Chương III vật lý lò phản ứng hạt nhân

Tài liệu học tập hữu ích cho sinh viên chuyên ngành điện hạt nhân và vật lý hạt nhân

Chương 3. QUÁ TRÌNH LÀM CHẬM NƠTRON 3.1 Cơ chế làm chậm nơtron – Tán xạ đàn hồi Các nơtron nhanh chuyển động trong một môi trường sẽ bị mất năng lượng (bị làm chậm) do va chạm với hạt nhân của môi trường đó. Việc làm chậm nơtron được tiếp tục cho đến khi tốc độ của chúng đạt tới cân bằng nhiệt trong môi trường. Trong quá trình làm chậm, một số nơtron bị bắt bởi các hạt nhân khi nó va chạm, còn một số thì chuyển động ra khỏi môi trường. Các hiệu ứng này là rất quan trọng trong việc thiết kế lò phản ứng hạt nhân. Như vậy, quãng đường trung bình mà nơtron phân hạch (nơtron nhanh) trải qua để đạt được tới năng lượng nhiệt là liên quan trực tiếp đến kích thước lò phản ứng hạt nhân. Chúng ta sẽ xem xét hiện tượng và rút ra các công thức trong quá trình làm chậm nơtron. Sự va chạm của các nơtron có thể được miêu tả nhờ vào các định luật va chạm đàn hồi trong cơ học. Để thuận tiện trong tính toán, đầu tiên chúng ta sẽ phân tích sự va chạm trong hệ toạ độ tâm khối lượng, và sau đó chuyển sang hệ toạ độ phòng thí nghiệm. Hình 3.1 miêu tả sự va chạm trong hai hệ toạ độ, còn Bảng 3.1 trình bày các đại lượng tương ứng. Tốc độ của tâm khối lượng C V  thu được từ điều kiện là động lượng của hệ thống nơtron + hạt nhân thì bằng với động lượng của nơtron trong hệ toạ độ phòng thí nghiệm: A v VvVA CC + =→=+ 1 ).1( 0 0     (3.1) Tốc độ của nơtron trong hệ toạ độ tâm khối lượng là: n V  v  0 v  θ A ψ C Vv   − 0 C V  a v  b v  Hệ toạ độ phòng thí nghiệm Hệ toạ độ tâm khối lượng Hình 3.1 Tán xạ của nơtron trong các hệ toạ độ phòng thí nghiệm L và tâm khối lượng C A vA A v vVv C + = + −=− 11 00 00     (3.2) Bảng 3.1 Phân tích quá trình va chạm Đại lượng Hệ toạ độ phòng thí nghiệm, L Hệ toạ độ tâm khối lượng, C Trước va chạm Sau va chạm Trước va chạm Sau va chạm Nơtron H. nhân Nơtron H. nhân Nơtron H. nhân Nơtron H. nhân K.lượng 1 A 1 A 1 A 1 A Tốc độ 0 v  0 v  V  C Vv   − 0 C V  a v  b v  Đ.lượng 1. 0 v  0 1. v  A. V  C Vv   − 0 A. C V  a v  A. b v  N.lượng 2 2 0 v 0 2 2 v 2 2 AV 2 )( 2 0 C Vv   − 2 . 2 0 vA 2 2 a v 2 . 2 b vA Trong hệ toạ độ tâm khối lượng, các động lượng của nơtron và của hạt nhân trước và sau va chạm là bằng nhau, nhưng nguợc nhau về dấu: A vA VAVv CC + ==− 1 ).(1 0 0    trước va chạm (3.3) ba vAv  =.1 sau va chạm (3.4) Định luật bảo toàn năng lượng trong hệ toạ độ tâm khối lượng cho thấy: 22 2 0 2 0 22 1 12 1 12 1 ba v A v A v A A Av +=       + +       + (3.5) Từ các biểu thức (3.4) và (3.5), ta thu được tốc độ của nơtron và của hạt nhân sau khi va chạm trong hệ toạ độ tâm khối lượng: A Av v a + = 1 0 và A v v b + = 1 0 (3.6) Khi so sánh các biểu thức (3.1) và (3.2) với biểu thức (3.6), ta nhận thấy rằng trong hệ toạ độ tâm khối lượng tốc độ của nơtron và tốc độ của