BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN NGUYỄN TRƯỜNG HUYNH MỘT SỐ BẤT ĐẲNG THỨC HÌNH HỌC TRONG TAM GIÁC THIẾT LẬP TỪ HÀM LỒI LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Bình Định Năm 2020 e BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO T[.]
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN NGUYỄN TRƯỜNG HUYNH MỘT SỐ BẤT ĐẲNG THỨC HÌNH HỌC TRONG TAM GIÁC THIẾT LẬP TỪ HÀM LỒI LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Bình Định - Năm 2020 e BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN NGUYỄN TRƯỜNG HUYNH LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Đề tài MỘT SỐ BẤT ĐẲNG THỨC HÌNH HỌC TRONG TAM GIÁC THIẾT LẬP TỪ HÀM LỒI CHUYÊN NGÀNH: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP MÃ SỐ: 8460113 Người hướng dẫn: PGS TS LÊ CƠNG TRÌNH Năm 2020 e Mục lục Danh mục chữ viết tắt ký hiệu Bất đẳng thức hình học tam giác thiết lập từ bất đẳng thức Jensen bất đẳng thức liên quan 1.1 Hàm lồi số tính chất 1.2 Bất đẳng thức Jensen số bất đẳng thức liên quan 1.3 Một số bất đẳng thức hình học tam giác thiết lập từ đồng thức 1.4 12 Một số bất đẳng thức hình học tam giác thiết lập từ bất đẳng thức 19 Quan hệ trội số bất đẳng thức tam giác thiết lập từ quan hệ trội 26 2.1 Các định nghĩa tính chất liên quan 26 2.2 Quan hệ trội độ dài cạnh số bất đẳng thức liên quan 29 2.2.1 Trong tam giác 29 2.2.2 Trong tam giác cân 34 2.2.3 Trong tam giác tù 35 Quan hệ trội góc số kết 36 2.3.1 Hàm sin 37 2.3.2 Hàm cosin 43 2.3.3 Hàm tang 45 Quan hệ trội yếu tố khác số bất đẳng thức 48 2.3 2.4 e 2.4.1 Cạnh góc tam giác 48 2.4.2 Chiều cao bán kính đường trịn bàng tiếp tam giác 52 2.4.3 Cạnh, bán kính đường trịn bàng tiếp trung tuyến tam giác 54 Kết luận 56 e Danh mục chữ viết tắt ký hiệu Độ dài cạnh tam giác ABC a, b, c a s b c Nửa chu vi tam giác ABC A, B, C Các góc đỉnh tam giác ABC ; hb ; hc Các đường cao tương ứng từ đỉnh A,B,C tam giác ABC R, r Bán kính đường trịn ngoại tiếp, nội tiếp tam giác ABC ; rb ; rc Bán kính đường trịn bàng tiếp góc A, B, C ∆ Diện tích tam giác ABC P A( F P B) F P C (F P D) p∆q p∆aq p∆oq p∆iq ° f paq F hàm lồi không giảm (lồi không tăng) miền xác định F °a Q b c ° F hàm lõm không tăng (lõm không giảm) miền xác định Tam giác Tam giác nhọn Tam giác tù Tam giác cân := f paq+ f pbq+ f pcq a b b c c a := + + c a a 2 := pa bq pb cq pc aq2 pb cq2 Mk pxq Mk px; y; z q : pxyz q : [ (xk + y k : minpx; y; z q : maxpx; y; z q log x : loge x z k )] k nếu e 0 k 0, k 8 k 8 k k Lời nói đầu Bất đẳng thức nội dung khó chương trình tốn trung học phổ thông, thường gặp kỳ thi học sinh giỏi quốc gia quốc tế Đặc biệt, việc đưa hay chứng minh bất đẳng thức hình học tam giác, bất đẳng thức liên hệ đại lượng tam giác như: cạnh, góc, diện tích, bán kính đường trịn ngoại tiếp, nội tiếp, , thường khơng dễ dàng Các vấn đề thu hút nhiều người học, làm nghiên cứu toán từ năm trước Cho đến đề tài đa dạng, nhận quan tâm