Đang tải... (xem toàn văn)
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN TRẦN BÁ CẦU BẤT ĐẲNG THỨC ERDOS MORDELL MỘT SỐ MỞ RỘNG VÀ ỨNG DỤNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Bình Định 2020 e BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY N[.]
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN TRẦN BÁ CẦU BẤT ĐẲNG THỨC ERDOS - MORDELL: MỘT SỐ MỞ RỘNG VÀ ỨNG DỤNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Bình Định - 2020 e BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN TRẦN BÁ CẦU BẤT ĐẲNG THỨC ERDOS - MORDELL: MỘT SỐ MỞ RỘNG VÀ ỨNG DỤNG Chuyên ngành: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP Mã số: 8460113 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn: TS LÊ THANH BÍNH Bình Định - 2020 e LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan nội dung trình bày luận văn trung thực không trùng lặp với đề tài khác Tôi xin cam đoan kết nêu luận văn, tài liệu tham khảo nội dung trích dẫn đảm bảo tính trung thực xác Bình Định, tháng năm 2020 Tác giả Trần Bá Cầu e Mục lục Mục lục Mở đầu i 1 BẤT ĐẲNG THỨC ERDOS-MORDELL VÀ MỘT SỐ HỆ QUẢ 1.1 1.2 1.3 Bất đẳng thức Erdos - Mordell Các hệ Một số toán áp dụng 11 14 MỘT SỐ MỞ RỘNG CỦA BẤT ĐẲNG THỨC ERDOS - MORDELL 30 2.1 2.2 2.3 Một số mở rộng bất đẳng thức Erdos - Mordell tam giác Mở rộng bất đẳng thức Erdos - Mordell cho đa giác Mở rộng bất đẳng thức Erdos - Mordell cho tứ diện KẾT LUẬN 30 49 57 60 TÀI LIỆU THAM KHẢO 61 e Mở đầu Bất đẳng thức chuyên đề Toán học nói chung, tốn phổ thơng tốn sơ cấp nói riêng Các tốn bất đẳng thức cực trị hình học thuộc loại tốn khó, thường xuyên xuất kỳ thi chọn học sinh giỏi nước quốc tế Thực phần quan trọng Tốn học kiến thức bất đẳng thức hình học làm phong phú thêm phạm vi ứng dụng Toán học Trong số nhiều bất đẳng thức hình học liên quan đến tam giác, không nhắc tới bất đẳng thức bất đẳng thức Erdos - Mordell Vì tơi chọn đề tài " BẤT ĐẲNG THỨC ERDOS - MORDELL: MỘT SỐ MỞ RỘNG VÀ ỨNG DỤNG" để làm đề tài luận văn tốt nghiệp Ngồi phần Mở đầu, Kết luận Tài liệu tham khảo, nội dung luận văn chia làm hai chương Chương BẤT ĐẲNG THỨC ERDOS-MORDELL VÀ MỘT SỐ HỆ QUẢ Chương tập trung trình bày chứng minh bất đẳng thức Erdos - Mordell Nêu hệ bất đẳng thức Erdos - Mordell ứng dụng Chương MỘT SỐ MỞ RỘNG CỦA BẤT ĐẲNG THỨC ERDOS - MORDELL Trong chương trình bày số mở rộng bất đẳng thức Erdos - Mordell tam giác mở rộng đa giác, tứ diện, với số ví dụ ứng dụng chúng e Luận văn hoàn thành hướng dẫn giúp đỡ tận tình TS Lê Thanh Bính, Khoa Tốn Thống kê, Trường Đại học Quy Nhơn Tơi xin bày tỏ kính trọng lịng biết ơn sâu sắc đến Thầy giúp đỡ suốt q trình thực luận văn Qua đây, tơi xin gửi lời cảm ơn đến quý thầy(cô) Trường Đại học Quy Nhơn, Phòng Đào tạo Sau đại học, Khoa Tốn Thống kê q Thầy, Cơ giáo giảng dạy lớp Cao học Phương pháp toán sơ cấp khóa 21 giúp đỡ tạo điều kiện thuận lợi cho tơi suốt q trình học tập nghiên cứu Mặc dù luận văn thực với nỗ lực cố gắng thân, điều kiện thời gian có hạn, trình độ kiến thức kinh nghiệm nghiên cứu hạn chế nên luận văn khó tránh khỏi thiếu sót Chúng tơi mong nhận góp ý q thầy bạn đọc để luận văn hoàn thiện Bình Định, tháng năm 2020 Học viên Trần Bá Cầu e Chương