dai so 8 - chuong 2: Phân thức đại số

Học thêm toán Đại số 8 – Chương 2 I. PHÂN THỨC ĐẠI SỐ VẤN ĐỀ I. Tìm điều kiện để phân thức có nghĩa Bài 1. Tìm điều kiện xác định của phân thức: a) 169 4 2 2 − − x x b) 44 12 2 +− − xx x c) 1 4 2 2 − − x x d) xx x − − 2 2 35 e) x x x 2 2 5 6 1 − + − f) x x 2 ( 1)( 3)+ − g) x x x 2 2 1 5 6 + − + Bài 2. Tìm điều kiện xác định của phân thức: a) x y 2 2 1 + b) x y x x x 2 2 2 2 1 + − + c) x y x x 2 5 6 10 + + + d) x y x y 2 2 ( 3) ( 2) + + + − VẤN ĐỀ II. Tìm điều kiện để phân thức bằng 0 Bài 1. Tìm các giá trị của biến số x để phân thức sau bằng không: a) x x 2 1 5 10 − − b) x x x 2 2 − c) x x 2 3 4 5 + − d) x x x x 2 ( 1)( 2) 4 3 − + − + e) x x x x 2 ( 1)( 2) 4 3 − + − + f) x x x 2 2 1 2 1 − − + Bài 2. Tìm các giá trị của biến số x để phân thức sau bằng không: a) x x x 2 2 4 3 10 − + − b) x x x x x 3 3 2 16 3 4 − − − c) x x x x x 3 2 3 1 2 3 + − − + − VẤN ĐỀ III. Chứng minh một phân thức luôn có nghĩa Bài 1. Chứng minh các phân thức sau luôn có nghĩa: a) x 2 3 1+ b) x x 2 3 5 ( 1) 2 − − + c) x x x 2 5 1 2 4 + + + d) x x x 2 2 4 4 5 − − + − e) x x x 2 5 7 + + + Bài 2. Chứng minh các phân thức sau luôn có nghĩa: a) x y x y 2 2 2 1 + + + b) x y x 2 2 4 2 2+ − + CHƯƠNG II: PHÂN THỨC ĐẠI SỐ Trang 11 Đại số 8 – Chương 2 Học thêm toán II. TÍNH CHẤT CƠ BẢN CỦA PHÂN THỨC ĐẠI SỐ VẤN ĐỀ I. Phân thức bằng nhau Bài 1. Chứng minh các đẳng thức sau: a) y xy x x 3 6 ( 0) 4 8 = ≠ b) x x y y y 2 2 3 3 ( 0) 2 2 − = ≠ − c) x y x y y x 2( ) 2 ( ) 3( ) 3 − − = ≠ − d) xy xy a y a ay 2 2 8 ( 0, 0) 3 12 = ≠ ≠ e) x x y y y 1 1 ( 2) 2 2 − − = ≠ − − f) a a b b b 2 2 ( 0) 5 5 − = ≠ − Bài 2. Chứng minh các đẳng thức sau: a) x x x x x x x 3 3 2 2 2 ( 0) ( 2 4) − − = ≠ − + + b) x x(x y x y x y y x 2 2 3 3 ) ( ) − − = ≠ ± + − c) x y a x y a x y a a x y 2 2 3 ( ) ( 0, ) 3 9 ( ) + + = ≠ ≠ − + Bài 3. Với những giá trị nào của x thì hai phân thức sau bằng nhau: a) x x x 2 2 5 6 − − + và x 1 3− Bài 4. Cho hai phân thức A và B. Hãy xét sự bằng nhau của chúng trong các trường hợp sau: i) x N∈ ii) x Z∈ iii) x Q∈ a) x x A x (2 1)( 2) 3(2 1) + − = + , x B 2 3 − = Bài 5. Cho ba phân thức A, B và C. Hãy xét sự bằng nhau của chúng trong các trường hợp sau: i) x N∈ ii) x Z∈ iii) x Q∈ a) x A 1 5 + = , x x B x ( 1)( 2) 5( 2) + + = + , x x C x ( 1)(3 2) 5(3 2) + − = − VẤN ĐỀ II. Rút gọn phân thức Bài 1. Rút gọn các phân thức sau: a) x5 10 b) xy y y 4 ( 0) 2 ≠ c) x y xy xy 2 3 21 ( 0) 6 ≠ d) x y2 2 4 + e) x y