 6.1. Mở đầu 6.2. Điều kiện tối u của bài toán không ràng buộc 6.3. Các phong pháp dùng đạo hàm 6.4. Các phơng pháp dùng đạo hàm Chơng 7: Bài toán tối u phi tuyến có ràng buộc 7.1. Mở đầu 7.2. Phơng pháp Gradient 7.3. Phơng pháp hàm phạt Chơng 8: Quy hoạch thực nghiệm 8.1. Khái niệm về nhận dạng mô hình thống kê 8.2. Phơng pháp bình phơng bé nhất 8.3. Mô hình hồi quy tuyến tính bội Tài liệu tham khảo 1 2 3 3 4 5 7 9 9 9 11 11 11 12 13 18 21 21 21 25 25 26 33 39 41 41 41 42 45 49 49 50 53 55 55 55 56 59 3 Chơng 1: CƠ Sở ĐạI Số TUYếN TíNH Việc nghiên cứu các bài toán tối u tuyến tính đòi hỏi phải sử dụng một phần của toán học, mà những phần đó cha đợc nghiên cứu trong các giáo trình cơ sở. Trong đó trớc hết phải nói đến đại số tuyến tính. Kiến thức quan trọng nhất để nghiên cứu các bài toán tối u tuyến tính là các phép tính về ma trận, cách giải các hệ phơng trình và bất phơng trình tuyến tính. ở đây sẽ không chứng minh một số mệnh đề mà chỉ khẳng định. 1.1. Ma trận và các phép tính đối với ma trận 1.1.1. Ma trận: Ma trận là một bảng chữ nhật gồm m.n số sắp thành m hàng n cột dới dạng: a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n a m1 a m2 a mn Phần tử của ma trận ký hiệu a ij , chỉ số thứ nhất ký hiệu chỉ số hàng, chỉ số thứ hai chỉ số cột của ma trận chứa phần tử a ij . Số hàng (m) và số cột (n) của ma trận xác định kích thứơc của ma trận, ta nói ma trận có kích thớc m.n. Ma trận gồm các phần tử a ij thờng đợc ký hiệu bằng chữ in hoa: A. Ma trận có nhiều ký hiệu khác nhau. Ma trận A có thể đợc viết dới dạng: A= mnm2m1 2n2221 1n1211 a a a a a a a a a (1.1) Ma trận có số hàng bằng số cột (m=n) đợc gọi là ma trận vuông. Lúc đó, ngời ta nói rằng ma trận vuông có cấp n. Ma trận mà các cột của nó là các hàng tơng ứng của ma trận ban đầu A thì đợc gọi là ma trận chuyển vị của ma trận A và đợc ký hiệu là A T , tức là: A T = mn2n1n m22212 m12111 a a a a a a a a a (1.2) 1.1.2. Các dạng ma trận: Ma trận chỉ có một cột đợc gọi là vectơ cột, còn ma trận chỉ có một hàng gọi là vectơ hàng. Ma trận vuông có dạng: n 2 1 0 0 0 0 0 Đợc gọi là ma trận đờng chéo. Nếu ma trận đờng chéo có tất cả i = 1 thì đợc gọi là ma trận đơn vị và thờng đợc ký hiệu là E. Ví dụ: 4 E = 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 Hai ma trận bằng nhau chỉ trong trờng hợp chúng có cùng kích thớc và các phần tử tơng ứng bằng nhau. Nếu ma trận A có định thức khác không thì đợc gọi là ma trận không kỳ dị (không suy biến). Trong trờng hợp ngợc lại ma trận A đợc gọi là ma trận kỳ dị hoặc là ma trận suy biến. 1.1.3. Phép tính đối với ma trận Muốn nhân ma trận với một hằng số (vô hớng) ta nhân mỗi phần tử của ma trận với số đó. A = mnm21 2n2221 1n1211 a a a a a a a a a m (1.3) Tổng