hạt nhân là không thay đổi sau va chạm; nhưng chiều chuyển động của chúng thì thay đổi. Nếu đứng trong hệ toạ độ tâm khối lượng, ta nhận thấy rằng nơtron bị tán xạ dưới một góc ψ; trong khi đó nếu đứng trong hệ toạ độ phòng thí nghiệm, sẽ thấy nơtron bị tán xạ dưới góc θ. Mối liên quan giữa hai góc này được xác định khi sử dụng công thức chuyển đổi từ hệ này sang hệ khác (Hình 3.2): vVv Ca    =+ Từ hình 3.2, ta nhận thấy: v a cosψ + V C = v cosθ; nếu thay thế vào đây các biểu thức v a và V C từ (3.1) và (3.6), ta được: θψ cos. 1 cos 1 00 v A v A Av = + + + (3.7) Trên cơ sở của định lý cosin, ta có: ψ cos2 222 CaCa VvVvv ++= ψ cos )1( 2 11 2 2 0 2 0 2 0 2 A Av A v A Av v + +       + +       + = (3.8) Khi kết hợp (3.8) với (3.7), ta được: 1cos2 1cos cos 2 ++ + = ψ ψ θ AA A (3.9) Dựa trên biểu thức (3.8), ta có thể rút ra sự thay đổi của năng lượng nơtron trong quá trình va chạm với hạt nhân: 2 2 2 0 2 0 )1( cos21 A AA v v E E + ++ == ψ (3.10) Sau khi va chạm với hạt nhân, sự mất năng lượng tối đa của nơtron nếu ψ = π. Trong trường hợp này cosψ = -1 và biểu thức (3.10) trở thành: θ ψ C V  a v  v  Hình 3.2 Sơ đồ vector của các tốc độ sau va chạm 2 0 min 1 1       + − == A A E E α (3.11) Sự mất năng lượng tương đối được biểu thị như sau: α −= − 1 0 min0 E EE Khi nơtron va chạm với hạt nhân hydrogen, tức là A = 1 và α = 0, nghĩa là nơtron có thể mất toàn bộ năng lượng trong một lần va chạm duy nhất. Hệ toạ độ tâm khối lượng có thể được sử dụng để xác định hai đại lượng quan trọng trong lý thuyết làm chậm nơtron: cosin trung bình của góc tán xạ trong hệ toạ độ phòng thí nghiệm, θ cos , và tham số va chạm trung bình của năng lượng, ξ. 3.2 Cosin trung bình của góc tán xạ Để xác định các đại lượng này, chúng ta cần xác định xác suất tán xạ của các nơtron dưới một góc đã cho. Thực nghiệm chỉ ra rằng ở năng lượng của nơtron dưới 2 – 3 MeV, tán xạ sẽ là đẳng hướng trong hệ toạ độ tâm khối lượng. Trong trường hợp này: ψψ π ψψπ π ψψ d dd dP .sin 2 1 4 .sin.2 4 )( == Ω = (3.12) Xác suất để một nơtron có năng lượng E 0 và sau khi va chạm giảm xuống năng lượng E là: dE dE d PdEEP ψ ψ )().( = . Trước khi tính đạo hàm dE d ψ , chúng ta viết biểu thức (3.10) dưới dạng: [ ] ψαα cos)1()1( 2 1 0 −++= EE (3.13) Khi vi phân biểu thức này ta được: ψψα dEdE .sin)1( 2 1 0 −−= Từ đó: ψα ψ sin)1( 2 0 − −= EdE d (3.14) và cuối cùng: )1( ).( 0 α − −= E dE dEEP (3.15) Cosin trung bình của góc tán xạ, θ cos , được xác định như sau: ∫ ∫ = ++ + == π ψψ ψ ψ ψθψθ 0 2 3 2 .sin 1cos2 1cos 2 1 .cos)(cos A d AA A dP (3.16) Bảng 5 cho các giá trị của θ cos và θ đối với một loạt các nguyên tố thường gặp trong các thành phần cấu tạo của lò phản ứng hạt nhân. Đối với các nguyên tố nặng, tán xạ là hoàn toàn đẳng hướng cả trong hệ toạ độ phòng thí nghiệm. Bảng 3.2 Các thông số va chạm của một số nguyên tố. Nguyên tố A θ cos θ ξ C H 