PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN QUẢNG XƯƠNG ĐỀ GIAO LƯU HỌC SINH GIỎI LỚP 8 CẤP CỤM NĂM HỌC 2012 2013 Môn Toán (Thời gian 120 phút không kể thời gian giao đề) Câu 1 (2 điểm) Cho biểu thức a) Rút gọn b[.]
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN QUẢNG XƯƠNG ĐỀ GIAO LƯU HỌC SINH GIỎI LỚP CẤP CỤM NĂM HỌC 2012-2013 Mơn: Tốn (Thời gian: 120 phút - khơng kể thời gian giao đề) Câu (2 điểm): Cho biểu thức a) Rút gọn biểu thức A b) Tìm giá trị nhỏ biểu thức A Câu (2 điểm): 1) Cho đa thức: chia hết cho đa thức Hãy tìm a, b, c 2) Phân tích đa thức thành nhân tử a) (1 + 2x)(1 – 2x) – x (x + 2)(x – 2) b) a4 + 64 Câu (2 điểm): a) Chứng minh nếu: x = by + cz; y = ax + cz; z = ax + by thì: b) So sánh số: Câu (3 điểm): 1) Cho hình bình hành ABCD Trên đường chéo BD lấy điểm E, F cho DE = BF Chứng minh AFCE hình bình hành 2) Cho tam giác ABC có ba góc nhọn Dựng miền ngồi tam giác hình vng BCDE, ACFG, BAHK Gọi Q đỉnh thứ tư hình bình hành KBEQ, P đỉnh thứ tư hình bình hành FCDP Chứng minh rằng: a) PFC = KQB b) PAQ tam giác vuông cân Câu (1 điểm): Chứng minh biểu thức: chia hết cho 27 với n số tự nhiên Họ tên: Số báo danh : PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN QUẢNG XƯƠNG Câu a) Điều kiện: HƯỚNG DẪN CHẤM GIAO LƯU HỌC SINH GIỎI LỚP CẤP CỤM NĂM HỌC 2012-2013 - MƠN: TỐN Thời gian làm bài: 120 phút Nội dung Điểm 0,25 đ Ta có: 0,5 đ Câu (2đ) 0,25 đ b) Ta có: Câu (2đ) (do x2 x2 + > 0) Suy ra: A => x2 = x = không thỏa mãn điều kiện Chứng minh: biểu thức khơng có giá trị nhỏ 1) Chia đa thức P(x) cho (x -1) ta dư là: a + b + c + Theo giả thiết ta có: a + b + c + = Ta lại chia cho (x - 1) = x2 + 2x + (a+3) dư là: 2a + b + Theo giả thiết ta có: 2a + b + = P chia hết cho (x – 1) Ta lại chia cho (x – 1) ta số dư là: a + Số dư Suy ra: a = -6 Từ đó: b = -2a – = c = -a – b – = -3 Vậy: a = -6; b = 8; c = -3 2) a – 4x2 – x(x2 – 4) = – x3 - 4x(x – 1) = (1 – x)(1 + 5x + x2) b 0,5 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ a) Ta có: x + y = 2cz + ax + by = 2cz + z => 2cz = x + y - z Suy ra: c = => 0,25 đ Tương tự ta có: Câu (2đ) Vậy: 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ Câu (3đ) Vậy: B = 2A 1) Gọi I giao điểm AC BD => I trung điểm AC (1) Theo giả thiết : DE = BF mà ID = IB (ABCD hình bình hành) => IE 0,25 đ 0,5 đ = IF => I trung điểm EF (2) Từ (1) (2) suy ra : AFCE hình bình hành 0,5 đ A B F I E D C 2) a Ta chứng minh : PFC = BCA = KQB (c.g.c) Suy ra: PFC = KQB (đpcm) b Theo câu a) ta có: PCF = KBQ đó: ACP = QBA => APC = QAB (c.g.c) Suy ra: AP = AQ (1) Mặt khác ta có: QAP = QAB + BAC + CAP = CPA + PCF + CAP = 1800 - ACP + PCF = 1800 - ACF = 1800 – 900 = 900 (2) Từ: (1) (2) suy đpcm Q K E H D B C A P F G Câu Ta có: (n chữ số 9) 0,5 đ 0,5 đ 0.25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ Vậy: (1 đ) (n chữ số 9) = 9(11…1 + 2n) (n chữ số 1) Tích chia hết cho Ta chứng minh tổng ngoặc chia hết cho Ta có: 11…1 + 2n = 11…1 – n + 3n (n chữ số 1) Số n số có tổng chữ số n có số dư phép chia cho (theo điều kiện chia hết cho 3) nên: 11…1 – n chia hết cho Vậy: (đpcm) (Học sinh làm cách khác cho điểm tối đa) …………………… 0,5 đ 0,5 đ PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN QUẢNG XƯƠNG ĐỀ GIAO LƯU HỌC SINH GIỎI LỚP CẤP CỤM NĂM HỌC 2012-2013 Mơn: Tốn (Thời gian: 120 phút - không kể thời gian giao đề) Câu (2 