Đang tải... (xem toàn văn)
Bài toán điều khiển cho phương trình tiến hóa phân thứ trên không gian các số mờ tương quan tuyến tính.Bài toán điều khiển cho phương trình tiến hóa phân thứ trên không gian các số mờ tương quan tuyến tính.Bài toán điều khiển cho phương trình tiến hóa phân thứ trên không gian các số mờ tương quan tuyến tính.Bài toán điều khiển cho phương trình tiến hóa phân thứ trên không gian các số mờ tương quan tuyến tính.Bài toán điều khiển cho phương trình tiến hóa phân thứ trên không gian các số mờ tương quan tuyến tính.Bài toán điều khiển cho phương trình tiến hóa phân thứ trên không gian các số mờ tương quan tuyến tính.Bài toán điều khiển cho phương trình tiến hóa phân thứ trên không gian các số mờ tương quan tuyến tính.Bài toán điều khiển cho phương trình tiến hóa phân thứ trên không gian các số mờ tương quan tuyến tính.Bài toán điều khiển cho phương trình tiến hóa phân thứ trên không gian các số mờ tương quan tuyến tính.Bài toán điều khiển cho phương trình tiến hóa phân thứ trên không gian các số mờ tương quan tuyến tính.BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI HOÀNG THỊ PHƯƠNG THẢO BÀI TOÁN ĐIỀU KHIỂN CHO PHƯƠNG TRÌNH TIẾN HÓA PHÂN THỨ TRÊN KHÔNG GIAN CÁC SỐ MỜ TƯƠNG QUAN TUYẾN TÍNH Chuyên ngành Phươn.
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI HỒNG THỊ PHƯƠNG THẢO BÀI TỐN ĐIỀU KHIỂN CHO PHƯƠNG TRÌNH TIẾN HĨA PHÂN THỨ TRÊN KHƠNG GIAN CÁC SỐ MỜ TƯƠNG QUAN TUYẾN TÍNH Chuyên ngành: Mã số: Phương trình vi phân tích phân 9.46.01.03 TĨM TẮT LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC Hà Nội - 2022 Luận án hoàn thành Trường Đại học Sư phạm Hà Nội Tập thể hướng dẫn khoa học: PGS.TS Nguyễn Thi Kim Sơn TS Nguyễn Như Thắng Phản biện 1: GS.TS Cung Thế Anh - Trường Đại học Sư Phạm Hà Nội Phản biện 2: PGS.TS Đỗ Đức Thuận - Đại Học Bách Khoa Hà Nội Phản biện 3: PGS.TS Nguyễn Văn Tuyên - Trường Đại học Sư Phạm Hà Nội Luận án bảo vệ trước Hội đồng chấm luận án cấp Trường họp Trường Đại học Sư phạm Hà Nội vào hồi ngày tháng năm Có thể tìm hiểu luận án Thư viện Quốc gia, Hà Nội, Thư viện Trường Đại học Sư phạm Hà Nội MỞ ĐẦU Lịch sử vấn đề lý chọn đề tài Trên thực tế, nhiều trình vật lý xảy tự nhiên kĩ thuật chứa đựng đại lượng khơng chắn Chúng ta kể đến lượng nhiên liệu đầu vào máy móc, trình kĩ thuật xử lý ảnh, điều chỉnh đầu vào máy điện tử Do đó, thực mơ hình hóa q trình để phục vụ cho việc nghiên cứu, đại lượng không chắn đóng vai trị quan trọng Điều kĩ sư nhà khoa học công nhận Một số lý thuyết không chắn nghiên cứu có nhiều ứng dụng thực tiễn kể đến lý thuyết mờ, lý thuyết giá trị tập gần lý thuyết neutrosophic Giải tích mờ nhánh tốn học ứng dụng, nghiên cứu ứng dụng nhiều lĩnh vực kĩ thuật điều khiển, xử lý hình ảnh tín hiệu, kĩ thuật y sinh Giải tích mờ khái niệm tập mờ, đưa Zadeh vào năm 1960 Mặc dù vậy, phải đến năm 1970, lý thuyết tập mờ ứng dụng thực vào sống Và đến nay, lý thuyết mờ phát triển đạt nhiều thành tựu đáng ghi nhận Ý tưởng nghiên cứu phương trình vi phân mờ phân thứ trình bày lần vào năm 2010 Ở đó, định nghĩa đạo hàm phân thứ cổ điển, cụ thể đạo hàm Riemann-Liouville, Caputo, Modified- Riemann-Liouville , Caputo-Fabrizio cho hàm số mờ đề cập Đạo hàm mờ phân thứ Riemann-Liouville theo đạo hàm H tồn tính nghiệm cho lớp FFDE có trễ trình bày năm 2010 Năm 2011, đạo hàm phân thứ mờ Riemann-Liouville theo đạo hàm Seikkala đề xuất Cùng với đó, tồn nghiệm cho FFDE với điều kiện ban đầu mờ theo đạo hàm đề cập Trong năm 2012, phương trình vi phân phân thứ mờ khái niệm đạo hàm Caputo kết hợp với đạo hàm SGH nghiên cứu với hai loại biểu diễn khác Sự tồn tính nghiệm cho FFDE theo đạo hàm phân thứ trình bày cho thấy FFDE bậc β ∈ (0; 1), số điều kiện, có hai loại nghiệm tương ứng với dạng thứ dạng thứ hai đạo hàm Caputo loại H FFDE theo khái niệm đạo hàm phân thứ Caputo-Fabrizio kết hợp với đạo hàm SGH (đạo hàm