của hai ma trận A và B có cùng kích thớc là ma trận C mới mà mỗi phần tử của nó bằng tổng các phần tử tơng ứng của ma trận A và B tức là: A+B = mnm2m1 2n2221 1n1211 a a a a a a a a a + mnm2m1 2n2221 1n1211 b b b b b b b b b = +++ +++ +++ a a a a a a a a a mn2m21m1 22n22222121 11n12121111 mnmm n n bbb bbb bbb = C (1.4) Ma trận A nhân đợc với ma trận B chỉ trong trờng hợp số cột của ma trận A bằng số hàng của ma trận B. Nếu ma trận A có kích thớc m.n, còn ma trận B là n.l, thì kích thớc của ma trận C là tích ma trận Avà B sẽ là m.l. Và mỗi phần tử của ma trận C đợc tính theo công thức: c ij = a i1 b 1j +a i2 b 2j + + a in b nj (1.5) ở đây a i1 , a i2 , a in là các phần tử hàng thứ i của ma trận A; còn b 1j , b 2j , b nj là các phần tử cột thứ j của ma trận B. 1/ Tích ma trận không có tính chất giao hoán, tức là nói chung: AB BA; 2/ (AB)C = A(BC) (luật kết hợp); 3/ (A+B)C = AC + BC; C (A+B) = CA + CB (luật phân bố); 4/ (AB) = (A)B = A(B); 5/ AE = EA = A; Phép chuyển vị ma trận có tính chất sau: 1/ (A + B) T = A T + B T 2/ (AB) T = B T .A T Lũy thừa ma trận vuông A đợc định nghĩa nh sau: A k = A.A A k lần và: A k1 A k2 = A k1+k2 1.2. Định thức và các tính chất của chúng 1.2.1. Khái niệm về hoán vị: Ta lấy n số đầu tiên: 1,2 , n. Mỗi cách sắp xếp các số ấy theo một thứ tự nào đó đợc gọi là hoán vị của n số. Nh ta đã biết số các hoán vị khác nhau sẽ bằng n!. 5 Số i và j tạo thành một nghịch thể trong hóan vị đã cho nếu i > j với i < j. Số các nghịch thế trong hoán vị I = ( 1 , 2 , , n ) bằng: k 1 + k 2 + + k n-1 ở đây k s là số trờng hợp s lớn hơn s+1 , s+2 , n (s = 1, 2, , n-1) trong hoán vị I. Hoán vị đợc gọi là hoán vị chẵn nếu số nghịch thể trong hoán vị I là số chẵn, và đợc gọi là hóan vị lẻ nếu số các nghịch thể là số lẻ. Ví dụ đối với hoán vị 5, 2, 3, 4,1 thì số tất cả các nghịch thế bằng: k 1 + k 2 + k 3 + k 4 = 4 +1 +1 +1 = 7. Vì vậy, hóan vị này là hóan vị lẻ. 1.2.2. Khái niệm về định thức và phép tính của chúng: Số bằng tổng đại số của tất cả các tích những phần tử ma trận vuông A mà trong đó mỗi tích chỉ gồm các phần tử khác hàng, khác cột của ma trận, tức là tổng các tích có dạng: a 1j1 a 2j2 a njn (1.6) đợc gọi là định thức của ma trận A (Số tích đó bằng n!). Mỗi tích nh thế lấy dấu cộng nếu hoán vị tơng ứng là chẵn, còn lấy dấu trừ, nếu lẻ. Khi tìm hạng của ma trận, ma trận nghịch đảo và giải hệ phơng trình tuyến tính ta sẽ cần đến định thức. Định thức của ma trận A thờng đợc ký hiệu là n hoặc |A|. n = |A| = n ij nnnn n n a aaa aaa aaa 1 21 22221 11211 | = (1.7) Các phần tử, các hàng, các cột và cấp của ma trận A tơng ứng với các phần tử, các hàng, các cột và cấp của định thức |A|. Ví dụ: ta tính định thức cấp 3 theo quy tắc vừa nêu ra: 3 = 333231 232221 