BẤT ĐẲNG THỨC ERDOS-MORDELL VÀ MỘT SỐ HỆ QUẢ Trong chương này, phát biểu trình bày cách chứng minh bất đẳng thức Erdos - Mordell, hệ số toán áp dụng Cho tam giác ABC P điểm nằm tam giác ABC Ký hiệu a, b, c độ dài cạnh BC, CA, AB , hb , hc đường cao hạ từ đỉnh A, B, C tam giác ABC, S∆ABC diện tích tam giác ABC Ký hiệu R1 , R2 , R3 khoảng cách từ điểm P tới đỉnh A, B, C tam giác ABC r1 , r2 , r3 khoảng cách từ điểm P tới cạnh BC, CA, AB tam giác ABC 1.1 Bất đẳng thức Erdos - Mordell Bất đẳng thức Erdos - Mordell phát biểu định lý sau: Định lý 1.1.1 (Xem [2]) Cho tam giác ABC điểm P nằm tam giác Khi đó, ta có bất đẳng thức R1 + R2 + R3 > 2(r1 + r2 + r3 ) (1.1) Đẳng thức xảy tam giác ABC P tâm tam giác ABC e Bất đẳng thức (1.1) có nhiều cách chứng minh khác Người chứng minh Nhà toán học L.J.Mordell vào năm 1935, sau nhiều tác giả đưa cách chứng minh khác Sau đây, xin đưa ba cách chứng minh cho bất đẳng thức Erdos - Mordell Trong cách tiếp cận đầu tiên, chứng minh c b R1 > r2 + r3 , a a a c R2 > r3 + r1 , b b b a R > r1 + r2 c c • Cách Chứng minh A R1 r3 r2 C0 P r1 C B B X Hình 1.1 Giả sử đường thẳng AX đối xứng với đường thẳng AP qua đường phân giác góc A tam giác ABC Ký hiệu B’, C’ hình chiếu vng góc điểm B, C lên AX Khi suy \0 , P[ AC = BAB \0 P[ AB = CAC e Ta có \0 + AC sin CAC \0 a > BB + CC = AB sin BAB = c sin P[ AC + b sin P[ AB r2 r3 =c +b , R1 R1 hay c b R1 > r2 + r3 a a (1.2) a c R > r3 + r1 , b b (1.3) Tương tự, ta có a b (1.4) R3 > r1 + r2 c c Cộng vế theo vế bất đẳng thức (1.2), (1.3) (1.4) ta c a c b b a R1 + R2 + R3 > + r1 + + r2 + + r3 (1.5) b c a c a b Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho vế phải bất đẳng thức (1.5), ta có R1 + R2 + R3 > 2(r1 + r2 + r3 ) Rõ ràng, dấu đẳng thức bất đẳng thức (1.5) xảy a = b = c hay tam giác ABC a = BB + C C suy B’ trùng với C’ C’ thuộc BC Từ suy AC’ vng góc với BC Vì tam giác ABC nên đường phân giác góc A AC’ Do đó, AX trùng với AP trùng với AC’, suy AP vng góc với BC Tương tự, ta có AP vng góc với AB, AP vng góc với AC hay P trực tâm tam giác ABC Vậy dấu đẳng thức (1.1) xảy tam giác ABC P tâm tam giác ABC Cách chứng minh tiếp theo, chứng minh sin B sin C + r3 , R1 > r2 sin A sin A e sin A sin C + r1 , sin B sin B sin B sin A R > r1 + r2 sin C sin C R2 > r3 • Cách Chứng minh A E E0 R1 F0 F r2 r3 P R2 r1 R3 C B D Hình 1.2 Giả sử E’, F’ hình chiếu vng góc điểm E, F lên DP Áp dụng định lý hàm số sin, ta có R1 sin A = EF > EE + F F = r3 sin B + r2 sin C, suy R > r2 sin C sin B + r3 sin A sin A (1.6) R2 > r3 sin A sin C + r1 , sin B sin B (1.7) R > r1 sin B sin A + r2 sin C sin C (1.8) Tương tự, ta có e ... 11 14 MỘT SỐ MỞ RỘNG CỦA BẤT ĐẲNG THỨC ERDOS - MORDELL 30 2.1 2.2 2.3 Một số mở rộng bất đẳng thức Erdos - Mordell tam giác Mở rộng bất đẳng thức Erdos - Mordell. .. ERDOS- MORDELL VÀ MỘT SỐ HỆ QUẢ Chương tập trung trình bày chứng minh bất đẳng thức Erdos - Mordell Nêu hệ bất đẳng thức Erdos - Mordell ứng dụng Chương MỘT SỐ MỞ RỘNG CỦA BẤT ĐẲNG THỨC ERDOS - MORDELL. .. ERDOS - MORDELL: MỘT SỐ MỞ RỘNG VÀ ỨNG DỤNG" để làm đề tài luận văn tốt nghiệp Ngồi phần Mở đầu, Kết luận Tài liệu tham khảo, nội dung luận văn chia làm hai chương Chương BẤT ĐẲNG THỨC ERDOS- MORDELL