Dạng Toán Số Nguyên Tố Ôn Thi HSG Đại Số 8 Có Lời Giải Chi Tiết

thuvienhoclieu com thuvienhoclieu com DẠNG 2 SỐ NGUYÊN TỐ A Bài toán Chứng minh thì là hợp số Tìm số tự nhiên để là số nguyên tố Cho và là số nguyên tố lớn hơn 3 Chứng minh rằng là hợp số Số tự nhiên[.]

thuvienhoclieu.com DẠNG 2: SỐ NGUYÊN TỐ A.Bài toán Câu 1: Chứng minh n   * n  n  hợp số Câu 2: Tìm số tự nhiên n để: A n  n  n  số nguyên tố Câu 3: Cho p số nguyên tố lớn Chứng minh Câu 4: Số tự nhiên A 1  32012 hợp số số nguyên tố hay hợp số ? Giải thích Câu 5: Cho số nguyên khác 0, a c cho Chứng minh số nguyên tố Câu 6: Cho Tìm tất số tự nhiên để số nguyên tố Câu 7: Tìm số nguyên cho số nguyên tố Câu 8: Tìm số tự nhiên để hai số phương Câu 9: Chứng minh khơng số ngun tố Câu 10: Cho số nguyên tố p > Biết có số tự nhiên n cho cách viết thập phân số pn có 20 chữ số Chứng minh 20 chữ số có chữ số giống 1988 1987 Câu 11: Tìm số nguyên dương n để n  n  số nguyên tố Câu 12: Chứng minh: 9n  12n  n  N  hai số nguyên tố Tìm số nguyên tố p cho 7p + lập phương số tự nhiên Câu 13: Cho P n  Tìm tất số tự nhiên n để P số nguyên tố Câu 14: 2012 Số tự nhiên A 1  số nguyên tố hay hợp số ? Giải thích Câu 15: Tìm tất số nguyên dương để số nguyên tố Câu 16: Tìm số tự nhiên để số nguyên tố biết: Câu 17: Tìm số nguyên cho số nguyên tố Câu 18: Cho số tự nhiên lẻ Chứng minh chia hết cho Câu 19: Cho số ngun tố Tìm giá trị ước dương số phương Câu 20: Tìm số nguyên tố để tổng cho Câu 21: Tìm số tự nhiên để số nguyên tố Câu 22: Chứng minh rằng: Nếu a N, a > A = (a + a +1)(a2 + a + 2) – 12 hợp số Câu 23: Tìm tất số nguyên dương n để ( 1+n 2017 +n2018 ) số nguyên tố Câu 24: Cho Tìm tất số tự nhiên để số nguyên tố Câu 25: Tìm số tự nhiên để số nguyên tố biết: thuvienhoclieu.com Trang thuvienhoclieu.com Câu 26: Tìm số tự nhiên để số nguyên tố biết: Câu 27: Tìm số nguyên cho số nguyên tố B HƯỚNG DẪN Câu 1: Chứng minh n   * n  n  hợp số Lời giải n3  n  n3   n  n  1n  n  1  n  1 n  1n  n   Ta có: Do n  N * nên n   n  n   Vậy n  n  hợp số Câu 2: Tìm số tự nhiên n để: A n  n  n  số nguyên tố Lời giải Khi A 5 Để A nguyên tố Câu 3: Cho p số nguyên tố lớn Chứng minh hợp số Lời giải Do p số nguyên tố lớn nên có dạng với k  + Nếu Suy hợp số (vơ lý) +Nếu Do k  nên Do p  1là hợp số 2012 Câu 4: Số tự nhiên A 1  số nguyên tố hay hợp số ? Giải thích Lời giải nên viết hợp số thuvienhoclieu.com Trang thuvienhoclieu.com Câu 5: Cho số nguyên khác 0, a c cho số nguyên tố Chứng minh Lời giải Ta có: Mà Ta thấy hợp sau: Câu 6: Cho số nguyên tố xảy trường Tìm tất số tự nhiên để số nguyên tố Lời giải Vì số tự nhiên nên Khi Như muốn số ngun tố ta phải có số nguyên tố Câu 7: Tìm số nguyên cho số ngun tố Lời giải Ta có: Vì Có: Vậy số ngun tố Câu 8: Tìm số tự nhiên để Lời giải Để và hai số phương hai số phương thuvienhoclieu.com Trang thuvienhoclieu.com Nhưng 59 số nguyên tố, nên: Từ Thay vào ta Vậy với hai số phương Câu 9: Chứng minh khơng số ngun tố Lời giải Vì nên giá trị nhỏ thừa số thứ Giá trị nhỏ thừa số thứ hai Còn trường hợp khác tích Vậy ngồi phân tích thành tích hai thừa số lớn nên số nguyên tố Câu 10: Cho số nguyên tố p > Biết có số tự nhiên n cho cách viết thập phân số pn có 20 chữ số Chứng minh 20 chữ số có chữ số giống Lời giải Do p số nguyên tố p > nên p không chia hết cho (*) pn có 20 chữ số