131211 aaa aaa aaa = a 11 a 22 a 33 + a 12 a 23 a 31 + a 13 a 21 a 32 - a 13 a 22 a 31 - a 12 a 21 a 33 - a 11 a 23 a 32 Ba số hạng đầu lấy dấu cộng, còn ba số hạng sau lấy dấu trừ, bởi vì hoán vị 1,2,3; 2,3,1 và 3,1,2 là chẵn (số nghịch thể tơng ứng là 0, 2 và 2) còn các hóan vị 3,2,1 ; 2,1,3 và 1,3,2 là hóan vị lẻ (số nghịch thể tơng ứng là 3,1 và 1). Ví dụ: 3 = 3 2- 1 1- 0 3 1 4 2 = 2.0.3 + 4(-1) .1 +1.3(-2) -[1.0.1+4.3.3+2(-1).(-2)] = -50. 1.2.2. Định thức con và phần phụ đại số: Định thức cấp (n-1) có từ định thức cấp n ( n ) bằng cách bỏ hàng i cột j đợc gọi là định thức con ứng với phần tử a ij của định thức n và đợc ký hiệu là M ij . Ta coi định thức cấp n: n = nnnjn2n1 iniji2i1 2n2j2221 1n1j1211 a a a a a a a a a a a a a a a a Khi đó định thức con của phần tử a ij sẽ là định thức cấp (n-1): 6 M ij = nn1nj1-njn2n1 n1,-i1j1,-i1-j1,-i12-i11-i n1,-i1j1,-i1-j1,-i12-i11-i 2n12j1-2j2221 1n11j1-1j1211 a a a a a a a a aa a a a aa a a a a a a a a a a + + + + + Ví dụ: định thức con của phần tử a 22 của định thức: 3 = 3 2- 1 1- 0 3 1 4 2 sẽ là: M 22 = 2 1 1 2 = 2.3 -1.1 = 6-1 = 5 Định thức con của phần tử a ij nhân với (-1) với số mũ bằng tổng các chỉ số của phần tử đó (i + j) đợc gọi là phần phụ đại số của phần tử a ij và đợc ký hiệu là A ij . Vì vậy: A ij = (-1) i+j M ij (1.10) Chẳng hạn, phần phụ đại số của phần tử a 22 ở ví dụ vừa rồi sẽ là: A 22 =(-1) 2+2 .5=5 1.3. Ma trận nghịch đảo và hạng của ma trận 1.3.1. Ma trận nghịch đảo: Đối với mỗi ma trận A không suy biến sẽ tồn tại một ma trận (ký hiệu A -1 ) thỏa mãn điều kiện: A -1 A = AA -1 = E (1.17) Ma trận A -1 đợc gọi là ma trận nghịch đảo của ma trận A và đợc tính theo công thức: A -1 = || * A A (1.18) Đôi khi ma trận A * đợc gọi là ma trận phụ hợp của ma trận A. Phần tử hàng i cột j của ma trận A * là phần phụ đại số của phần tử a ij của ma trận A. Từ đó: A -1 = |A| A |A| A |A| A |A| A |A| A |A| A nn2n1n n12111 (1.18a) Ví dụ ta lấy ma trận cấp 3: A = 1 3 1 2 1 2 3 2 Trớc khi đi tính ma trận nghịch đảo, cần xác định ma trận A cho ở đây không phải là ma trận suy biến, tức là định thức của nó khác không. Định thức của ma trận đó sẽ bằng: | A | = 2.2.1 +3.1.3 +2.1.1 - 2.2.3 -3.1.1 - 2.1.1= -2 Sau đó ta tính các phần phụ đại số của các phần tử của ma trận A 11 = ( -1) 1+1 1 1 1 2 = 2.1-1.1 =1 A 12 = ( -1) 1+2 1 3 1 1 = -(1.1-3.1) = 2 A 13 = ( -1) 1+3 1 3 2 1 =1.1-2.3 = -5 Tơng tự ta tìm đợc các A ij còn lại: A 21 = -1 ; A 22 = - 4; A 23 = 7; A 31 = -1 ; A 32 = 0; A 33 = 1. 