x y x y 5 5 ( ) 3 3 − ≠ − f) x x y x y y x 15 ( ) ( ) 3( ) − − ≠ − Bài 2. Rút gọn các phân thức sau: a) x x x x x 2 2 16 ( 0, 4) 4 − ≠ ≠ − b) x x x x 2 4 3 ( 3) 2 6 + + ≠ − + c) x x y y x y y x y 3 2 15 ( ) ( ( ) 0) 5 ( ) + + + ≠ + d) x y y x x y x y 5( ) 3( ) ( ) 10( ) − − − ≠ − e) x y x y x y x y x y 2 2 5 5 ( ) 2 2 5 5 + + + ≠ − + − − f) x xy x y y xy y 2 2 ( , 0) 3 3 − ≠ ≠ − g) ax ax a b x b bx 2 2 2 4 2 ( 0, 1) 5 5 − + ≠ ≠ ± − h) x xy x x y x x y 2 3 2 4 4 ( 0, ) 5 5 − ≠ ≠ − i) x y z x y z x y z 2 2 ( ) ( 0) + − + + ≠ + + k) x x y y x x y x xy 6 3 3 6 7 6 2 ( 0, ) + + ≠ ≠ ± − Trang 12 Học thêm toán Đại số 8 – Chương 2 Bài 3. Rút gọn, rồi tính giá trị các phân thức sau: a) x x x A x x x 2 2 3 (2 2 )( 2) ( 4 )( 1) + − = − + với x 1 2 = b) x x y xy B x y 3 2 2 3 3 − + = + với x y5, 10= − = Bài 4. Rút gọn các phân thức sau: a) a b c a b c 2 2 ( )+ − + + b) a b c ab a b c ac 2 2 2 2 2 2 2 2 + − + − + + c) x x x x x x 3 2 3 2 2 7 12 45 3 19 33 9 − − + − + − Bài 5. Rút gọn các phân thức sau: a) a b c abc a b c ab bc ca 3 3 3 2 2 2 3+ + − + + − − − b) x y z xyz x y y z z x 3 3 3 2 2 2 3 ( ) ( ) ( ) − + + + + + + − c) x y z xyz x y y z z x 3 3 3 2 2 2 3 ( ) ( ) ( ) + + − − + − + − d) a b c b c a c a b a b c b c a c a b 2 2 2 4 2 2 4 2 2 4 2 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) − + − + − − + − + − e) a b c b c a c a b ab ac b bc 2 2 2 2 2 3 2 ( ) ( ) ( )− + − + − − − + f) x x x x x x x x 24 20 16 4 26 24 22 2 1 1 + + + + + + + + + + Bài 6. Tìm giá trị của biến x để: a) P x x 2 1 2 6 = + + đạt giá trị lớn nhất ĐS: P khi x 1 max 1 5 = = − b) x x Q x x 2 2 1 2 1 + + = + + đạt giá trị nhỏ nhất ĐS: Q khi x 3 min 1 4 = = Bài 7. Chứng minh rằng phân thức sau đây không phụ thuộc vào x và y: a) x a a a x x a a a x 2 2 2 2 2 2 ( )(1 ) 1 ( )(1 ) 1 + + + + − − + + b) xy x y x x y y x 2 3 3 2 2 9 1 1 , 1 1 3 1 3   − + − − − ≠ ≠  ÷ − −   c) ax a axy ax ay a x y x y 2 ( 1, 1) 1 1 − + − − − ≠ − ≠ − + + d) x a x x a 2 2 ( ) 2 + − + e) x y x y ay ax 2 2 ( )( ) − + − f) ax x y ay ax x y ay 2 2 3 3 4 6 9 6 − − + + + + Trang 13 Đại số 8 – Chương 2 Học thêm toán III. CÁC PHÉP TOÁN VỀ PHÂN THỨC VẤN ĐỀ I. Qui đồng mẫu thức của nhiều phân thức Bài 1. Tìm điều kiện để các phân thức sau có nghĩa và tìm mẫu thức chung của chúng: a) x xy , 16 20 b) x y 1 3 , 4 6 c) xy y , 8 15 d) x y y x , 2 2 e) xy yz xz , , 8 12 24 f) xy yz zx z x y , , 2 3 4 Bài 2. Tìm điều kiện để các phân thức sau có nghĩa và tìm mẫu thức