Chuong 14

Microsoft PowerPoint chuong 14 pptx Bài giảng Cơ Học Lý Thuyết Chương 14 3/13/2015 Giảng viên Nguyễn Duy Khương Trường Đại học Bách Khoa Tp HCM 1 CHƯƠNG 14 Phương trình tổng quát động lực học và phươn[.]

Bài giảng Cơ Học Lý Thuyết Chương 14 3/13/2015 CHƯƠNG 14 Phương trình tổng quát động lực học phương trình Lagrange II NỘI DUNG Phương trình tổng quát động lưc học Phương trình Lagrange II CHƯƠNG 14 Phương trình tổng quát động lực học phương trình Lagrange II Phương trình tổng quát động lực học Phương trình tổng quát động lực học   F N k k 1    mk  xk   xk   Fky  mk  y k   y k   Fkz  mk  z k   z k   N   F k 1    mk Wk  rk  kx Phương trình Lagrange II Từ phương trình tổng quát động lực học, ta biểu diễn theo hệ tọa độ suy rộng đầy đủ độc lập tuyến tính r  d  T  T   q Qi qi          q  i  i 1  dt   q i 1 i  i  d  T  T    Qi  dt  qi  qi r Giảng viên Nguyễn Duy Khương Trường Đại học Bách Khoa Tp.HCM Bài giảng Cơ Học Lý Thuyết Chương 14 3/13/2015 CHƯƠNG 14 Phương trình tổng quát động lực học phương trình Lagrange II Phương trình Lagrange II Trường hợp lực Nếu tất lực tác dụng lên hệ lực có thế, áp dụng công thức sau L T  Hàm L tọa độ suy rộng vận tốc suy rộng hiệu động hệ, gọi hàm Lagrange hay hàm Khi phương trình Lagrange lực có dạng: d  L  dt  qi  L 0    qi Đây hệ phương trình vi phân chuyển động hệ Số lượng phương trình số bậc tự hệ CHƯƠNG 14 Phương trình tổng quát động lực học phương trình Lagrange II Phương trình Lagrange II Ví dụ Khơng kể đến ma sát, viết phương trình chuyển động hệ bao gồm AB đồng chất chiều dài l, trọng lượng P qua quanh trục A mặt phẳng thẳng đứng Viên bi M trọng lượng Q chuyển động Chiều dài tự nhiên lò xo AM l0, độ cứng k A l0  x B P Q Giảng viên Nguyễn Duy Khương Trường Đại học Bách Khoa Tp.HCM Chọn tọa độ suy rộng  q1    q2  x Lực suy rộng Pl Q1   sin   Q (l0  x) sin  Q2  Q cos   k  x Phương trình Lagrange II d  T   T  Qi   dt  qi  qi Bài giảng Cơ Học Lý Thuyết Chương 14 3/13/2015 CHƯƠNG 14 Phương trình tổng quát động lực học phương trình Lagrange II Phương trình Lagrange II Tính động hệ T  TAB  TM Thanh AB qua quanh A cố định 1P 2 11P 2 TAB  J A  l  l   6g 23g M chuyển động trượt tương đối AB chuyển động kéo theo M quay quanh A 1Q 1Q TM  VM  ( x  (l0  x )  ) e VM 2g 2g     Với VM  VMa  VMr  VMe   2  VM2  VMr   VMe   VMr  VMe a A  M B VM r M V  VMr   VMe   VMr  VMe cos  2  VMr   VMe    x    (l0  x)  2 2  VM2  x  (l0  x)  (Hoặc dùng Pitago để tính) CHƯƠNG 14 Phương trình tổng qt động lực học phương trình Lagrange II Phương trình Lagrange II  T  TAB  TM  1P 2 1Q l   ( x  (l0  x)  ) 6g 2g  d  T  T  Q1    d   T  T  dt  