Hướng dẫn làm bài tập tuần 1 Chỉ mang tính chất tham khảo Hồ Thái Lyen Ngày 17 tháng 3 năm 2023 1 Kiến thức trọng tâm 1 1 Hoán vị 1 1 1 Hoán vị không lặp Một tập hợp gồm n phần tử (với n ≥ 1 ) Mỗi các.
Hướng dẫn làm tập tuần Chỉ mang tính chất tham khảo Hồ Thái Lyen Ngày 17 tháng năm 2023 1.1 1.1.1 Kiến thức trọng tâm Hoán vị Hốn vị khơng lặp - Một tập hợp gồm n phần tử (với n ≥ ) Mỗi cách xếp n phần tử theo thứ tự gọi hốn vị n phần tử - Số hoán vị n phần tử Pn = n ! 1.1.2 Hoán vị lặp - Cho k phần tử khác nhau: a1 , a2 , , ak Một cách xếp n phần tử gồm n1 phần tử a1 , n2 phần tử a2 , , nk phần tử ak (n1 + n2 + + nk = n) theo thứ tự gọi hốn vị lặp cấp n kiểu (n1 , n2 , , nk ) k phần tử - Số hoán vị lặp cấp n, kiểu (n1 , n2 , , nk ) k phần tử Pn (n1 ; n2 ; n3 ) = n1 !n2n!! nk ! 1.1.3 Hốn Vị vịng quanh - Cho tập A gồm n phần tử Một cách xếp n phần tử tập A thành dãy kín gọi hốn vị vịng quanh n phần tử - Số hốn vị vịng quanh n phần tử Qn = (n − 1) ! 1.2 1.2.1 Chỉnh hợp Chỉnh hợp không lặp - Cho tập hợp A gồm n phần tử Mỗi cách xếp k phần tử A(1 ≤ k ≤ n) theo thứ tự gọi chỉnh hợp chập k n phần tử tập A n! - Số chỉnh hợp chập k n phần tử Akn = n(n − 1)(n − 2) (n − k + 1) = (n−k)! Chú ý: - Công thức cho trường hợp k = k = n - Khi k = n Ann = Pn = n ! 1.2.2 Chỉnh hợp lặp - Cho tập B gồm n phần tử Mỗi dãy gồm k phần tử B, phần tử lặp lại nhiều lần, xếp theo thứ tự định gọi chỉnh hợp lặp chập k n phần tử tập B - Số chỉnh hợp lặp chập k n phần tử: Bnk = nk 1.3 Tổ hợp - Giả sử tập A có n phần tử (n ≥ 1) Mỗi tập gồm k(1 ≤ k ≤ n) phần tử A gọi tổ hợp chập k n phần tử cho n! - Số tổ hợp chập k tập hợp có n phần tử Cnk = k!.(n−k)! k n−k Cn = Cn (0 ≤ k ≤ n) - Hai công thức quan trọng: k−1 k Cn−1 + Cn−1 = Cnk (1 ≤ k ≤ n) Chú ý (Phân biệt Chỉnh hợp Tổ họp): - Chỉnh hợp tổ hợp liên hệ công thức: Akn = k!Cnk - Chỉnh hợp: có thứ tự Tổ hợp: khơng có thứ tự ⇒ Những toán mà kết phụ thuộc vào vị trí phần tử → chỉnh hợp Ngược lại, tổ hợp - Cách lấy k phần tử từ tập n phần tử (k ≤ n) : +) Khơng thứ tự, khơng hồn lại: Cnk +) Có thứ tự, khơng hồn lại: Akn Hướng dẫn 2.1 2.1.1 Hoán vị Bài a) Điều kiện: n ≥ n! n! − (n−1)! =3 Ta có (n−2)! ⇔ n.(n − 1) − n = ⇔ n2 − 2n − = ⇔ (n − 3)(n + 1) = ⇔n=3 b) Điều kiện: n ≥ n! Ta có 20n = (n − 3)! ⇔ n.(n − 1)(n − 2) = 20n ⇔ n2 − 3n + = 20 ⇔ n2 − 3n − 18 = ⇔ (n + 3)(n − 6) = ⇔n=6 c) Điều kiện: n ≥ n! n3 + (n−2)! = 10 ⇔ n + n · (n − 1) = 10 ⇔ n3 + n2 − n − 10 = ⇔ (n − 2) n2 + 3n + = ⇔n=2 2.1.2 a) b) n2 n! Bài Ta có Pn − Pn−1 = n! − (n − 1)! = (n − 1)!.