chung của chúng: a) x 5 2 4− , x 4 3 9− , x 7 50 25− b) x a4 2+ , y a4 2− , z a 2 4 − c) a b 2 2 , x a b2 2+ , y a b 2 2 − d) x 3 2 6+ , x x x 2 2 6 9 − + + e) x x 2 1 2 1− + , x x 2 2 2+ f) x x 4 2 1 1 + − , x 2 1+ Bài 3. Qui đồng mẫu thức các phân thức sau: a) x x x 2 2 7 15+ − , x x x 2 2 3 10 + + − , x 1 5+ b) x x 2 1 3 2− + − , x x 2 1 5 6+ − , x x 2 1 4 3− + − c) x 3 3 1− , x x x 2 2 1+ + , x x 1− d) x x xy y z 2 2 2 2− + − , y x yz y z 2 2 2 2+ − − , z x xz y z 2 2 2 2− − + VẤN ĐỀ II. Thực hiện các phép toán trên phân thức Bài 1. Thực hiện phép tính: a) x x5 1 5 5 − − + b) x y y2 8 8 − + c) x x x xy xy 2 1 4− − + d) xy x y xy x y xy xy 2 2 2 2 5 4 3 3 − + + e) x x x a b a b a b 1 1 3+ − + + + − − − f) 2 3 2 3 5 4 3 4 2 2 − + + xy y xy y x y x y g) x xy xy y y x x y y x x y 2 2 2 2 2 2− + − + + − − − Bài 2. Thực hiện phép tính: a) x x2 4 2 10 15 + − + b) x x x3 2 1 2 10 15 20 − − + + c) x x x x 2 2 1 3 2 2 2 2 + + + − − d) 2 42 1 12 2 2 21 xx x x x x − + − + − e) x x y xy y xy x 2 2 2 − + − − f) x x x x x 2 2 6 1 6 3 2 4 + + − + − g) x xy y x x y xy y x 2 2 10 5 2 2 − − + + + h) x x y x y x y 2 2 2 1 3− + + + − − i) x y x y x y 2 2 + + + + Bài 3. Thực hiện phép tính: a) 2 2 2 2 2 4 2 2 4 x y x xy xy y x y + + + − − b) xy x y x y y x x xy y 3 3 2 2 1 3 − + + − − + + c) x y x x y x xy y x x xy 2 2 2 2 2 16 2 2 4 2 + − + + − − + d) x x x x x x 2 4 8 16 1 1 2 4 8 16 1 1 1 1 1 1 + + + + + − + + + + + Trang 14 Học thêm toán Đại số 8 – Chương 2 Bài 4. Thực hiện phép tính: a) x x1 3 3 2 2 − + − b) x y x y y x x 2 2( )( ) 2+ − − − c) x x x y x y 3 1 2 3+ − − + + d) xy x x y y x 2 1 2 2 − − − − e) 2 2 4 1 7 1 3 3 x x x y x y − − − Bài 5. Thực hiện phép tính: a) x x4 1 3 2 2 3 + + − b) x x x x x x 2 3 9 3 3 + − + − − c) x x x x 2 2 3 1 1 + − − + d) x x x x 2 1 4 10 8 3 2 3 2 9 4 − + − − − + − e) x x x x x 2 2 3 2 1 2 2 2 1 − + − + − f) x x x y x y 3 5 5 10 10 − + − g) a a a a a a a 2 3 2 4 3 5 1 2 6 1 1 1 − + − − − − − + + h) x y x y xy y 2 2 5 3 2− − − i) x y y x y x xy 2 2 2 9 3 9 3 + − − + k) 12 23 1 6 12 23 222 ++ − − − − +− + xx x xxx x l) 2 3 6 2 6 2 6 x x x x − − + + m) x x x 4 2 2 1 1 1 + + − + n) a a a a 2 3 5 10 15 1 ( 1) 1 − − + − + + Bài 6. Thực hiện phép tính: a) x x y 1 6 . b) x xy y 2 2 2 .3 c) 2 3 2 15 2 . 7 x y y x d) x y x y x 2 3 2 . 5 − e) 5 10 4 2 . 4 8 2 x x x x + − − + f) 2 36 3 . 2 10 6 x x x − + − g) x y xy x y x y 2 2 2 2 9 3 . 2 6 − − h) x y x y xy y x 2 2 2 3 3 15 . 