C¸c bµi H×nh häc gi¶I tÝch trong kh«ng gian trong c¸c ®Ò thi chung CÁC ĐỀ THI ĐẠI HỌC TỪ NĂM 2002 ĐẾN 2009 – Phần hình học không gian Bài 1 A – 2002 Trong không gian với hệ tọa độ Đềcác vuông góc , ch[.]
1 CÁC ĐỀ THI ĐẠI HỌC TỪ NĂM 2002 ĐẾN 2009 – Phần hình học khơng gian Bài : A – 2002 : Trong không gian với hệ tọa độ Đềcác vng góc , cho đường thẳng : x 1 t x y 2 z d1 : ; d : y 2 t z 1 2t 1) Viết pt mặt phẳng ( P) chứa đường thẳng d1 song song với đường thẳng d2 2) Cho điểm M ( ; ; ) Tìm tọa độ điểm H thuộc đường thẳng d2 cho đoạn MH có độ dài nhỏ Đáp số : 1) ( P) : 2x – z = 2) H ( ; ; ) Bài : B – 2002 : Cho hình lập phương ABCD.A1B1C1D1 có cạnh a 1)Tính theo a khoảng cách đường thẳng A1B B1D 2) Gọi M ,N , P trung điểm cạnh BB1 , CD , A1D1 Tính góc đường thẳng MP C1N Đáp số : 1) d ( A1B, B1D) a 6 2) Góc MP C1N 900 Bài : D – 2002 : 1) Cho hình tứ diện ABCD có cạnh AD vng góc với mp ( ABC ) , AC = AD = cm , AB = cm , BC = cm Tính khoảng cách từ điểm A tới mp ( BCD ) 2) Trong không gian với hệ tọa độ Đềcác vuông góc Oxyz , cho đường thẳng mp (P ) : 2x – y+z=0 đường thẳng dm giao tuyến mp ( Q ) , ( R ) có phương trình : ( Q) : ( 2m + )x + ( – m )y + m – = ; ( R ) : mx + ( 2m + )z + 4m + = Xác định m để đường thẳng dm song song với mp ( P ) Đáp số : 1) d ( A, ( DBC )) 34 17 2) m = - / Bài : A – 2003 : 1) Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ Tính số đo góc phẳng nhị diện B, A ' C , D 2) Trong khơng gian với hệ tọa độ Đềcác vng góc Oxyz , cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có A trùng với gốc tọa độ , B ( a ; ; ) , D ( ; a ; ) , A’ ( 0; ; b ) , với a b > Gọi M trung điểm cạnh CC’ a) Tính thể tích khối tứ diện BDA’M theo a b b) Xác định tỷ số a / b để hai mp ( A’BD ) ( MBD ) vng góc với Đáp số : 1) Số đo góc phẳng nhị diện B, A ' C , D 1200 2 2) a) VBDA ' M ab a 1 b b) Bài : B – 2003 : 1) Cho hình lăng trụ đứng ABCD.A’B’C’D’ có đáy ABCD hình thoi cạnh a , góc BAD 600 Gọi M trung điểm cạnh AA’ N trung điểm cạnh CC’ Chứng minh điểm B’ , M , D , N thuộc mặt phẳng Hãy tính độ dài cạnh AA’ theo a để tứ giác B’MDN hình vuông 2) Trong không gian với hệ tọa độ Đềcác vng góc Oxyz , cho điểm A ( ; ; ) , B ( ; ; ) điểm C cho AC (0;6;0) Tính khoảng cách từ trung điểm I BC đến đường thẳng OA Đáp số : 1) Tứ giác B’MDN hbh nên điểm B’ , M , D , N đồng phẳng = 2) d ( I , OA ) Bài : D – 2003 : Trong không gian với hệ tọa độ Đềcác vng góc Oxyz , cho đường thẳng dk giao tuyến mặt phẳng ( P) ( Q) có phương trình : ( P ) : x 3ky z 0 ; (Q) : kx y z 0 Tìm k để đường thẳng dk vng góc với mặt phẳng ( R) : x – y – 2z + = Đáp số : vtcp dk u n1 , n2 (3k 1; k 1; 3k ) 0, k k 1 Bài : A – 2004 : Trong không gian với hệ tọa độ Đềcác vng góc Oxyz , cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thoi , AC cắt BD gốc tọa độ O Biết A( ; ; ) , B( ; ; 0) , S ( ; ; 2 ) Gọi M trung điểm cạnh SC a) Tính góc khoảng cách giũa đường thẳng SA BM b) Giả sử đường thẳng SD cắt mặt phẳng ( ABM ) điểm N Tính thể tích khối chóp S.ABMN Đáp số : a) Góc giũa SA BM 300 b) VABMB VSABM VSAMN Khoảng cách giũa SA BM : / Bài : B – 2004 : Trong không gian với hệ tọa độ Đềcác vng góc Oxyz , cho điểm A ( x 2t ; - ; ) đường thẳng d : y 1 t z 4t Viết phương trình tắc đường thẳng d’ qua A , cắt vng góc với đường thẳn d Đáp số : d ' : x4 y2 z 4 1 Bài :D – 2004 : 1)Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ Biết A(a; 0; 0) B(-a; 0; 0) C(0; 1; 0) B’(-a; 0; b) a > 0; b > a)Tính khoảng cách hai đường thẳng B’C AC’ b)Cho a, b thay đổi thoả mãn a + b = Tìm a, b để khoảng cách hai đường thẳng A’C AC’ lớn 2.Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho ba điểm A(2; 0; 1) B(1; 0; 0), C(1; 1; 1) mặt phẳng (P): x + y + z - = Viết phương trình mặt cầu qua ba điểm A, B, C có tâm thuộc mặt phẳng (P) Đáp số : 1) a) d ( B1C , AC1 ) ab a2 b2 b) Áp dụng BđT Cosi ta có k/c giũa đt lớn a = b = 2) Phương trình mặt cầu : ( x 1)2 y ( z 1)2 1 Bài 10 - A 2005 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho đường thẳng x y 3 z d: mặt phẳng (P): 2x + y - 2z + = 1 a.Tìm toạ độ điểm I thuộc d cho khoảng cách từ I đến mặt phẳng (P) b.Tìm toạ độ giao điểm A đường thẳng d mặt phẳng (P) Viết phương trình tham số đường thẳng nằm mặt phẳng (P), biết qua A vng góc với d Đáp số : a) Có điểm : I ( - ; ; ) , I’ ( ; - ; ) x t b) Phương trình tham số : y z 4 t Bài 11 - B 2005 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho hình lăng trụ đứng ABC.A1B1C1 với A(0; -3; 0) , B(4; 0; 0) , C(0; 3; 0) , B1(4; 0; 4) a.Tìm toạ độ đỉnh A1, C1 Viết phương trình mặt cầu có tâm A tiếp xúc với mặt phẳng (BCC1B1) b.Gọi M trung điểm A1B1 Viết phương trình mặt phẳng P) qua hai điểm A, M song song với BC1 mặt phẳng (P) cắt đường thẳng A1C1 điểm N Tính độ dài đoạn MN Đáp số : a) A1 ( ; - ; ) , C1 ( ; ; ) , b) Pt mp ( P): x + 4y – 2z + 12 = 0, Pt mặt cầu : x ( y 3)2 z 576 25 Tọa độ điểm N ( ; - ; 4) => MN = Bài 12 D 2005 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho hai đường thẳng: d1: x y z 1 1 17 d2 giao tuyến mặt phẳng ( ) : x y z 0 ; ( ) : x y 12 0 a.Chứng minh rằng: d1 d2 song song với Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa hai đường thẳng d1 d2 b.Mặt phẳng toạ độ Oxz cắt hai đường thẳng d1, d2 điểm A, B Tính diện tích OAB (O gốc toạ độ) Đáp số : a) Pt m p ( P) : 15x + 11y – 17z – 10 = b) Ta có A ( - ; ;– ) , B ( 12 ; 10 ) => SOAB = Bài 13- A 2006 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ với A(0; 0; 0) , B(1; 0; 0), D(0; 1; 0) , A’(0; 0; 1) Gọi M N trung điểm AB CD a.Tính khoảng cách hai đường thẳng A’C MN b.Viết phương trình mặt phẳng chứa A’C tạo với mặt phẳng Oxy góc biết cos= Đáp số : a) d ( A ' C , MN ) b) Gọi mp ( Q ) cần tìm : ax + by + cz + d = ( a b2 c ) Vì ( Q) chứa A’ C nên : c + d = a + b + d = => c = - d = a + b Do ( Q) : ax + by + ( a + b)z – ( a + b ) = Một VTPT ( Q) có tọa độ : ( a ; b ; a + b ) Một VTPT mp ( Oxy) có tọa độ ( ; ; 1) a b a 2b Ta có : cos 2 a b ( a b) b 2a Với a = -2b : Chọn b = -1 => a = ta có ptmp : 2x – y + z – = Với b = -2a : Chọn a = => b = - ta có ptmp : x – 2y - z + = Bài 14- B 2006 :Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho điểm A(0; 1; 2) hai đường x 1 t x y z 1 thẳng : d1: d2: y 2t 1 z 2 t a.Viết phương trình mặt phẳng (P) qua A, đồng thời song song với d1 d2 b.Tìm toạ độ điểm M d1, N d2 cho ba điểm A, M, N thẳng hàng Đáp số : a) (P) : x + 3y + 5z – 13 = b) M ( ; ; - ) , N ( ; ; ) Bài 15- D 2006 : Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm A(1; 2; 3) hai đường thẳng x y 2 z x y z 1 d1: d2: 1 1 a.Tìm toạ độ điểm A’ đối xứng với điểm A qua đường thẳng d1 b.Viết phương trình đường