(n − 1) = (n − 1)Pn−1 ⇔ Pn − Pn−1 = (n − 1)Pn−1 Từ câu a, ta có: Pi − Pi−1 = (i − 1)Pi−1 ⇒ Pi = Pi−1 + (i − 1)Pi−1 (∗ ) Áp dụng cho i = 1, n : Pn = Pn−1 + (n − 1)Pn−1 Pn−1 = Pn−2 + (n − 2)Pn−2 Pn−2 = Pn−3 + (n − 3)Pn−3 ⇒ Pn = (n − 1)Pn−1 + (n − 2)Pn−2 + + 2P2 + P1 + c) Ta có ··· P2 = P1 + 1 = (n−1)! + (n−2)! ⇔ nn! = 1+n−1 (n−1)! ⇔ n (n − 1)! = n · n! ⇔ n · n! = n · n ! 2.1.3 Bài a) Điều kiện: n ≥ (n + 1)! n · (n − 1)! 4n! · − ≤5⇔ · ≤5 Ta có n − n + (n − 3)!4! 12(n − 3) · (n − 4)!2! n − 24 · (n − 3)! n! ⇔ ≤ ⇔ n · (n − 1) ≤ 30 ⇔ (n + 5)(n − 6) ≤ ⇔ n ≤ 6 · (n − 2)! Đối chiếu với điều kiện ta n = 4, n = 5, n = b) Điều kiện: n ≥ n! ≤ 10 ⇔ n3 + n(n − 1) ≤ 10 ⇔ n3 + n2 − n − 10 ≤ (n − 2)! ⇔ n3 − 2n2 + 3n2 − 6n + 5n − 10 ≤ ⇔ (n − 2) n2 + 3n + ≤ ⇔ n ≤ Ta có n3 + Đối chiếu với điều kiện ⇒ n = 1; n = 2.1.4 Bài a) Cho bạn C ngồi vào Hốn vị bạn cịn lại suy !, tức 24 cách xếp b) Hai bạn A E ngồi đầu ghế, hoán vị bạn cịn lại có ! Tức cách Đổi vị trí hai bạn A E có 2.6 tức 12 cách 2.1.5 Bài Coi bi màu tập hợp có tập hợp tất ⇒ có ! cách xếp tập hợp - Có ! cách để xếp bi đen - Có ! cách để xếp bi đỏ - Có ! cách để xếp bi vàng - Có ! cách để xếp bi đen Vậy có 4!3!4!5!6 ! cách xếp 2.1.6 Bài Có dãy ghế mà có 20 học sinh tức có cột học sinh Do em nối đuôi chung đề nên cột học sinh học sinh đề em ngồi cạnh đề khác nên cột cạnh đề khác (ta coi cột đề so le) Từ có 10 học sinh đề xếp vào cột tương tự với 10 học sinh cịn lại nên: - Có 10 ! cách xếp 10 học sinh vào cột đề - Có cách chọn đề cho 10 học sinh - Còn 10 học sinh lại nên có 10 ! cách xếp Như có 10!.2.10 ! cách xếp 2.1.7 Bài a) Tổng số sách có kệ 5+4+3=12 Sắp xếp cách tùy ý từ 12 sách, tức ta hoán vị 12 sách ⇒ có P12 = 12 ! cách xếp b) Xếp sách theo môn: - sách Toán, ta hoán vị sách ⇒ P5 = ! cách xếp - sách Lý, ta hoán vị sách ⇒ P4 = ! cách xếp sách Văn, ta hoán vị sách ⇒ P3 = ! cách xếp Do đó, xếp tất sách theo mơn có 3! · (3!.4!.5!) = 103680 cách xếp c) Cố định sách Toán nên ta hốn vị mơn Lý Văn ⇒ có: 2!·(3!·4!.5!) = 34560 cách xếp 2.1.8 Bài Mỗi số tự nhiên có chữ số khác hốn vị phần từ nên có ! số Vì chữ số bình đẳng nên có 7! = ! số có chữ số hàng đơn vị, ! số có chữ số 2, ! số có chữ số Tổng hàng đơn vị (1 + + + 7) · 6! = 28.6 ! Tương tự với hàng khác, nên ta có tổng cần tìm S = 28.6! + 10 + 102 + + 106 = 31111108.6! 2.1.9 Bài Nhận thấy: + = + = + = S tổng 6! = 720 số Mỗi số tổng S tương ứng số tổng cho tổng chúng 777777 Vậy, số tổng S tạo thành 120 = 60 cặp tổng cặp 777777 ⇒ S = 60.777777 = 279999720 2.1.10 Bài 10 a) Gọi số cần tìm 9abcd Từ chữ số: 1, 3, 5, Ta lập ! số tự nhiên có chữ số khác bắt đầu chữ số ⇒ có 4! = 24 cách chọn để số có chữ số bắt đầu chữ số b) Từ chữ số cho, ta lập ! số tự nhiên có chữ số khác Tương tự với câu a, số số bắt đầu chữ số ! ⇒ có 5! − 4! = 96 số có chữ số khác không bắt đầu chữ số c) Gọi số cần tìm 19abc Từ chữ số cịn lại: 3, 5, Ta lập ! Số tự nhiên