Caputo Fabrizio SGH) nghiên cứu vào năm 2018 Bằng cách kết hợp đạo hàm phân thứ Riemann-Liouville đạo hàm phân thứ Caputo với đạo hàm gr ta nhận đạo hàm phân thứ gr Riemann-Liouville gr Caputo Đạo hàm phân thứ Caputo tổng quát, đạo hàm phân thứ Riemann-Liouville đạo hàm phân số Caputo-Katugampola giới thiệu với nhiều ứng dụng khác Gần đây, khái niệm đạo hàm phân thứ granular có ứng dụng cho FFDE Najariyan Zhao thiết lập Đạo hàm phân thứ mờ granular dựa hàm liên thuộc hiệu granular có số ưu điểm so với đạo hàm trước tính tốn trực tiếp thơng qua phép biến đổi ngược tập mức Ứng dụng mở rộng đạo hàm phân thứ granular cho phương trình tuyến tính bậc hai xây dựng Tính ổn định, khả điều khiển, khả quan sát coi số đặc điểm vốn có hệ động lực Liên quan đến hệ động lực mờ, khả điều khiển không gian vectơ mờ n chiều phương trình vi phân mờ nửa tuyến tính (FDE) chứng minh Kwun Park (2010) Nghiên cứu khả kiểm sốt với điều kiện khơng địa phương phương trình vi, tích phân mờ nửa tuyến tính thực Park cộng (2009) Nghiên cứu tính ổn định khả điều khiển phương trình vi phân tập nghiên cứu Phu công (2011) Năm 2018, Najariyan đưa khái niệm khả điều khiển gần cho tốn khơng địa phương phương trình vi phân ngẫu nhiên phi tuyến Trong cơng trình gần đây, Jeong cộng trình bày kết khả điều khiển xác phương trình vi phân mờ cách sử dụng nghiệm cực trị Tính điều khiển hồn tồn lớp phương trình tiến hóa phân thứ mờ nghiên cứu Tuy nhiên, cần lưu ý hầu hết kết có số khó khăn kỹ thuật địi hỏi giả thiết nghiêm ngặt thiếu cơng cụ phân tích mờ có công việc thực lĩnh vực điều khiển phương trình vi phân mờ Bằng cách sử dụng bao hàm vi phân, P Diamond nghiên cứu tính ổn định Lyapunov phương trình vi phân mờ tính tuần hồn tập nghiệm mờ Tính ổn định tiệm cận điểm cân cho phương trình tiến hóa mờ tính chất ổn định nghiệm mờ tầm thường có nhiễu nghiên cứu theo khái niệm đạo hàm Hukuhara Sử dụng tổng qt hóa định lý Kharitonov, tính ổn định hệ động lực học tuyến tính mờ nghiên cứu Tính ổn định phương trình vi phân mờ theo khái niệm đạo hàm Hukuhara tổng quát đề cập Gần đây, Najariyan (2020) nghiên cứu tính ổn định phương trình vi phân mờ theo đạo hàm granular Không gian số mờ tương quan tuyến tính khơng gian nghiên cứu Nó xây dựng cách cố định số mờ A Sử dụng ánh xạ phụ thuộc tuyến tính ψA : R2 → RF (A) , ta nhận toán tử có dạng qA + r (q, r) ∈ R2 Điều thú vị RF (A) nhúng vào RF không gian tuyến tính hồn chỉnh A số mờ khơng đối xứng Tuy nhiên, RF (A) trở thành khơng gian tuyến tính A số mờ đối xứng Điều có nghĩa cấu trúc đại số không gian RF (A) phụ thuộc vào tính đối xứng số mờ A Điểm đặc biệt không gian RF (A) trường hợp A số mờ khơng đối xứng cho phép ta chuyển đổi cách tương ứng phương trình không gian số mờ hệ phương trình tương ứng khơng gian số thực Khó khăn lớn gặp phải làm việc với không gian RF (A) xảy trường hợp A số mờ đối xứng Những phân tích lý để tác giả chọn đề tài luận án “Bài tốn điều khiển cho phương trình tiến hóa có chứa đại lượng khơng chắn” Chúng tơi nghiên cứu vấn đề sau (P1) Bài toán Cauchy cho phương trình tiến hóa phân thứ theo đạo hàm Fréchet Caputo C Dp x ˆ ˆ(t)), t ∈ I = [0, b] F 0+ ˆ(t) = f (t, x (1) x ˆ(0) =x ˆ0 , (P2) Bài toán Cauchy cho phương trình tiến hóa phân thứ theo đạo hàm tương quan tuyến tính Caputo C Dp x ˆ(t, x ˆ(t)), t ∈ I = [0, b], LC 0+ ˆ(t) = g (2) x ˆ(0) =x ˆ0 , (P3) Bài tốn điều khiển cho phương trình tiến hóa mờ phân thứ theo đạo hàm Fréchet Caputo C Dp x ˆ(t) ⊕A fˆ(t, x ˆ(t)) ⊕A Eu(t), t ∈ I = [0, b], F 0+ ˆ(t) = Bx (3) x ˆ(0) = x ˆ0 , (P4) Bài toán ổn định hóa cho phương trình tiến hóa mờ phân thứ theo đạo hàm tương quan tuyến tính Caputo C Dp x ˆ(t) ⊕A fˆ(t, x ˆ(t)), t ∈ I = [0, ∞) LC 0+ ˆ(t) = a ⊙A x (4) x ˆ(0) = x ˆ0 2 Mục đích nghiên cứu Luận án tập trung vào tốn điều khiển cho số lớp phương trình tiến hóa mờ phân thứ Mục tiêu thiết lập hàm điều khiển để