Học thêm toán Đạisố8 – Chương 2 I. PHÂNTHỨCĐẠISỐ VẤN ĐỀ I. Tìm điều kiện để phânthức có nghĩa Bài 1. Tìm điều kiện xác định của phân thức: a) 169 4 2 2 − − x x b) 44 12 2 +− − xx x c) 1 4 2 2 − − x x d) xx x − − 2 2 35 e) x x x 2 2 5 6 1 − + − f) x x 2 ( 1)( 3)+ − g) x x x 2 2 1 5 6 + − + Bài 2. Tìm điều kiện xác định của phân thức: a) x y 2 2 1 + b) x y x x x 2 2 2 2 1 + − + c) x y x x 2 5 6 10 + + + d) x y x y 2 2 ( 3) ( 2) + + + − VẤN ĐỀ II. Tìm điều kiện để phânthức bằng 0 Bài 1. Tìm các giá trị của biến số x để phânthức sau bằng không: a) x x 2 1 5 10 − − b) x x x 2 2 − c) x x 2 3 4 5 + − d) x x x x 2 ( 1)( 2) 4 3 − + − + e) x x x x 2 ( 1)( 2) 4 3 − + − + f) x x x 2 2 1 2 1 − − + Bài 2. Tìm các giá trị của biến số x để phânthức sau bằng không: a) x x x 2 2 4 3 10 − + − b) x x x x x 3 3 2 16 3 4 − − − c) x x x x x 3 2 3 1 2 3 + − − + − VẤN ĐỀ III. Chứng minh một phânthức luôn có nghĩa Bài 1. Chứng minh các phânthức sau luôn có nghĩa: a) x 2 3 1+ b) x x 2 3 5 ( 1) 2 − − + c) x x x 2 5 1 2 4 + + + d) x x x 2 2 4 4 5 − − + − e) x x x 2 5 7 + + + Bài 2. Chứng minh các phânthức sau luôn có nghĩa: a) x y x y 2 2 2 1 + + + b) x y x 2 2 4 2 2+ − + CHƯƠNG II: PHÂNTHỨCĐẠISỐ Trang 11 Đạisố8 – Chương 2 Học thêm toán II. TÍNH CHẤT CƠ BẢN CỦA PHÂNTHỨCĐẠISỐ VẤN ĐỀ I. Phânthức bằng nhau Bài 1. Chứng minh các đẳng thức sau: a) y xy x x 3 6 ( 0) 4 8 = ≠ b) x x y y y 2 2 3 3 ( 0) 2 2 − = ≠ − c) x y x y y x 2( ) 2 ( ) 3( ) 3 − − = ≠ − d) xy xy a y a ay 2 2 8 ( 0, 0) 3 12 = ≠ ≠ e) x x y y y 1 1 ( 2) 2 2 − − = ≠ − − f) a a b b b 2 2 ( 0) 5 5 − = ≠ − Bài 2. Chứng minh các đẳng thức sau: a) x x x x x x x 3 3 2 2 2 ( 0) ( 2 4) − − = ≠ − + + b) x x(x y x y x y y x 2 2 3 3 ) ( ) − − = ≠ ± + − c) x y a x y a x y a a x y 2 2 3 ( ) ( 0, ) 3 9 ( ) + + = ≠ ≠ − + Bài 3. Với những giá trị nào của x thì hai phânthức sau bằng nhau: a) x x x 2 2 5 6 − − + và x 1 3− Bài 4. Cho hai phânthức A và B. Hãy xét sự bằng nhau của chúng trong các trường hợp sau: i) x N∈ ii) x Z∈ iii) x Q∈ a) x x A x (2 1)( 2) 3(2 1) + − = + , x B 2 3 − = Bài 5. Cho ba phânthức A, B và C. Hãy xét sự bằng nhau của chúng trong các trường hợp sau: i) x N∈ ii) x Z∈ iii) x Q∈ a) x A 1 5 + = , x x B x ( 1)( 2) 5( 2) + + = + , x x C x ( 1)(3 2) 5(3 2) + − = − VẤN ĐỀ II. Rút gọn phânthức Bài 1. Rút gọn các phânthức sau: a) x5 10 b) xy y y 4 ( 0) 2 ≠ c) x y xy xy 2 3 21 ( 0) 6 ≠ d) x y2 2 4 + e) x y x y x y 5 5 ( ) 3 3 − ≠ − f) x x