điều hành dự án bằng phương pháp sơ đồ mạng lưới (phương pháp pert-cpm)

Theo biểu đồ này, thứ tự và thời gian thực hiện các công việc thể hiện bằng một đồ thị gồm các đường kẻ ngang, gồm ba phần : +Phần thứ nhất: là cột thông tin, kèm theo danh mục công việ

ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP.HCM TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

PHAN NGUY ỄN VIỄN DI

ĐIỀU HÀNH DỰ ÁN BẰNG PHƯƠNG PHÁP SƠ ĐỒ MẠNG LƯỚI

(PH ƯƠNG PHÁP PERT-CPM)

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Tp.HCM-2009

ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP.HCM TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

Họ tên học viên cao học:

PHAN NGUY ỄN VIỄN DI

L ỜI MỞ ĐẦU

Lí thuyết toán học về tối ưu được hình thành và phát triển mạnh như một lĩnh vực khoa học quan

trọng từ khoảng giữa thế kỉ thứ hai mươi Tùy theo dạng các bài toán được nghiên cứu, đặc điểm của

mô hình toán học và công cụ xét chúng hoặc phạm vi áp dụng…, nhiều lĩnh vực khá gần nhau và đan xen với nhau của lí thuyết được hình thành với các tên gọi khác nhau như :

- Tối ưu hóa (Optimization)

- Qui hoạch toán học ( Mathematical Programming)

- Vận trù học (Operations Research)

- Điều khiển tối ưu (Optimal Control)

- Lí thuyết các bài toán cực trị (Theory of Extremal Problems)

- Phép tính biến phân (Variational Calculus)

- …

GS.Hoàng Tùy là người chọn thuật ngữ tiếng Việt Vận trù (Operations Research) từ đầu thập niên

60 của thế kỉ hai mươi Theo đó, Vận trù có nghĩa là vận dụng khoa học mà nền tảng là Toán học để

trù tính mọi việc Phát triển và ứng dụng thật sự Vận trù đầu tiên là ở nước Anh trong việc dùng ra-đa

phòng không chống tàu ngầm (thời kì chiến tranh thế giới thứ hai) Sau chiến tranh, Vận trù càng phát

triển rộng rãi trong các lĩnh vực rất đa dạng như kinh doanh, quản lí hành chính, xây dựng, quân sự, chính trị, giáo dục đào tạo,… Vận trù đôi khi được dùng gần như đồng nghĩa với khoa học quản trị (Management Science) và ch ọn quyết định (Decision Making) Điểm nổi bật của bài toán Vận trù là thường nhằm tìm nghiệm tối ưu, tức là chọn quyết định tốt nhất theo một mục tiêu nào đó Do đó, Vận trù rất gần với tối ưu hóa, nhưng lại có liên quan đến rất nhiều lĩnh vực khoa học khác như lí thuyết kinh tế, xác suất thống kê, công nghệ thông tin… Dù vậy, vẫn khẳng định đây là bộ phận của Toán ứng dụng vì phương pháp và ngôn ngữ Toán học là chủ đạo

Người viết đã chọn đề tài làm luận văn là Vận trù trong điều hành dự án bằng phương pháp PERT –

CPM Phương pháp PERT-CPM gồm có ba pha (phase): lập dự án bằng sơ đồ mạng lưới; điều hành dự

án thông qua các chỉ tiêu về thời gian, tài nguyên, chi phí; kiểm tra điều chỉnh dự án so với điều kiện

thực tế

Luận văn gồm ba chương, trong đó chương cuối là giao diện chương trình điều hành dự án bằng

phần mềm Microsoft Project 2007 với đầy đủ các tính năng cần thiết, có tính trực quan cao, dễ sử dụng

Người viết xin gửi lời biết ơn chân thành đến quí Thầy Cô ở khoa Toán – Tin học, Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia thành phố Hồ Chí Minh đã tận tình giảng dạy và hướng dẫn tôi trong quá trình ba năm học tập ở bậc cao học

Xin gửi lời biết ơn sâu sắc đến Phó Giáo sư Tiến sĩ Trần Thị Huệ Nương đã tận tình hướng dẫn tôi trong suốt quá trình làm luận văn Nhờ đó, tôi đã bổ sung thêm rất nhiều kiến thức hữu ích cho mình Xin cám ơn các bạn đồng nghiệp, các bạn học khóa 16 đã cùng học tập và làm việc trong suốt ba năm qua

Cuối cùng, người viết rất mong nhận được những góp ý sửa đổi cho các thiếu sót khó tránh khỏi của

luận văn này

CHƯƠNG 1:

LÍ THUY ẾT ĐỒ THỊ VÀ LÍ THUYẾT XÁC SUẤT CƠ BẢN

1.1 Lí thuy ết đồ thị:

Đồ thị là một cấu trúc rời rạc gồm các đỉnh và các cạnh nối các đỉnh đó Người ta phân loại đồ

thị tuỳ theo đặc tính và số các cạnh nối các cặp đỉnh của đồ thị Nhiều bài toán thuộc những lĩnh

vực rất khác nhau có thể giải được bằng mô hình đồ thị Chẳng hạn người ta có thể dùng đồ thị để

biểu diễn sự cạnh tranh các loài trong một môi trường tự nhiên, dùng đồ thị để biểu diễn ai có ảnh

hưởng lên ai trong một tổ chức nào đó, và cũng có thể dùng đồ thị biểu diễn các kết cục của cuộc

thi đấu thể thao.Hoặc chúng ta cũng sẽ chỉ ra có thể dùng đồ thị để giải các bài toán như bài toán

tính số các tổ hợp khác nhau giữa các chuyến bay giữa hai thành phố trong một mạng hàng không,

hay để giải bài toán đi tham quan tất cả các phố của một thành phố sao cho mỗi phố đi qua đúng

một lần, hoặc bài toán tìm số các màu cần thiết để tô các vùng khác nhau của một bản đồ

Định nghĩa 1.1.1.1 : Một đơn đồ thị G = (V, E) gồm một tập không rỗng V mà các phần tử của nó

gọi là các đỉnh và một tập E mà các phần tử của nó gọi là các cạnh (cung), đó là các cặp không thứ

tự của các đỉnh phân biệt

Đôi khi có nhiều đường điện thoại giữa các máy tính trong mạng Đó là khi có sự truyền thông

với cường độ cao giữa các máy tính Mạng với nhiều đường thoại Đơn đồ thị không thể mô hình

các mạng như thế này được Thay vào đó người ta dùng đa đồ thị Đó là đồ thị gồm các đỉnh và các

cạnh vô hướng, nhưng có thể có nhiều cạnh nối mỗi cặp đỉnh Đơn đồ thị là một trường hợp riêng

của đa đồ thị

Ta không thể dùng một cặp đỉnh để xác định một cạnh trong đa đồ thị Định nghĩa đa đồ thị vì

vậy phức tạp hơn một chút

Định nghĩa 1.1.1.2: Một đa đồ thị G = (V, E) gồm một tập các đỉnh V, một tập các cạnh(cung) E

và một hàm f từ E tới {{u, v}│u, v € V, u ≠ v } Các cạnh e1 và e2 được gọi là song song hay cạnh

bội nếu f(e1) = f(e2)