5 2 2 − − i) a b a b a b a ab b 3 3 2 2 2 2 6 6 . 3 3 2 − + + − + Bài 7. Thực hiện phép tính: a) x x 2 2 5 : 3 6 b) x y x y 2 5 2 2 18 16 : 5   −  ÷   c) x y xy 3 5 2 25 :15 3 d) x y x y xy x y 2 2 2 : 3 6 − + e) a ab a b b a a b 2 2 2 : 2 2 + + − − f) x y x xy y x x y 2 2 2 : 3 3 + + − − g) 2 2 1 4 2 4 : 4 3 x x x x x − − + h) 12 9 : 44 155 2 2 ++ − + − xx x x x i) 12 64 : 77 486 2 2 +− − − + xx x x x k) 12 36 : 55 244 2 2 ++ − + − xx x x x l) 12 49 : 55 213 2 2 ++ − + + xx x x x m) 1 66 : )1( 33 2 2 + − + − x x x x Bài 8. Thực hiện phép tính: a) 2 1 2 1 : 2 1 −     − + −  ÷  ÷ + +     x x x x x x b) 2 2 961 106 : 13 2 31 3 xx xx x x x x +− +       + + − c)       + − + −       + + − 93 3 3 : 3 1 9 9 23 x x xx x x xx d) 1 2 3 : : 2 3 1 + + +    ÷ + + +   x x x x x x Bài 9. Rút gọn các biểu thức sau: Trang 15 Đại số 8 – Chương 2 Học thêm toán a) x y x y 1 1 1 1 + − b) x x x x x x x x 1 1 1 1 − − + + − − c) x x x 1 1 1 − − + d) x x x 2 2 2 1 1 2 1 1 − + − − − e) x y y x x y x y x y x y + − + + + − f) a x x a a x a x x a a x − + − + − + Bài 10.Tìm các giá trị nguyên của biến số x để biểu thức đã cho cũng có giá trị nguyên: a) x x x 3 2 2 1 − + − b) x x x 3 2 2 4 2 − + − c) x x x x 3 2 2 2 2 2 1 + + + + d) x x x x 3 2 3 7 11 1 3 1 − + − − e) x x x x x 4 4 3 2 16 4 8 16 16 − − + − + Bài 11. * Phân tích các phân thức sau thành tổng các phân thức mà mẫu thức là các nhị thức bậc nhất: a) x x x 2 2 1 5 6 − − + b) x x x x x 2 2 6 ( 1)( 2)( 4) + + − − − c) x x x x x 2 3 3 12 ( 1)( 2) + + − + Bài 12. * Tìm các số A, B, C để có: a) x x A B C x x x x 2 3 3 2 2 1 ( 1) ( 1) ( 1) − + = + + − − − − b) x x A Bx C x x x x 2 2 2 2 1 1 ( 1)( 1) 1 + − + = + − − + + Bài 13. * Tính các tổng: a) a b c A a b a c b a b c c a c b( )( ) ( )( ) ( )( ) = + + − − − − − − b) a b c B a b a c b a b c c a c b 2 2 2 ( )( ) ( )( ) ( )( ) = + + − − − − − − Bài 14. * Tính các tổng: a) A n n 1 1 1 1 1.2 2.3 3.4 ( 1) = + + + + + HD: k k k k 1 1 1 ( 1) 1 = − + + b) B n n n 1 1 1 1 1.2.3 2.3.4 3.4.5 ( 1)( 2) = + + + + + + HD: k k k k k k 1 1 1 1 1 ( 1)( 2) 2 2 1   = + −  ÷ + + + +   Bài 15. * Chứng minh rằng với mọi m N∈ , ta có: a) m m m m 4 1 1 4 2 1 ( 1)(2 1) = + + + + + b) m m m m m m 4 1 1 1 4 3 2 ( 1)( 2) ( 1)(4 3) = + + + + + + + + c) m m m m m m 4 1 1 1 8 5 2( 1) 2( 1)(3 2) 2(3 2)(8 5) = + + + + + + + + d) m m m m m 4 1 1 1 3 2 1 3 2 ( 1)(3 2) = + + + + + + + Trang 16 Học thêm toán Đại số 8 – Chương 2 BÀI TẬP ÔN CHƯƠNG II Bài 1. Thực