nhiều người Chúng ta biết rằng, bất đẳng thức liên quan đến đối tượng áp dụng, quy luật áp dụng liên hệ đa chiều với chuyên ngành Toán khác Do đó, vấn đề quan trọng đặt lĩnh vực này, nghiên cứu nguồn gốc, chất bất đẳng thức hình học tam giác để có góc nhìn tổng quan Hàm lồi, Schur- lồi (tương ứng, lõm; Schur- lõm) lớp hàm có nhiều ứng dụng quan trọng chương trình tốn trung học phổ thơng, đặc biệt ứng dụng việc đề xuất hay chứng minh bất đẳng thức Trong luận văn, nghiên cứu số bất đẳng thức hình học tam giác thiết lập từ hàm lồi (tương ứng, lõm), đặc biệt bất đẳng thức Jensen, bất đẳng thức liên quan áp dụng hàm lồi, hàm Schur-lồi (tương ứng, Schur-lõm) vào quan hệ trội đại lượng hình học tam giác Trên sở đó, chúng tơi đề xuất số bất đẳng thức liên quan đến đại lượng tam giác dựa số hàm lồi (lõm) đặc biệt Ngoài mục lục, danh mục ký hiệu, phần mở đầu phần kết luận, nội dung luận văn chúng tơi trình bày chương: e Chương Bất đẳng thức hình học tam giác thiết lập từ bất đẳng thức Jensen bất đẳng thức liên quan Trong chương chúng tơi trình bày số kiến thức chuẩn bị bất đẳng thức, tính chất áp dụng Một số bất đẳng thức liên hệ đại lượng hình học tam giác hàm lồi (tương ứng, lõm) tổng quát, dạng mệnh đề Xen vào đó, số kết đặc biệt, dạng hệ Chương Quan hệ trội số bất đẳng thức tam giác thiết lập từ quan hệ trội Trong chương trình bày số kiến thức trội, định nghĩa hàm lồi, quan hệ trội đại lượng hình học tam giác kết đạt áp dụng hàm lồi cụ thể dạng mệnh đề, hệ Đề tài hoàn thành hướng dẫn khoa học tận tình PGS TS Lê Cơng Trình Tơi xin gửi lời cảm ơn sâu sắc đến Thầy nhận lời hướng dẫn, giúp đỡ hồn thành luận văn Nhân đây, tơi xin gửi lời cảm ơn chân thành đến Ban Giám Hiệu Trường Đại học Quy Nhơn, Phòng Đào tạo Sau đại học, Khoa Tốn Thống kê q Thầy Cơ giáo giảng dạy lớp cao học Toán chuyên ngành Phương pháp Tốn sơ cấp khóa 21, tận tình giúp đỡ tạo điều kiện tốt cho thời gian học tập nghiên cứu thực đề tài Đồng thời, không quên cảm ơn đến bạn lớp, người thân động viên, đóng góp ý kiến giúp đỡ tơi thời gian qua Mặc dù luận văn thực với nỗ lực cố gắng thân, điều kiện thời gian học tập, công tác có hạn, trình độ kiến thức kinh nghiệm nghiên cứu cịn hạn chế nên chắn luận văn khó tránh khỏi thiếu sót Chúng tơi mong nhận góp ý thẳng thắn, xây dựng quý thầy cô giáo bạn học viên để luận văn hoàn thiện Quy Nhơn, tháng 05 năm 2020 Học viên Nguyễn Trường Huynh e Chương Bất đẳng thức hình học tam giác thiết lập từ bất đẳng thức Jensen bất đẳng thức liên quan Trong chương này, chúng tơi trình bày số kiến thức chuẩn bị hàm lồi (tương ứng, lõm) tính chất có liên quan, bất đẳng thức Jensen, số bất đẳng thức sinh từ bất đẳng thức Jensen, với số áp dụng bất đẳng thức Jensen để đưa số bất đẳng thức liên hệ đại lượng hình học tam giác Trong toàn luận văn này, chúng tơi kí hiệu I thay cho Ipa; bq BĐT thay cho Bất đẳng thức Và cuối chương, chúng tơi trình bày hệ thống số bất đẳng thức hình học