nghiệm toán thỏa mãn số tính chất cho trước thơng qua việc nghiên cứu toán (P1), (P2) (P3), cụ thể sau: (i) Đạo hàm Fréchet Caputo phân thứ đạo hàm tương quan tuyến tính Caputo hàm nhận giá trị mờ tương quan tuyến tính bao gồm định nghĩa tính chất hai loại đạo hàm (ii) Các điều kiện để đảm bảo cho phương trình tiến hóa mờ phân thứ khơng gian số mờ tương quan tuyến tính có nghiệm có nghiệm (iii) Bài tốn điều khiển cho phương trình tiến hóa mờ phân thứ theo đạo hàm Fréchet Caputo không gian số mờ tương quan tuyến tính (iv) Bài tốn ổn định hóa cho phương trình tiến hóa mờ phân thứ theo đạo hàm tương quan tuyến tính Caputo Phương pháp nghiên cứu Sử dụng phép toán tính chất giải tích thực, giải tích hàm, lý thuyết điểm bất động thường (nguyên lý ánh xạ co, định lý điểm bất động Arzela-Ascoli, định lý điểm bất động Karanoselski, ) Sử dụng lý thuyết nửa nhóm liên tục mạnh, phép biến đổi Laplace, hàm Mittag-Leffler Lý thuyết giải tích mờ, giải tích mờ phân thứ Sử dụng kiến thức toán điều khiển Cấu trúc kết luận án Ngoài phần Lời cảm ơn, Mở đầu, Danh sách kí hiệu, Tài liệu tham khảo, Danh mục cơng trình khoa học liên quan đến luận án, Kết luận, Chỉ mục, luận án chia thành bốn chương sau: Chương Sơ lược không gian số mờ tương quan tuyến tính RF (A) Chương 2.Tính giải tốn Cauchy cho phương trình tiến hóa mờ phân thứ Chương Bài tốn điều khiển cho phương trình tiến hóa mờ phân thứ theo đạo hàm FréchetCaputo Chương Bài toán ổn định hóa cho phương trình tiến hóa mờ phân thứ theo đạo hàm tương quan tuyến tính Caputo Chương SƠ LƯỢC KHÔNG GIAN CÁC SỐ MỜ TƯƠNG QUAN TUYẾN TÍNH RF(A) Trong chương này, khơng gian số mờ RF trình bày mục 1.1 Các kiến thức trích dẫn từ tài liệu Bede, Lakshmikantham Mohapatra Để chuẩn bị sở toán học Chương Chương 4, lý thuyết không gian số mờ tương quan tuyến tính bao gồm cách xây dựng, phép toán số mờ tương quan tuyến tính, metric trình bày Mục 1.2 Ngồi ra, phép tính tích phân, đạo hàm bậc nguyên hàm mờ tương quan tuyến tính bao gồm định nghĩa tính chất thể Mục 1.3 Đây tảng quan trọng để mở rộng nghiên cứu sang tốn tử hệ động lực khơng gian chương 1.1 Không gian số mờ RF 1.2 Không gian số mờ tương quan tuyến tính RF(A) 1.2.1 Khơng gian Rnsy F(A) 1.2.2 Không gian Rsy F(A) 1.3 Hàm mờ tương quan tuyến tính 1.3.1 Khái niệm ví dụ 1.3.2 Đạo hàm hàm mờ tương quan tuyến tính 1.3.3 Tích phân hàm mờ tương quan tuyến tính Chương TÍNH GIẢI ĐƯỢC CỦA BÀI TỐN CAUCHY CHO PHƯƠNG TRÌNH TIẾN HĨA MỜ PHÂN THỨ Trong chương này, giới thiệu định nghĩa đạo hàm phân thứ Fréchet Caputo (Định nghĩa 2.1) đạo hàm tương quan tuyến tính Caputo (Định nghĩa 2.6, Định nghĩa 2.7) Chúng tơi chứng minh số tính chất liên quan đến hai loại đạo hàm phân thứ (Mệnh đề 2.1, Bổ đề 2.1, Bổ đề 2.2) Từ đó, chúng tơi nghiên cứu tính tồn nghiệm tốn Cauchy cho hai phương trình tiến hóa khơng gian mờ tương quan tuyến tính theo đạo hàm Fréchet Caputo đạo hàm tương quan tuyến tính Caputo Định lý điểm bất động sử dụng thích hợp để tính tồn tính nghiệm lớp phương trình đưa (Định lý 2.2, Định lý 2.3, Định lý 2.4, Định lý 2.5) Các nội dung trình bày dựa báo số Danh mục cơng trình khoa học giả liên quan đến luận án 2.1 2.1.1 Đạo hàm phân thứ hàm nhận giá trị mờ tương quan tuyến tính Đạo hàm phân thứ Fréchet Caputo ˆ Định nghĩa 2.1 Cho A ∈ Rnsy F với f (t) = q(t)A+r(t) Tích phân Riemann-Liouville phân thứ p ∈ (0, 1] fˆ(t) biểu diễn tuyến tính theo tích phân Riemann-Liouville phân thứ p ∈ (0, 1] hàm q(t) r(t) Cụ thể ta xác định p p RL p ˆ F I0+ f (t) = ψA I0+ q(t), I0+ r(t) , t ∈ J − + + α Định lý 2.1 Cho A1 , A2 ∈ RF với tập mức [A1 ]α = [a− 1α , a1α ], [A2 ] = [a2α , a2α ] Giả sử tồn qi , ri ∈ C(J, R), i = 1, 2, thỏa mãn f (t) = ψA1 (q1 (t), r1 (t)) = ψA2 (q2 (t), r2 (t)) với t ∈ J q1 , q2 khơng đổi dấu J Khi đó, ∀t ∈ J, ta có đẳng thức sau ψA1 (I0p+ q1 (t), I0p+ r1 (t)) = ψA2 (I0p+ q2 (t), I0p+ r2 (t)) (2.1) sy