7 Do đó ta có: A -1 = 1/2- 0 1/2 7/2 2 1 - 5/2 1- 1/2- áp dụng quy tắc nhân ma trận, đem nhân ma trận A với ma trận A -1 vừa tìm đợc ta dễ dàng thấy đợc kết quả là một ma trận đơn vị. Và có thể dùng cách này để kiểm tra việc tính ma trận nghịch đảo có đúng không. Ma trận nghịch đảo của ma trận đơn vị cũng là ma trận đơn vị. Điều này suy ra từ việc nhân ma trận bất kỳ với ma trận đơn vị đợc đúng ma trận đó. Dùng các quy tắc đã nêu ở trên ta nhân hai ma trận đơn vị với nhau. EE = 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 1 = 0 0 0 0 1 0 0 0 1 Từ đó suy ra rằng E -1 = E Cũng có thể chứng minh điều đó bằng cách tính trực tiếp ma trận nghịch đảo theo công thức (1.18). 1.4. Hệ phơng trình tuyến tính 1.4.1. Dạng của hệ phơng trình tuyến tính: Dạng tổng quát của hệ phơng trình tuyến tính đợc viết nh sau: a 11 x 1 + a 12 x 2 + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + a 2n x n = b 2 (1.20) a m1 x 1 + a m2 x 2 + a mn x n = b m Hệ này đợc viết dới dạng ma trận là: AX = B (1.20a) ở đây A là ma trận đợc thành lập từ các hệ số của các biến: A = (a ij ) với i = 1,2, , m; j = 1, 2, , n. X - là véctơ cột của các biến X = n x x x . 2 1 (1.21) B - là véctơ cột các số hạng tự do B = m b b b . 2 1 (1.22) Hệ phơng trình tuyến đợc gọi là: Thuần nhất, nếu tất cả các b i = 0 (i = 1, 2 m) và không thuần nhất, nếu có ít nhất một b i 0. Tơng thích, nếu hệ có ít nhất một nghiệm, tức là tồn tại một bộ số mà khi thay vào phơng trình sẽ có một đồng nhất thức, và gọi là không tơng thích nếu không có một nghiệm nào; xác định nếu hệ chỉ có một nghiệm duy nhất, và bất định nếu tồn tại quá một nghiệm. Muốn giải hệ phơng trình tuyến tính, thì trớc hết phải xác định xem hệ đã cho tơng thích hay là không tơng thích. Nếu là hệ tơng thích thì lại phải xem hệ là xác định hay bất định. 8 Nếu hệ phơng trình là xác định thì ta đi tìm nghiệm duy nhất của nó. 1.4.2. Giải hệ phơng trình tuyến tính: Khi giải hệ phơng trình tuyến tính có thể xảy ra hai trờng hợp: n =m và n m. Trớc hết là ta xét trờng hợp n = m. Lúc đó ma trận A sẽ có dạng: A = nnn2n1 2n2221 1n1211 a a a a a a a a a Giả thiết ma trận A không suy biến, tức là | A| 0, khi đó sẽ tồn tại ma trận nghịch đảo A -1 . Ta nhân vế trái và vế phải của đẳng thức (1.20a) với A -1 về bên trái. Ta sẽ đợc: A -1 AX = A -1 B. Bởi vì A -1 A = E mà nhân bất cứ ma trận nào với E sẽ đợc đúng ma trận đó, nên: X = A -1 B (1.23) Sau khi thế A -1 bởi biểu thức (1.18a) và thay các véctơ cột X và B ở (1.21) và (1.22) rồi nhân ma trận A -1 với B ta có: n x x x . 2 1 = || 1 A +++ +++ +++ nnnnn nn nn bAbAbA bAbAbA bAbAbA . . . 