thuvienhoclieu com thuvienhoclieu com SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO QUẢNG NAM KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN NĂM HỌC 2017 2018 ĐỀ CHÍNH THỨC Môn thi TOÁN (Toán chuyên) Thời gian 150 phút (không kể t[.]
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO QUẢNG NAM thuvienhoclieu.com KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN NĂM HỌC 2017-2018 Mơn thi : TỐN (Tốn chun) Thời gian : 150 phút (không kể thời gian giao đề) Ngày thi : 11/7/2017 ĐỀ CHÍNH THỨC Câu (2,0 điểm) a) Cho biểu thức Rút gọn biểu thức với tìm để b) Tìm tất cặp số nguyên Câu (2,0 điểm) thỏa mãn đẳng thức a) Giải phương trình b) Giải hệ phương trình Câu (1,0 điểm) Cho parabol và đường thẳng Tìm và để cắt tại hai điểm phân biệt cho có hoành độ bằng và khoảng cách từ đến trục tung bằng hai lần khoảng cách từ đến trục tung Câu (2,0 điểm) Cho hình vuông điểm nằm cạnh khác , khác Hai đường thẳng và cắt tại a) Chứng minh b) Gọi là trọng tâm của tam giác di động đoạn thẳng đường thẳng và trung điểm của cạnh cắt tại Điểm Chứng minh trường hợp giá trị của tích nhỏ nhất, tính tỉ số Câu (2,0 điểm) Cho tam giác nhọn nội tiếp đường trịn có trực tâm Ba điểm chân đường cao vẽ từ tam giác Gọi trung điểm cạnh giao điểm Đường thẳng cắt đường tròn điểm thứ hai a) Chứng minh tứ giác nội tiếp đường trịn vng góc với b) Lấy điểm cung nhỏ của đường tròn ( khác khác ) Gọi là giao điểm của và là giao điểm của và Chứng minh đường thẳng cách đều hai điểm và Câu (1,0 điểm) Cho ba số thực dương thỏa mãn thuvienhoclieu.com Trang thuvienhoclieu.com Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức - HẾT Họ tên thí sinh: Số báo danh: SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN QUẢNG NAM NĂM HỌC 2017-2018 HDC CHÍNH THỨC Câu Câu (2,0) HƯỚNG DẪN CHẤM MƠN TỐN CHUN (Bản hướng dẫn gồm 05 trang) Nội dung a) Cho biểu thức Điểm với Rút gọn biểu thức tìm 1,0 để 0,25 0,25 Với và : Đặt 0,25 (*) Phương trình (*) trở thành: 0,25 (thỏa điều kiện) b) Tìm tất cặp số nguyên 1,0 thỏa mãn đẳng thức (*) Vì + Với + Với nên hay : Từ (*) suy ra: : Vì 0,25 (không thỏa) là số chính phương nên là số chính phương 0,25 + Do + Với và + Với Vậy là các số chính phương khác nên (thỏa) 0,25 hoặc (cả giá trị a không thỏa) là cặp số nhất thỏa yêu cầu * Cách khác: Vì + Xét + Xét + Xét nên hay không thỏa (*) , từ (*) suy khơng thỏa (*) + Xét : Ta có: 0,25 (*) (0,25) (0,25) (0,25) thuvienhoclieu.com Trang thuvienhoclieu.com Gọi d = ƯCLN Hơn Vì nên khơng chia hết Lại có nên Mặt khác: Vậy Do hai số phương (vì ) nên cặp số cần tìm Câu Câu (2,0) a) Giải phương trình khơng phải số phương Nội dung Điểm 1,0 (1) 0,25 (2) Đặt (0,25) , phương trình (2) trở thành: 0,25 0,25 Với thì Với thì 0,25 Vậy phương trình cho có hai nghiệm: * Cách khác: Điều kiện: (0,5) Giải phương trình (0,25) tìm được Giải phương trình tìm được (0,25) và kết luận 1,0 b) Giải hệ phương trình 0,25 Hệ phương trình cho tương đương với: Đặt , hệ phương trình trở thành: 0,25 Thay (3) vào (2) biến đổi được: + Giải + Giải Vậy hệ phương trình cho có nghiệm: * Cách khác: , 0,25 , 0,25 (0,5) Ta có: thuvienhoclieu.com Trang thuvienhoclieu.com + Với ta có hệ: (0,25) (vơ nghiệm) + Với ta có hệ: (0,25) hoặc Vậy hệ phương trình cho có nghiệm: , , Câu Nội dung Câu Cho parabol và đường thẳng Tìm và để (1,0) điểm phân biệt cho có hoành độ bằng và khoảng cách từ bằng hai lần khoảng cách từ đến trục tung + A thuộc (P) và có hoành độ bằng nên A(2;4) d qua A(2;4) nên Suy + Phương trình hoành độ giao điểm của (P) và (d): (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt khi: hay Hoặc: Điểm cắt tại hai đến trục tung 1,0 0,25 0,25 + Phương trình hoành độ giao điểm của (P) và (d): (*) (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt phương trình (*) có nghiệm phân biệt (được 0,25) + Khi đó hoành độ của A và B lần lượt là: M 0,25 Nội dung Điểm 0,75 A I 0,25 Vậy a = 1; b = hoặc a = 3; b = –2 Câu Câu (2,0) a) Chứng minh * Cách 1: B N G D Đặt C' Ta có: E D' K 0,25 C F 0,25 Vậy: 0,25 Ghi chú: khơng có hình khơng chấm * Cách 2: Ta có: thuvienhoclieu.com (0,25) (0,25) Trang thuvienhoclieu.com (0,25) Vậy: Dựng đường thẳng qua A, vuông góc với AE và cắt đường thẳng CD tại J (0,5) + Chứng minh được hai tam giác ADJ và ABE bằng Suy AJ=AE + Trong tam giác vuông AJF có: (0,25) * Cách 3: A B E C D J F b) Chứng minh trường hợp tích Hình vẽ phục vụ câu b (khơng có hình khơng chấm) nhỏ nhất, tính tỉ số 1,25 0,25 * Khi M trùng I hoặc M trùng D ta có: * Trường hợp M khác I M khác D: Gọi K là trung điểm của CD Dựng CC’//MG, DD’//MG (C’, D’ thuộc AG) Khi đó: Do 0,25 Hai tam giác KDD’ và KCC’ bằng nên KC’=KD’ Suy Ta có: 0,25 (AD, AC không đổi) Đẳng thức xảy hay Vậy AM.AN nhỏ A I M D K C (vì ) Suy Lưu ý: M trùng D hoặc I, ta vẫn có HC+MD=2PK Câu Nội dung Câu a) Chứng minh tứ giác nội tiếp đường trịn (2,0) Hình vẽ phục vụ câu a (khơng tính điểm hình vẽ câu b, khơng có hình khơng chấm) (0,25) Điểm 1,25 0,25 vng góc với A A E N E F K B 0,25 * Chứng minh bằng cách khác: Gọi H là giao điểm của MN và BC, P là trung điểm của MH (0,25) H P N Khi đó: B G 0,25 D P O H O I C M B S thuvienhoclieu.com D L J C Q Trang thuvienhoclieu.com (vì tứ giác ANBC nội tiếp) 0,25 (vì tứ giác BCEF nội tiếp) Suy Do tứ giác BFNK nội tiếp + Hai tam giác KNB KCA đồng dạng nên KN.KA = KB.KC + Hai tam giác KBF KEC đồng dạng nên KF.KE = KB.KC Suy KN.KA = KF.KE hay Hơn 0,25 Do đó hai tam giác KNF KEA đồng dạng Suy Do tứ giác ANFE nội tiếp Suy A, N, F, H, E nằm đường trịn đường kính AH Do + Tia NH cắt đường tròn (O) S, AS đường kính (O) + Chứng minh tứ giác BHCS hình bình hành Suy HS qua trung điểm M BC Suy N, H, M, S thẳng hàng Khi H trực tâm tam giác AKM Vậy 0,25 b) Chứng minh đường thẳng 0,75 cách đều hai điểm và + Hạ PI và QJ vuông góc với đường thẳng DE lần lượt tại I, J Đặt 0,5 Suy PI=QJ Vậy P và Q cách đều đường thẳng DE Ghi chú: Nếu thí sinh xét trường hợp giải trường hợp A, D, L thẳng hàng 0,25 Nếu khơng chia trường hợp mà vẽ hình đặc biệt A, D, L thẳng hàng để giải khơng cho điểm Câu Cho số thực dương (1,0) Ta có: Áp dụng bất đẳng thức với thỏa 0,25 Tìm giá trị lớn nhất của với a, b, c là số thực (dấu bằng xảy a=b=c) (x, y, z > 0) ta được: 0,25 1,0 0,25 Ta có: 0,25 Vậy giá trị lớn nhất của P bằng 0,25 0,25 * Lưu ý: Nếu thí sinh làm không theo cách nêu đáp án cho đủ số điểm phần hướng dẫn quy định thuvienhoclieu.com Trang