ˆ ˆ Định nghĩa 2.2 Cho A ∈ Rsy F f : J → RF (A) với f (t) = ψA (q(t), r(t)) Nếu tồn q(t) khơng đổi dấu J tích phân Riemann-Liouville phân thứ bậc p ∈ (0, 1] fˆ(t) xác định p p RL p ˆ F I0+ f (t) = ψA I0+ q(t), I0+ r(t) , t ∈ J nsy ˆ ˆ Định nghĩa 2.3 Cho A ∈ Rnsy F f : J → RF (A) q, r : J → R cho f (t) = ψA (q(t), r(t)) với t ∈ J Với p ∈ (0, 1], đạo hàm Fréchet Caputo phân thứ p hàm số f xác định theo công thức 1−p ′ 1−p ′ C p ˆ RL p ˆ′ D f (t) = I f (t) = ψ I q (t), I r (t) , t∈J (2.2) A F 0+ F 0+ F 0+ 0+ Trong trường hợp A số mờ đối xứng, fˆ(t) biểu diễn tuyến tính qua q(t), r(t) q ′ (·) không đổi dấu J, ta định nghĩa đạo hàm Fréchet Caputo phân thứ p hàm số fˆ theo công thức (2.2) nsy ˆ Mệnh đề 2.1 Cho A ∈ Rnsy F f : J → RF (A) khả vi Fréchet Khi Z t ′ RL p C p ˆ I D f (t) = fˆF (s)ds F 0+ F 0+ 2.1.2 Đạo hàm tương quan tuyến tính Caputo ˆ Định nghĩa 2.4 Cho fˆ : J → Rnsy F (A) với f (t) biểu diễn tuyến tính qua q(t), r(t) với q, r : J → R Khi tích phân tương quan tuyến tính Riemann-Liouville bậc p ∈ (0, 1] fˆ(t) xác định theo công thức RL p ˆ LC I0+ f (t) = ψA (I0p+ q(t), I0p+ r(t)) ˆ ˆ q (t), re(t)]≡ ) ψˆA ([e Định nghĩa 2.5 Cho fˆ : J → Rsy q (t), re(t)]≡A ) A F (A) với biểu diễn chuẩn f (t) = ψA ([e định nghĩa Định nghĩa ?? tích phân tương quan tuyến tính Riemann-Liouville bậc p ∈ (0, 1] fˆ(t) xác định theo công thức RL p ˆ LC I0+ f (t) = ψˆA ([I0p+ qe(t), I0p+ re(t)]≡A ) ˆ Định nghĩa 2.6 Cho fˆ : J → Rnsy F (A) với f (t) = q(t)A + r(t), q, r : J → R Đạo hàm tương quan tuyến tính Caputo bậc p ∈ (0, 1] fˆ(t) xác định theo công thức p ˆ C LC D0+ f (t) = ψA (D0p+ q(t), D0p+ r(t)) ˆ q (t), re(t)]≡ ) Khi đó, đạo hàm tương Định nghĩa 2.7 Cho fˆ : J → Rsy A F (A) với biểu diễn chuẩn ψA ([e ˆ quan tuyến tính Caputo bậc p ∈ (0, 1] f (t) xác định p ˆ C LC D0+ f (t) ′ p ˆ = RL F I0+ fLC (t) = ψA (D0p+ q(t), D0p+ r(t)) Dp qe(t), q ′ (t) ≥ ∀ t ∈ J, p 0+ |D0+ qe(t)| = −Dp+ qe(t), q ′ (t) < ∀ t ∈ J, Dp re(t), q ′ (t) ≥ ∀ t ∈ J, p 0+ D0+ rec (t) = 2Dp+ qe(t)x∗ + Dp+ re(t), q ′ (t) < ∀ t ∈ J 0 ˆ : J → Rnsy Ta có tính chất sau: Bổ đề 2.1 Cho fˆ, gˆ, h F (A) ˆ (i) fˆ(t) ⊕A gˆ(t) = h(t) C D p fˆ(t) LC 0+ p p ˆ ⊕A C ˆ(t) = C LC D0+ g LC D0+ h(t), ˆ (ii) fˆ(t) ⊟A gˆ(t) = h(t) C D p fˆ(t) LC 0+ p p ˆ ⊟A C ˆ(t) = C LC D0+ g LC D0+ h(t) ˆ : J → Rsy với biểu diễn chuẩn fˆ(t) = ψˆA ([e ˆ = Bổ đề 2.2 Cho fˆ, gˆ, h qfˆ(t), refˆ(t)]≡A ), gˆ(t) = ψˆA ([e qgˆ(t), regˆ(t)]≡A ), h(t) F (A) ψˆA ([e qˆ (t), reˆ (t)]≡ ) với qeˆ, re ˆ, qegˆ, regˆ h h A f f qehˆ , rehˆ hàm thực J hàm qfˆ, qgˆ tính đơn điệu Khi đó, ˆ ˆ A gˆ(t) = h(t) (i) fˆ(t)⊕ p C D p fˆ(t)⊕ ˆ AC ˆ(t) LC 0+ LC D0+ g p ˆ =C LC D0+ h(t), ˆ ˆ A gˆ(t) = h(t) (ii) fˆ(t)⊟ C D p fˆ(t)⊟ ˆ A C Dp+ gˆ(t) LC 0+ LC p ˆ =C LC D0+ h(t) Mệnh đề 2.2 Cho A ∈ RF fˆ : J → RF (A) khả vi tương quan tuyến tính Khi Z t ′ p ˆ RL p C fˆLC (s)ds LC I0+ LC D0+ f (t) = 2.2 2.2.1 Bài tốn Cauchy cho phương trình tiến hóa phân thứ theo đạo hàm Fréchet Caputo Đặt toán Xét toán Cauchy cho phương trình tiến hóa phân thứ theo đạo hàm Fréchet Caputo sau C Dp x ˆ ˆ(t)), t ∈ I = [0, b] F 0+ ˆ(t) = f (t, x (2.3) x ˆ(0) =x ˆ0 , p C ˆ(·) đạo hàm Fréchet Caputo phân thứ p ∈ (0, 1] hàm x ˆ(·), x ˆ0 ∈ RF (A) với A số F D0+ x nsy nsy ˆ mờ không đối xứng hàm số f : I × C I, R →R liên tục F (A) F (A) Bổ đề 2.3 Nếu x ˆ ∈ C I, Rnsy F (A) thỏa mãn hệ (2.3) thỏa mãn phương trình p ˆ x ˆ(t) = x ˆ0 ⊕A RL ˆ(t)), F I0+ f (t, x t ∈ J (2.4) Định nghĩa 2.8 Nếu x ˆ ∈ C I, Rnsy ˆ nghiệm F (A) thỏa mãn phương trình tích phân (2.4) ta gọi x tích phân tốn (2.3) 2.2.2 Tính giải tốn Tiếp theo, chúng tơi đưa điều kiện để đảm bảo tồn tính nghiệm tích phân tốn Cauchy (2.3) Trước hết, ta xác định metric supremum ρ metric yếu dm C I, Rnsy F (A) sau: ρ(β, γ(s) = sup dψA (β(s), γ(s)), s∈I dm (β, γ) = sup {sm dψA (β(s), γ(s))} , s∈I β, γ ∈ C(I, Rnsy F (A) ) + Định lý 2.2 Giả sử hàm mờ fˆ ∈ C(I, Rnsy F (A) ) tồn L ∈ R cho dψA (fˆ(t, x ˆ(t)), fˆ(t, yˆ(t))) ≤ LdψA (ˆ x(t), yˆ(t)) ∀ˆ x, yˆ ∈ C I, RF (A) t ∈ I Khi đó, tốn (2.3) có nghiệm tích phân C I, RF (A) Ví dụ 2.4 Xét phương trình vi phân phân thứ sau C Dp x ˆ(t) ⊕A η(t), F 0+ ˆ(t) = τ (t) ⊙A x x ˆ(0) =A t ∈ [0, 5], (2.5) p C ˆ kí hiệu cho đạo hàm Fréchet Caputo phân thứ p ∈ (0, 1], A ∈ Rnsy F D0+ x F τ, η : [0, 5] → R khả vi [0, 5] Nhận xét vế phải τ (t)⊙A x ˆ(t)+η(t) thỏa mãn điều kiện Lipschitz L = max τ (t) [0,5] Vì x ˆ(t) ∈ RF (A) nên tồn cặp (qxˆ (t), rxˆ (t)) ∈ R2 để x ˆ(t) = Aqxˆ (t) + rxˆ (t) với t ∈ [0, 5] Do đó, ˆ f (t, x ˆ(t)) có biểu diễn fˆ(t, x ˆ(t)) = τ (t) (Aqxˆ (t) + rxˆ (t)) + η(t) = Aτ (t)qxˆ (t) + τ (t)rxˆ (t) + η(t) Kí hiệu qfˆ(t) = τ (t)qxˆ (t), rfˆ(t) = τ (t)rxˆ (t) + η(t) Với t ∈ [0, 5] u ∈ C [0, 5], Rnsy F (A) ,ta có dψA fˆ(t, x ˆ(t)), fˆ(t, yˆ(t)) = |τ (t)qxˆ (t) − τ (t)qyˆ(t)| + |τ (t)rxˆ (t) − τ (t)ryˆ(t)| ≤ max τ (t) (|qxˆ (t) − qyˆ(t)| + |rxˆ (t) − ryˆ(t)|) t∈[0,5] ≤ max τ (t)dψA (ˆ x(t), yˆ(t)) t∈[0,5] Áp dụng Định lý 2.2, tốn (2.5) có nghiệm tích phân [0, 5] 2.3 2.3.1 Bài tốn Cauchy cho phương trình tiến hóa phân thứ theo đạo hàm tương quan tuyến tính Caputo Đặt tốn Xét phương trình tiến hóa phân thứ theo đạo hàm tương quan tuyến tính Caputo sau: C Dp x ˆ(t, x ˆ(t)), t ∈ I = [0, b], LC 0+ ˆ(t) = g x ˆ(0) =x ˆ0 , (2.6) p ˆ C LC D0+ f (t) đạo hàm tương quan tuyến tính Caputo bậc p ∈ (0, 1], u0 ∈ RF (A) với A số mờ không đối xứng fˆ ∈ C(I, RF (A) ) Bổ đề 2.4 Nếu x ˆ ∈ C I, Rnsy ˆ thỏa mãn phương trình tích phân sau: F (A) thỏa mãn hệ (2.6) x p x ˆ(t) = x ˆ0 ⊕A RL ˆ(t, x ˆ(t)), LC I0+ g t ∈ I (2.7) Định nghĩa 2.9 Nếu x ˆ ∈ C I, Rnsy ˆ nghiệm F (A) thỏa mãn phương trình tích phân (2.7) ta gọi x tích phân tốn (2.6) 2.3.2 Tính giải Trong phần này, chúng tơi đưa điều kiện để đảm bảo tồn nghiệm tích phân tốn Cauchy (2.6) Nhắc lại rằng, phần sử dụng đến metric supremum ρ metric yếu dm Định lý 2.3 Nếu tồn L ∈ R+ cho dψA (ˆ g (t, x ˆ1 (t)), gˆ(t, x ˆ2 (t))) ≤ LdψA (ˆ x1 (t), x ˆ2 (t)), t∈I nsy với x ˆ1 , x ˆ2 ∈ C I, Rnsy F (A) tốn (2.6) có nghiệm tích phân C(I, RF (A) ) Mệnh đề 3.2 Cho fˆ, gˆ ∈ C([0, +∞), Rnsy F (A) ) Giả sử c1 , c2 số, đó, L[c1 ⊙A fˆ(t) ⊖A c2 ⊙A gˆ(t)](s) = c1 ⊙A L[fˆ(t)](s) ⊕A c2 ⊙A L[ˆ g (t)](s), s ∈ R Nhận xét 3.1 Cho fˆ ∈ C([0, +∞), Rnsy F (A) ) Khi đó, L[λ ⊙A fˆ(t)](s) = λ ⊙A L[fˆ(t)](s) với λ ≥ 0, s ∈ R 3.2 Nửa nhóm liên tục mạnh khơng gian số mờ tương quan tuyến tính nsy Định nghĩa 3.2 Ánh xạ T : Rnsy F (A) → RF (A) gọi tốn tử tuyến tính bị chặn (i) T(ˆ u1 ⊕A u ˆ2 ) = T(ˆ u1 ) ⊕A T(ˆ u2 ) T(λ ⊙A u ˆ1 ) = λ ⊙A T(ˆ u1 ) với u ˆ1 , u ˆ2 ∈ Rnsy F (A) λ ∈ R (ii) Tồn K > cho dψA ( T(ˆ u1 ), ˆ 0) ≤ KdψA (ˆ u1 , ˆ0) với u ˆ1 ∈ Rnsy F (A) nsy Định nghĩa 3.3 Với toán tử bị chặn T : Rnsy F (A) → RF (A) , kí hiệu u, ˆ0) ≤ 1} u), ˆ0)|ˆ u ∈ Rnsy ∥ T∥op := sup{dψA ( T(ˆ F (A) , dψA (ˆ Khi đó, ta có (i) dψA ( T(ˆ u), ˆ 0) ≤ ∥ T∥op dψA (ˆ u, ˆ 0) với u ˆ ∈ Rnsy F (A) (ii) dψA ( T(ˆ u1 ), T(ˆ u2 )) ≤ ∥ T∥op dψA (ˆ u1 , u ˆ2 ) với u ˆ1 , u ˆ2 ∈ Rnsy F (A) Định nghĩa 3.4 Một họ toán tử tuyến tính bị chặn { T(t)}t≥0 khơng gian Rnsy F (A) gọi nửa nhóm liên tục mạnh (hoặc nửa nhóm C0 ) Rnsy F (A) họ { T(t)}t≥0 thỏa mãn tính chất sau: (i) T(0) = IdA , IdA ánh xạ đồng Rnsy F (A) , (ii) T(t1 + t2 ) = T(t1 ) T(t2 ) ∀t1 , t2 ≥ nsy (iii) ∀ˆ x ∈ Rnsy x liên tục ˆ : [0, ∞) → RF (A) , cho ξx ˆ (t) = T(t)ˆ F (A) , ánh xạ quỹ đạo ξx Định nghĩa 3.5 Một nửa nhóm C0 -{ T(t)}t≥0 Rnsy F (A) nửa nhóm co ∥ T(t)∥op ≤ 1, t ≥ Mệnh đề 3.3 Nếu {T (t)}t≥0 nửa nhóm C0 Rnsy F (A) lim ∥ T(t) ⊖A IdA ∥op = t→0 Với p ∈ (0, 1) t ∈ [0, ∞), z ∈ RF (A) , toán tử Sp (t) Tp (t) xác định (0, ∞) sau: Z ∞ Z ∞ Sp (t)z = ϕp (θ) T(tp θ)zdθ, Tp (t)z = p θϕp (θ) T(tp θ)zdθ 0 đó, ∞ Γ(np + 1) 1X (−1)n−1 θ−pn−1 sin(nπp), θ ∈ [0; +∞), ψp (θ) = π n! n=1 −1− p1 −1 ϕp (θ) = θ ψp (θ p ), θ ∈ (0; +∞), n ∈ N p 10 Mệnh đề 3.4 Với t ≥ 0, hàm Sp (.) Tp (.), tính chất sau thỏa mãn (i) Sp (.) Tp (.) ánh xạ tuyến tính bị chặn Rnsy ˆ ∈ Rnsy F (A) , cụ thể với x F (A) , ta có ∥Sp (t)ˆ x∥A ≤ K1 ∥ˆ x∥A ∥ Tp (t)ˆ x∥A ≤ pK1 ∥ˆ x∥A , Γ(p + 1) (ii) Họ toán tử Sp (.)