hiện phép tính: a) x x x x 2 2 2 8 2 1 1 ( 3)( 1) 3 + + + + − + b) x y x y y x y x y x y 2 2 2 2 2( ) 2( ) + − − + − + − c) x x x x x x x x 3 3 2 3 2 1 1 3 2 − + − + − − + d) xy x a y a x b y b ab a a b b a b ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) − − − − + − − − e) x x x x x x 3 2 1 1 1 1 1 1 − − + − + − + f) x x x x x x 3 2 2 2 20 5 3 2 2 4 + − − − + + − − g) x y x y x y xy x y x y xy x y 2 2 2 2 . 1 . 2     − + + + +  ÷  ÷ + − +     h) a b b c b c c a c a a b 1 1 1 ( )( ) ( )( ) ( )( ) + + − − − − − − i) a b c a b c a b c a c ac b 2 2 2 2 2 ( ) ( ) ( )( 2 )   − + + −   + + + − − k) x y x y x y xy x y y x x 2 2 2 2 1 :     − −   − −  ÷ +       Bài 2. Rút gọn các phân thức: a) x x x 2 2 25 20 4 25 4 − + − b) x xy y x y 2 2 3 3 5 10 5 3 3 + + + c) x x x x 2 3 2 1 1 − − − + d) x x x x 3 2 4 4 4 16 + − − − e) x x x x x 4 3 2 2 2 4 20 13 30 9 (4 1) − + + + − Bài 3. Rút gọn rồi tính giá trị các biểu thức: a) a b c ab a b c ac 2 2 2 2 2 2 2 2 + − + − + + với a b c4, 5, 6= = − = b) x xy x xy 2 2 16 40 8 24 − − với x y 10 3 = c) x xy y x xy y x y x y x x y x y 2 2 2 2 2 + + − + − + − − − + với x y9, 10= = Bài 4. Biểu diễn các phân thức sau dưới dạng tổng của một đa thức và một phân thức với bậc của tử thức nhỏ hơn bậc chủa mẫu thức: a) x x 2 2 3 1 + − b) x x 2 2 1 1 − + c) x x x x x 4 3 2 2 4 5 1 − + − + + d) x x x x 5 4 2 3 1 − − − + Bài 5. Tìm các giá trị nguyên của x để biểu thức sau cũng có giá trị nguyên: a) x 1 2+ b) x 1 2 3 − + c) x x x 3 2 2 1 − + − d) x x x 3 2 2 4 2 − + − Bài 6. Cho biểu thức: x x P x x 2 3 3 ( 1)(2 6) + = + − . a) Tìm điều kiện xác định của P. b) Tìm giá trị của x để P 1= . Bài 7. Cho biểu thức: x P x x x x 2 2 5 1 3 2 6 + = − + + − + − Trang 17 Đại số 8 – Chương 2 Học thêm toán a) Tìm điều kiện xác định của P. b) Rút gọn biểu thức P. c) Tìm x để P 3 4 − = . d) Tìm các giá trị nguyên của x để biểu thức P cũng có giá trị nguyên. e) Tính giá trị của biểu thức P khi x 2 –9 0= . Bài 8. Cho biểu thức: a a P a a a 2 2 2 ( 3) 6 18 1 2 6 9   + − = × −  ÷ + −   . a) Tìm điều kiện xác định của P. b) Rút gọn biểu thức P. c) Với giá trị nào của a thì P = 0; P = 1. Bài 9. Cho biểu thức: x x P x x 2 2 1 2 2 2 2 + = + − − . a) Tìm điều kiện xác định của P. b) Rút gọn biểu thức P. c) Tìm giá trị của x để P 1 2 = − . Bài 10.Cho biểu thức: x x x x P x x x x 2 2 5 50 5 2 10 2 ( 5) + − − = + + + + . a) Tìm điều kiện xác định của P. b) Tìm giá trị của x để P = 1; P = –3. Bài 11.Cho