1 0,667 48 o 1,0000 18 D 2 0,333 70,5 o 0,7261 25 C 12 0,056 87 o 0,1589 114 O 16 0,042 87,5 o 0,1209 150 U 232 0,002 89,9 o 0,0084 2172 3.3 Tham số va chạm trung bình của năng lượng Sở dĩ đưa ra tham số va chạm trung bình của năng lượng (hay độ mất năng lượng logarit trung bình là để đơn giản trong quá trình tính toán. Thật vậy, ở mỗi va chạm nơtron mất đi phần tối đa năng lượng α. Chúng ta có thể biểu diễn một loạt thang logarit cho các mức năng lượng của nơtron trong quá trình va chạm: E 1 = E 0 , E 2 = αE 0 , E 3 = α 2 E 0 ,… Nếu chúng ta viết lnE 1 = a 1 , lnE 2 = a 2 , lnE 3 = a 3 ,… thì a 1 – a 2 = a 2 – a 3 = - lnα = const. Điều đó cho thấy mức thang giảm logarit năng lượng là tuyến tính. Độ mất năng lượng logarit trung bình (tham số va chạm trung bình của năng lượng) được định nghĩa như sau: ∫∫ − −===−= 0 0 0 0 )1( .ln).(ln)/ln(lnln 0 00 00 E E E E E dE E E dEEP E E EEEE αα α ξ Để tính tính phân, trước hết ta đặt x = E/E 0 : ∫ + −− += − += − = α α α α α ξ 1 2 1 1 ln 2 )1( 1ln 1 1.ln 1 1 A A A A dxx (3.17) Đối với A > 10, chúng ta có thể viết (3.17) một cách gần đúng dưới dạng: 3 2 2 + ≈ A ξ (3.18) Ngay cả khi A = 2, sai số của biểu thức (3.18) cũng không vượt quá 4%. Ta nhận thấy rằng tham số va chạm trung bình ξ không phụ thuộc vào năng lượng ban đầu của nơtron; thạm chí nó cũng không phụ thuộc vào sự mất năng lượng logarit cực đại. Trong mỗi lần va chạm, nơtron mất đi trung bình một phần năng lượng như nhau. Thông số ξ có thể được sử dụng để tính số va chạm trung bình C đối với quá trình làm chậm từ năng lượng E 0 đến năng lượng cuối cùng E f : ξ )/ln( 0 f EE C = (3.19) Nếu lấy E 0 là năng lượng phân hạch trung bình của nơtron, E 0 = 2 MeV còn E f là năng lượng của các nơtron nhiệt, E f = E T = 0,025 eV, ta thu được: ξξ 2,18)10.5,2/10.2ln( 36 == − C (3.20) Bảng 3.2 cho ta thấy tham số va chạm trung bình của năng lượng, ξ, và số va chạm trung bình cần thiết để nơtron được làm chậm từ năng lượng phân hạch đến năng lượng nhiệt đối với một số các nguyên tố. 3.4 Lethargy Trong nhiều trường hợp, để được thuận lợi hơn người ta thường sử dụng một biến đơn thay cho năng lượng. Lethargy là một hàm phụ thuộc năng lương E của nơtron được định nghĩa như sau: E dE Eddu −=−= )(ln (3.21) hay: u(E) = ln(E 0 /E) (3.22) trong đó E 0 là năng lượng trung bình của nơtron phân hạch E 0 = 2 MeV, và (3.22) có thể dược viết dưới dạng: E = E 0 e -u Sự thay đổi trung bình của lethargy khi nơtron va chạm với hạt nhân là thừa số va chạm trung bình của năng lượng nơtron: ξ ==−=∆ )/ln( 2112 EEuuu Mật độ thông lượng nơtron phụ thuộc năng lượng có thể được viết theo hàm số lethargy như sau: ф(u) du = - ф(E) dE ở đây, dấu trừ bên vế phải chỉ ra rằng E nhỏ đi khi u tăng lên. Đối với nơtron phân hạch, nghĩa là khi chưa được làm chậm, thì u(E 0 ) = 0. Từ (3.21), ta có: ф(u) = E ф(E). (3.23) 3.5 Mật độ làm chậm 