ˆ x Tp (t)(.)ˆ x liên tục [0; ∞) với x ˆ ∈ Rnsy F (A) Định nghĩa 3.6 Định nghĩa toán tử Bxˆ := lim+ θ→0 ⊙A ( T(θ)ˆ x ⊖A x ˆ), θ x ˆ ∈ D( B) miền + D( B) := {ˆ x ∈ Rnsy ˆ khả vi Fréchet } F (A) : ξx ( B, D( B)) gọi phần tử sinh nửa nhóm liên tục mạnh { T(t)}t≥0 Định nghĩa 3.7 Lấy ( B, D( B)) phần tử sinh nửa nhóm liên tục mạnh { T(t)}t≥0 Rnsy F (A) Với λ ∈ C, x ˆ ∈ D( B), ta kí hiệu Mλ x ˆ = λ ⊙A x ˆ ⊖A Bx ˆ, ρ( B) := {λ ∈ C : Mλ song ánh M−1 λ ánh xạ tuyến tính liên tục} Khi đó, với λ ∈ ρ( B), toán tử giải R(λ, B) := M−1 λ ánh xạ tuyến tính liên tục 3.3 3.3.1 Tính điều khiển cho phương trình tiến hóa mờ phân thứ theo đạo hàm Fréchet Caputo Cơng thức biểu diễn nghiệm nsy Bổ đề 3.1 Giả sử hàm số x ˆ : I × Rnsy F (A) → RF (A) khả vi I thỏa mãn tốn (3.1) Khi đó, với t ∈ I, ta có Z x ˆ(t) = Sp (t)ˆ x0 ⊕A t (t − ς)p−1 Tp (t − ς)(fˆ(ς, x ˆ(ς)) ⊕A Eu(ς))dς, ≤ t ≤ b (3.2) nsy Định nghĩa 3.8 x ˆ : I × C I, Rnsy F (A) → RF (A) thỏa mãn phương trình tích phân (3.2) gọi nghiệm tích phân mờ tốn (3.1) 3.3.2 Tính điều khiển hồn tồn với biến điểu khiển ˆ Ta kí hiệu Θ : I → Rnsy F (A) cho Θ(t) = với t ∈ I Xét giả thiết (B), (F1), (F2), (C), (P) sau (B) Toán tử B sinh nửa nhóm liên tục mạnh { T(t)}t≥0 khơng gian Rnsy F (A) Do tồn K1 cho ∥ T(t)∥op ≤ K1 nsy ˆ ˆ (F1) Với t ∈ I, ánh xạ fˆ(t, ·) : C(I, Rnsy ˆ ∈ Rnsy F (A) ) → RF (A) liên tục, f (t, Θ) = với x F (A) , nsy ánh xạ fˆ(., x ˆ) : I → R đo mạnh F (A) 11 (F2) Với x ˆ, x ∈ Br := {ˆ x ∈ C(I, Rnsy x, Θ) ≤ r} với r > tồn số afˆ > để F (A) ) : ρ(ˆ dψA (fˆ(t, x ˆ(t)), fˆ(t, x(t))) ≤ afˆdψA (ˆ x, x) (C) ∥E∥op ≤ K2 với K2 > nsy (P) Toán tử Π : L1 I, Rnsy F (A) → RF (A) cho b Z (b − ς)p−1 ⊙A Tp (b − ς)Eu(ς)dς, Π(u) = có ánh xạ ngược tồn K3 cho ∥Π−1 ∥op ≤ K3 với u ∈ L1 I, Rnsy F (A) Định nghĩa 3.9 Bài toán (3.1) điều khiển hoàn toàn I nếu với ˆ0 trạng thái ban đầu x nsy trạng thái cuối x ˆ1 , tồn điều khiển đầu vào u ∈ L I, RF (A) cho x ˆ(b) = x ˆ1 , x ˆ(·) nghiệm tích phân (3.1) nsy Ta định nghĩa toán tử P : C(I, Rnsy F (A) ) → C(I, RF (A) ) Z t P[ˆ x](t) = Sp (t)ˆ x0 ⊕A (t − ς)p−1 Tp (t − ς)fˆ(ς, x ˆ(ς))dς Z t ⊕A (t − ς)p−1 Tp (t − ς)Eux (ς)dς, điều khiển đầu vào uxˆ (.) cho −1 uxˆ (t) = Π Z b p−1 ˆ x ˆ1 ⊖A Sp (b)ˆ x0 ⊕A (b − ς) Tp (b − ς)f (ς, x ˆ(ς))dς (t) Định lý 3.1 Nếu điều kiện (B), (F1), (F2), (C), (P) thỏa mãn tốn (3.1) điều khiển hoàn toàn I miễn K1 bp afˆ Γ(p + 1) với ξ = 3.3.3 (1 + ξ) ≤ (3.3) K1 K2 K3 bp Hơn nữa, điều khiển đầu vào Γ(p + 1) Tính điều khiển hồn tồn với biến điểu khiển không Trong Định lý 3.1, ta sử dụng định lý điểm bất động không gian Banach để chứng minh có hàm điều khiển u để tốn ban đầu điều khiển hồn tồn Tuy nhiên, thực tế, tốn khơng thiết cần hàm điều khiển Thay điều kiện Lipschitz vế phải điều khiển nửa tuyến tính fˆ,ta nhận phương trình cho điều khiển hoàn toàn Tuy nhiên, biến điều khiển không Ta xem xét giả thiết (F3), (F4) sau: (F3) Tồn p ∈ (0, p) gfˆ(·) ∈ L p (I, R+ ) cho dψA (fˆ(t, x ˆ(t)), fˆ(t, x(t))) ≤ gfˆ(t)ρ(ˆ x, x), với x ˆ, x ∈ C(I, Rnsy F (A) ) t ∈ I 12 + + p (F4) Với tập bị chặn Ω ⊂ Rnsy F (A) , tồn p ∈ (0, p) X : I×I → R cho X(t, ·) ∈ L ([0, t), R ) β( Tp (t − ς)fˆ(ς, Ω)) ≤ X(t, ς)β(Ω), ∥X(t, ·)∥ L p (I,R+ ) < bη η p−1 p−p β(·) độ đo không compact không gian Rnsy F (A) 1−p nsy Nhắc lại toán tử P : C(I, Rnsy F (A) ) → C(I, RF (A) ) xác định theo cơng thức t ∈ [0, b], ς ∈ [0, t], η = t Z P[ˆ x](t) = Sp (t)ˆ x0 ⊕A (t − ς)p−1 ⊙A Tp (t − ς)fˆ(ς, x ˆ(ς))dς t Z (t − ς)p−1 ⊙A Tp (t − ς)Euxˆ (ς)dς, ⊕A điều khiển uxˆ (t) cho công thức Z b p−1 −1 ˆ (b − ς) ⊙A Tp (b − ς)f (ς, x ˆ(ς))dς (t) , x0 ⊕A uxˆ (t) = Π x ˆ1 ⊖A Sp (b)ˆ với t ∈ [0, b] Để chứng minh P có điểm bất động x ∈ C I, Rnsy F (A) , ta phân tách P thành tổng hai toán tử sau Z t P1 [ˆ x](t) = Sp (t)ˆ x0 ⊕A (t − ς)p−1 ⊙A Tp (t − ς)Eux (ς)dς, Z t P2 [ˆ x](t) = (t − ς)p−1 ⊙A Tp (t − ς)fˆ(ς, x ˆ(ς))dς (3.4) x, Θ) ≤ r} Hiển nhiên, ta thấy Ωr tập bị chặn, đóng Với r > 0, Ωr = {ˆ x ∈ C I, Rnsy F (A) : ρ(ˆ nsy Để chứng minh P có điểm bất động C I, R lồi C I, Rnsy F (A) ta áp F (A) dụng Định lý điểm bất động Krasnoselskii’s Do đó, ta cần chứng minh P : Ωr → Ωr P1 ánh xạ co P2 ánh xạ hoàn toàn liên tục Để chứng minh P2 ánh xạ hoàn toàn liên tục , ta chứng minh P2 xác định (3.4) liên tục Ωr P2 toán tử compact Ta chứng minh P2 ánh xạ hoàn toàn liên tục qua Bổ đề sau Bổ đề 3.2 Nếu giả thiết (F1),(F3),(F4) (P) thỏa mãn toán tử P2 xác định (3.4) liên tục Ωr Bổ đề 3.3 Nếu giả thiết (F1),(F3),(F4) (P) thỏa mãn tốn tử P2 compact Định lý 3.2 Nếu giả thiết (F1)- (F3)-(F4)- (C) (P) thỏa mãn tốn (3.1) điều khiển hoàn toàn miễn [(σ − 1)Γ(p + 1) + σK1 K2 K3 bp ] < 0, K1 K4 p − p1 1−p1 p−p1 σ = K4 = b ∥gfˆ∥ p1 L (I,R+ ) Γ(p + 1) p − p1 13 (3.5) 3.3.4 Ví dụ Ví dụ 3.1 Xem xét toán sau t e− 2t + 1 C D1/3 x ˆ (t) = x ˆ(t) ⊕A x ˆ(t) ⊕A u F 0+ 3 π x ˆ(0) = (3.6) A số mờ khơng đối xứng cho trước, t ∈ I = [0, 1], < ς < t Ta nhận thấy 2t + x ˆ(t) fˆ(t, x ˆ(ς)) = Trước tiên, toán tử B = e−t/3 IdψA sinh nửa nhóm {T (t)}t≥0 ∥T (t)∥op ≤ Do đó, K1 = thỏa mãn giả thiết (F1) Với t ∈ [0, 1], ta có ∥fˆ(t, x ˆ(t))∥A ≤ 2t + ∥ˆ x∥A ≤ ∥ˆ x∥A ˆ(t)), fˆ(t, x(t)) = dψA (fˆ(t, x 2t + x(t), x(t)) ≤ dψA (ˆ x(t), x(t)), dψA (ˆ với x ˆ, x ∈ C(I, Rnsy F (A) ) Suy giả thiết (F2) thỏa mãn với afˆ = Hơn nữa, ta có E = Id π ψA Khi đó, ∥E∥op ≤ Vì vậy, giả thiết (C) thỏa mãn với K2 = Với u ∈ L1 (I, Rnsy F (A)), tốn tử tuyến tính Π cho Z t Πu = (t − ς) Tp (t − ς)u(ς)dς π K1 afˆbp ˆ Lấy K3 = ∈ 0, , ta có ∥Πu∥ ≤ ρ(u, 0) Mặt khác (1 + a) < nên áp dụng Định A 4 Γ(p + 1) Γ( ) lý 3.1, ta nhận tốn (3.6) điều khiển hồn tồn I = [0, 1] Ví dụ 3.2 Xét khả điều khiển hệ tiến hóa mờ sau C 1/3 ˆ(t) F D0+ x ˆ(t)) ⊕A Eu(t) = Bx(t) ⊕A fˆ(t, x với −4 2 C 1/3 , B= , E = , ˆ(t) = F D0+ x C D 1/3 x −3 F 0+ ˆ2 (t) −t e 2t−2 ⊙ x ˆ (t) ⊕ ⊙ x ˆ (t) A A A fˆ(t, x ˆ(t)) = t −3 e ˆ2 (t) ⊙A x C D 1/3 x F 0+ ˆ1 (t) với điều kiện ban đầu x ˆ1 (0) = x ˆ01 x ˆ2 (0) = x ˆ0 , 14 (3.7) A số mờ không đối xứng cho trước, t ∈ I = [0, 1] hàm điều khiển đầu vào u1 , u2 : [0, 1] → Rnsy F (A) hàm liên tục nhận giá trị mờ Kiểm tra điều kiện (B), ma trận B ∈ Mat2×2 (R) sinh nửa nhóm C0 − { T(t)}t≥0 đươc cho e−2t + 2e−5t 2e−2t − 2e−5t T(t) = etB = e−2t − e−5t 2e−2t + e−5t Do ta có ∥ T(t)∥op = e−2t ≤ Suy K1 = Ta kí hiệu ( " # " # " #) x ˆ1 ρ(ˆ x , Θ) r1 nsy Ωr = x ˆ= ∈ C(I, Rnsy ⪯R2 , F (A) ) × C(I, RF (A) ) : x ˆ2 ρ(ˆ x2 , Θ) r2 r1 , r2 > 0, ⪯R2 mối quan hệ R2 , định nghĩa y ≤ z 1 y⪯z⇔ y2 ≤ z2 Khi đó, với x ˆ, x ∈ Ωr t ∈ I, ta có dψA (fˆ(t, x ˆ(t)), ˆ 0) ≤ x1 (t), ˆ0) x1 (t), ˆ0) dψA (ˆ dψA (ˆ , = g ˆ f ˆ ˆ x2 (t), 0) dψA (ˆ dψA (ˆ x2 (t), 0) t e− 2t−1 3 x1 (t), x1 (t)) dψA (ˆ dψA (fˆ(t, x ˆ(t)), fˆ(t, x(t)) = t e− (ˆ x (t), x (t)) d ψA x1 (t), x1 (t)) dψA (ˆ , = gfˆ(t) x2 (t), x2 (t)) dψA (ˆ gfˆ ∈ Mat2×2 (R+ ) gfˆ(t) ∈ L p1 (I, R+ ), p1 = 14 thỏa mãn giả thiết (F1) (F3), tương ứng Hơn nữa, ta có s 1 ∥gfˆ∥ p1 =2 1− √ +√ + 108 L (I,R ) 162 e Với x ˆ ∈ Ωr t, ς ∈ [0, 1] với ς < t ta có Z 2 ∞ T2 (t − ς)f (ς, xˆ(ς)) = θϕ (θ) T((t − ς) θ)f (ς, x ˆ(ς)dθ 3 −ς Z ∞ e 2ς−2 ⊙ x ˆ (ς) ⊕ ⊙ x ˆ (ς) A A A 3 dθ = θϕ (θ)e(t−ς) θA ς −3 3 e ˆ2 (ς) ⊙A x 2 −ς Z ∞ 2 −2(t−ς) θ −5(t−ς) θ e 2ς−2 ⊙A x ˆ1 (ς) ⊕A ⊙A x ˆ2 (ς) θϕ (θ) e − 2e dθ 3 3 Z0 = ∞ 2 e− 3ς −2(t−ς) θ −5(t−ς) θ θϕ e + 2e dθ (θ) ⊙ x ˆ (ς) A 3 Mặt khác, ta có Z ∞ 2 θϕ (θ)e−2(t−ς) θ = E , (−2(t − ς) ), 3 3 15 Z ∞ 2 θϕ (θ)e−5(t−ς) θ = E , (−5(t − ς) ) 3 3 Với ς ∈ [0, t], tập Ωr tập bị chặn Hơn " 1 # 2E 32 , 23 (−2(t − ς) ) − 2E 23 , 23 (−5(t − ς) ) β(Ωr (ς)) β( T2 (t − ς)f (ς, Ωr (ς))) ≤ 1 3 2E , (−2(t − ς) ) + E , (−5(t − ς) ) 3 3 1 # 2E 23 , 32 (−2(t − ς) ) − 