y x y y x 15 ( ) ( ) 3( ) − − ≠ − Bài 2. Rút gọn các phânthức sau: a) x x x x x 2 2 16 ( 0, 4) 4 − ≠ ≠ − b) x x x x 2 4 3 ( 3) 2 6 + + ≠ − + c) x x y y x y y x y 3 2 15 ( ) ( ( ) 0) 5 ( ) + + + ≠ + d) x y y x x y x y 5( ) 3( ) ( ) 10( ) − − − ≠ − e) x y x y x y x y x y 2 2 5 5 ( ) 2 2 5 5 + + + ≠ − + − − f) x xy x y y xy y 2 2 ( , 0) 3 3 − ≠ ≠ − g) ax ax a b x b bx 2 2 2 4 2 ( 0, 1) 5 5 − + ≠ ≠ ± − h) x xy x x y x x y 2 3 2 4 4 ( 0, ) 5 5 − ≠ ≠ − i) x y z x y z x y z 2 2 ( ) ( 0) + − + + ≠ + + k) x x y y x x y x xy 6 3 3 6 7 6 2 ( 0, ) + + ≠ ≠ ± − Trang 12 Học thêm toán Đạisố8 – Chương 2 Bài 3. Rút gọn, rồi tính giá trị các phânthức sau: a) x x x A x x x 2 2 3 (2 2 )( 2) ( 4 )( 1) + − = − + với x 1 2 = b) x x y xy B x y 3 2 2 3 3 − + = + với x y5, 10= − = Bài 4. Rút gọn các phânthức sau: a) a b c a b c 2 2 ( )+ − + + b) a b c ab a b c ac 2 2 2 2 2 2 2 2 + − + − + + c) x x x x x x 3 2 3 2 2 7 12 45 3 19 33 9 − − + − + − Bài 5. Rút gọn các phânthức sau: a) a b c abc a b c ab bc ca 3 3 3 2 2 2 3+ + − + + − − − b) x y z xyz x y y z z x 3 3 3 2 2 2 3 ( ) ( ) ( ) − + + + + + + − c) x y z xyz x y y z z x 3 3 3 2 2 2 3 ( ) ( ) ( ) + + − − + − + − d) a b c b c a c a b a b c b c a c a b 2 2 2 4 2 2 4 2 2 4 2 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) − + − + − − + − + − e) a b c b c a c a b ab ac b bc 2 2 2 2 2 3 2 ( ) ( ) ( )− + − + − − − + f) x x x x x x x x 24 20 16 4 26 24 22 2 1 1 + + + + + + + + + + Bài 6. Tìm giá trị của biến x để: a) P x x 2 1 2 6 = + + đạt giá trị lớn nhất ĐS: P khi x 1 max 1 5 = = − b) x x Q x x 2 2 1 2 1 + + = + + đạt giá trị nhỏ nhất ĐS: Q khi x 3 min 1 4 = = Bài 7. Chứng minh rằng phânthức sau đây không phụ thuộc vào x và y: a) x a a a x x a a a x 2 2 2 2 2 2 ( )(1 ) 1 ( )(1 ) 1 + + + + − − + + b) xy x y x x y y x 2 3 3 2 2 9 1 1 , 1 1 3 1 3 − + − − − ≠ ≠ ÷ − − c) ax a axy ax ay a x y x y 2 ( 1, 1) 1 1 − + − − − ≠ − ≠ − + + d) x a x x a 2 2 ( ) 2 + − + e) x y x y ay ax 2 2 ( )( ) − + − f) ax x y ay ax x y ay 2 2 3 3 4 6 9 6 − − + + + + Trang 13 Đạisố8 – Chương 2 Học thêm toán III. CÁC PHÉP TOÁN VỀ PHÂNTHỨC VẤN ĐỀ I. Qui đồng mẫu thức của nhiều phânthức Bài 1. Tìm điều kiện để các phânthức sau có nghĩa và tìm mẫu thức chung của chúng: a) x xy , 16 20 b) x y 1 3 , 4 6 c) xy y , 8 15 d) x y y x , 2 2 e) xy yz xz , , 8 12 24 f) xy yz zx z x y , , 2 3 4 Bài 2. Tìm điều kiện để các phânthức sau có nghĩa và tìm mẫu thức chung của chúng: a) x 5 2 4− , x 4 3 9− , x 7 50 25− b) x a4 2+ , y a4 2− , z a 2 4 − c) a b 2 2 , x a b2 2+ , y a b 2 2 − d) x 3 2 6+ , x x x 2 2 6 9 − + + e) x x 2 1 2 1− + , x x 2 2 2+ f) x x 4 2 1 1 + − , x 2 1+ Bài 3. Qui đồng mẫu thức các phânthức sau: a) x x x 2 2 7 15+ − , x x x 2 2 3 10 + + − , x 1 5+ b) x x 2 1 3 2− + − , x x 2 1 5 6+ − , x x 2 1 4 3− + − c) x 3 3 1− , x x x 2 2 1+ + , x x 1− d) x x xy y z 2 2 2 2− + − , y x yz y z 2 2 2 2+ − − , z x xz y z 2 2 2 2− − + VẤN ĐỀ II. Thực hiện các phép toán trên phânthức Bài 1. Thực hiện phép tính: a) x x5 1 5 5 − − + b) x y y2 88 − + c) x x x xy xy 2 1 4− − + d) xy x y xy x y xy xy 2 2 2 2 5 4 3 3 − + + e) x x x a b a b a b 1 1 3+ − + + + − − − f) 2 3 2 3 5 4 3 4 2 2 − + + xy y xy y x y x y g) x xy xy y y x x y y x x y 2 2 2 2 2 2− + − + + − − − Bài 2. Thực hiện phép tính: a) x x2 4 2 10 15 + − + b) x x x3 2 1 2 10 15 20 − − + + c) x x x x 2 2 1 3 2 2 2 2 + + + − − d) 2 42 1 12 2 2 21 xx x x x x − + − + − e) x x y xy y xy x 2 2 2 − + − − f) x x x x x 2 2 6 1 6 3 2 4 + + − + − g) x xy y x x y xy y x 2 2 10 5 2 2 − − + + + h) x x y x y x y 2 2 2 1 3− + + + − − i) x y x y x y 2 2 + + + + Bài 3. Thực hiện phép tính: a) 2 2 2 2 2 4 2 2 4 x y x xy xy y x y + + + − − b) xy x y x y y x x xy y 3 3 2 2 1 3 − + + − − + + c) x y x x y x xy y x x xy 2 2 2 2 2 16 2 2 4 2 + − + + − − + d) x x x x x x 2 4 8 16 1 1 2 4 8 16 1 1 1 1 1 1 + + + + + − + + + + + Trang 14 Học thêm toán Đạisố8 – Chương 2 Bài 4. Thực hiện phép tính: a) x x1 3 3 2 2 − + − b) x y x y y x x 2 2( )( ) 2+ − − − c) x x x y x y 3 1 2 3+ − − + + d) xy x x y y x 2 1 2 2 − − − − e) 2 2 4 1 7 1 3 3 x x x y x y − − − Bài 5. Thực hiện phép tính: a) x x4 1 3 2 2 3 + + − b) x x x x x x 2 3 9 3 3 + − + − − c) x x x x 2 2 3 1 1 + − − + d) x x x x 2 1 4 10 8 3 2 3 2 9 4 − + − − − + − e) x x x x x 2 2 3 2 1 2 2 2 1 − + − + − f) x x x y x y 3 5 5 10 10 − + − g) a a a a a a a 2 3 2 4 3 5 1 2 6 1 1 1 − + − − − − − + + h) x y x y xy y 2 2 5 3 2− − − i) x y y x y x xy 2 2 2 9 3 9 3 + − − + k) 12 23 1 6 12 23 222 ++ − − − − +− + xx x xxx x l) 2 3 6 2 6 2 6 x x x x − − + + m) x x x 4 2 2 1 1 1 + + − + n) a a a a 2 3 5 10 15 1 ( 1) 1 − − + − + + Bài 6. Thực hiện phép tính: a) x x y 1 6 . b) x xy y 2 2 2 .3 c) 2 3 2 15 2 . 7 x y y x d) x y x y x 2 3 2 . 5 − e) 5 10 4 2 . 4 8 2 x x x x + − − + f) 2 36 3 . 2 10 6 x x x − + − g) x y xy x y x y 2 2 2 2 9 3 . 2 6 − − h) x y x y xy y x 2 2 2 3 3 15 . 