Microsoft Word 47 CHUYÃ−N QUẢNG NGà I 2020 2021 docx a a a x2 + y + 6 x2 4xx + 2m 2 1 1 x2 SỞGIÁO GIỤC VÀĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPTQUẢNG NGÃI NĂMHỌC 2020 2021 ĐỀ CHÍNH THỨC Khóa n[.]
SỞGIÁO GIỤC VÀĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPTQUẢNGNGÃI NĂMHỌC 2020-2021 ĐỀ CHÍNHTHỨC Khóa ngày: 04/6/2021 Mơn : Toán chuyênThờigianlàmbài:150 phút Bài1 ( 1,5 điểm ) Rútgọnbiểuthức Chohàmsố A= a2 y= ( m2)x+2 a+ : a +a+a a (a0;a1) a (m tham số ) cóđồ thịlàđường thẳng (d) a) Tìm điều kiệncủa mđểhàm số đồngbiến trênℝ b) Tìm giátrịcủa m đểkhoảng cáchtừ gốc tọa độO đến (d)bằng Bài2 ( 1,5 điểm ) Choalàsốnguyênlẻvàkhôngchiahếtcho3.Chứngminhrằnga 2 20212chiahếtcho24 Cho số nguyên tố p, q thỏa p+q2làsốchínhphương.Chứng minhrằng : mãna)p = q + b) p2+q 2021khơngphảilàsốchínhphương Bài3 ( 2,5 điểm ) Giảihệ phươngtrình: 2x 2+7xy4y 2=0 x2 + y + +2y=1 Tìmtấucảcácgiátrịcủathamsốm đểphươngtrình biệt x1;x2thỏamãn x2 4xx1 + 2m + x2 x2 5x+2m =0cóhainghiệmdư ng p h â n =3 Chocácsốthựca,b,cđ ô i mộtkhácnhauvàthỏamãn ( c+a )( c+b)=4.Chứngminhrằng: ( ab)2 + 1 1 + ( c+a )2 ( c+b)2 Bài4 ( 3,5 điểm) Cho đường tron tâm O, bán kính R = 4cm hai điểm B, C cố định (O), BC không đường kính ĐiểmA thay đổi (O) cho tam giác ABC nhọn Gọi D, E, F chân đường cao kẻ từ A, B, C củatamgiácABC a)Chứng minh𝐵ˆ𝐴𝐷=𝐶ˆ𝐴𝑂 b) Gọi M điểm đối xứng A qua BC, N điêm đối xứng B qua AC Chứng minh :CD.CN=CE.CM c) Trongtrường hợp3 điểmC,M, N thẳnghàng, tínhđộ dài đoạnthẳng AB d) Gọi I trung điểm BC Đường thẳng AI cắt EF K Gọi H hình chiếu vng góc K trênBC.CHứng minh đường thẳng AH điqua điểm cố định A thayđổi Bài5 ( điểm ) ChotậphợpSgồmnsốngundươngđơimộtkhácnhau(n3)thỏamãntínhchất:tổngcủa3phầntửbấtkìtrong Sđều số ngun tố Tìm giá trị lớn có thểcủa n ĐÁPÁN Bài 1.1 √a + √a(1 +√a + a)A= ∶ = a2− √a √a +a + a√a (√a4− √a)(√a+1) a +√a + √a(1+√a+a) = = (√a3−1)( √a+1) √a(√a3−1)(√a+1) a +√a + 1 = = = a−1 (√a−1)(a+√a+1)(√a+1) (√a−1)(√a+1) VậyA = 0,25 điểm 0,25 điểm a–1 1.2 a) Hàm số đồng biển trênR⇔m− 2>0 -m>2 b) Vớim=2,(d): y= 2cách Omộtkhoảng bằng2, (khôngthỏa) Vớim≠2, gọi M, N giao điểmcủa(d) với trụchồnh, trụctung.Hồngđộ M lànghiệmcủa phương trình: (m−2)x+2=0⇔x= 2− m ⇒OM= |2− m| Đườngthẳng (d)cắttrụctung điểmcótungđộ 2nên ON= Gọi OH khoảng cách từ gốc tọa độ O đến (d), áp dụng hệ thức cạnh đườngcaotrong tam giác vuôngOMN ta có: (2− m)2 1 1 = + ⇔ = + 2 2 OH OM ON OH 4 mà OH= 1= nên (2–m) 2+ 1⇔m2−4m+5=4⇔(m−2)2=3 4 N m− 2=√3 m=2+√3 -[ ⇔[ m − 2=− √3 m=2−√3 0,25 điểm 0,25 điểm 0,25 điểm 0,25 điểm D O Bài 2.1.Vì a làsố nguyên lẻnêna=2k+ , k∈ℤ Từ (1)vì k(k +1)⋮2 a2= 4k 2+4k+ 1⇒a 2−1=4k(k +1)⋮8 Mặtkhác,a khôngchia hết cho nêna=3q± 1,q∈ℤ (2) a2= 9q 2±6k+ 1⇒a 2−1⋮3 Từ (1)và(2),ta đượca −1⋮24 Từ đó: a2−20212= ( a2−1)−(20212−1)= ( a2−1)−2020.2022 =(a2−1)−22.5.101.2.3.337⋮24 2.2.a) Đặtp+q2= n 2,n∈ℕ Suy rap=(n − q)(n+ q) Vì p số nguyêntốnên{ M 0,25 điểm 0,25 điểm 0,25 điểm n−q=1 Do đóp=2 q + n + q=p b)Giảsửp2+q2021là sốchínhphương,đặtp2+q 2021= m Suyraq2021= ( m−p)(m+p).Có2trườnghợp: TH1: 0,25 điểm m− p=1 { ⇒a2021−1=2p=4q+2⇒q 2021= 4q+3.Suyra2⋮q.Từ 2021 m+p=q đó: q = Tuynhiên,khiđóđẳngthứcq2021= 4q+ 3khơngxảyra TH2: m−p=q a ∗ b a { bv i a,b∈N ,a+b=2021.Suyraq −q = 2p=4q+2m+ p=q Từ đó2⋮p q=2 Khi 2b−2a= 10⇒2 a–1(2b–a−1)=5 =1⇒ b–a Suyra{ a–1 =6(vôlý) b–a =5 Tóm lại,2trường hợpđềukhơngxảyratứclà điềugiảsử saihaynóicách khácp2+q2021khơngphải số chínhphương Bài 3.1.{ 2x2+7xy−4y2= y≤ ⇔{ 2 16y +y+6= ( 1−2y)2 12y +5y+ 5=0 Thayy=2xvào(2)ta được√x +2x+6=1− 4x -{ 1−4x≥0 x2+2x+ 6=1−8x−16x2 - =− 1= > Vớix=− y=− 1; 23 Vậyhệcónghiệm(− − Vơ nghiệm x≤ ⇔2 15 −10x −5=0 ⎩ ⎩ 0,25 điểm (1) √x2+y+6+2y=1 (2) 2 Từ(1)⇔2x −xy−4y =0⇔x(2x−y)+4y(2x−y)=0 y=2x -(x+ 4y)(2x−y)= ⇔{ x=−4y Thayx= −4yvào (2) ta được√16y2+ y + =1 − 2yy≤ 0,25 điểm x≤ x=14 ⇔x ⇔ [ x =− ⎩ 0,25 điểm 0,25 điểm 0,25 điểm 0,25 điểm ) 3.2 Phươngtrìnhcó2nghiệmdươngphânbiệtx1,x2⇔{ 33 33 m< 8⇔ 11 ∆=25− 4(2m−2)> S=5>0 ⇔ P=2m− 2>0 0,25 điểm 0,25 điểm x1+x2= 5;x1.x2= 2m−2vàx −x1+2m−2=0 √x2−4x1+2m−2+ √x2= -√x2−5x1+2m−2+x1+√x2=3 0,25 điểm -√x1+√x2=3 0,25 điểm -x1+x2+2√x1x2=9⇔√x1x2=2⇔x1x2=4⇔2m−2=4⇔m=3 (thỏamãn) Vậym=3 3.3 Đặtx=c+ a,y=c+ b Khi đóxy=4 Bấtđẳng thứccầnchứngminh viết lạithành (X–y)2 1 + + ≥1 X2 y2 Tacó: 1 1 1 x2+y2 + 2+ 2= + 2+ + 2 (x−y)2 x y ( x−y)2 x y (x−y)2 x y (x −y)2+2xy (x−y)2+8 1 = + = + 2 (x−y)2 (x−y)2 xy 16 (x −y)2 1 = + + (x −y)2 16 Ápdụng bấtđẳng thức Cơ-si,tacó: (x −y)2 (x−y)2 1 + ≥2 √ = (x −y)2 (x−y)2 16 16 1+ 1≥ + 1(đpcm)pcm) (X–y)2 X2 0,25 điểm 0,25 điểm y2 s Bài A a.)K ẻ đường kínhAA/’ đường trịn (O) Khi tam giácACA’vng C =>𝐶ˆ𝐴𝑂=900−𝐴ˆ𝐴′𝐶 F Lại có:𝐵ˆ𝐴𝐷=900−𝐴ˆ𝐵𝐶 E O B C Mà𝐴ˆ𝐵𝐶= 𝐴ˆ𝐴′𝐶( chắncungAC) =>𝐶ˆ𝐴𝑂=𝐵ˆ𝐴𝐷 0,5 điểm D A' b)Cáctam giác vngCADvà CBEcógóc Cchung nênđồng dạng: CA CD => = =>CA.CE=CB.CDCB CE VìA, M đối xứng với nhauquaBCnênCA=CM.Tương tựCB = CN =>CD.CN=CE.CM 0,5 điểm 0,5 điểm N A E P F B O C D A' M c)Theo tính chấtđốixứng, tacó:𝑀ˆ𝐶𝐵=𝐵ˆ𝐶𝐴=𝐴ˆ𝐶𝑁 Do đó, trường hợp C,M, N thẳng thàng 0,25 điểm thì𝐵ˆ𝐶𝐴=600 GọiP làtrung điểm củaABthìtamgiácAOP vng tạiO =>𝐴ˆ𝑂𝑃= 1𝐴 ˆ𝑂𝐵=𝐴ˆ𝐶𝐵=600 0,25 điểm 0,25 điểm AP=> Ta có: sin𝐴ˆ𝑂𝑃= A P=23=>A B=2AP=43 AO d) GọiJ làtrung điểm củaEF A Các tamgiác AEFvàABC có góc Achungvà𝐴ˆ𝐹𝐸= 𝐴ˆ𝐶𝐵( tứ giácBCEFnội tiếp) nênđồngdạng => K E AE F AB= E BC Mà EF = J F 2EJ = EJ BC BI BI 𝐴ˆ𝐽𝐸=𝐴ˆ𝐼𝐵 => AE AB = EJ BI B => AEJABI= > O D HI C 0,25 điểm A' Tacó: TamgiácIEFcântạiI(vìIE =IF=1 / B C ) = > IJ⊥EF T Tứ giácIKJH có:𝐼𝐻ˆ𝐾=𝐼ˆ𝐽𝐾=90 nên nội tiếp =>:𝐴ˆ𝐽𝐸+ ˆ𝐻𝐽𝐾=𝐴ˆ𝐼𝐵+ˆ𝐻𝐽𝐾=1800=>A, 0,25 điểm J, H thẳng hàng (1).CáctiếptuyếntạiBvàCcủa(O)cắtnhautạiT Tacó:O A 2=OB2=OI.OT= > OA OT = m gó c gócA chung =>∆𝑂𝐴𝐼∼∆𝑂𝑇𝐴 OI OA =>𝑂ˆ𝐴𝐼=𝑂ˆ𝑇𝐴mà𝑂ˆ𝑇𝐴=𝐷ˆ𝐴𝑇( so le trong)=>𝑂ˆ𝐴𝐼=𝐷ˆ𝐴𝑇 Lại có:𝐵ˆ𝐴𝐷=𝐶ˆ𝐴𝑂=>𝐵ˆ𝐴𝑇=𝐶ˆ𝐴𝐼=>𝐵 0,25 điểm ˆ𝐴𝐼=𝐶ˆ𝐴𝑇 Mà𝐵ˆ𝐴𝐼=𝐶ˆ𝐴𝐽( tamgiácđồngdạng )=>𝐶ˆ𝐴𝑇=𝐶ˆ𝐴𝐽=>A, J, T thẳnghàng (2) Từ(1)và(2)=> AHluônđiquađiểmT cốđịnh khiA dichuyển Bài ĐặtS= {s1;s2; ;sn} Vì chia số nguyên dương bấtkỳ cho 3, tacóba loại số dư : 0; 1; nên ta chiacácsốs1;s2; ;snthành nhóm: Nhóm Igồmcácsốchia3 dư 0,25 Nhóm IIgồmcácsố chia3 dư Nhóm IIgồmcácsố chiahết chi Nếun5thìxảyramộttronghaiTHsau: TH1: Mỗi nhóm có phần tử: Khơngmấttổngqt,giảsử s 1;s2;s3lầnlượtthuộcnhóm I,nhómII,nhómIII =>s1+s2+s3 3vàs1+s2+s3>3nêns1+s2+s3khơng phải số nguntố 0,25 TH2:Có ítnhấtmộtnhóm nàođó khơngcó phầntử Khicónsốs 1;s2; ;snđ ợ c chiatốiđa2nhómmàn 5n ê n lntồntạiítnhất3số thuộc nhóm Hiển nhiêntổng số chia hết cho vàdo đócũng khơng phải sốnguntố Tímlại,tấtcảcáctậphợpgồmnsốngundươngđơimộtkhácnhaumàn5đều khơngthỏamãn tínhchấtnêuở đềbài Xéttậphợp{1;3;7;9} Tacó: 1+3+7=11;1+3+9=13;1+7+9=17 ;3+7+9= 19; và11, 13, 17,19đều 0,25 cácsốnguntốnêntậphợp{1;3;7;9}thỏamãntínhchấtđềbài Vậygiátrịlớn nhâtcó thể n 0,25