2E 23 , 23 (−5(t − ς) ) Với X(t, ς) = 1 2E , (−2(t − ς) ) + E , (−5(t − ς) ) 3 3 bη p−1 Ta có ∥X(t, ς)∥ p1 ([0,1],R) < 0, 008 Mặt khác = 0, 388 Vì điều kiện (F4) thỏa mãn L η Kiểm tra điều kiện (P) Với u ∈ L1 (J, RF (A) ), Π xác định theo công thức " Z Πu = (1 − ς)−2/3 T1 (1 − ς)Eu(ς)dς T1 (1 − ς)Eu(ς) xác định T1 (1 − ς)Eu(ς) = 3 Z ∞ θϕ (θ)e (1−ς) θ B u(ς)dθ 1 2e−5(1−ς) θ e−2(1−ς) θ + θϕ (θ) u(ς)dς 1 e−2(1−ς) θ − e−5(1−ς) θ 1 3 E 13 , 13 (−2(1 − ς) ) + 2E 13 , 13 (−5(1 − ς) ) u(ς) = E 1 (−2(1 − ς) 13 ) − E 1 (−5(1 − ς) 13 ) , , = Z ∞ 3 Do đó, ta có tốn tử Π(u) Z − 13 h 3 i ⊙A E , (−2(1 − ς) ) + 2E , (−5(1 − ς) ) u(ς) 3 3 h i 1 − 13 (1 − ς) ⊙A E , (−2(1 − ς) ) − E , (−5(1 − ς) ) u(ς) 3 3 Z 01 ω1 (ς)u(ς) 4 = Z , 9 ω2 (ς)u(ς) 4 Π(u) = Z 9 (1 − ς) 3 với h i 1 ω1 (ς) = (1 − ς)− ⊙A E , (−2(1 − ς) ) − +2E , (−5(1 − ς) ) , 3 h 3 i 1 − 13 ω2 (ς) = (1 − ς) ⊙A E , (−2(1 − ς) ) − E , (−5(1 − ς) ) 3 3 Nhận xét Π đơn ánh Giả sử tồn u1 , u2 cho Π(u1 ) = Π(u2 ), ta có Z Z ω1 (ς)u1 (ς) ω1 (ς)u2 (ς) = Z Z ω2 (ς)u1 (ς) ω2 (ς)u2 (ς) 0 16 Điều tương đương với ω1 (ς)(u1 (ς) − u2 (ς)) ˆ 0 , ∀ς ∈ [0; 1] = Z ˆ0 ω2 (ς)(u1 (ς) − u2 (ς)) Z √ π Do đó, ta có u1 = u2 Vì vậy, Π có ánh xạ ngược Π−1 Hơn với K3 ∈ 0, 5Γ( , ta có ∥Π−1 ∥op ≤ K3 ) Mặt khác [(σ − 1)Γ(p + 1) + σK1 K2 K3 ] ≥ 0, r √ 0.88 1 , K4 = 729 108 − √ K1 = 1, K2 = σ ≈ + √162 ≈ 0.44 Áp dụng Định lý 3.2, e Γ 32 ta nhận phương trình vi phân phân thứ (3.7) điều khiển hoàn toàn I √ π 17 Chương BÀI TỐN ỔN ĐỊNH HĨA CHO PHƯƠNG TRÌNH TIẾN HĨA MỜ PHÂN THỨ THEO ĐẠO HÀM TƯƠNG QUAN TUYẾN TÍNH CAPUTO Trong chương này, chúng tơi nghiên cứu tính ổn định tính hút điểm cân phương trình tiến hóa mờ theo đạo hàm tương quan tuyến tính Caputo khơng gian RF (A) Chúng đưa điều kiện để đảm bảo tốn đưa có điểm cân hút ổn định tiệm cận (Định lý 4.1, Định lý 4.2, Định lý 4.3, Định lý 4.4, Định lý 4.5) Trong trường hợp điểm cân chưa hút ổn định tiệm cận, thiết kế biến điều khiển u(t) để đưa u(t) vào toán điểm cân hút ổn định tiệm cận (Định lý 4.6, Định lý 4.7) Nội dung chương trích từ báo số danh mục cơng trình khoa học liên quan đến luận án 4.1 Đặt toán Trong nội dung chương 4, chúng tơi xem xét phương trình tiến hóa mờ phân thứ theo đạo hàm tương sy quan tuyến tính Caputo không gian Rnsy F (A) RF (A) Cụ thể, không gian Rnsy F (A) , xét tốn có dạng C Dp x ˆ(t) ⊕A fˆ(t, x ˆ(t)), LC 0+ ˆ(t) = a ⊙A x x ˆ(0) = x ˆ0 t ∈ I = [0, ∞), (4.1) p ˆ(t) đạo hàm tương quan tuyến tính Caputo bậc p ∈ (0, 1) trạng thái x ˆ : C LC D0+ x nsy nsy nsy ˆ ˆ ˆ ˆ I → RF(A) , f : I × RF(A) → RF(A) thỏa mãn f (t, 0) = 0, a số thực, a < Giả thiết x ˆ(t), fˆ(t, x ˆ(t)) ∈ RF (A) , tồn q, r, hfˆ, gfˆ : I → R cho x ˆ(t) = ψA (q(t), r(t)) Định nghĩa 4.1 Hằng số mờ x ˆe điểm cân hệ (4.1) a ⊙A x ˆ(t) ⊕A fˆ(t, x ˆe ) = ˆ0 Nhận xét 4.1 Để thuận tiện, phát biểu tất định lý cho trường hợp điểm cân x ˆe = ˆ0 Với điểm cân x ˆe ̸= ˆ ta di chuyển đến ˆ0 phương pháp đổi biến Giả sử điểm cân x ˆe ̸= ˆ Đặt φ(t) = x ˆ(t) ⊟A x ˆe , ta nhận phương trình p C LC D0+ φ(t) p =C x(t) ⊟A x ˆe ) = a ⊙A φ(t) ⊕A fˆ(t, φ(t)) LC D0+ (ˆ có điểm cân ˆ Ta xem xét hệ (4.1) không gian Rnsy F (A) Định nghĩa 4.2 Cho x ˆ : I → Rnsy ˆ F(A) hàm mờ nhận giá trị tương quan tuyến tính Ta nói x nghiệm hệ (4.1) x ˆ khả vi I thỏa mãn hệ (4.1) 18 ... mờ phân thứ khơng gian số mờ tương quan tuyến tính có nghiệm có nghiệm (iii) Bài tốn điều khiển cho phương trình tiến hóa mờ phân thứ theo đạo hàm Fréchet Caputo không gian số mờ tương quan tuyến. .. Sơ lược không gian số mờ tương quan tuyến tính RF (A) Chương 2.Tính giải tốn Cauchy cho phương trình tiến hóa mờ phân thứ Chương Bài tốn điều khiển cho phương trình tiến hóa mờ phân thứ theo... Chương Bài toán ổn định hóa cho phương trình tiến hóa mờ phân thứ theo đạo hàm tương quan tuyến tính Caputo Chương SƠ LƯỢC KHÔNG GIAN CÁC SỐ MỜ TƯƠNG QUAN TUYẾN TÍNH RF(A) Trong chương này, khơng gian