5 2 2 − − i) a b a b a b a ab b 3 3 2 2 2 2 6 6 . 3 3 2 − + + − + Bài 7. Thực hiện phép tính: a) x x 2 2 5 : 3 6 b) x y x y 2 5 2 2 18 16 : 5 − ÷ c) x y xy 3 5 2 25 :15 3 d) x y x y xy x y 2 2 2 : 3 6 − + e) a ab a b b a a b 2 2 2 : 2 2 + + − − f) x y x xy y x x y 2 2 2 : 3 3 + + − − g) 2 2 1 4 2 4 : 4 3 x x x x x − − + h) 12 9 : 44 155 2 2 ++ − + − xx x x x i) 12 64 : 77 486 2 2 +− − − + xx x x x k) 12 36 : 55 244 2 2 ++ − + − xx x x x l) 12 49 : 55 213 2 2 ++ − + + xx x x x m) 1 66 : )1( 33 2 2 + − + − x x x x Bài 8.Thực hiện phép tính: a) 2 1 2 1 : 2 1 − − + − ÷ ÷ + + x x x x x x b) 2 2 961 106 : 13 2 31 3 xx xx x x x x +− + + + − c) + − + − + + − 93 3 3 : 3 1 9 9 23 x x xx x x xx d) 1 2 3 : : 2 3 1 + + + ÷ + + + x x x x x x Bài 9. Rút gọn các biểu thức sau: Trang 15 Đạisố8 – Chương 2 Học thêm toán a) x y x y 1 1 1 1 + − b) x x x x x x x x 1 1 1 1 − − + + − − c) x x x 1 1 1 − − + d) x x x 2 2 2 1 1 2 1 1 − + − − − e) x y y x x y x y x y x y + − + + + − f) a x x a a x a x x a a x − + − + − + Bài 10.Tìm các giá trị nguyên của biến số x để biểu thức đã cho cũng có giá trị nguyên: a) x x x 3 2 2 1 − + − b) x x x 3 2 2 4 2 − + − c) x x x x 3 2 2 2 2 2 1 + + + + d) x x x x 3 2 3 7 11 1 3 1 − + − − e) x x x x x 4 4 3 2 16 4 8 16 16 − − + − + Bài 11. * Phân tích các phânthức sau thành tổng các phânthức mà mẫu thức là các nhị thức bậc nhất: a) x x x 2 2 1 5 6 − − + b) x x x x x 2 2 6 ( 1)( 2)( 4) + + − − − c) x x x x x 2 3 3 12 ( 1)( 2) + + − + Bài 12. * Tìm các số A, B, C để có: a) x x A B C x x x x 2 3 3 2 2 1 ( 1) ( 1) ( 1) − + = + + − − − − b) x x A Bx C x x x x 2 2 2 2 1 1 ( 1)( 1) 1 + − + = + − − + + Bài 13. * Tính các tổng: a) a b c A a b a c b a b c c a c b( )( ) ( )( ) ( )( ) = + + − − − − − − b) a b c B a b a c b a b c c a c b 2 2 2 ( )( ) ( )( ) ( )( ) = + + − − − − − − Bài 14. * Tính các tổng: a) A n n 1 1 1 1 1.2 2.3 3.4 ( 1) = + + + + + HD: k k k k 1 1 1 ( 1) 1 = − + + b) B n n n 1 1 1 1 1.2.3 2.3.4 3.4.5 ( 1)( 2) = + + + + + + HD: k k k k k k 1 1 1 1 1 ( 1)( 2) 2 2 1 = + − ÷ + + + + Bài 15. * Chứng minh rằng với mọi m N∈ , ta có: a) m m m m 4 1 1 4 2 1 ( 1)(2 1) = + + + + + b) m m m m m m 4 1 1 1 4 3 2 ( 1)( 2) ( 1)(4 3) = + + + + + + + + c) m m m m m m 4 1 1 1 8 5 2( 1) 2( 1)(3 2) 2(3 2)(8 5) = + + + + + + + + d) m m m m m 4 1 1 1 3 2 1 3 2 ( 1)(3 2) = + + + + + + + Trang 16 Học thêm toán Đạisố8 – Chương 2 BÀI TẬP ÔN CHƯƠNG II Bài 1. Thực hiện phép