Ta không thể dùng đa đồ thị để mô hình các mạng như thế được vì đa đồ thị không chứa các

khuyên, đó là các cạnh nối một đỉnh với chính nó Khi đó ta phải dùng một loại đồ thị tổng quát

hơn, gọi là giả đồ thị

Định nghĩa 1.1.1.3 : Một giả đồ thị G = (V, E) gồm một tập các đỉnh V, một tập các cạnh(cung) E

và một hàm f từ E tới {{u, v}│u, v € V } Một cạnh là một khuyên nếu f(e) = {u } với một đỉnh u

nào đó

Tóm l ại : Giả đồ thị là loại đồ thị vô hướng tổng quát nhất vì nó các khuyên và các cạnh bội Đa đồ

thị là loại đồ thị vô hướng có thể chứa cạnh bội nhưng không thể có các khuyên, còn đồ thị đơn là

loại đồ thị vô hướng không chứa cạnh bội hoặc các khuyên

Định nghĩa 1.1.1.4 : Một đồ thị có hướng G = (V, E) gồm tập các đỉnh V và tập các cạnh (cung có

hướng) E là các cặp có thứ tự của các phần tử thuộc V

Định nghĩa 1.1.1.5 : Một đa đồ thị có hướng G = (V, E) gồm tập các đỉnh V và tập các cạnh (cung

có hướng) E và một hàm f từ E tới {{u, v}│u, v € V } Các cạnh e1 và e2 được gọi là song song hay

cạnh bội nếu f(e1) = f(e2)

Có

Không Không

Định nghĩa 1.1.2.1 : Hai đỉnh u và v trong một đồ thị vô hướng G được gọi là liền kề (hay láng

giềng ) nếu {u , v} là một cạnh của G Nếu e = {u, v} thì e gọi là cạnh liên thuộc với các đỉnh u và

v Cạnh e cũng được gọi là cạnh nối các đỉnh u và v Các đỉnh u và v gọi là các điểm đầu mút của

cạnh {u, v}

Định nghĩa 1.1.2.2 : Bậc của một đỉnh trong đồ thị vô hướng là số các cạnh liên thuộc với nó, riêng

khuyên tại một đỉnh được tính hai lần cho bậc của nó Người ta ký hiệu bậc của đỉnh v là deg(v)

Ví d ụ 1 : Đồ thị G : b c d

a f e ● g

Ta có :

deg(a) = 4, deg(b) = 3, deg(c) = 3, deg(d) = 1, deg(e) = 2, deg(f) = 3, deg(g) = 0

Đỉnh bậc 0 được gọi là đỉnh cô lập Từ đó suy ra đỉnh cô lập không nối với bất kỳ đỉnh nào Đỉnh g trên đồ thị G trong Ví dụ 1 là cô lập Một đỉnh gọi là treo (móc) nếu và chỉ nếu có bậc bằng

1 Do vậy đỉnh treo liên kề (nối) với đúng một đỉnh khác, đỉnh d trên đồ thị G trong Ví dụ 1 là một đỉnh treo

Định nghĩa 1.1.2.3 : Khi (u, v) là cạnh của đồ thị có hướng G, thì u được gọi là nối tới v, và v được

gọi là được nối từ u Đỉnh u gọi là đỉnh đầu, đỉnh v gọi là đỉnh cuối của cạnh (u, v) Đỉnh đầu và

đỉnh cuối của khuyên là trùng nhau

Định nghĩa 1.1.2.4 : Trong đồ thị có hướng bậc – vào của đỉnh v ký hiệu là deg -

deg – (a) = 2, deg – (b) = 2, deg – (c) = 3, deg – (d) = 2, deg – (e) = 3, deg – (f) = 0

deg+ (a) = 4, deg+ (b) = 1, deg+ (c) = 2, deg + (d) = 2, deg+ (e) = 3, deg+(f) = 0

Một số tính chất của đồ thị có hướng không phụ thuộc vào hướng của các cạnh của nó Do đó, sẽ

có lợi hơn khi ta lờ đi các hướng này Đồ thị vô hướng nhận được bằng cách này được gọi là đồ thị vô

hướng nền Đồ thị có hướng và đồ thị vô hướng nền của nó có cùng số cạnh

Định nghĩa 1.1.2.6 : Đồ thị con của đồ thị G = (V, E) là đồ thị H = (W, F) trong đó W⊂ V,F⊂ E

Định nghĩa 1.1.2.7 : Hợp của hai đồ thị đơn G1 = (V1, E1) và G2 = (V2, E2 ) là một đồ thị đơn có tập các đỉnh là V1∪V2 là tập các cạnh là E1∪E2 Ta ký hiệu hợp của các đồ thị G1 và G2 là G1∪

G2

1.1.3 Tính liên thông:

Định nghĩa 1.1.3.1: Đường đi độ dài n từ u tới v, với n là một số nguyên dương, trong một đồ thị

vô hướng là một dãy các cạnh e1, e2, , en của đồ thị sao cho f(e1) = {x0, x1 }, f(e2) = {x1, x2 },…,

f(en) = {xn-1 , xn }, với x0 = u và xn =v Khi đồ thị là đơn ta ký hiệu đường đi này bằng dãy các đỉnh

x0 , x1 , …., xn-1 Đường đi hay chu trình gọi là đơn nếu nó không chứa cùng một cạnh quá một lần

Định nghĩa 1.1.3.2: Đường đi độ dài n , với n nguyên dương , từ u với v trong đa đồ thị có hướng

là dãy các cạnh e1, e2,…, en của đồ thị sao cho (e1) = {x0 , x1 }, f(e2) = {x1 , x2 },…, f(en) = {xn-p ,

xn },với x0 = u và xn = v Khi không có cạnh bội trong đồ thị ta ký hiệu đường đi này bằng dãy các

đỉnh x0 , x1 , …., xn Đường đi bắt đầu và kết thúc tại cùng một đỉnh được gọi là một chu trình

Đường đi hay chu trình gọi là đơn nếu nó không chứa cùng một cạnh quá một lần

Định nghĩa 1.1.3.3: Một đồ thị vô hướng được gọi là liên thông nếu có đường đi giữa mọi cặp đỉnh

phân biệt của đồ thị

Ví dụ 3: a b a b

Đồ thị G e Đồ thị H

liên thông c c không liên thông

f d d f

g h Định lý 1.1.3.1: Giữa mọi cặp đỉnh phân biệt của một đồ thị vô hướng liên thông luôn có đường đi đơn Đôi khi, việc xoá đi một đỉnh và tất cả các cạnh liên thuộc với nó sẽ tạo ra một đồ thị con mới có nhiều thành phần liên thông hơn đồ thị xuất phát Các đỉnh như thế gọi là các đỉnh cắt hay các điểm khớp Việc xoá đỉnh cắt khỏi một đồ thị liên thông sẽ tạo ra một đồ thị con không liên thông Hoàn toàn tương tự, một cạnh mà khi ta bỏ nó đi sẽ tạo ra một đồ thị có nhiều thành phần liên thông hơn so với đồ thị xuất phát được gọi là một cạnh cắt hay một cầu Ví dụ 4: a d f g

Đồ thị G

b c e h

Đỉnh cắt của đồ thị G là : đỉnh b, c ,e Khi xóa một trong 3 đỉnh này (và các cạnh nối với nó ) sẽ làm mất tính liên thông của đồ thị G

Các cạnh cầu là : {a,b}, {c,e} vì khi xóa một trong 2 cầu này sẽ làm đồ thị G mất tính liên thông

Định nghĩa 1.1.3.4 : Đồ thị có hướng gọi là liên thông mạnh nếu có đường đi từ a tới b và từ b tới a

với mọi đỉnh của a và b của đồ thị

Trong đồ thị có hướng liên thông mạnh luôn tồn tại dãy các cạnh có hướng từ một đỉnh bất kì đến

một đỉnh bất kỳ khác của đồ thị Đồ thị có hướng có thể không là liên thông mạnh nhưng vẫn còn liên thông theo một nghĩa nào đó Để xác định chính xác điều này, ta có định nghĩa 5 sau:

Định nghĩa 1.1.3.5 : Đồ thị có hướng gọi là liên thông yếu nếu có đường đi giữa hai đỉnh bất kỳ

của đồ thị vô hướng nền

Do vậy đồ thị có hướng là liên thông yếu nếu và chỉ nếu luôn tồn tại đường đi giữa hai đỉnh khi ta không quan tâm tới hướng của các cạnh Rõ ràng mọi đồ thị có hướng liên thông mạnh cũng là đồ

thị liên thông yếu

Ví dụ 4 : a b a b

c c

e d e d

liên thông mạnh không liên thông mạnh

(nhưng liên thông yếu )

1.2 Lí thuy ết xác suất :

1.2.1.Các khái niệm cơ bản:

1.2.1.1.Đại số các biến cố ngẫu nhiên:

Trong các hiện tượng xảy ra xung quanh, ta có thể phân thành hai loại :

+ Hiện tượng tất yếu: có tính chất đặc trưng là nếu xảy ra trong cùng điều kiện thì chúng cho các kết

quả giống nhau

+ Hiện tượng ngẫu nhiên: có tính chất đặc trưng là dù có xảy ra trong cùng điều kiện thì chúng vẫn có

thể cho kết quả khác nhau

Ví dụ : Gieo hạt xúc xắc, số nút xuất hiện ( từ 1 đến 6) là ngẫu nhiên (còn gọi là biến cố ngẫu nhiên) Các biến cố (ngẫu nhiên) luôn liên quan đến 1 phép thử nào đó Mỗi phép thử lại liên quan đến một tập

hợp các kết quả có thể xảy ra Khi xét một biến cố nào đó, ta cần quan tâm: với kết quả nào của phép

thử thì biến cố xảy ra (hoặc không xảy ra)

Ta trang bị một cấu trúc đại số cho các biến cố ngẫu nhiên như sau:

Cho A,B,C là các biến cố ngẫu nhiên liên quan đến một phép thử F.Ta có các định nghĩa :

i) A = B (A, B đồng nhất) : A và B cùng xảy ra (hoặc cùng không xảy ra), với mỗi kết quả của phép thử F

ii) Biến cố đối của A, kí hiệu là Ac, được đặc trưng bởi tính chất sau: trong phép thử F, A và Ackhông cùng xảy ra

iii) A∩B (hay AB): biến cố chỉ sự đồng thời xuất hiện của A và B

iv) ∅: là biến cố chỉ sự không thể xuất hiện trong F

v) AB = ∅ : A và B gọi là xung khắc

vi) A∪ B : là biến cố chỉ sự xuất hiện ít nhất của 1 trong 2 biến cố A, B.(Khi A.B =∅ thì ta viết A+B thay A∪ B.)

vii) Ω : là biến cố chỉ sự chắc chắn xuất hiện trong F

viii) A⊂ B: nếu sự xuất hiện của A luôn kéo theo sự xuất hiện của B

ix) A \ B = ABc

x) Họ biến cố { B1,B2…,Bn} là đầy đủ, nếu chúng xung khắc đôi một và

1

n i i

1.2.1.2.Định nghĩa đại số và σ- đại số:

Tập A gọi là đại số Boole (hay trường), nếu thỏa điều kiện sau :

i) A,B ⊂ A tồn tại AB ⊂ A gọi là tích của A và B, tồn tại A ∪ B ⊂ A gọi là hợp của Avà B ii) Với mỗi A ⊂ A tồn tại Ac ⊂ A, gọi là đối của A

iii) Ω ∅, ⊂ A

iv) Với mọi A,B,C ⊂ A, các phép toán sau thỏa :

iv.1) AA=A, AB=BA, (AB)C=A(BC)

iv.2) A∪ A=A, A ∪ B=B ∪ A, (A ∪ B) ∪ C=A ∪ (B ∪ C)

iv.3) A(B∪ C)=AB ∪ AC, A ∪ BC=(A ∪ B)(A ∪ C)

Mỗi đại số các biến cố có một đại số các tập hợp đẳng cấu với nó

Ví dụ 1: Cho phép thử F : gieo hai xúc xắc đồng chất Khi đó Ω ={(ei,ej), i= 1, 6}, với (ei,ej) là biến cố :” xúc xắc 1 xuất hiện nút i, xúc xắc 2 xuất hiện nút j ”

Ta xét biến cố A:” tổng số nút của 2 xúc xắc xuất hiện là 7 “, thì A có dạng :

A = {(e1,e6), (e2,e5), (e3,e4), (e4,e3), (e5,e2), (e6,e1)} hay A= (e1,e6)+(e2,e5)+(e3,e4)+(e4,e3)+(e5,e2)+(e6,e1) Các biến cố (ei, ej), i= 1, 6, gọi là các biến cố sơ cấp

Biến cố A gọi là biến cố phức hợp

1.2.2.Hệ tiên đề Kolmogorov:

i) Tồn tại tập Ω ≠ ∅ gọi là không gian biến cố sơ cấp.Mỗi ω ∈Ω được gọi là biến cố sơ cấp

ii) Tồn tại σ -đại số A các tập con của Ω Mỗi A thuộc A được gọi là một biến cố ngẫu nhiên

iii) Mỗi A thuộc A có một số thực P(A) ≥ 0 gọi là xác suất của A

Bộ ba ( Ω ,A,P) được gọi là không gian xác suất

i)A,B∈A , nên A ∪ B∈A, ta có :

A∪B=A+BAc , suy ra : P(A ∪ B)= P(A)+P(BAc)

Mặt khác : B=AB+Ac

B , suy ra : P(AcB)= P(B) – P(AB)

Do đó : P(A ∪ B)= P(A)+ P(B) – P(AB)

ii)A ⊂ B,suy ra: B = A + BAc

Do đó : P(B) = P(A) + P(BAc) ≥ P(A)

iii)Ta có : 0≤P A( )≤P( )Ω (theo ii))

1.2.4.S ự độc lập ngẫu nhiên:

Giả sử B là lớp tùy ý các biến cố ngẫu nhiên (B ⊂ A).Ta nói lớp B độc lập nếu xác suất của một giao

hữu hạn bất kì các biến cố trong B bằng tích xác suất của các biến cố đó

1.2.5.Phân ph ối xác suất:

1.2.5.1.Bi ến ngẫu nhiên :

Trong không gian xác suất (Ω , A, P), R= (−∞ +∞, ) là đường thẳng thực với σ -đại số các tập Borel

B Ánh xạ X: Ω → ℜ được gọi là biến ngẫu nhiên nếu B∀ ∈B, X-1(B) ∈A

Ví dụ 3: Xét phép thử F gieo 3 lần ngẫu nhiên đồng xu cân đối, đồng chất Gọi X là số lần sấp trong 3

lần gieo Khi đó X là biến ngẫu nhiên Ta xác định X như sau :

Kí hiệu :

S:” đồng xu xuất hiện mặt sấp”

N:” đồng xu xuất hiện mặt ngửa”

Khi đó các biến cố sơ cấp trong Ω :

1.2.5.2.Hàm phân ph ối :

Trong không gian xác suất (Ω , A, P), cho biến ngẫu nhiên X.Ta gọi hàm thực F(x) xác định bởi hệ

thức: F(x) = FX(x) = P[X< x], ∀ ∈x R là hàm phân phối (hay phân bố) của X

ii)Phân phối rời rạc :

Ta định nghĩa: biến ngẫu nhiên X gọi là có phân phối rời rạc nếu miền giá trị của X là tập hữu hạn hay đếm được (Khi đó ta nói X là biến ngẫu nhiên rời rạc.)