3.5.1 Chất làm chậm không hấp thụ nơtron Các nơtron nhanh sinh ra trong quá trình phân hạch được làm chậm nhờ vào các va chạm với các hạt nhân của chất làm chậm, và khuếch tán trong toàn bộ lò phản ứng hạt nhân. Giả sử rằng các nơtron nhanh được tạo thành trong một môi trường làm chậm với tốc độ q nơtron/cm 3 /s, năng lượng ban đầu của chúng là E 0 . Nếu bỏ qua sự hấp thụ và rò nơtron trong quá trình làm chậm, q sẽ trình bày số nơtron được làm chậm trong một đơn vị diện tích và trong một đơn vị thời gian, và trong quá trình làm chậm “đi qua” năng lượng E. Đại lượng q(E) được gọi là mật độ chậm nơtron. Để thiết lập phương trình miêu tả quá trình làm chậm, cần thiết rút ra mối quan hệ gắn bó giữa mật độ chậm và mật độ thông lượng nơtron được làm chậm ф(E). Số nơtron từ trong 1 cm 3 và trong thời gian 1s, trong quá trình làm chậm đi qua khoảng năng lượng dE ở xung quanh năng lượng E là ф(E)Σ s (E)dE. Năng lượng của nơtron qua va chạm có thể thay đổi nhiều nhất từ E đến αE (Hình 3.3). Bởi vì xác suất để một nơtron được làm chậm từ năng lượng E đến năng lượng trong khoảng E’ và E’ + dE’ là EE dE α − − ' , nên số nơtron được làm chậm trong khoảng năng lượng dE’ sẽ là: .)()( ' dEEE EE dE s Σ − − φ α Trong quá trình làm chậm, các nơtron rơi và trong khoảng năng lượng dE’ có thể đến từ vùng năng lượng từ E’ đến E’/α, nên tổng số nơtron có năng lượng trong khoảng dE’ sau khi va chạm sẽ là: ∫ Σ − α φ α /' ' )()( ' E E s dEEE EE dE Số nơtron đi vào trong khoảng năng lượng dE’ là bằng với số nơtron đi ra từ khoảng năng lượng này sau khi va chạm. Ta có thể viết phương trình như sau: ∫ Σ − =Σ α φ α φ /' ' )()( ' ')()'( E E ss dEEE EE dE dEEE (3.24) trong đó, vế bên trái miêu tả số nơtron đi ra từ khoảng năng lương dE’, còn vế bên phải miêu tả số nơtron đi vào trong khoảng năng lượng đó. Chúng ta viết phương trình (3.24) dưới dạng khác như sau: ∫ − = α ψ α ψ /' ' )( 1 1 )'( E E E dE EE (3.25) ở đó ta đa viết ψ(E) = ф(E)Σ s (E). Nghiệm của phương trình (3.25) là: E C EEE s =Σ= )()()( φψ (3.26) E’/α dE dE’ E E’ αE dEE EE dE S Σ − )( ' φ α Hình 3.3 Sơ đồ tính mật độ chậm trong đó, C là một hằng số. Hằng số C liên quan đến mật độ làm chậm q. Từ hình 3.3, ta nhận thấy rằng mật độ chậm nơtron q(E’) miêu tả số nơtron trong 1 cm3 trong thời gian 1s đi qua năng lượng làm chậm E’. Khi nhân số nơtron bị va chạm ф(E)Σ s (E)dE trong dE với xác suất để sau khi va chạm nơtron rơi vào vùng năng lượng có gạch chéo EE EE α α − −' và lấy tích phân trên toàn bộ vùng năng lượng mà từ đó nơtron có khả năng rơi vào vùng năng lượng gạch chéo ở dưới E’, ta thu được q(E’): ∫ − − Σ= α α α φ /' ' )1( ' .)