điểm): Cho biểu thức a) Rút gọn biểu thức A b) Tìm giá trị nhỏ biểu thức A Câu (2 điểm): 1) Cho đa thức: chia hết cho đa thức Hãy tìm a, b, c 2) Phân tích đa thức thành nhân tử a) (1 + 2x)(1 – 2x) – x (x + 2)(x – 2) b) a4 + 64 Câu (2 điểm): a) Chứng minh nếu: x = by + cz; y = ax + cz; z = ax + by thì: b) So sánh số: Câu (3 điểm): 1) Cho hình bình hành ABCD Trên đường chéo BD lấy điểm E, F cho DE = BF Chứng minh AFCE hình bình hành 2) Cho tam giác ABC có ba góc nhọn Dựng miền ngồi tam giác hình vng BCDE, ACFG, BAHK Gọi Q đỉnh thứ tư hình bình hành KBEQ, P đỉnh thứ tư hình bình hành FCDP Chứng minh rằng: a) PFC = KQB b) PAQ tam giác vuông cân Câu (1 điểm): Chứng minh biểu thức: chia hết cho 27 với n số tự nhiên Họ tên: Số báo danh : PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN QUẢNG XƯƠNG Câu a) Điều kiện: HƯỚNG DẪN CHẤM GIAO LƯU HỌC SINH GIỎI LỚP CẤP CỤM NĂM HỌC 2012-2013 - MƠN: TỐN Thời gian làm bài: 120 phút Nội dung Điểm 0,25 đ Ta có: 0,5 đ Câu (2đ) 0,25 đ b) Ta có: Câu (2đ) (do x2 x2 + > 0) Suy ra: A => x2 = x = không thỏa mãn điều kiện Chứng minh: biểu thức khơng có giá trị nhỏ 1) Chia đa thức P(x) cho (x -1) ta dư là: a + b + c + Theo giả thiết ta có: a + b + c + = Ta lại chia cho (x - 1) = x2 + 2x + (a+3) dư là: 2a + b + Theo giả thiết ta có: 2a + b + = P chia hết cho (x – 1) Ta lại chia cho (x – 1) ta số dư là: a + Số dư Suy ra: a = -6 Từ đó: b = -2a – = c = -a – b – = -3 Vậy: a = -6; b = 8; c = -3 2) a – 4x2 – x(x2 – 4) = – x3 - 4x(x – 1) = (1 – x)(1 + 5x + x2) b 0,5 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ a) Ta có: x + y = 2cz + ax + by = 2cz + z => 2cz = x + y - z Suy ra: c = => 0,25 đ Tương tự ta có: Câu (2đ) Vậy: 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ Câu (3đ) Vậy: B = 2A 1) Gọi I giao điểm AC BD => I trung điểm AC (1) Theo giả thiết : DE = BF mà ID = IB (ABCD hình bình hành) => IE 0,25 đ 0,5 đ = IF => I trung điểm EF (2) Từ (1) (2) suy ra : AFCE hình bình hành 0,5 đ A B F I E D C 2) a Ta chứng minh : PFC = BCA = KQB (c.g.c) Suy ra: PFC = KQB (đpcm) b Theo câu a) ta có: PCF = KBQ đó: ACP = QBA => APC = QAB (c.g.c) Suy ra: AP = AQ (1) Mặt khác ta có: QAP = QAB + BAC + CAP = CPA + PCF + CAP = 1800 - ACP + PCF = 1800 - ACF = 1800 – 900 = 900 (2) Từ: (1) (2) suy đpcm Q K E H D B C A P F G Câu Ta có: (n chữ số 9) 0,5 đ 0,5 đ 0.25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ Vậy: (1 đ) (n chữ số 9) = 9(11…1 + 2n) (n chữ số 1) Tích chia hết cho Ta chứng minh tổng ngoặc chia hết cho Ta có: 11…1 + 2n = 11…1 – n + 3n (n chữ số 1) Số n số có tổng chữ số n có số dư phép chia cho (theo điều kiện chia hết cho 3) nên: 11…1 – n chia hết cho Vậy: (đpcm) (Học sinh làm cách khác cho điểm tối đa) …………………… …, 0,5 đ 0,5 đ ... …………………… 0,5 đ 0,5 đ PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN QUẢNG XƯƠNG ĐỀ GIAO LƯU HỌC SINH GIỎI LỚP CẤP CỤM NĂM HỌC 2012-2013 Môn: Tốn (Thời gian: 120 phút - khơng kể thời gian giao đề) Câu (2 điểm):...PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN QUẢNG XƯƠNG Câu a) Điều kiện: HƯỚNG DẪN CHẤM GIAO LƯU HỌC SINH GIỎI LỚP CẤP CỤM NĂM HỌC 2012-2013 - MÔN: TOÁN Thời gian làm bài: 120... cho (x – 1) Ta lại chia cho (x – 1) ta số dư là: a + Số dư Suy ra: a = -6 Từ đó: b = -2a – = c = -a – b – = -3 Vậy: a = -6; b = 8; c = -3 2) a – 4x2 – x(x2 – 4) = – x3 - 4x(x – 1) = (1 – x)(1