Theo định nghĩa trên thì Im(X) = { xi , i∈I} với I là tập con của N

Ví dụ 4: Trong ví dụ 3, ta có bảng (phân phối) sau :

Khi đó : giá trị hàm phân phối tại x = 2,38 là :

F(2,38) = 1

8+3

8+3

8 = 7

8 là tổng các giá trị Piở bên trái điểm x = 2,38

ii)Phân ph ối liên tục tuyệt đối :

Ta định nghĩa hàm F(x) là liên tục tuyệt đối trên [a, b], nếu : ∀ > ∃ >ε 0, δ 0 sao cho mọi hệ hữu hạn

bất kì các khoảng không giao nhau (a1, b1), (a2, b2),…, (an, bn) thỏa :

gọi là kì vọng của X, kí hiệu EX ( X Expect)

Cho X là biến ngẫu nhiên liên tục tuyệt đối trên [a,b], nếu b X( )

a f x x dx

∫ hữu hạn thì nó được gọi là

kì vọng của X, kí hiệu EX ( X Expect)

Giả sử X là biến ngẫu nhiên có kì vọng là EX, thì nếu tồn tại E(X-EX)2

thì ta gọi đó là phương sai (Variance) của X, kí hiệu σ Khi đó 2 σ gọi là độ lệch chuẩn ( Standard Deviation) của X

Một cách khái quát (hiểu theo nghĩa xác suất) thì kì vọng chính là giá trị trung bình, còn độ lệch chuẩn chính là trung bình giá trị tuyệt đối độ lệch của các giá trị so với EX

1.2.5.4 Phân ph ối liên tục tuyệt đối thường gặp :

i)Phân phối chuẩn:

Hầu như chắc chắn, phân phối được nhiều người biết đến nhất và sử dụng nhiều nhất chính là phân

phối chuẩn (Normal Distribution) Phân phối này phù hợp với nhiều đặc trưng của con người như chiều cao, cân nặng, tốc độ, chỉ số thông minh (IQ), thành tích học tập, triển vọng tuổi thọ,… Như bản sao

của con người thì các sinh vật khác như cây, động vật, côn trùng,… cũng có nhiều đặc trưng tuân theo (một cách xấp xỉ) phân bố chuẩn

EX X

Hàm mật độ của phân phối chuẩn (còn gọi là đường cong chuẩn: normal curve)

Nhiều giá trị biến số dùng trong kinh doanh và ngành công nghiệp cũng có phân bố chuẩn.Ví dụ : chi phí hàng năm của bảo hiểm nhà, chi phí trên đơn vị diện tích ( square foot) cho việc thuê không gian nhà xưởng, các chỉ tiêu sản xuất của máy móc…

Vì có nhiều ứng dụng như vậy, nên phân bố chuẩn là phân bố cực kì quan trọng Nó được phát minh đầu tiên bởi nhà toán học và thiên văn học Karl Gauss(1777-1855) Ông nhận thấy rằng sai số trong

việc lặp lại các phép đo một đại lượng nào đó sẽ tuân theo phân bố chuẩn.Vì vậy phân bố chuẩn còn

gọi là phân bố Gauss hay đường cong sai số chuẩn Kế đến, phân bố chuẩn được mở rộng thêm bởi Pierre-Simon de Laplace(1749-1827) Tuy nhiên, ngày nay, người ta cho rằng Abraham de Moivre

(1667-1754) , nhà toán học người Pháp, là người đầu tiên trình bày trọn vẹn về phân phối chuẩn Ông định nghĩa phân bố nhị phân, gần đúng với phân bố chuẩn Bảng giá trị của đường cong chuẩn được ông phát hành lúc đó chỉ là vài phần trăm so với bảng giá trị ngày nay

Phân phối chuẩn có các đặc trưng sau :

-là phân phối liên tục tuyệt đối

-là phân phối đối xứng

-tiệm cận với trục X

-là một họ đường cong

-toàn vùng dưới đường cong chuẩn có xác suất bằng 1

-Hàm mật độ của phân bố chuẩn phụ thuộc 2 tham số : EX và σ Giá trị của EX và σ tạo nên phân

phối chuẩn khác nhau

f(x) =

2 1 2

1.2

-Z.σ + Z.σ

EX X

Thay biến Z vào hàm mật độ tương ứng của phân phối chuẩn, ta được phân phối Z, là phân phối chuẩn với EX=0, σ=1 Khi đó, những giá trị x tại EX thì có 0 độ lệch chuẩn so với EX Những giá trị

x có 1 độ lệch chuẩn thì nằm ở trên EX,và có Z= +1

Phân phối Z được cho bởi bảng A1 (xem phần phụ lục)

Bây giờ ta xét vài ví dụ để làm rõ cách tính phân bố xác chuẩn (thông qua phân bố Z):

Ví dụ 7: ta xét giá trị xác suất về điểm của bài test về phân cấp độ năng khiếu quản lí (GMAT) Đây là test của dịch vụ kiểm định giáo dục (ETS) ở Princeton, New Jersey, và nó được dung rộng rãi trong các trường chuyên ngành kinh doanh như là điều kiện đầu vào.Cho rằng điểm số bài test là phân bố chuẩn, thì ta có thể tính xác suất điểm có thể đạt được, dựa trên sự biến thiên trong khoảng giữa điểm cao

nhất và thấp nhất trong tất cả bài test Vài năm gần đây, GMAT có EX=494 , σ =100 Ta có thể tính xác suất điểm ngẫu nhiên của GMAT trong khoảng từ EX đến 600 như sau :

Ta có : Z=

600 494

1.06 100

P [ 400 < X < 494 ] = 3264

Mà : P [ X < 494 ] = 5

Vậy : P [ X < 400 EX = 494 , σ=100 ] = 5 - 3264 = 1736 ( =17.36%)

.3264

1736

400 494

ii) Phân phối beta: (beta distribution) Xác định bởi hàm mật độ : f(x) ( ) 1 1 1 1 1 (1 ) (1 ) ( ) ( )x x B( , )x x α β α β α β α β α β − − − − Γ + = − = − Γ Γ ,0≤ ≤x 1 Với: α β : tham số , 1

0

( )α +∞tα−e dt−t

Γ =∫ : hàm đặc biệt gamma

o

B α β =∫ tα− −t β− dt: hàm đặc biệt beta

Chú ý : Khi u thuộc [ a,b] có phân bố beta, thì ta đổi biến u = a + (b-a)x để có được hàm mật độ f(u)

CHƯƠNG 2:

ĐIỀU HÀNH DỰ ÁN BẰNG CÁC PHƯƠNG PHÁP PERT-CPM

D ự án (project) là một tập hợp các công việc (task) có liên quan trực tiếp đến một số kết quả chủ yếu

và đòi hỏi một giai đoạn thời gian để hoàn tất Các công việc này (còn gọi là các hoạt động-activity) được thực hiện theo một thứ tự nhất định cho đến khi hoàn thành toàn bộ chúng Ngoài yếu tố thời gian,các công việc còn chịu sự chi phối bởi hai nhân tố khác:

Chi phí : gồm các chi phí tài nguyên (Resource) như nhân lực, thiết bị, nguyên vật liệu, để hoàn thành công việc

Mục đích: thực hiện công việc và kế hoạch hoàn thành chúng

Trước kia, để lập kế hoạch cho dự án, người ta thường dùng các cách sau:

* Biểu đồ Gantt (Gantt bar chart):

Do nhà bác học Gantt phát minh năm 1917 Theo biểu đồ này, thứ tự và thời gian thực hiện các công

việc thể hiện bằng một đồ thị gồm các đường kẻ ngang, gồm ba phần :

+Phần thứ nhất: là cột thông tin, kèm theo danh mục công việc, được thể hiện theo thứ tự diễn tiến các công việc

+Phần thứ hai: biểu đồ các công việc, gồm các đoạn thẳng nằm ngang ( liên tục, hay gián đoạn) tương ứng với từng công việc, biểu thị điểm khởi công và kết thúc

+Phần thứ ba: biểu đồ tài nguyên (nhân lực, máy ,vật liệu …)

Ưu điểm phương pháp này :

+Đơn giản, dễ nhìn, dễ hiểu, dễ kiểm tra

+Thể hiện trình tự công việc và một phần mối liên hệ các công việc

Nhược điểm phương pháp này :

+Không thể hiện sự phụ thuộc lẫn nhau, nên dễ dẫn đến sự chồng chéo khi tiến hành

+Không cho biết công việc ảnh hưởng quyết định tới tiến độ thực hiện

Biểu đồ tài nguyên

*Biểu đồ xiên: (còn gọi là Xyklôgram)

Do Butnhicop (Liên Xô) tìm ra Cấu tạo của nó giống như biểu đồ Gantt nhưng tiến trình công việc được thể hiện bằng những đường xiên

Ưu điểm :

+Dễ kiểm tra sự chồng chéo giữa các công việc, thể hiện tính chu kì (trong sản xuất)

+Áp dụng được cho các công trình chia được phân đoạn

Nhược điểm :

+Không trực quan(phải ghép lại mới biết tên công việc)

+Không cho biết công việc ảnh hưởng quyết định tới tiến độ thực hiện

đồng thời vào năm 1956-1958, hai phương pháp kế hoạch, điều hành và kiểm tra-điều chỉnh dự án đã ra

đời Phương pháp đường găng và phương pháp đường tới hạn (CPM:Critical Path Method), được E.I

du Pont de Nemous và công ty xây dựng của ông đề xuất Phương pháp thứ hai có tên là Kỹ thuật xem xét và đánh giá dự án ( PERT:Project Evaluation and Review Technique) là kết quả nghiên cứu của

một công ty tư vấn theo đặt hàng của hải quân Mỹ, dùng để điều hành các hoạt động nghiên cứu và phát triển chương trình tên lửa đối cực Hai phương pháp được hình thành độc lập nhưng rất giống nhau , cùng nhằm vào mục đích điều hành thời gian là chính Sự khác nhau chính là trong CPM thời gian ước lượng cho các hoạt động , được coi là không đổi ,hay tất định (deterministic), còn trong PERT

có thể là ngẫu nhiên (probabilistic) Ngoài ra CPM có tính đến quan hệ thời gian và chi phí, còn PERT

tập trung vào thời gian Ngày nay, khi đã phát triển lên, hai phương pháp được coi là một, dưới một tên chung là phương pháp điều hành dự án (Project Scheduling Method) hoặc phương pháp điều hành dự

án PERT-CPM, hoặc phương pháp sơ đồ mạng lưới hoặc hệ thống kiểu PERT (PERT – type system)

Nó được dùng để thực hiện rất nhiều kiểu dự án, từ xây dựng, lập trình máy tính, sản xuất phim đến

vận động tranh cử chính trị hoặc các cuộc giải phẫu phức tạp

Phương pháp điều hành dự án PERT-CPM gồm 3 pha (phase), tức là 3 giai đoạn :

+ Lập kế hoạch

+ Điều hành

+ Kiểm tra và điều chỉnh

2.1.Lập kế hoạch:

Pha này có nội dung là lập một sơ đồ mạng lưới (network diagram hoặc diagram), tương tự 1 đồ thị

có hướng, dựa trên cơ sở là lý thuyết đồ thị Đầu tiên, dự án được tách thành nhiều hoạt động riêng và định thời gian hoàn thành cho chúng Sau đó, tùy theo từng loại sơ đồ mạng, các hoạt động và thời gian được biểu diễn bằng nút (Node) hay là cung (Arc) Hiện nay, có các cách loại sơ đồ mạng lưới chính sau :

AOA (Activity On Arc) hay còn gọi là ADM(Arrow Diagramming Method), AON(Activity On Node) hay còn gọi là PDM (Precedence Diagramming Method)

Ưu điểm :

+ Đặt công việc trên đường vẽ logic, nên chỉ rõ được mối quan hệ logic và liên hệ kĩ thuật giữa các công việc trong sơ đồ mạng

+ Thể hiện rõ các công việc găng (công việc then chốt của dự án) và công việc không găng ( công

việc còn dự trữ thời gian và tài nguyên)

+ Cho phép điều chỉnh định kì mà không phải lập lại sơ đồ mạng

+ Tạo khả năng tối ưu hóa tiến độ của kế hoạch, về thời gian, chi phí và tài nguyên

+ Thuận lợi cho tự động hóa tính toán và điều hành kế hoạch

tạo…Công việc được thể hiện bằng cạnh (cung có hướng) liền nét nối 2 sự kiện,bên trên ghi thời gian

thực hiện nó (dạng AOA), hoặc hình chữ nhật(cũng có khi là hình tròn) bên trong ghi các thông số thời gian (AON)

+Công việc giả (công việc mốc -miletones) : đóng vai trò là mối liên hệ phụ thuộc giữa các công việc,

nó không làm tiêu tốn thời gian và tài nguyên.Công việc giả được thể hiện bằng cạnh (cung có hướng) nét đứt nối 2 sự kiện ( dạng AOA), hay hình (cũng có khi là hình tròn) bên trong ghi thông số

thời gian(AON)

+Đường găng: là đường đi dài nhất từ sự kiện khởi công đến sự kiện hoàn tất dự án Thời gian thực

hiện đường găng chính là thời gian thực hiện dự án

+Công việc găng: là các công việc nằm trên đường găng, không có thời gian dự trữ

2.1.2.Nguyên tắc lập sơ đồ mạng lưới:

2.1.2.1.D ạng AOA:

Biến cố được thể hiện bằng nút, công việc được thể hiện bằng cạnh (cung có hướng) nối 2 biến cố

với nhau

Các công việc được triển khai theo một hướng nhất định, thường từ trên xuống dưới, bắt đầu từ nút

khởi công đến nút kết thúc dự án Đánh số tăng dần từ trái qua phải, từ trên xuống dưới, theo chiều triển khai công việc

Không cho phép tồn tại một chu trình trong mạng lưới (đồ thị)

Giữa hai sự kiện trong dạng AOA chỉ có 1 cung nối chúng Nếu có nhiều công việc nối liền 2 sự kiện thì phải tạo thêm các nút mới (sự kiện phụ) và các công việc giả

Ví dụ 1:

Qua sơ đồ mạng lưới ở hình H.2.1a: ta thấy rõ các mối quan hệ giữa các hoạt động về thời gian

Chẳng hạn hoạt động (6, 8) là trát ngoài- phải sau (4, 6) là lợp mái, nhưng độc lập với (5, 7) Ở đây có hai hoạt động giả (dummy activity) với thời gian để thực hiện bằng 0 được đưa vào để đảm bảo các quy

tắc xây dựng sơ đồ

● Cung giả (11,12) kí hiệu bởi đường đứt đoạn , đưa vào để đảm bảo quy tắc : không có 2 hoạt động cùng biến cố bắt đầu và kết thúc, tức là không có 2 cung có cùng gốc và ngọn (tức là đồ thị là đơn)