tam giác dựa vào hàm lồi đặc biệt Nội dung chủ yếu lấy từ tài liệu tham khảo [2] [4] luận văn 1.1 Hàm lồi số tính chất Định nghĩa 1.1.1 Hàm số f pxq gọi hàm lồi (lồi dưới) I R với x, y P I với cặp số dương α, β thoả mãn α f pαx βy q ¤ αf pxq e β 1, ta có βf py q ” xảy x y, ta nói hàm số f pxq lồi thực (chặt) I R Hàm số f pxq gọi hàm lõm (lồi trên) I R với x, y P I với cặp số dương α, β thoả mãn α β 1, ta có Nếu dấu ” f pαx βy q ¥ αf pxq βf py q Nếu dấu ” ” xảy x y, ta nói hàm số f pxq lõm thực (chặt) I R Tính chất 1.1.1 Với p, q fp ¡ 0, ta có px p pf pxq qy q Ô q p qf py q q Tính chất 1.1.2 Nếu f pxq lồi (lõm) I R g pxq : cf pxq hàm lõm (lồi) I R c pc ¡ 0q Tính chất 1.1.3 Tổng hữu hạn hàm lồi (lõm) I I R R hàm lồi (lõm) Định lý 1.1.1 (Tiêu chuẩn hàm lồi) Nếu f pxq khả vi bậc hai I f pxq lồi (lõm) I f pxq ¥ pf pxq Ô 0q trờn I 1.2 Bt đẳng thức Jensen số bất đẳng thức liên quan Định lý 1.2.1 (BĐT Jensen) Giả sử f hàm lồi tập mở I x1 , x2 , , xn P I Khi ta có f x x2 n xn Ô f px1q f p x2 q n Với hàm lồi chặt, đẳng thức xảy : x1 f pxn q (1.2.1) x2 xn Chú ý 1.2.1 Khi hàm f hàm lõm tập mở I ta có BĐT ngược lại với BĐT (1.2.1) Và với hàm lõm chặt dấu ” x1 x2 xn e ” xảy Định lý 1.2.2 (BĐT Jensen tổng quát) Cho f hàm liên tục lồi I Nếu x1 , x2 , , xn f pt1 x1 P I t1, t2, , tn P p0; 1q cho t1 t2 x2 tn xn q Ô t1 f px1 q t2 t2 f px2 q Với hàm lồi chặt, đẳng thức xảy khi: x1 tn 1, ta có tn f pxn q (1.2.2) x2 xn Chú ý 1.2.2 Khi hàm f hàm lõm liên tục tập mở I ta có BĐT ngược lại với BĐT (1.2.2) Và với hàm lõm chặt dấu ” x1 x2 xn ” xảy Hệ 1.2.1 Cho f hàm liên tục lồi I Khi với xi thuộc I, với ri thuộc R , i 1, , n, ta có fp r1 f px1 q r2 f px2 q rn f pxn q r1 x1 r2 x2 rn xn q Ô r1 r2 rn r1 r2 rn Nếu hàm f hàm lõm tập mở I ta có BĐT ngược lại Hệ 1.2.2 Cho f hàm liên tục lồi I Khi với xi thuộc I, với ri thuộc R , i 1, , n, ta có fp r1 x1 r2 x2 rn xn r2 x1 r3 x2 r1 xn q fp q r1 r2 rn r1 r2 rn rn x1 r1 x2 rn1 xn fp q Ô f px1q f px2q f pxnq r1 r2 rn Nếu hàm f hàm lõm tập mở I ta có BĐT ngược lại Hai định lý sau đưa dựa vào BĐT Jensen Định lý 1.2.3 (M Petrovic) [4] Cho f : r0; 8q Ñ R hàm lồi a, b, c cạnh tam giác Khi ta có 3f p 2s q Ô f paq Ô f p0q 2f psq (1.2.3) Chú ý 1.2.3 Nếu hàm f hàm lõm ta có BĐT ngược lại với BĐT (1.2.3) Định lý 1.2.4 Cho f : r0; 8q Ñ R hàm lồi a, b, c cạnh tam giác Khi ta có 3f p s a b c s q Ô f pxq Ô f psq , x s a, y 2f p0q, s b, z s c e (1.2.4) ... quan 1.3 Một số bất đẳng thức hình học tam giác thiết lập từ đồng thức 1.4 12 Một số bất đẳng thức hình học tam giác thiết lập từ bất đẳng thức ... minh bất đẳng thức Trong luận văn, nghiên cứu số bất đẳng thức hình học tam giác thiết lập từ hàm lồi (tương ứng, lõm), đặc biệt bất đẳng thức Jensen, bất đẳng thức liên quan áp dụng hàm lồi, hàm. .. ký hiệu Bất đẳng thức hình học tam giác thiết lập từ bất đẳng thức Jensen bất đẳng thức liên quan 1.1 Hàm lồi số tính chất 1.2 Bất đẳng thức Jensen số bất đẳng thức liên