2211 2222112 1221111 Vì hai ma trận chỉ bằng nhau khi các phần tử tơng ứng của chúng bằng nhau, nên x 1 = || 1 A (A 11 b 1 + A 21 b 2 + A n1 b n ) x i = || 1 A (A 1i b 1 + A 2i b 2 + A ni b n ) (1.23a) x n = || 1 A (A 1n b 1 + A 2n b 2 + A nn b n ) Ta xét trờng hợp thứ hai (m n). Ta gọi ma trận: A = mnm2m1 1n1211 a a a a a a là ma trận cơ sở của hệ. Sau khi thêm cột các số hạng tự do vào ma trận A ta lập đợc ma trận mở rộng B: B = m b b mnm2m1 11n1211 a a a a a a (1.26) Từ đó, ta có định lý Crônecke - Capeli: Để hệ phơng trình tuyến tính là tơng thích, điều kiện cần và đủ là hạng của ma trận cơ sở và ma trận mở rộng bằng nhau. Nếu hạng của chúng bằng nhau và số ẩn bằng hạng của ma trận cơ sở thì hệ có nghiệm duy nhất. Nếu hạng của ma trận A nhỏ hơn số ẩn thì hệ có vô số nghiệm. Hệ phơng trình tuyến tính thuần nhất luôn luôn tơng thích, bởi vì luôn luôn có nghiệm không, đợc gọi là nghiệm tầm thờng. Nếu hạng của ma trận bằng số ẩn thì hệ thuần nhất chỉ có duy nhất một nghiệm là không. Muốn hệ tồn tại nghiệm khác không thì hạng của ma trận cơ sở phải nhỏ hơn số ẩn. 9 Chơng 2: Khái niệm về các bài toán tối u hoá 2.1. Bài toán tối u hoá tổng quát 2.1.1. Phát biểu: Tìm trạng thái tối u của một hệ thống sao cho đạt đợc mục tiêu mong muốn về chất lợng theo một nghĩa nào đó. 2.1.2. Các yếu tố của một bài toán tối u hoá: Một bài toán tối u hoá có ba yếu tố cơ bản sau: * Trạng thái: mô tả trạng thái của hệ thống cần tối u hoá. * Mục tiêu: đặc trng cho tiêu chuẩn hoặc hiệu quả mong muốn (chi phí ít nhất, hiệu suất cao nhất, trọng lợng nhỏ nhất, thời gian ngắn nhất, ). * Ràng buộc: thể hiện các điều kiện kinh tế, kỹ thuật mà hệ thống phải thỏa mãn. 2.2. Các bài toán tối u 2.2.1. Bài toán quy hoạch tuyến tính: Hệ thống ở trạng thái tĩnh có các biến trạng thái là: x = [ x 1 , x 2 , , x n ] T (2.1) Mục tiêu đợc diễn đạt bởi hàm mục tiêu có dạng tuyến tính: Z = c.x; với c = [c 1 , c 2 , , c n ] T (2.2) Các ràng buộc đợc diễn đạt bởi những phơng trình, bất phơng trình tuyến tính: A.x = b; A.x b (2.3) A = (a ij ), i = 1, , m ; j = 1, , n ; b = [b 1 , b 2 , , b m ] T . Bài toán: Tìm trạng thái tối u x * = [x * 1 , x * 2 , , x * n ] T của trạng thái (2.1) với các ràng buộc (2.3) sao cho hàm mục tiêu (2.2) đạt giá trị nhỏ nhất (Min) hoặc giá trị lớn nhất (Max). 2.2.2. Bài toán quy hoạch phi tuyến: Hệ thống ở trạng thái tĩnh. Tìm trạng thái tối u x * khi hàm mục tiêu đợc diễn đạt bởi một hàm phi tuyến f(x) hoặc có ít nhất một ràng buộc phi tuyến: g r (x) 0; r = 1, , m. 2.2.3. Bài toán cực trị phiếm hàm: Hệ thống ở trạng thái tĩnh hoặc trạng thái động. Biến trạng thái là z(x) với x là biến độc lập. Mục tiêu đợc diễn đạt bởi phiếm hàm mục tiêu: J(z) = 1 ),,( . x x n dxxzzL với z = [z 1 (x), z 2 (x), z n (x)] T ; dxdzxzxzxzxzz i i T n /)(;)](), ,(),([ 2 1 . == Ràng buộc có thể là các hàm phi tuyến, các phơng trình đại số hoặc các phơng trình vi phân. 2.2.4. Bài toán điều khiển tối u: * Đối với hệ liên tục: Hệ thống ở trạng thái động, trạng thái đợc mô tả bởi hệ phơng trình vi phân: x & = f(t,x,u); t - thời gian trong đó x & = [ n21 x , x , x &&& ] T ; x & i = dx i /dt; u = [u 1 , , u n ] T ; u - điều khiển Mục tiêu có dạng phiếm hàm: J(u) = dt u),x x,(t, 1 & t t n L * Đối với hệ rời rạc: 10 Hệ thống ở trạng thái động, trạng thái đợc mô tả bởi phơng trình: x k+1 = f(x k ,u k ); x(0) = x 0 , x(N,T 0 ) = x N X Mục tiêu có dạng: J(u) = )u,x(f kk 1 N 0k 0 = min; u k Bài toán đặt ra: Cần phải tìm điều khiển tối u u * và trạng thái tối u x * để hệ thống chuyển từ trạng thái đầu đến trạng thái cuối sao cho mục tiêu J(u) đạt Min hoặc Max. Các bài toán tối u có trạng thái tĩnh đợc gọi là bài toán tối u hoá tĩnh, các bài toán có trạng thái phụ thuộc thời gian đợc gọi là bài toán tối u hoá động. Trạng thái của hệ thống có thể ở dạng liên tục hoặc gián đoạn. Trong bài toán tối u có thể đặt ra một mục tiêu hoặc nhiều mục tiêu. [...]... xét hàm fn(p) cho thu nhập từ quá trình n bớc bắt đầu từ trạng thái ban đầu p Trong những bài toán đã xét ở trên, khi lập công thức truy hồi cho fn ta đã sử dụng một cách trực giác nguyên lý tối u sau: hình trạng tối u có tính chất là, mặc cho trạng thái ban đầu và những quyết định ở thời điểm đầu tiên thế nào chăng nữa, những quyết định tiếp theo phải lập thành một hình trạng tối u cho trạng thái... tức đi dần tới nghiệm tối u 1 Nội dung phơng pháp đơn hình: Giả sử có m ràng buộc độc lập đợc cho ở dạng chính tắc: A.x = b (3.1) 1) Chọn biến cơ sở: đầu tiên ta chọn một điểm tuỳ ý của đa diện các nghiệm cho phép, đó là tập n số (x1, , xn) Theo định lý cơ bản của bài toán tối u tuyến tính thì có m số dơng, còn những số khác bằng không; gọi các biến dơng của điểm xuất phát là biến cơ sở: (x1, x2, , xm,... của R Bellman 5.1 Bản chất của bài toán tối u động Để làm sáng tỏ các t tởng cơ bản của tối u động ta sử dụng bài toán tối u trong quá trình phân phối tài nguyên Giả sử ta có số lợng hạn chế các tài nguyên nào đó Có thể hiểu là máy móc, tiền, sức lao động, Những tài nguyên hiện có có thể đợc sử dụng trong nhiều phơng pháp sản xuất khác nhau Kết quả của việc sử dụng tất cả hoặc một phần tài nguyên đó... 490 cho lãi cả trong giai đoạn kế hoạch bằng 70 + 490 - 250 = 310 Vì 310 > 290 nên hợp lý là bắt đầu công việc bằng việc mua máy mới Tiếp theo, nh thấy rõ từ bảng 5.3 hình trạng tối u là giữ nguyên máy này trong vòng 4 năm cùng với việc mua máy mới tiếp theo và giữ nó đến tận cùng của quá trình Hình trạng tối u (phơng án 1) và thu nhập tơng ứng cho ở bảng 5.4 Cũng trong bảng này cho quyết định tối. .. a22 a2n b2 ym am1 đối ngẫu Sơ đồ đối ngẫu: xn am2 amn bm Min c1 c2 cn Max Ngời ta đã chứng minh đợc: Giá trị tối u của bài toán chuẩn cũng là giá trị tối u của bài toán đối ngẫu, nghĩa là: c.x* = b.y* 3.3.2 Định lý cơ bản của bài toán tối u tuyến tính: Định lý: Phơng án tối u của bài