Việc sơn tường trong làm sàn có cùng biến cố đầu là nút 9 , tức là biến cố lát ván tường xong, và biến

cố cuối là nút 12 (làm sàn và sơn tường xong, bắt đầu hoàn thiện trong) Do đó ta phải thêm nút 11 là

biến cố giả và cung giả (11, 12)

● Cung giả (5, 8) để chỉ rằng hoạt động (4, 5) phải hoàn thành trước khi bắt đầu hoạt động (8, 10) (nếu

bỏ cung giả này thì thời điểm làm hai việc là độc lập)

Cung giả này phục vụ cho quy tắc sơ đồ mạng lưới phải thể hiện đủ quan hệ thứ tự cần có

Chú ý:

i)Nếu quan hệ thời gian có dạng : việc x2 bắt đầu khi xong ⅓ việc x1 , việc x3 bắt đầu khi xong một

nửa x1 , thì ta phải thêm các nút đánh dấu các biến cố xong ⅓x1 và xong ½x1 đó như ở H.2.1b

ii) Tóm lại: Sơ đồ mạng lưới phải là một đồ thị có hướng, đơn, liên thông yếu, không có khuyên (tức

là cung có gốc và ngọn cùng là một nút), không có chu trình có hướng (directed cycle), có nút khởi công và nút kết thúc

2.1.2.2.D ạng AON:

Công việc là nút, cạnh (cung có hướng) chỉ mối liên hệ giữa các nút

Các công việc được triển khai theo một hướng nhất định, thường từ trái qua phải, bắt đầu từ lúc khởi công đến khi kết thúc dự án Đánh số (hoặc theo bảng alphabet) tăng dần từ trái qua phải, từ trên xuống dưới, theo chiều triển khai công việc

Không cho phép tồn tại một chu trình trong mạng lưới(đồ thị)

Giữa hai việc trong AON chỉ có 1 cung nối chúng

Ví dụ 2 : Tóm tắt hoạt động của một dự án như sau :

Sơ đồ dạng AON sẽ là :

H.2.1c

2.2 Pha điều hành: (scheduling phase)

Có nhiệm vụ xây dựng biểu đồ thời gian, chỉ rõ thời điểm bắt đầu và kết thúc của mỗi hoạt động và

mối quan hệ giữa các hoạt động Nói riêng, điều quan trọng là phải tính chính xác các hoạt động găng,

tức là tới hạn (critical), cần chú ý đặc biệt khi thực hiện, để toàn bộ dự án được hoàn thành đúng hạn Ngoài ra, từ các dữ liệu về thời gian, kết hợp với nguồn tài nguyên và ngân sách (chi phí) cho dự án, xây dựng phương án phân bổ nhân lực một cách hợp lí

2.2.1 Phân tích các chỉ tiêu thời gian- điều khiển nhân lực, chi phí đối với sơ đồ dạng AOA: 2.2.1.1.Các thông s ố cơ bản:

- Thời điểm sớm của sự kiện i (Earliest Time for an event i) : kí hiệu Ei, là thời điểm sự kiện xảy ra khi mọi hoạt động trước nó được bắt đầu sớm nhất có thể Các Ei được tính theo hướng tăng (forward pass), tức là đi từ nút khởi công theo thứ tự tăng của nút i

-Thời điểm muộn của sự kiện j ( Lastest Time for an event j):kí hiệu Lj , là thời điểm muộn nhất

mọi cung đi vào biến cố j đều hoàn thành mà không làm thay đổi thời điểm kết thúc dự án sớm nhất có

thể Đối lại với Ei , các Lj được tính theo hướng lùi (backward pass), tức là đi từ nút kết thúc

2.2.1.2 Tính các thông s ố cơ bản:

+ Thời điểm sớm của biến cố (earliest time for an event):

Tính theo phương pháp thuận (forward pass) từ nút khởi công đến nút kết thúc dự án

Nút khởi công 1 thì E1 = 0 Đến nút 2 trong sơ đồ ở H.2.1a (ví dụ 1) thì E2 rõ ràng bằng 2 vì biến cố hoàn thành hoạt động (1,2) là E1+t12 (với t12 là khoảng thời gian thực hiện công việc (1,2) Việc tính E3, E4, E5, E6, E9, E10 và E11 cũng tương tự vì các nút tương ứng chỉ có một cung vào, khi đó

Ei = Ej + tji

ở đây j là nút ngay trước i Chẳng hạn E6 = E4 + t46 = 16 + 6 = 22 Nếu có nhiều cung và nút, tức là nhiều hoạt động kết thúc tại biến cố, thì từ định nghĩa Ei rõ ràng đây là thời điểm mọi hoạt động đó vừa xong cả, tức là phải lấy maximum của các tổng Chẳng hạn

+Thời điểm muộn (latest time) của biến cố j:

Tính theo phương pháp ngược (backward pass) từ nút kết thúc dự án trở về nút khởi công

Theo định nghĩa, ở nút kết thúc thì En = Ln, ở ví dụ H.2.1 là E13 = L13 = 44 Nếu ở biến cố chỉ có

một cung ra, tức là một hoạt động được bắt đầu, thì thời điểm muộn là

Lj = Li – tji’

Tức là thời điểm muộn của nút ngay sau nó trừ đi thời gian thực hiện hoạt động nối hai nút Các

biến cố 12, 11, 10, 8, 7, 6, 3, 2 và 1 ở H.2.1a là ở trường hợp này Nếu có nhiều cung ra khỏi biến cố, thì theo định nghĩa ta có

Lj =min

i { Li – tji }

ở đây min theo các nút i ngay sau j và tji là thời gian thực hiện hoạt động nối (j,i) Các nút 9, 4, 5 là trường hợp này, chẳng hạn

L9 = min {L11 – t911 , L12 – t912 } = min { 38 – 4, 38 – 5 } = 33 Hãy chú ý sự “đối xứng” của quá trình tính Ei và Lj Các Lj được ghi ở số thứ 2 trong ngoặc ở mỗi nút trong H.2.2.1

2.2.1.3.Th ời gian dự trữ

Th ời gian dự trữ (slack hoặc float) của một biến số là hiệu thời điểm muộn và thời điểm sớm của nó:

di = Li – Ei Thời gian dự trữ (slack hoặc float) của hoạt động được chia làm hai loại :

Th ời gian dự trữ chung (total float hoặc total slack) của hoạt động (i, j):

TFij = Lj – Ei – tij TFij chỉ thời gian có thể trì hoãn của hoạt động ( i, j) mà không ảnh hưởng đến thời điểm kết thúc cả

dự án Vì nó bằng thời gian tối đa cho hoạt động ( i, j) là Lj - Ei trừ đi thời gian để thực hiện là tij

Th ời gian dự trữ độc lập (free float hoặc free slack) của hoạt động (i, j), kí hiệu là FFij , cũng là hiệu

thời gian dành cho ( i , j) và thời gian thực hiện là tij , nhưng với giả thiết là mọi hoạt động đều bắt đầu

sớm nhất có thể, vậy

FFij = Ej – Ei - tij

Trên sơ đồ mạng lưới thì d i là hiệu hai số ở trong ngoặc ở nút i, thường được ghi bằng số trong ô vuông cạnh nút Thời gian dự trữ chung của hoạt động (i, j) TF ijđược ghi trong ô vuông cạnh mỗi cung Còn thời gian dự trữ độc lập của hoạt động (i, j) FF ij ít quan trọng hơn, thường không ghi, xem hình H.2.2.1