q1  q1  Qi   Phương trình Lagrange II   dt  qi  qi  d  T   T  Q    Tính đạo hàm theo tọa độ suy rộng thứ  dt  q  q2 T T P Q  T T   l   (l0  x )   0 q1  g g q1   d  T  P Q Q l   (l0  x ) x    (l0  x )    dt  q1  g g g Phương trình vi phân chuyển động thứ 1P Q Q Pl l   (l0  x ) x    (l0  x )    sin   Q (l0  x ) sin  3g g g Giảng viên Nguyễn Duy Khương Trường Đại học Bách Khoa Tp.HCM Bài giảng Cơ Học Lý Thuyết Chương 14 3/13/2015 CHƯƠNG 14 Phương trình tổng quát động lực học phương trình Lagrange II Phương trình Lagrange II Tính đạo hàm theo tọa độ suy rộng thứ hai T T Q T T Q   x   (l0  x ) q  x g q x g  d  T  Q x     dt  q1  g Phương trình vi phân chuyển động thứ hai Q Q  x  (l0  x )  Q cos   k  x g g Vậy hệ phương trình vi phân chuyển động toàn hệ Q Q Pl  P   g l   g (l0  x ) x    g (l0  x )    sin   Q (l0  x ) sin    Q  Q  x  (l0  x )  Q cos   k  x  g g CHƯƠNG 14 Phương trình tổng quát động lực học phương trình Lagrange II Phương trình Lagrange II Ví dụ: Cho tải A khối lượng m1, lăn khối lượng m2, bán kính R=3r bán kính quán tính trục qua tâm  Biết lăn lăn không trượt, bỏ qua khối lượng dây ma sát lăn, giả sử hệ ban đầu đứng yên Xác định vận tốc, gia tốc tải A M B  I H A Giảng viên Nguyễn Duy Khương Trường Đại học Bách Khoa Tp.HCM Bài giảng Cơ Học Lý Thuyết Chương 14 3/13/2015 CHƯƠNG 14 Phương trình tổng quát động lực học phương trình Lagrange II Phương trình Lagrange II  NI M B  I PB  Fms Cơ hệ bậc tự nên ta chọn hệ tọa độ suy rộng q1=h *Tính lực suy rộng Q1 Cho hệ DCKD từ vị trí ban đầu: tải A lên   H h 2r Công di  A k A h   A( PA )   A( PB )   A( M )   PA h   M  PA   PA h  M h 2r M M  M   Q1   PA    Ak    PA   h    PA   q1 2r  2r   2r  CHƯƠNG 14 Phương trình tổng quát động lực học phương trình Lagrange II Phương trình Lagrange II *Tính động T  TA  TB 1  m1V A2  J B   m 2VB2 2 2 V2 1 2 VA  m1V A  m   m2 A 2 4r  r m1  ( r   ) m   r m1  ( r   ) m    V  A  2 4r 2 4r   2 h  *Tính đạo hàm T T  r m1  ( r   ) m2     h 4r q1 h   2 d  T   r m1  ( r   ) m2      h dt  q1   4r  Giảng viên Nguyễn Duy Khương Trường Đại học Bách Khoa Tp.HCM ; T 0 q1 Bài giảng Cơ Học Lý Thuyết Chương 14 3/13/2015 CHƯƠNG 14 Phương trình tổng quát động lực học phương trình Lagrange II Phương trình Lagrange II *Áp dụng phương trình Lagrange II d  T  T  Qi   dt  qi  qi d  T  T  Q1   dt  q1  q1  r m1  ( r   ) m2   M   PA h   4r 2r   M  rm1 g  h  W A  r r m1  ( r   ) m2 CHƯƠNG 14 Phương trình tổng quát động lực học phương trình Lagrange II Phương trình Lagrange II Ví dụ: Cho tải A trọng lượng PA, lăn trụ tròn B khối lượng PB, rịng rọc C khối lượng PC bán kính R1=2R2=2R0 bán kính quán