biểu thức: x P x x x x 2 3 6 5 2 3 2 1 (2 3)(2 3) + = + − + + + − . a) Tìm điều kiện xác định của P. b) Rút gọn biểu thức P. c) Tìm giá trị của x để P = –1. Bài 12.Cho biểu thức: x P x x x x 1 2 2 10 5 5 ( 5)( 5) + = + − + − + − . a) Tìm điều kiện xác định của P. b) Rút gọn biểu thức P. c) Cho P = –3. Tính giá trị của biểu thức Q x x 2 9 –42 49= + . Bài 13.Cho biểu thức: P x x x 2 3 1 1 8 3 3 9 = + − + − − . a) Tìm điều kiện xác định của P. b) Rút gọn biểu thức P. c) Tìm giá trị của x để P = 4. Bài 14.Cho biểu thức: x x x P x x x x 2 2 2 10 50 5 5 25 5 − + = + + + + . a) Tìm điều kiện xác định của P. b) Rút gọn biểu thức P. c) Tìm giá trị của x để P = –4. Bài 15.Cho biểu thức: x x P x 2 3 3 6 12 8 + + = − a) Tìm điều kiện xác định của P. b) Rút gọn biểu thức P. Trang 18 Học thêm toán Đại số 8 – Chương 2 c) Tính giá trị của P với x 4001 2000 = . Bài 16.Cho biểu thức: x x x x P x x x x x 2 3 2 1 1 2 1 . : 1 1 1 2 1   + + + = −  ÷  ÷ − + − + +   . a) Tìm điều kiện xác định của P. b) Rút gọn biểu thức P. c) Tính giá trị của P khi x 1 2 = . Bài 17.Cho biểu thức: x x x x P x x x x 2 2 5 50 5 2 10 2 ( 5) + − − = + + + + . a) Tìm điều kiện xác định của P. b) Rút gọn biểu thức P. c) Tìm giá trị của x để P = 0; P = 1 4 . d) Tìm giá trị của x để P > 0; P < 0. Bài 18.Cho biểu thức: x x x P x x x 2 2 1 3 3 4 4 . 2 2 2 2 5 1   + + − = + −   − + −   . a) Tìm điều kiện xác định của P. b) CMR: khi giá trị của biểu thức được xác định thì nó không phụ thuộc vào giá trị của biến x? Bài 19.Cho biểu thức: x x x P x x x 2 2 2 2 5 2 5 2 100 . 10 10 4   + − − = +  ÷ − + +   . a) Tìm điều kiện xác định của P. b) Rút gọn biểu thức P. c) Tính giá trị của P khi x = 20040. Bài 20.Cho biểu thức: x x P x x 2 2 10 25 5 − + = − . a) Tìm điều kiện xác định của P. b) Tìm giá trị của x để P = 0; P 5 2 = . c) Tìm giá trị nguyên của x để P cũng có giá trị nguyên. Trang 19 . Bài 2. Thực hiện phép tính: a) x x2 4 2 10 15 + − + b) x x x3 2 1 2 10 15 20 − − + + c) x x x x 2 2 1 3 2 2 2 2 + + + − − d) 2 42 1 12 2 2 21 xx x x x x − + − + − e) x x y xy y xy x 2 2 2. x 5 2 4− , x 4 3 9− , x 7 50 25 − b) x a4 2+ , y a4 2 , z a 2 4 − c) a b 2 2 , x a b2 2+ , y a b 2 2 − d) x 3 2 6+ , x x x 2 2 6 9 − + + e) x x 2 1 2 1− + , x x 2 2 2+ f) x x 4 2 1 1 + − ,. 4 2 . 4 8 2 x x x x + − − + f) 2 36 3 . 2 10 6 x x x − + − g) x y xy x y x y 2 2 2 2 9 3 . 2 6 − − h) x y x y xy y x 2 2 2 3 3 15 . 5 2 2 − − i) a b a b a b a ab b 3 3 2 2 2 2 6 6 . 3 3 2 −