thuvienhoclieu com thuvienhoclieu com DẠNG 3 SỐ CHÍNH PHƯƠNG A Bài toán Tìm số tự nhiên có bốn chữ số , biết rằng nó là một số chính phương, số chia hết cho 9 và d là một số nguyên tố Cho là một số gồ[.]
thuvienhoclieu.com DẠNG 3: SỐ CHÍNH PHƯƠNG A.Bài tốn Câu 1: Tìm số tự nhiên có bốn chữ số abcd , biết số phương, số abcd chia hết cho d số nguyên tố Câu 2: Cho a số gồm 2n chữ số , b số gồm n chữ số , c số gồm n chữ số n N * Cmr: a b 6c số phương Câu 3: Tìm số ngun dương n để n 4n 29 số phương Câu 4: Tìm số tự nhiên để hai số phương Câu 5: a) Tìm số có hai chữ sơ mà bình phương lập phương tổng chữ số b)Tìm ba số tự nhiên liên tiếp biết cộng ba tích, tích hai ba số 26 c) Tìm bốn số ngun dương liên tiếp, biết tích chúng 120 Câu 6: Cho số nguyên dương đôi khác thỏa mãn: Chứng minh Câu 7: Cho Chứng minh phương Câu 8: Chứng minh với số ngun thì: số phương số số phương Câu 9: Cho hai số phương liên tiếp Chứng minh tổng hai số cộng với tích chúng số phương lẻ Câu 10: Tìm số tự nhiên để: D n n số phương Câu 11: Tìm tất số phương gồm chữ số biết ta thêm đơn vị vào chữ số hàng nghìn, thêm đơn vị vào chữ số hàng trăm, thêm đơn vị vào chữ số hàng chục, thêm đơn vị vào chữ số hàng đơn vị, ta số phương Câu 12: Chứng minh rằng tổng hai số chính phương liên tiếp cộng với tích của chúng là một sớ chính phương lẻ Câu 13: Tìm tất số nguyên cho: số phương Câu 14: Chứng minh: số có dạng n n 2n 2n với n N n khơng phải số phương thuvienhoclieu.com Trang thuvienhoclieu.com Câu 15: Tìm số nguyên n để B n n 13 số phương? Câu 16: Tìm số tự nhiên n để n 18 n 41 hai số phương Câu 17: Cho a n 1 n Chứng minh a n a n 1 số phương Câu 18: Cho số nguyên tố Tìm giá trị ước dương số phương Câu 19: Tìm số tự nhiên để số phương Câu 20: Cho Chứng minh để tổng (với bình phương số tự nhiên Câu 21: Tìm số tự nhiên cho số số phương Câu 22: Tìm số tự nhiên để số phương Câu 23: Cho n tổng hai số phương Chứng minh tổng hai số phương Câu 24: Cho số nguyên dương đôi khác thỏa mãn: Chứng minh Câu 25: Cho Chứng minh phương Câu 26: Chứng minh với số ngun thì: số phương số số phương Câu 27: Cho phương Câu 28: Cho Chứng minh số hữu tỷ thỏa mãn điều kiện số Chứng minh biểu thức bình phương số hữu tỷ Câu 29: Chứng minh với số nguyên x biểu thức P số phương Câu 30: Tìm số tự nhiên để số phương Câu 31: Cho số tự nhiên thỏa mãn Chứng minh rằng: số phương Câu 32: Cho A=p plà số nguyên tố Tìm giá trị p để tổng ước dương A số phương Câu 33: Tìm số tự nhiên nđể n2 + n+2013 số phương ¿ Câu 34: Cho S=1.2.3+2.3 4+ 3.4 5+…+ k ( k +1 )( k +2 ) với k ∈ N Chứng minh S +1là bình phương số tự nhiên thuvienhoclieu.com Trang thuvienhoclieu.com Câu 35: Cho hai số phương liên tiếp Chứng minh tổng hai số cộng với tích chúng số phương lẻ Câu 36: Tìm tất số phương gồm chữ số biết ta thêm đơn vị vào chữ số hàng nghìn, thêm đơn vị vào chữ số hàng trăm, thêm đơn vị vào chữ số hàng chục, thêm đơn vị vào chữ số hàng đơn vị ta số phương Câu 37: Tìm số tự nhiên cho số số phương B HƯỚNG DẪN Câu 1: Tìm số tự nhiên có bốn chữ số abcd , biết số phương, số abcd chia hết cho d số nguyên tố Lời giải: Vì abcd số phương d số nguyên tố có chữ số nên d 5 * Đặt abc5 m , m N Khi m có chữ số tận (1) Mặt khác, 1000 m 9999 suy 32 m 99 ( 2) Từ (1) (2) suy m 35; 45;55;65;75;85;95 Suy m 1225; 2025;3025; 4225;5625;7225;9025 Ta lại có: m abc59 Do đó, chọn abcd 2025;5625 Câu 2: Cho a số gồm 2n chữ số , b số gồm n chữ số , c số gồm n chữ số n N * Cmr: a b 6c số phương Lời giải: 102 n 10n 1 10n a b 6c 8 9 Ta có : 102 n 10.10 n 6.10 n 72 102 n 16.10n 64 10 n 33 36 n 1so Vậy, a b 6c số phương Câu 3: Tìm số ngun dương n để n 4n 29 số phương Lời giải: 2 Đặt n a , 4n 29 b a, b N Ta có: b 4a 25 b 2a b 2a 25 thuvienhoclieu.com Trang thuvienhoclieu.com Mà b 2a nên b 2a b 2a b 2a nên suy b 2a 1 b 2a 25 Do đó, a 6 Vậy, n 35 Câu 4: Tìm số tự nhiên a) Để để hai số phương Lời giải: hai số phương Nhưng 59 số nguyên tố, nên: Từ Thay vào ta Vậy với hai số phương Câu 5: a) Tìm số có hai chữ sơ mà bình phương lập phương tổng chữ số b)Tìm ba số tự nhiên liên tiếp biết cộng ba tích, tích hai ba số 26 c) Tìm bốn số nguyên dương liên tiếp, biết tích chúng 120 Lời giải: a , b N ;1 a 9;0 b 9 a) Số cần tìm có dạng ab , với Theo đề ta có: ab a b 10a b a b 1 3 Hệ thức (1) chứng tỏ ab phải số lập phương a b phải số phương Do 10 ab 99 ab 27 ab 64 +Nếu ab 27 a b 9 3 ( phương ) +Nếu ab 64 a b 10 ( khơng phương nên loại ) Vậy, số cần tìm ab 27 b) Gọi ba số tự nhiên liên tiếp x 1, x, x 1 ( ĐK : x 1, x N ) Ta có : x 1 x x x 1 x 1 x 1 26 x 26 x 3 ( Vì x 1, x N ) Vậy, ba số tự nhiên liên tiếp phải tìm 2, 3, c) Gọi bốn số nguyên dương liên tiếp x 1, x, x 1, x ( ĐK : x 2, x Z ) x x 1 x 1 x 120 Ta có : x 1 x x 1 x 120 x x x x 2 120 x x x x 121 x x 1 112 2 Vì x 2, x Z nên x x 11 x 3 x 0 x 3 ( Vì x ) Vậy, bốn số nguyên dương liên tiếp phải tìm 2, 3, 4, thuvienhoclieu.com Trang thuvienhoclieu.com Câu 6: Cho số nguyên dương đôi khác thỏa mãn: Chứng minh Lời giải: Vậy số phương số phương Câu 7: Cho phương Lời giải: Ta có: Chứng minh số số phương Câu 8: Chứng minh với số ngun thì: số phương Lời giải: Ta có: Đặt Vì nên Vậy A số phương Câu 9: Cho hai số phương liên tiếp Chứng minh tổng hai số cộng với tích chúng số phương lẻ Lời giải Gọi hai số Theo đề ta có: thuvienhoclieu.com Trang thuvienhoclieu.com = số phương lẻ số lẻ Câu 10: Tìm số tự nhiên Mà số chẵn để: D n n số phương Lời giải (tích số tự nhiên liên tiếp) Và Vậy D chia dư Do D có tận nên D khơng phải số phương Vậy khơng có giá trị n để D số phương Câu 11: Tìm tất số phương gồm chữ số biết ta thêm đơn vị vào chữ số hàng nghìn, thêm đơn vị vào chữ số hàng trăm, thêm đơn vị vào chữ số hàng chục, thêm đơn vị vào chữ số hàng đơn vị, ta số phương Lời giải Gọi abcd số phải tìm , Ta có: Do đó: Kết luận đúng: thuvienhoclieu.com Trang thuvienhoclieu.com Câu 12: Chứng minh rằng tổng hai số chính phương liên tiếp cộng với tích của chúng là một số chính phương lẻ Lời giải Gọi hai số phương liên tiếp là k2 và (k+1)2 Ta có: k2 + (k+1)2 + k2.