tính: a) x x x x 2 2 2 8 2 1 1 ( 3)( 1) 3 + + + + − + b) x y x y y x y x y x y 2 2 2 2 2( ) 2( ) + − − + − + − c) x x x x x x x x 3 3 2 3 2 1 1 3 2 − + − + − − + d) xy x a y a x b y b ab a a b b a b ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) − − − − + − − − e) x x x x x x 3 2 1 1 1 1 1 1 − − + − + − + f) x x x x x x 3 2 2 2 20 5 3 2 2 4 + − − − + + − − g) x y x y x y xy x y x y xy x y 2 2 2 2 . 1 . 2 − + + + + ÷ ÷ + − + h) a b b c b c c a c a a b 1 1 1 ( )( ) ( )( ) ( )( ) + + − − − − − − i) a b c a b c a b c a c ac b 2 2 2 2 2 ( ) ( ) ( )( 2 ) − + + − + + + − − k) x y x y x y xy x y y x x 2 2 2 2 1 : − − − − ÷ + Bài 2. Rút gọn các phân thức: a) x x x 2 2 25 20 4 25 4 − + − b) x xy y x y 2 2 3 3 5 10 5 3 3 + + + c) x x x x 2 3 2 1 1 − − − + d) x x x x 3 2 4 4 4 16 + − − − e) x x x x x 4 3 2 2 2 4 20 13 30 9 (4 1) − + + + − Bài 3. Rút gọn rồi tính giá trị các biểu thức: a) a b c ab a b c ac 2 2 2 2 2 2 2 2 + − + − + + với a b c4, 5, 6= = − = b) x xy x xy 2 2 16 40 8 24 − − với x y 10 3 = c) x xy y x xy y x y x y x x y x y 2 2 2 2 2 + + − + − + − − − + với x y9, 10= = Bài 4. Biểu diễn các phânthức sau dưới dạng tổng của một đa thức và một phânthức với bậc của tử thức nhỏ hơn bậc chủa mẫu thức: a) x x 2 2 3 1 + − b) x x 2 2 1 1 − + c) x x x x x 4 3 2 2 4 5 1 − + − + + d) x x x x 5 4 2 3 1 − − − + Bài 5. Tìm các giá trị nguyên của x để biểu thức sau cũng có giá trị nguyên: a) x 1 2+ b) x 1 2 3 − + c) x x x 3 2 2 1 − + − d) x x x 3 2 2 4 2 − + − Bài 6. Cho biểu thức: x x P x x 2 3 3 ( 1)(2 6) + = + − . a) Tìm điều kiện xác định của P. b) Tìm giá trị của x để P 1= . Bài 7. Cho biểu thức: x P x x x x 2 2 5 1 3 2 6 + = − + + − + − Trang 17 Đạisố8 – Chương 2 Học thêm toán a) Tìm điều kiện xác định của P. b) Rút gọn biểu thức P. c) Tìm x để P 3 4 − = . d) Tìm các giá trị nguyên của x để biểu thức P cũng có giá trị nguyên. e) Tính giá trị của biểu thức P khi x 2 –9 0= . Bài 8. Cho biểu thức: a a P a a a 2 2 2 ( 3) 6 18 1 2 6 9 + − = × − ÷ + − . a) Tìm điều kiện xác định của P. b) Rút gọn biểu thức P. c) Với giá trị nào của a thì P = 0; P = 1. Bài 9. Cho biểu thức: x x P x x 2 2 1 2 2 2 2 + = + − − . a) Tìm điều kiện xác định của P. b) Rút gọn biểu thức P. c) Tìm giá trị của x để P 1 2 = − . Bài 10.Cho biểu thức: x x x x P x x x x 2 2 5 50 5 2 10 2 ( 5) + − − = + + + + . a) Tìm điều kiện xác định của P. b) Tìm giá trị của x để P = 1; P = –3. Bài 11.Cho biểu thức: x P x x x x 2 3 6 5 2 3 2 1 (2 3)(2 3) + = + − + + + − . a) Tìm điều kiện xác định của P. b) Rút gọn biểu thức P. c) Tìm giá trị của x để P = –1. Bài 12.Cho biểu thức: x P x x x x 1 2 2 10 5 5 ( 5)( 5) + = + − + − + − . a) Tìm điều kiện xác định của P. b) Rút gọn biểu thức P. c) Cho P = –3. Tính giá trị của biểu thức Q x x 2 9 –42 49= + . Bài 13.Cho biểu thức: P x x x 2 3 1 1 8 3 3 9 = + − + − − . a) Tìm điều kiện xác định của P. b) Rút gọn biểu thức P. c) Tìm giá trị của x để P = 4. Bài 14.Cho biểu thức: x x x P x x x x 2 2 2 10 50 5 5 25 5 − + = + + + + . a) Tìm điều kiện xác định của P. b) Rút gọn biểu thức P. c) Tìm giá trị của x để P = –4. Bài 15.Cho biểu thức: x x P x 2 3 3 6 12 8 + + = − a) Tìm điều kiện xác định của P. b) Rút gọn biểu thức P. Trang 18 Học thêm toán Đạisố8 – Chương 2 c) Tính giá trị của P với x 4001 2000 = . Bài 16.Cho biểu thức: x x x x P x x x x x 2 3 2 1 1 2 1 . : 1 1 1 2 1 + + + = − ÷ ÷ − + − + + . a) Tìm điều kiện xác định của P. b) Rút gọn biểu thức P. c) Tính giá trị của P khi x 1 2 = . Bài 17.Cho biểu thức: x x x x P x x x x 2 2 5 50 5 2 10 2 ( 5) + − − = + + + + . a) Tìm điều kiện xác định của P. b) Rút gọn biểu thức P. c) Tìm giá trị của x để P = 0; P = 1 4 . d) Tìm giá trị của x để P > 0; P < 0. Bài 18.Cho biểu thức: x x x P x x x 2 2 1 3 3 4 4 . 2 2 2 2 5 1 + + − = + − − + − . a) Tìm điều kiện xác định của P. b) CMR: khi giá trị của biểu thức được xác định thì nó không phụ thuộc vào giá trị của biến x? Bài 19.Cho biểu thức: x x x P x x x 2 2 2 2 5 2 5 2 100 . 10 10 4 + − − = + ÷ − + + . a) Tìm điều kiện xác định của P. b) Rút gọn biểu thức P. c) Tính giá trị của P khi x = 20040. Bài 20.Cho biểu thức: x x P x x 2 2 10 25 5 − + = − . a) Tìm điều kiện xác định của P. b) Tìm giá trị của x để P = 0; P 5 2 = . c) Tìm giá trị nguyên của x để P cũng có giá trị nguyên. Trang 19 . Bài 2. Thực hiện phép tính: a) x x2 4 2 10 15 + − + b) x x x3 2 1 2 10 15 20 − − + + c) x x x x 2 2 1 3 2 2 2 2 + + + − − d) 2 42 1 12 2 2 21 xx x x x x − + − + − e) x x y xy y xy x 2 2 2. x 5 2 4− , x 4 3 9− , x 7 50 25 − b) x a4 2+ , y a4 2 , z a 2 4 − c) a b 2 2 , x a b2 2+ , y a b 2 2 − d) x 3 2 6+ , x x x 2 2 6 9 − + + e) x x 2 1 2 1− + , x x 2 2 2+ f) x x 4 2 1 1 + − ,. 4 2 . 4 8 2 x x x x + − − + f) 2 36 3 . 2 10 6 x x x − + − g) x y xy x y x y 2 2 2 2 9 3 . 2 6 − − h) x y x y xy y x 2 2 2 3 3 15 . 5 2 2 − − i) a b a b a b a ab b 3 3 2 2 2 2 6 6 . 3 3 2 −