thẳng qua A vng góc với d1 cắt d2 Đáp số : a) A’ ( -1 ; - ; ) b) Pt tắc : x y z 3 5 Bài 16 - A 2007 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho hai đường thẳng x 2t x y z 2 d1: d2: y 1 t 1 z 3 a.Chứng minh rằng: d1 d2 chéo b.Viết phương trình đường thẳng d vng góc với mặt phẳng (P): 7x + y - 4z = cắt hai đường thẳng d1, d2 Đáp số : b) Gọi M,N giao điểm d với với đt cho => M( ; ; - 1) , N( - ; - ; 3) Phương trình tắc d : x y z 1 hay 4 x y 1 z 4 Bài 17- B 2007 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho mặt cầu (S): x2 + y2 + z2 - 2x + 4y + 2z - = mặt phẳng (P): 2x - y + 2z - 14 = a.Viết phương trình mặt phẳng (Q) chứa trục Ox cắt (S) theo đường trịn có bán kính b.Tìm toạ độ điểm M thuộc mặt cầu (S) cho khoảng cách từ M đến mặt phẳng (P) lớn Đáp số : a) ( S) có tâm I( ; - ; - ) , R = Mặt phẳng ( Q) cắt ( S) theo đ trịn có bk r = nên ( Q ) phải chứa tâm I mc ( S) Mặt khác , ( Q) lại chứa trục Ox nên mp ( Q) có vtpt n i, OI (0; 1; 2) => ( Q) : y – 2z = Bài 18 - D 2007 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz x y2 z cho hai điểm A(1; 4; 2); B(-1 2; 4) đường thẳng : 1 a.Viết phương trình đường thẳng d qua trọng tâm G tam giác OAB vng góc với mặt phẳng (OAB) b.Tìm toạ độ điểm M thuộc đường thẳng cho MA2 + MB2 nhỏ Đáp số : a) Ptđt d : Bài 19 (d ) : x y z 1 b) M( - ; ; ) A 2008 Trong không gian Oxyz cho điểm A(2 ;5 ;3) đường thẳng x y z 2 a) Tìm toạ độ hình chiếu vng góc A (d) b) Viêt phương trình mặt phẳng () chứa (d) cho khoảng cách từ A tới () lớn 6 Đáp số : a) Gọi H hcvg A d => H ( ; ; ) b) Là mp qua H vng góc với AH => ptmp : x – 4y – z + = Bài 20 - B 2008 Trong không gian Oxyz cho điểm A(0 ;1 ;2) ; B(2 ;-2 ;1) ; C(-2 ;0 ;1) a) Viết phương trình mặt phẳng qua ba điểm A, B, C b) Tìm toạ độ M thuộc mặt phẳng 2x + 2y + z - = cho MA= MB=MC Đáp số : a) Ptmp ( ABC ) :x + 2y – 4z + = M ( x; y; z ) ( P) b) Gọi M( x ; y ; z ) thuộc ( P).Ta có hệ pt : 2 MA MB MC M (2;3; 7) Hoặc M thuộc đt v góc với mp ( ABC ) trung điểm I ( ; - ; ) BC x y z 0 Tọa độ điểm M nghiệm hpt : x y z M (2;3; 7) Bài 21- D 2008 Trong không gian Oxyz cho điểm A(3 ;3 ;0) ; B(3 ;0 ;3) ; C(0 ;3 ;3) ; D(3 ;3 ;3) a) Viết phương trình mặt cầu qua bốn điểm A, B, C, D b) Tìm toạ độ tâm đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC Đáp số : a) Pt m cầu ( S) : x y z 3x y 3z 0 , tâm I ( / ; / ; / ) b) Gọi H tâm đường tròn ngoại tiếp tg ABC => H ( ; ; ) Bài 22 – A 2009 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thang vng A D; AB = AD = 2a, CD = a; góc hai mặt phẳng (SBC) (ABCD) 60 Gọi I trung điểm cạnh AD Biết hai mặt phẳng (SBI) (SCI) vng góc với mặt phẳng (ABCD), tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a Đáp số : V=3a315/5 Bài 23 – B 2009 : Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có BB’ = a, góc đường thẳng BB’ mặt phẳng (ABC) 600; tam giác ABC vuông C BAC = 600 Hình chiếu vng góc điểm B’ lên mặt phẳng (ABC) trùng với trọng tâm tam giác ABC Tính thể tích khối tứ diện A’ABC theo a Đáp số V= 9a3/208 Bài 24 – D 2009 Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC tam giác vuông B, AB = a, AA’ = 2a, A’C = 3a Gọi M trung điểm đoạn thẳng A’C’, I giao điểm AM A’C Tính theo a thể tích khối tứ diện IABC khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (IBC) Đáp số V = 4a3/9 d= 2a5/5