(k+1)2 = k4 +2k3+ 3k2 + 2k +1 = (k2 + k +1)2 = [k(k + 1) +1]2 là số chính phương (1) Vì k(k + 1) là tích hai số tự nhiên liên tiếp nên k(k + 1) chẵn k(k + 1) +1 lẻ [k(k + 1) +1] lẻ (2) Từ (1) và (2) suy đpcm Câu 13: Tìm tất số nguyên cho: số phương Lời giải Giả sử Ta có: Thay Thử trực tiếp thỏa mãn Vậy số nguyên n cần tìm Câu 14: Chứng minh: số có dạng n n 2n 2n với n N n khơng phải số phương Lời giải ) Chứng minh: số có dạng n n 2n 2n với n N n số phương Ta có n n 2n3 2n n n n 2n n n n 1n 1 n 1 n n 1n3 n2 n n 1 n3 1 n 1 n n 1 n 2n 2 2 n 2n n n 1 n Với n N n n 2n n 1 1 n 1 2 Suy n 1 n 2n n với n N n n 2n khơng phải số phương thuvienhoclieu.com Trang thuvienhoclieu.com Vậy, số có dạng n n 2n 2n với n N n khơng phải số phương Câu 15: Tìm số nguyên n để B n n 13 số phương? Lời giải Ta có B số phương 4B số phương Đặt B k , k N B 4n 4n 52 k 2n k 2n k 51 Khi đó, 2n k 2n k Vì nên ta có trường hợp: 2n k 1 2n k 3 2n k 51 2n k 17 , , , 2n k 51 2n k 17 2n k 2n k Giải ta được: n 12, n 3, n 13, n 4 Vậy, n 12 n n 13 n 4 B n n 13 số phương Câu 16: Tìm số tự nhiên n để n 18 n 41 hai số phương Lời giải n 18 Để n 41 hai số phương n 18 p2 n 41 q p,q p2 q n 18 n 41 59 p q p q 59 p q 1 p q 59 Nhưng 59 số nguyên tố, nên: 2 Từ n 18 p 30 900 n 882 p 30 q 29 Thay vào n 41, ta 882 41 841 29 q Vậy với n 882 n 18 n 41 hai số phương Câu 17: Cho a n 1 n Chứng minh a n a n1 số phương Lời giải Ta có: a n 1 1 n n a n a n 1 2 1 n n 2 n 1 n n 1 n n 2n số phương Câu 18: Cho số ngun tố Tìm giá trị ước dương số phương Lời giải Các ước dương để tổng Tổng ước Ta có: thuvienhoclieu.com Trang thuvienhoclieu.com Do : Vậy Câu 19: Tìm số tự nhiên để số phương Lời giải Giả sử Suy Mặt khác trường hợp sau: nên có Vậy số cần tìm Câu 20: Cho Chứng minh (với bình phương số tự nhiên Lời giải Ta có: Mặt khác: Mà nên nên suy đpcm Câu 21: Tìm số tự nhiên Giả sử cho số số phương Lời giải số phương, suy tồn số cho : thuvienhoclieu.com Trang thuvienhoclieu.com Do nên dễ thấy Ngoài Suy Căn lập luận và số nguyên số nguyên tố nên từ (*) suy Với số phương Vậy số tự nhiên cần tìm Câu 22: Tìm số tự nhiên để số phương Lời giải Giả sử Suy Mặt khác hợp sau: Vậy số cần tìm Câu 23: Cho n tổng hai số phương phương Lời giải Đặt với Khi phương Câu 24: Cho số nên có trường tổng hai số tổng hai số ngun dương đơi khác thỏa mãn: Chứng minh Lời giải thuvienhoclieu.com số phương Trang 10 thuvienhoclieu.com Vậy Câu 