()()'( E E s E EE dEEEEq Thay thế E C EE s =Σ )()( φ ta thu được: ∫ = − +=− − = α ξα α α α α /' ' 2 )ln 1 1()'( 1 1 )'( E E CCdEEE E C Eq (3.27) Do đó, nếu không có hấp thụ và rò nơtron, mật độ chậm nơtron là một hằng số. Khi kết hợp (3.27) với (3.26) ta thu được mối liên hệ giữa mật độ thông lượng nơtron và mật độ chậm nơtron: E q E s Σ = ξ φ )( (3.28) Trong trường hợp chung, tiết diện vĩ mô tán xạ Σ s phụ thuộc yếu vào năng lượng, có thể được xem như là hằng số và mật độ thông lượng nơtron được làm chậm là tỷ lệ nghịch với năng lượng. Trong trường hợp này (Σs ≈ const.), mật độ thông lượng nơtron được viết trong thang lethargy cũng là một hằng số: s q u Σ = ξ φ )( (3.28’) Ở đây, ta đã sử dụng biểu thức (3.23). 3.5.2 Chất làm chậm có hấp thụ nơtron Đối với chất làm chậm có hấp thụ nơtron, phổ năng lượng nơtron cũng có dạng (3.28), trong đó mật độ làm chậm q phụ thuộc vào tính chất hấp thụ của môi trường. Môi trường hấp thụ nơtron thường gặp là vùng hoạt lò phản ứng gồm chất làm chậm và nhiên liệu uran, trong đó có các đồng vị U 235 và U 238 . Các U 238 hấp thụ mạnh nơtron trong dải năng lượng cộng hưởng. Do khối lượng của U 238 rất lớn nên có thể bỏ qua sự tán xạ nơtron. Khi nơtron rơi vào vùng hấp thụ cộng hưởng của U 238 thì số nơtron bị hấp thụ trong 1 cm 3 trong 1s trong khoảng năng lượng từ E đến E + dE: dq = ф(E)Σ a (E)dE (3.29) Biểu thức ф(E) trong (3.28) trong trường hợp chất làm chậm có hấp thụ nơtron được viết thành: E Eq E sa 1 )( )( )( Σ+Σ = ξ φ Thay thế ф(E) này vào biểu thức (3.29), ta được: E dE q dq E dE qdq sa a sa a )()( Σ+Σ Σ =→ Σ+Σ Σ = ξξ Sau khi lấy tích phân hai vế, ta được:         Σ+Σ Σ −= ∫ 0 )( exp)( 0 E E sa a E dE qEq ξ (3.30) ở đây, ta giả thiết các nơtron nhanh được tạo thành trong một môi trường làm chậm có hấp thụ nơtron với tốc độ q 0 nơtron/cm 3 /s, năng lượng ban đầu của chúng là E 0. Như vậy, phổ năng lượng nơtron làm chậm trong môi trường có hấp thụ nơtron là:         Σ+Σ Σ − Σ = ∫ 0 )( exp)( 0 E E sa a a E dE E q E ξξ φ (3.31) Biểu thức (3.30) cho số nơtron được làm chậm đến năng lượng E và tránh được hấp thụ công hưởng của U 238 . Khi Σ a = 0 thì q = q 0 ; do đó, xác suất tránh hấp thụ cộng hưởng là:         Σ+Σ Σ −== ∫ 0 )( exp 0 E E sa a E dE q q p ξ (3.32) [...]... làm chậm Biểu thức (3.36) miêu tả sự phụ thuộc xác suất tránh hấp thụ công hưởng vào tỷ số mật độ hạt nhân chất làm chậm Ns và mật độ hạt nhân hấp thụ Na Tỷ số này càng cao thì xác suất tránh hấp thụ cộng hưởng cành lớn Song, tỷ số này càng lớn, có nghĩa rằng vùng hoạt gồm nhiều hạt nhân làm chậm và ít hạt nhân nhiên liệu và như vậy vô hành dung ta đã giảm hệ số sử dụng nơtron nhiệt f (giảm khả năng hấp... nơtron nhiệt trong nhiên liệu U235) Do đó, người ta cần phải chọn một chế độ tối ưu giữa hai yêu cầu ngược nhau này để hệ số nhân nơtron Keff đạt giá trị cực đại đối với vùng hoạt lò phản ứng hạt nhân Biểu thức (3.36) được áp dụng cho môi trường đồng nhất (môi trường gồm các hạt nhân nhiên liệu và chất làm chậm,… được trộn đều với nhau) Nếu với cùng tỷ số Ns/Na, ta thay thế môi trường đồng nhất bằng... thanh