có chữ số khác bắt đầu 19 ⇒ có 3! = cách chọn để số có chữ số bắt đầu 19 d) Số số tự nhiên có chữ số khác bắt đầu 135 (từ chữ số khác đề bài) 13579 13597 ⇒ có 5! − = 118 số có chữ số khác không bắt đầu 135 2.1.11 Bài 11 Xét số mà số cạnh Chọn cố định vị trí cho hai số đứng cạnh nhau, theo chiều xi có cách Đổi lại có 5.2 tức 10 cách Hốn vị số cịn lại, có 4!.10 = 240 số Hoán vị chữ số ! Số Phủ định, có 6! − 240 = 480 số cần lập 2.1.12 Bài 12 a) Có tổng cộng học sinh Lấy học sinh làm mốc, hốn vị bạn cịn lại, có ! cách xếp b) Cố định hai A1 B1 ngồi cạnh nhau, có ! cách xếp bạn cịn lại Như có !-6! cách xếp để A1 không ngồi cạnh B1 c) Cố định hai bạn nữ ngồi cạnh nhau, suy có cách xếp Hốn vị bạn cịn lại, suy có ! cách xếp Do bàn trịn nên có 7!−3.6! = 1440 cách xếp 2.2 2.2.1 Chỉnh hợp Bài a) Điều kiện: n ≥ 4, n ∈ N Pn+2 (n−2)! Ta có An−4 = 210 ⇔ (n−1)! = 210 ⇔ ·P n−1 3! 3! (n+2)! (n−1)! = 210 ⇔ A3n+2 = A37 ⇔ n + = ⇔ n = (thỏa mãn) b) Điều kiện: n ≥ 3,n ∈ N Ta có: A3n + 3A2n = Pn+1 ⇔ · n! (n−3)! +6· n! (n−2)! = (n + 1)n! ⇔ (n−3)! + (n−2)! =n+1 V T = (n−3)! + (n−2)! < VP =n+1>5 + (n−2)! > V T = (n−3)! - Với n < VP =n+1 1! + 2! =2+3=5 1! + 2! =2+3=5 1! + 2! =2+3=5 ⇒ vô nghiệm ⇒ vơ nghiệm ⇒ PT có nghiệm x = 2Pn + 6A2n − Pn A2n = 12 ⇔ 2.n! + 6n(n − 1) − n!.n(n − 1) = 12 ⇔ n! n2 − n − − n2 − n − = n=3 ⇔ (n! − 6) n2 − n − = ⇔ n! = = 3! ⇔ n2 − n − = ⇔ n = n = −1 Đối chiếu điều kiện ta nhận hai giá trị thỏa mãn n = 2; n = 2.2.2 Bài a) Điều kiện: x ≥ 10, x ∈ N 10 A10 x + Ax = 9Ax ⇔ Ax + x! x! x! x! =9· ⇔ A10 · (x − 10) = · · (x − 10)(x − 9) x + (x − 9)! (x − 8)! (x − 10)! (x − 10)! 10 10 10 ⇔ A10 x + (x − 10)Ax = 9(x − 10)(x − 9)Ax ⇔ Ax [9(x − 10)(x − 9) − − x + 10] = x=9 x−9=0 10 ⇔ 9(x − 9)(9x − 91)Ax = ⇔ ⇔ 9x − 91 = x = 91 Đối chiếu với điều kiện ta thấy phương trình vơ nghiệm b) Điều kiện: x ≥ 2, x ∈ N Px A2x + 72 = A2x + 2Px ⇔ A2x (Px − 6) − (Px − 6) = ⇔ A2x − (Px − 6) = Ax = = A22 x=2 ⇔ ⇔ (đều thỏa mãn) Px = = P3 x=3 Vậy phương trình có nghiệm x = x = DK c) Điều kiện: x ≥ 2, x ∈ N Ta có 2A2x + 50 = A22x ⇔ 2x(x − 1) + 50 = 2x(2x − 1) ⇔ 2x2 − 50 = −→ x = 2.2.3 Bài a) Điều kiện: x ≥ y; x ≥ 1; x, y ∈ N Ay+1 x+1 · Px−y = 72 ⇔ Px−1 Ta có (x+1)! (x−y)! · (x − y)! (x − 1)! = 72 ⇔ (x + 1)x(x − 1)! = 72 (x − 1)! DK ⇔ x + x − 72 = −→ x = b) Điều kiện: n ≥ 5, n ∈ N Ta có Pn+3 = 720A5n · Pn−5 ⇔ (n + 3)! = 720 · n! (n + 3)! · (n − 5)! ⇔ = 720 ⇔ A3n+3 = A310 (n − 5)! n! ⇔ n + = 10 ⇔ n = (thỏa mãn) c) Điều kiện: n ≥ 6, n ∈ N DK A6n + A5n = A4n ⇔ A6n + (n − 6)A6n = (n − 6)(n − 5)A6n ⇔ A6n (n − 5)(n − 7) = −→ n = 2.2.4 Bài a) Điều kiện: n ≥ 3, n ∈ N Ta có A3n + 15 < 15n ⇔ n(n − 1)(n − 2) − 15(n − 1) < ⇔ (n − 1) n2 − 2n − 15 < n < −3 ⇔ (n − 1)(n + 3)(n − 5) < ⇔ 1