toán tối u tuyến tính chứa một số biến dơng đúng bằng số các ràng buộc dạng đẳng thức độc lập đợc thoả mãn,... toán tơng tự với nó này chính là cơ sở của tối u động Cách giải quyết nh vậy cho phép ta thay bài toán tìm cực trị nhiều chiều đã cho bằng cách tính các công thức truy hồi gồm những hàm có số biến ít hơn nhiều nhờ việc ghép bài toán riêng biệt của ta vào lớp những bài toán giống nó Trong những mục cuối chúng ta sẽ xét một loạt bài toán và chỉ ra việc sử dụng các t tởng của tối u động để giải chúng 5.2... 220 225 240 240 250 235 240 270 270 270 310 trong đó quyết định tối u là giữ nguyên máy cũ, tức là quyết định 1: f10(2) = Max{115, 115 - 225} = 115 quyết định tối u cũng nh vậy, và v.v Các kết quả tính hàm f10(t) và các quyết định tối u tơng ứng cho ở bảng 5.3 Bây giờ có thể xây dựng hàm f9(t) Thật vậy, trong công thức truy hồi (5.19) cho n = 9 ta đợc: f9(t) = Max{9(t) + f10(t + 1), r9(0) - v9(t) +... rồi biến bù Biến bù ứng với ràng buộc: đợc đánh từ số n+1 đến n+m1; các biến giả tạo ứng với ràng buộc và = đợc đánh số từ n+m1+1 đến n+m; các biến bù ứng với ràng buộc đợc đánh số từ n+m+1 đến n+m+m2 Trong hàm mục tiêu, các hệ số ứng với biến bù xj là cj = 0, các hệ số ứng với biến giả tạo xj là cj > 0 đủ lớn, có thể chọn cj = M = max {|aij,|bi,|cj|}. Ví dụ: Tìm (x1, x2) sao cho hàm mục tiêu: Z... không phụ thuộc vào hình trạng ở những bớc trớc Trong trờng hợp này ta sẽ nói là hệ thống có tính chất Markôv Tối u động chỉ ứng dụng đợc với những quá trình có tính chất đó Việc tồn tại hàm mục tiêu (5.22) cho phép (và bắt buộc) đặt bài toán chọn trong những hình trạng cho phép, hình trạng nào tối u (làm max hoặc min) hàm mục tiêu đó Nh vậy ta đi đến bài toán sau: cần tìm: Max F(p1, p2, PN+1, q1, ,... chúng ta có thể phát biểu theo ngôn ngữ toán học nh sau: có N phơng pháp sản xuất khác nhau, ứng với mỗi phơng pháp có một hàm số xác định khối lợng thu nhập phụ thuộc vào số lợng tài nguyên dành cho phơng pháp đó, tức là nếu đặt yi là số lợng tài nguyên dành cho phơng pháp sản xuất i thì giả thiết (1), gi(yi) cho ta khối lợng thu nhập từ phơng pháp sản xuất i Theo giả thiết (2) và (3) thu nhập chung . toán tối u tuyến tính 3.1. Một số ví dụ về bài toán tối u 3.2. Phát biểu bài toán 3.3. Tính đối ngẫu và định lý cơ bản của tối u tuyến tính 3.4. Các phơng pháp giải bài toán tối u tuyến tính. nói đến đại số tuyến tính. Kiến thức quan trọng nhất để nghiên cứu các bài toán tối u tuyến tính là các phép tính về ma trận, cách giải các hệ phơng trình và bất phơng trình tuyến tính. ở đây. đảo theo công thức (1.18). 1.4. Hệ phơng trình tuyến tính 1.4.1. Dạng của hệ phơng trình tuyến tính: Dạng tổng quát của hệ phơng trình tuyến tính đợc viết nh sau: a 11 x 1 + a 12 x 2