Các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, gồm 10 chữ số đơi khác Nếu khơng có q nhiều chữ số giống chữ số phải có mặt lần cách viết số pn Như tổng chữ số số pn là: 2(0 + + + + + + + + + 9) = 90 nên pn Điều mâu thuẫn (*) Vậy số pn phải có chữ số giống 1988 1987 Câu 11: Tìm số nguyên dương n để n  n  số nguyên tố Lời giải: 1988 1987 + Với n 1 ta có n  n  1 1 1 3 số nguyên tố 1988 1987 + Với n 2, n  Z ta có n  n   n  n 1 n1988  n n n1986  1 n  n   Mặt khác, ta có n n * Chú ý : a  b a  b 662 Mà 662  13   n  13   n3  13 n  1n2  n 1n  n 1 thuvienhoclieu.com Trang thuvienhoclieu.com n Suy  1988 Tương tự,  n2 n  n  1 n1987  n n n1986  1n  n 1      Khi đó, 1988 1987 Suy với n 2, n  Z n  n 1 hợp số 1988 1987 Vậy, n 1 n  n 1 số nguyên tố n1988  n1987   n1988  n  n1987  n  n  n  1Mn  n  1 Câu 12: Chứng minh: 9n  12n  n  N  hai số nguyên tố Lời giải Chứng minh: hai số nguyên tố Gọi , Khi đó, Vậy, hai số nguyên tố Câu 13: Tìm số nguyên tố p cho 7p + lập phương số tự nhiên Lời giải Tìm số nguyên tố p cho 7p + lập phương số tự nhiên Giả sử , mà Khi Vì 7, p số nguyên tố, nên từ (*) suy (*) , Giải ta m = m = -3 không thỏa mãn điều kiện Vậy có số nguyên tố p = 73 số cần tìm Câu 14: Cho P n  Tìm tất số tự nhiên n để P số nguyên tố Lời giải   P n  n  4n   4n  n   2n     2  n  2n  n  2n    n  1  1  n  1  1    Vì n số tự nhiên nên n  1 n    2  0  n  1 0  n 1 Như muốn P số nguyên tố ta phải có Khi P 5 số nguyên tố thuvienhoclieu.com Trang thuvienhoclieu.com 2012 Câu 15: Số tự nhiên A 1  số nguyên tố hay hợp số ? Giải thích Lời giải 2012 32012 3 nên viết 3n    A 1  2012   1      2    A 13  3n 13  n n n n hợp số Câu 16: Tìm tất số nguyên dương để Lời giải Đặt: Với Với ta có: số ngun tố số nguyên tố Ta lại có: Vậy Suy mà số nguyên dương thỏa mãn điều kiện Câu 17: Tìm số tự nhiên để nên A hợp số số nguyên tố biết: Lời giải Biến đổi Nếu không thỏa mãn đề Câu Nếu Nếu thỏa mãn đề Câu khơng thỏa mãn đề Câu Vậy có từ ước trở lên là số nguyên tố Câu 18: Tìm số nguyên cho số nguyên tố Lời giải Ta có: Vì Có: Vậy số ngun tố Câu 19: Cho số tự nhiên lẻ Chứng minh chia hết cho thuvienhoclieu.com Trang thuvienhoclieu.com Lời giải Ta có: Vì ba số tự nhiên liên tiếp nên có ba số chia hết cho Do Vì hai số nguyên tố nên kết hợp với suy Câu 20: Cho số nguyên tố Tìm giá trị ước dương số phương Lời giải Các ước dương để tổng Tổng ước Ta có: Do : Vậy Câu 21: Tìm số ngun tố cho Lời giải Ta có: Xét trường hợp : Khi ta có (do Xét trường hợp Khi ta có: (do y nguyên tố) suy nguyên tố) Từ suy Câu 22: Ta có: Với Nên để B số ngun tố trước hết thuvienhoclieu.com Trang thuvienhoclieu.com Hay Thử lại , với 37 số nguyên tố nên giá tị cần tìm Câu 23: Đặt a2+ a + = x (1) A = x(x + 1) – 12 = x2 + x – 12= x2 – 3x + 4x – 12 = (x2 – 3x) + (4x – 12) = x(x - 3) + 4(x - 3) = (x - 3)(x + 4) Thay (1) vào biểu thức A, ta có A = (a2 + a - 2)(a2 + a + 5) = (a2 + 2a – a - 2)(a2 + a + 5) = (a - )( a + 2)(a2 + a + 5) Ta thấy Vậy A hợp số Câu 24: Lời giải Đặt: A=1+ n2017 + n2018 Với n=1thì A=3là số nguyên tố Với n>1ta có: 1+n + n =( n −n ) + ( n −n ) + ( n + n+ ) 2016 ¿ n ( n −1 ) +n ( n 2016−1 ) + ( n2 +n+1 ) =( n2016 −1 ) ( n2 +n ) + ( n2 +n+1 ) 2017 2018 2018 2017 Ta lại có: n2016 −1= ( n3 ) −1=( n3−1 ) [ ( n ) + ( n 3) +…+ n3 +1 ] ⋮ ( n3−1 ) 672 671 670 ⇒ ❑ ( n2016 −1 ) ⋮ ( n2 +n+1 ) Suy A ⋮ ( n 2+ n+ ) ,mà 1