nhiên liệu hầu hết sẽ bị hấp thụ ở bề mặt ngoài thanh do nồng độ hạt nhân U 238 rất lớn; còn các nơtron nhiệt khi đi vào thanh nhiên liệu sẽ gây ra phản ứng phân hạch hạt nhân U 235 ở cả mặt ngoài lẫn bên trong thanh Do đó, số tương đối các nơtron bị hấp thụ trong thanh nhiên liệu bị giảm đi; hiện tượng này được gọi là hiệu ứng che chắn • Như vậy, môi trường không đồng nhất có ưu điểm hơn môi... chậm chủ yếu xảy ra trong chất làm chậm (A bé) Trong chất làm chậm, các nơtron nhanh chuyển thành nơtron nhiệt mà không bị hấp thụ cộng hưởng bởi hạt nhân U238 Sau khi trở thành nơtron nhiệt, chúng mới đi vào thanh nhiên liệu để gây ra phản ứng phân hạch hạt nhân • Sau khi được làm chậm trong chất làm chậm, không phải tất cả các nơtron đều trở thành nơtron nhiệt, mà một số có thể là nơtron cộng hưởng... trong đó, Na là mật độ hạt nhân của chất hấp thụ nơtron trong 1 cm3, ví dụ mật độ của U238 Để thuận tiện, người ta dùng tiết diện hấp thụ hiệu dụng: (σ a ) eff = σ a Σs Σa + Σs (3.34) và tích phân cộng hưởng hiệu dụng: E0 I eff = ∫ (σ a ) eff E dE E (3.35) Khi đó xác suất tránh hấp thụ công hưởng có dạng:  N a I eff  p = exp −   ξN sσ s  (3.36) trong đó, Ns là mật độ hạt nhân của chất làm chậm... có năng lượng E ∫ r q(r ,τ )dV = ∫ q(r,τ )dV 2 r 2 Thay nghiệm của phương trình tuổi (3.52) vào biểu thức trên, ta được: ∞ r2 = ∫r 4 e 0 ∞ ∫r 0 2 e − r2 4τ − r2 4τ dr = 6τ dr (3.53) Như vậy, ý nghĩa vật lý của “tuổi” liên quan trực tiếp đến khoảng cách trung bình mà nơtron đã đi trong quá trình làm chậm Mặt khác, biểu thức (3.53) có thể phục vụ định nghĩa tuổi trong các trường hợp khi mà phương trình... trường hợp nguồn phẳng vô hạn có dạng: ∂ 2 q ( x,τ ) ∂q ( x,τ ) = ∂τ ∂x 2 với x ≠ 0 (3.41) Phương trình (3.33) được giải nhờ phương pháp tách biến: q ( x,τ ) = X ( x).T (τ ) Thay thế (3.42) vào (3.41) và nhân với X(x) T (τ ) ta thu được: (3.42) 1 d 2 X ( x) 1 dT (τ ) = = −α 2 2 X ( x) dx T (τ ) dτ ở đây, dấu trừ trước α2 có ý nghĩa rằng q không thể tăng cùng với τ Ta có hai phương trình sau: d2X + α 2... = x2 Q − 4τ e 4πτ (3.51) 3.7.2 Nguồn nơtron điểm trong môi trường vô hạn Trong trường hợp nguồn nơtron điểm ở trong gốc hệ toạ độ, để xác định nghiệm của phương trình tuổi Fermi, người ta sử dụng định lý về mối quan hệ giữa mật độ làm chậm của nguồn phẳng nơtron và mật độ làm chậm của nguồn điểm nơtron (2.37): q ( r ,τ ) = − 1  ∂q ( x,τ )  Q = e 2πr  ∂x  x = r (4πτ ) 3 / 2   − r2 4τ (3.52) Q(r,)... vai trò thời gian Thứ nguyên của τ là bình phương của độ dài và là một trong các hằng số đặc trưng của chất làm chậm Thông thường, đối với mỗi một chất làm chậm người ta tính toán hoặc đo đạc tuổi tương ứng với năng lượng của các nơtron nhiệt Bảng 3.3 chỉ ra các hằng số đặc trưng của các chất làm chậm Bảng 3.3 Đặc trưng khuếch tán và làm chậm của các chất làm chậm Chất làm chậm H2O D2O Be C Mật độ, ρ(g/cm3)