tính trục qua tâm  Biết lăn lăn không trượt, bỏ qua khối lượng dây ma sát lăn, giả sử hệ ban đầu đứng yên Xác định vận tốc, gia tốc tải A M sB C R1 R1 R2 B PB A h PA Giảng viên Nguyễn Duy Khương Trường Đại học Bách Khoa Tp.HCM Bài giảng Cơ Học Lý Thuyết Chương 14 3/13/2015 CHƯƠNG 14 Phương trình tổng quát động lực học phương trình Lagrange II Phương trình Lagrange II M R1 sB C R1 R2 B PB h Cơ hệ bậc tự nên ta chọn hệ tọa độ suy rộng q1=h *Tính lực suy rộng Q1 Cho hệ DCKD từ vị trí ban đầu: tải A xuống A PA  A   h R0 ;  s B   R0  h Công di   A( PA )   A( PB )   A( M )  PA h  PB sin  s B  M  h h  PA h  PB sin  M 2 R0   sin  M  sin  M     Ak   PA  PB     h   PA  PB   q1 2 R0  2 R0    sin  M  Q1  PA  PB  2 R0 k CHƯƠNG 14 Phương trình tổng quát động lực học phương trình Lagrange II Phương trình Lagrange II *Tính động  T  TA  TB  TC   PA  VA   g 2 PA  VA   g 2  PB VB  J B  B2   J C  C2 g  PB V A2 1 PB V A2  PC V A2    g 2 g 42  g R02 32 R02 PA  R02 PB   PC 32 R02 PA  R02 PB   PC  ( ) ( )h V  A 32 R02 g 32 R02 g *Tính đạo hàm T T  32 R02 PA  R02 PB   PC   32 R02 g q1 h    h  d  T   32 R02 PA  R02 PB   PC   dt  q1   32 R02 g Giảng viên Nguyễn Duy Khương Trường Đại học Bách Khoa Tp.HCM ; T 0 q1   h  Bài giảng Cơ Học Lý Thuyết Chương 14 3/13/2015 CHƯƠNG 14 Phương trình tổng quát động lực học phương trình Lagrange II Phương trình Lagrange II *Áp dụng phương trình Lagrange II d  T  T  Qi   dt  qi  qi d  T  T  Q1   dt  q1  q1  32 R02 PA  R02 PB   PC   sin  M    h   PA  PB 32 R0 g 2 R0   R0 PA  R0 PB sin   M  h  16 gR0 32 R02 PA  R02 PB   PC CHƯƠNG 14 Phương trình tổng quát động lực học phương trình Lagrange II Phương trình Lagrange II Ví dụ: Cho lăng trụ A hình vẽ khối lượng m1 lăn trụ trịn đồng chất tâm B khối lượng m2, lăn lăn không trượt, bỏ qua ma sát trượt A nền, giả sử hệ ban đầu đứng yên Xác định gia tốc A B M B s x A PB PA Giảng viên Nguyễn Duy Khương Trường Đại học Bách Khoa Tp.HCM Bài giảng Cơ Học Lý Thuyết Chương 14 3/13/2015 CHƯƠNG 14 Phương trình tổng quát động lực học phương trình Lagrange II Phương trình Lagrange II M B x PB A Cơ hệ hai bậc tự nên ta chọn hệ tọa độ suy rộng q1=x độ dời lăng trụ A, q2=s độ dời tương đối tâm B với lăng trụ A *Tính lực suy rộng Q1 s Cho hệ DCKD đặc biệt PA   q1   x  ;  q2   s    A (Gắn chặt B vào lăng trụ A) k   A( PA )   A( PB )   A( M )      Q1  *Tính lực suy rộng Q2 Cho hệ DCKD đặc biệt  q1   x  ;  q   s   A k s   A( PA )   A( PB )   A( M )   PB  s sin   M R M M  ( PB sin   ) s Q2  m g sin   R R CHƯƠNG 14 Phương trình tổng quát động lực học phương trình Lagrange II Phương trình Lagrange II *Tính động *Quan hệ động học