2.2.1.4 Đường găng (đường tới hạn):

Các hoạt động có thời gian dự trữ chung bằng 0 cần được chú ý đặc biệt vì trì hoãn nó sẽ ảnh hưởng đến thời gian kết thúc dự án Ta có thêm định nghĩa sau về đường găng:

Định nghĩa:

Đường găng hoặc đường tới hạn (critical path) là một đường đi từ nút khởi công đến nút kết thúc mà

mọi hoạt động trên đường đều có thời gian dự trữ chung bằng 0 (Chẳng hạn trên H.2.2.1 có 1 đường

găng là 1→2→3→4→ 5→7→9→12→13 )

Hoạt động (i , j) có TFij = 0 được gọi là hoạt động găng (critical activity)

Biến cố i có di = 0 được gọi là biến cố găng (critical event)

Một số tính chất quan trọng của đường găng là như sau :

1 Mỗi dự án có ít nhất 1 đường găng

2 Tất cả các hoạt động ( i , j) có TFij = 0 , tức là mọi hoạt động găng đều nằm trên đường găng

3 Mọi biến cố găng i , tức là biến cố i có di = 0 , đều phải nằm trên đường găng Biến cố không găng không thể nằm trên đường găng

4 Đường nối nút khởi công đến nút kết thúc mà mọi biến cố trên đó đều găng có thể không phải đường găng vì có thể có hoạt động không găng Chẳng hạn đường 1→2→3→4→7 →9

→12→13 không găng vì TF47 = 2

5 Đường găng là đường dài nhất trong các đường nối nút khởi công đến nút kết thúc

Điều 5 này là rõ từ định nghĩa vì ở nút khởi công và kết thúc hai điểm sớm và muộn trùng nhau và

thời gian ở hai nút (ở H.2.2.1 là 44 – 0) Đường găng là đường gồm các hoạt động không có dự trữ nên

tổng chiều dài, tức là thời gian thực hiện, là toàn bộ thời gian thực hiện dự án (ở H.2.2.1 là 44), nên

phải dài nhất

Một ví dụ dự án có nhiều đường găng là sơ đồ H.2.2.1 nhưng với t46 thay từ 6 thành 10 Khi đó thời gian dự trữ của các hoạt động (6,8) ,(8,10) và (10,13) và thời gian dự trữ của các biến cố 6,8 và 10 đều thay từ 4 thành 0 Lúc này đường 1→2→3→4→6→8→10→13 là đường găng thứ hai

Các chỉ tiêu thời gian của dự án ở H.2.2.1 được ghi vào bảng 2.2.1a

Bảng 2.2.1a Chỉ tiêu thời gian xây nhà

Khi cần các thông tin chi tiết hơn để điều hành dự án, người ta cũng đưa ra một số khái niệm về chỉ

tiêu thời gian sau:

Thời điểm khởi công sớm (earliest start) của hoạt động (i, j) là thời điểm sớm của nút gốc: ESij = Ei

Thời điểm hoàn thành sớm (earliest completion) của hoạt động (i, j) là ECij = Ei + tij

Thời điểm khởi công muộn (latest start) của hoạt động (i, j) là LSij = Lj – tij

Thời điểm hoàn thành muộn (latest completion) của hoạt động (i, j) là LCij = Lj tức là thời điểm

muộn của nút ngọn

Nhận xét rằng ECij ≤ Ej , LSij ≥ Li Thật vậy, ta có: Ej = max

k {Ek + tkj} ≥ Ei + tij = ECij , vì i cũng

là một trong các nút k trước j Bất đẳng thức thứ hai tương tự

Thời gian dự trữ của một đường đi P (total float of a path) từ nút khởi công đến nút kết thúc, kí hiệu

TFp là thời gian có thể kéo dài thêm các hoạt động trên đường này mà không ảnh hưởng đến thời điểm

hoàn thành công trình , tức là : TFP = ∑ tG

ij - ∑ tP

ij : = TG – TP

ở đây ∑ tG

ij = TGlà độ dài đường găng và ∑ tP

ij = TP là độ dài đường P, là tổng thời gian thực hiện các

hoạt động trên đường P

Hệ số găng (critical coefficient) biểu thị mức độ căng thẳng về thời gian của một đường P nối nút

khởi công và kết thúc, không phải đường găng G, được định nghĩa là :

P PG P

G PG

T T K

KP càng gần 1 thì thời hạn thực hiện các hoạt động không găng trong P càng phải chặt chẽ

Hai định nghĩa trên đây của đường đi có thể mở rộng cho đường P có nút đầu và cuối trùng với nút

trong đường găng, không cần là nút khởi công và kết thúc của cả dự án

Ví dụ 3: Ở dự án trên H.2.2.1, đường găng đã biết Thời điểm hoàn thành sớm EC68 = E6 + t68 = 22 + 7

= 29 = E8, EC10,13 = 38 + 2 = 40 < E13 = 44 Thời điểm khởi công muộn LS46 = L6 – t46 = 26 – 6 = 20

> L4 = 16 Bây giờ giả sử P là đường đi 1→2→3→4→5→6→7→8→10→13 thì TP

= = (không có quãng chung

với đường găng) Gọi Q là đường 1→2→3→4→7→9→112→13 thì TQ

Chú ý rằng các dữ liệu thời gian quan trọng nhất là các chỉ tiêu có trong bảng 2.2.1a Ở bảng này

cũng có thấy đường găng

2.2.1.5 Bi ểu đồ thời gian

Một cách truyền thống, bên cạnh sơ đồ lưới và bảng, để theo dõi điều hành thời gian cho dự án là dùng biểu đồ thời gian (time chart) Ta hãy xét cách vẽ và sử dụng biểu đồ thời gian qua ví dụ sau

Ví dụ 4: Xét dự án ở H.2.2.1b và bảng 2.2.1b tương ứng (Chú ý là hoạt động giả (4, 5) lại là hoạt động

2 5

1 3 3 7 5 H.2.2.1b

2 3 0 3 6

2 2 4 2 7

Biểu đồ thời gian cho ở H.2.2.1c Ở đây chỉ có trục hoành là thời gian Cao độ không quan trọng

Ta biểu diễn các hoạt động găng phía trên Độ dài (thời gian) là cố định, chặt chẽ cho các hoạt động

găng Hoạt động giả (4.5) có độ dài 0 nên biểu diễn bởi đoạn thẳng đứng

Mỗi hoạt động không găng biểu diễn ở độ cao khác nhau để nhìn rõ vì các hoạt động này có độ cơ động

và được điều hành bằng biểu đồ thời gian

điểm sớm thì hoạt động ngay sau nó (duy nhất) là (2, 4) mới được xê dịch tùy ý trong khoảng thời gian

từ 2 đến 6 Nếu (1, 2) thực hiện lùi lại khoảng từ 1 đến 3 chẳng hạn, thì ảnh hưởng tới hoạt động (2, 4)

Mặc dù có FF24 = TF24 nhưng lúc này nó chỉ còn được xê dịch thực hiện khoảng từ 3 đến 6

2.2.1.6 Điều khiển nhân lực

Các hoạt động không găng được phép xê dịch nhất định, nhất là khi FFij = TFij Có thể sắp đặt chúng đáp ứng các yêu cầu khác nữa ngoài thời gian ra, chẳng hạn nhân lực, nguyên liệu, chi phí …Về mặt toán học xử lý yêu cầu loại nào cũng vậy Ở đây ta nói theo ngôn ngữ nhân lực chẳng hạn