25: số phương Cho Chứng minh Lời giải Ta có: số phương số phương Câu 26: Chứng minh với số ngun Lời giải thì: số phương Ta có: Đặt Vì nên Vậy A số phương Câu 27: Cho phương Chứng minh số Lời giải Ta có: thuvienhoclieu.com Trang 11 thuvienhoclieu.com số phương số hữu tỷ thỏa mãn điều kiện Câu 28: Cho minh biểu thức hữu tỷ Vì Chứng bình phương số Lời giải nên Tương tự: Do đó: Câu 29: Chứng minh với số nguyên x biểu thức P số phương Lời giải Ta có: Vơi x số nguyên P số CP Câu 30: Tìm số tự nhiên để số phương Lời giải b) Giả sử Suy Mặt khác sau xảy ra: nên có trường hợp TH1: TH2: TH3: Vậy số cần tìm là: 1002; 138; Câu 31: Từ Cũng có : Gọi có Suy Chứng minh số phương số phương (đpcm) thuvienhoclieu.com Trang 12 thuvienhoclieu.com Câu 32: Tìm số tự nhiên nđể n + n+2013 số phương Lời giải A Các ước dương ; p ; p ; p ; p Tổng ước 1+ p+ p2 + p3 + p =n2 (n ∈ N ) 2 ❑ 4+ p+ p + p + p =4 n ⇒ Ta có: p + p 3+ p 2< n 2< p4 + p 2+ 4+ p3 +8 p2 +4 p ⇒ 2 ⇒ 2 ❑ ( p2 + p ) < ( n ) < ( p 2+ p+ ) ❑ ( n ) =( p2 + p+1 ) Do :4 + p +4 p2 + p3 +4 p 4=4 p4 + p3 +5 p 2+ p+1 [ ⇒ ❑ p2 −2 p−3=0 ❑ p1=−1(không thỏa mãn) ⇔ p2=3(thỏa mãn) Vậy p=3 Câu 33: Tìm số tự nhiên nđể n2 + n+2013 số phương Lời giải 2 Giả sử n + n+2013=m (m∈ N) ⇔ Suy ( n+2 )2 +2009=m ❑ m2−( n+2 )2 =2009 ⇔ ❑ ( m+n+ )( m−n−2 ) =2009 Mặt khác 2009= 2009.1=287.7 = 49.41 m+n+2>m−n−2 nên có trường { ⇔ { m+ n+2=2009 m=1005 hợp sau: TH 1: m−n−2=1 ❑ n=1002 { { ⇔ { TH 2: m+ n+2=287 ❑ m=147 m−n−2=7 n=138 ⇔ TH 3: m+n+ 2=49 ❑ m=45 m−n−2=41 n=2 { Vậy số cần tìm 1002; 138; ¿ Câu 34: Cho S=1.2.3+2.3 4+ 3.4 5+…+ k ( k +1 )( k +2 ) với k ∈ N Chứng minh S +1là bình phương số tự nhiên Lời giải 1 Ta có: k ( k +1 )( k + )= k ( k +1 ) ( k +2 ) 4= k ( k +1)( k +2) [ ( k +3 )−( k−1) ] 1 ¿ k ( k +1 ) ( k +2 ) ( k +3 )− k ( k +1)( k +2)(k −1) 4 ⇒ ❑ S=1.2 4−0.1.2 3+2.3 5−1.2.3 4+ …+k ( k +1 ) ( k +2 )( k +3 )−k ( k + )( k + )( k−1 )=k ( k +1 ) ( k +2 ) ( k + ⇒ ❑ S+1=k ( k +1 ) ( k +2 ) ( k +3 ) +1 Mặt khác: k ( k +1 )( k + )( k + ) +1=k ( k+ ) ( k +1 ) ( k +2 ) +1=¿ Mà k ∈ N nên k +3 k +1 ∈ N ¿ nên suy đpcm ¿ Câu 35: Cho hai số phương liên tiếp Chứng minh tổng hai số cộng với tích chúng số phương lẻ Lời giải Gọi hại số Theo ta có: thuvienhoclieu.com Trang 13 thuvienhoclieu.com số phương lẻ số lẻ số chẵn nên Câu 36: Tìm tất số phương gồm chữ số biết ta thêm đơn vị vào chữ số hàng nghìn, thêm đơn vị vào chữ số hàng trăm, thêm đơn vị vào chữ số hàng chục, thêm đơn vị vào chữ số hàng đơn vị ta số phương Lời giải Gọi số phải tìm Ta có: Do đó: Vậy số cần tìm Câu 37: Tìm số tự nhiên Giả sử cho số Lời giải số phương, suy tồn số Do nên dễ thấy Ngoài Suy Căn lập luận Với Vậy số phương cho : số nguyên số nguyên tố nên từ (*) suy số phương số tự nhiên cần tìm thuvienhoclieu.com Trang 14 thuvienhoclieu.com thuvienhoclieu.com Trang 15