V A  x ;    B  s R  Tâm B chuyển động phức hợp V B    VBe  VBr VBe  V A  x ; VBr  s   cos   VB2  (VBe )  (VBr )  2VBeVBr cos   ( x )  ( s )  xs 1 2 T  TA  TB  m1V A  m2VB  J B  2 1 11 s   cos  )   m1 x  m2 ( x  s  xs m2 R 2 R 2 22   cos   ( m1  m2 ) x  m s  m2 xs Giảng viên Nguyễn Duy Khương Trường Đại học Bách Khoa Tp.HCM Bài giảng Cơ Học Lý Thuyết Chương 14 3/13/2015 CHƯƠNG 14 Phương trình tổng quát động lực học phương trình Lagrange II Phương trình Lagrange II *Tính đạo hàm T T T T  0 ;  0 q1 x q s T T d  T    ( m1  m2 ) x  m2 s cos    x  m2  s cos    ( m1  m2 )  q1 x dt  q1  d  T  T T s  m2  x cos    m2 s  m2 x cos      m2  dt  q  q s Phương trình Lagrange II  d  T  T  Q1     dt  q1  q1   d  T   T  Q  dt  q  q   2 ( m1  m2 )  x  m2  s cos      M x cos   m2  s  m2 g sin    m2  R Giải hệ phương trình ta gia tốc A gia tốc tương đối B CHƯƠNG 14 Phương trình tổng quát động lực học phương trình Lagrange II Phương trình Lagrange II Ví dụ: Cho khối trụ đặc bán kính r có trọng lượng P1 sợi dây vắt qua ròng rọc O, đầu buộc vào vật A có trọng lượng P2 Vật A trượt mặt phẳng nằm ngang với hệ số ma sát trượt f Tìm gia tốc A tâm C khối trụ hệ chuyển động Bỏ qua khối lượng dây ròng rọc O A O P2 B C P1 Giảng viên Nguyễn Duy Khương Trường Đại học Bách Khoa Tp.HCM 10 Bài giảng Cơ Học Lý Thuyết Chương 14 3/13/2015 CHƯƠNG 14 Phương trình tổng quát động lực học phương trình Lagrange II Phương trình Lagrange II Hệ có bậc tự nên ta chọn tọa độ suy rộng q1=x độ dời vật A theo phương ngang q2= góc quay khối trụ C hình vẽ x * Tính Q1: Cho δx>0, δϕ=0 A  A O P2 C B   A( P1 )   A( Fms ) k    xP1   xFms  ( P1  f  P2 ) x  Q1  P1  f  P2 * Tính Q2: Cho δx=0, δϕ>0  A P1 k   A( P1 )  r  P1  Q2  rP1 CHƯƠNG 14 Phương trình tổng quát động lực học phương trình Lagrange II Phương trình Lagrange II * Tính động hệ T  TA  TC P2 x Với: TA  g P1 TC  VC  J C  2 g mà VC  x  r (chuyển động hợp) JC   TC  T   P1 1P  x  r   r 2 2 g g P1 r g P2 P1 1P x   x  r   r 2 2 g g g x P r P1 2 ( P1  P2 )  x  r  g g g Giảng viên Nguyễn Duy Khương Trường Đại học Bách Khoa Tp.HCM 11 Bài giảng Cơ Học Lý Thuyết Chương 14 3/13/2015 CHƯƠNG 14 Phương trình tổng quát động lực học phương trình Lagrange II Phương trình Lagrange II * Tính đạo hàm động T P1  P2 Pr Pr d  T  P1  P2   x     x    g g x dt  x  g g T 0 x T P1r P1 d  T  P1r P1   x  r    x r   g  g g dt  x  g T 0  * Phương trình Lagrange II  d  T  T Pr  P1  P2 x    P1  f  P2  dt  x   x  Q1  g     g     P1r P1  d  T   T  Q    x r   rP1  dt      g g Giảng viên Nguyễn Duy Khương Trường Đại học Bách Khoa Tp.HCM  x        P1  fP2 g P1  P2 2(1  f ) P2 g r ( P1  P2 ) 12