Ví dụ 5: Giả sử nhân lực cho các hoạt động của dự án ở ví dụ 4 đòi hỏi như sau:

Chú ý rằng tại thời điểm hai hoạt động cùng tiến hành thì số nhân lực cần là tổng hai số công nhân Vì

vậy cần phải sắp xếp khéo các hoạt động không găng để đòi hỏi tổng công nhân của cả dự án ít (tạm coi là mỗi người biết làm mọi việc) Việc sắp xếp tối ưu là phức tạp, đến nay vẫn chưa có phương pháp toán h ọc để giải quyết tổng quát

Ở đây ta sử dụng biểu đồ thời gian, biểu diễn theo nhân lực để sắp xếp theo trực quan H2.2.1d biểu

diễn tổng công nhân cần ở mỗi thời điểm nếu tất cả các hoạt động không găng xếp vào lúc sớm nhất có

thể, còn H2.2.1e là tương ứng khi xếp vào lúc muộn nhất có thể

Hoạt động Số công nhân Hoạt động Số công nhân

H.2.2.1d

Hai biểu đồ này nên vẽ thẳng dưới H.2.2.1c để rõ mốc thời gian của các hoạt động nhưng ở đây ta không vẽ lại H.2.2.1c nữa Sắp đặt sớm nhất ở hình (d) cho thấy ở mỗi thời điểm dự án cần nhiều nhất

là 10 công nhân còn ở sắp đặt muộn nhất (e) là 12 công nhân Ở hai phương án này, số công nhân cần ở các thời điểm không đều Theo trực quan ta chỉnh lại từ (d) như sau: chuyển hoạt động (4, 6) đến thời điểm muộn nhất có thể (4, 7) đến ngay sau khi (5, 7) kết thúc Kết quả được vẽ lại ở biểu đồ H2.2.1f (Chú ý là hoạt động (1, 2) và (2, 4) không cần công nhân nên không cần vẽ)

Trên đây đã xét thời điểm hoàn thành dự án là cố định và xác định các đường găng, phải thực hiện

chặt chẽ để dự án hoàn thành đúng thời gian quy định Nếu muốn giảm thời gian hoàn thành dự án thì làm thế nào? Ta cũng sử dụng đường găng, nhưng phải dựa vào kĩ thuật và công nghệ, chứ không phải

quản lý chỉ bằng toán học được nữa Cụ thể là phải dùng công nghệ mới, tăng vật tư, nhân công … để

có thời gian thực hiện các hoạt động ngắn hơn Nhưng tập trung vào hoạt động nào? Rõ ràng là vào các

hoạt động găng Cụ thể là nếu ta quan tâm đến hạn chế tăng chi phí thì với (i, j) € G, tìm số gia chi phí

Cij khi đạt được rút ngắn thời gian thực hiện hoạt động là tij (tìm bằng thực tế công nghệ, không

phải thuần túy toán học) Khi đó sẽ chọn cách tăng chi phí để giảm thời gian sao cho đạt min ij

ij

C t

Trong các mục trên ta đã coi thời gian thực hiện các hoạt động tijlà xác định hoàn toàn từ đầu, khi

lập sơ đồ mạng lưới Do đó ta có mô hình tất định (deterministic model) Trong thực tế, nhiều yếu tố

bất định phải được tính đến, do đó thời gian thực hiện hoạt động (i , j) là một biến ngẫu nhiên (random variable), mà ta chỉ xác định được phân bố xác suất (probability distribution) qua kinh nghiệm và số

liệu thống kê Từ đó dẫn đến phải sử dụng mô hình ngẫu nhiên hoặc gọi khác là mô hình xác suất (probabilistic model) Việc tính toán các chỉ tiêu để điều hành dự án có hai nhiệm vụ chính:

Tính kì vọng (mean hoặc expected value) của các đại lượng cần tính, chẳng hạn thời gian thực hiện

hoạt động (activity time), thời gian hoàn thành dự án (project time) và phương sai (variance) của các đại lượng này.Tính xác suất của biến cố nào đó, chẳng hạn biến cố là dự án được hoàn thành trước thời điểm T

Thời gian thực hiện mỗi hoạt động, thường gọi tắt là thời gian hoạt động, trong mô hình ngẫu nhiên thường được giả thiết là xác định được 3 yếu tố sau : Thời gian lạc quan(optimistic time) kí hiệu là a,

thời gian cần để làm xong khi hoạt động được thực hiện thuận lợi nhất Thời gian này rất khó đạt được Theo lí thuyết thống kê, thì đây thực chất là cận dưới (lower bound) của phân bố xác suất Thời gian bi quan (pessimistic time), kí hiệu là b, là thời gian cần để xong hoạt động khi tiến hành gặp trục trặc

nhất, tức là cận trên (upper bound) của phân bố xác suất Thời gian hợp lí nhất (most likely time), kí

hiệu là m, là thời gian hiện thực nhất, tức là có xác suất lớn nhất (đỉnh cao nhất của hàm mật độ) Ba lượng trên chưa đủ để xác định phân bố xác suất của thời gian hoạt động, do đó chưa đủ để xác định kì

vọng EX và phương sai σ2

Mô hình này cần hai giả thiết phù hợp thực tế sau đây

Gi ả thiết 1: 2 1 2

σ = − , với (b - a) là độ dài khoảng thời gian mà hoạt động có thể lấy

Điều này đúng cho nhiều biến ngẫu nhiên hay gặp

Gi ả thiết 2: Phân bố xác suất của mỗi thời gian hoạt động đều là phân bố beta ( beta distribution)

Ngoài ra để tính kì vọng, người ta giả thiết điểm giữa (của khoảng thời gian mà hoạt động có thể lấy)

bảng 2.2a Khi đó phương sai và kì vọng của các thời gian hoạt động, tính theo công thức của giả thiết

1 và giả thiết 2 được ghi ở hai cột cuối

Nhận xét: cột kì vọng bảng trên trùng với thời gian các hoạt động của ví dụ 1, nên đường găng xây

dựng dựa trên kì vọng trùng với đường găng của ví dụ 1 (có tổng thời gian là 44)

Tuy nhiên, để xác định kì vọng và phương sai của thời gian dự án, ta cần bổ sung thêm hai giả thiết

sau:

Gi ả thiết 3 : Các thời gian hoạt động là các biến ngẫu nhiên độc lập

Gi ả thiết 4 : Đường găng xây dựng trên các thời gian hoạt động của kì vọng, luôn đòi hỏi thời gian

lớn hơn các đường khác (để hoàn thành mọi hoạt động trên nó)

Tính thật chi tiết thì trong các ví dụ cụ thể thì 2 giả thiết vừa nêu có thể không chính xác Như ví dụ 6,

nếu xảy ra thời gian bi quan ở mọi hoạt động, thì đường găng đã tính dài 69 (ngày) Còn đường

1→2→3→4→ 6→8→10→13 có thời gian bi quan là 70 Tuy vậy người ta vẫn chấp nhận các giả thiết

xấp xỉ như vậy

Vì kì vọng và phương sai của tổng các biến ngẫu nhiên là tổng các kì vọng và phương sai (của từng

biến ngẫu nhiên đó), nên: kì vọng và phương sai của thời gian dự án là tổng các kì vọng và phương sai

của các thời gian hoạt động trên đường găng (xây dựng theo các kì vọng)

Tóm lại: trong thực tế, từ các kì vọng của các biến, người ta áp dụng mọi tính toán và lí luận ở các

mục đã trình bày vào kì vọng, thay cho biến tất định trước đây

9

52

72

62

9