ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN * * * * * NGUYỄN HỌC THỨC TÍNH CHẤT EGODIC CỦA HỆ ĐỘNG LỰC VÀ CỦA QUÁ TRÌNH NGẪU NHIÊN LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Hà Nội 2014 z Admin Rectangle[.]
ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN * * * * * NGUYỄN HỌC THỨC TÍNH CHẤT EGODIC CỦA HỆ ĐỘNG LỰC VÀ CỦA QUÁ TRÌNH NGẪU NHIÊN LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Hà Nội - 2014 z ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN * * * * * NGUYỄN HỌC THỨC TÍNH CHẤT EGODIC CỦA HỆ ĐỘNG LỰC VÀ CỦA QUÁ TRÌNH NGẪU NHIÊN Chuyên ngành: Lý thuyết xác suất thống kê toán học Mã số : 60460106 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: GS.TSKH ĐẶNG HÙNG THẮNG Hà Nội - 2014 z Mục lục Lời cảm ơn Lời mở đầu Chương Kiến thức chuẩn bị 1.1 Không gian xác suất biến ngẫu nhiên 1.1.1 Không gian đo 1.1.2 Không gian xác suất 6 1.1.3 Biến ngẫu nhiên 1.2 Quá trình ngẫu nhiên hệ động lực 1.2.1 Quá trình ngẫu nhiên 1.2.2 Hệ động lực 8 1.3 Phép biến đổi bảo toàn độ đo 10 1.3.1 Một số khái niệm 10 1.3.2 Tính egodic phép biến đổi bảo toàn độ đo 10 1.4 Xác suất có điều kiện kỳ vọng có điều kiện 1.4.1 Biến ngẫu nhiên biến cố 12 12 1.4.2 Thu hẹp độ đo 13 1.4.3 Xác suất có điều kiện 1.4.4 Định lý Radon - Nikodym 14 15 1.4.5 Xác suất có điều kiện 1.4.6 Xác suất có điều kiện quy 15 18 1.4.7 Kỳ vọng có điều kiện 19 Chương Trung bình theo tập hợp trung bình theo thời gian 24 2.1 Giới thiệu 24 z MỤC LỤC 2.2 Trung bình theo tập hợp 24 2.2.1 Biến ngẫu nhiên rời rạc 2.2.2 Trung bình theo tập hợp 24 25 2.3 Biến ngẫu nhiên tổng quát 2.3.1 Dãy lượng tử 28 28 2.3.2 Tính đo 29 2.4 Kỳ vọng (trung bình theo tập hợp) biến ngẫu nhiên tổng quát 30 2.4.1 Kỳ vọng 2.4.2 Tích phân 30 32 2.4.3 Khả tích 34 2.5 Sự hội tụ biến ngẫu nhiên 38 2.6 Trung bình theo thời gian 40 2.7 Độ đo dừng 44 Chương Hệ động lực có tính chất egodic 46 3.1 Tính chất egodic 46 3.2 Một số hệ tính chất egodic 51 3.3 Quá trình tiệm cận trung bình dừng (AMS) 57 3.4 Tính hồi quy 61 3.5 Kỳ vọng tiệm cận trung bình 64 3.6 Giới hạn trung bình theo thời gian 66 3.7 Hệ động lực egodic 68 3.8 Định lý egodic hầu khắp nơi 72 Kết luận 78 Tài liệu tham khảo 79 z Lời cảm ơn Trước trình bày nội dung luận văn em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới GS TSKH ĐẶNG HÙNG THẮNG - người tận tình hướng dẫn để em hồn thành luận văn Em xin bày tỏ lịng biết ơn chân thành tới tồn thể thầy giáo khoa Tốn - Cơ - Tin học, Đại học Khoa học Tự nhiên - Đại học Quốc gia Hà Nội tham gia giảng dạy giúp đỡ em suốt trình học tập khoa Nhân dịp tác giả xin gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè bên, cổ vũ, động viên, giúp đỡ em suốt trình học tập thực luận văn tốt nghiệp Hà Nội, 10-2014 Học viên Nguyễn Học Thức z Lời mở đầu Lý thuyết hệ động lực khai sinh nhà toán học tiếng người Pháp, Henri Poincaré cách kỷ ông công bố tác phẩm tiếng cuả trình bày nghiên cứu lý thuyết định tính phương trình vi phân Ngày nay, từ kết đạt nhiều nghiên cứu gần đây, lý thuyết hệ động lực trở thành nhánh nghiên cứu tốn học nhiều nhà khoa học quan tâm Điều quan trọng lý thuyết hệ động lực có mối liên quan chặt chẽ với nhiều ngành tốn học khác có nhiều ứng dụng rộng rãi nhiều lĩnh vực khoa học vật lý, hóa học, sinh vật học, cơng nghệ thông tin,v.v Cùng thời với Poincaré, Lyapunov nghiên cứu lý thuyết định tính phương trình vi phân, cách tiếp cận Lyapunov có phần khác với Poincaré Lyapunov nghiên cứu chủ yếu hệ phương trình vi phân không Otonom ông đưa hai phương pháp nghiên cứu kinh điển ông phương pháp số mũ Lyapunov phương pháp hàm số Lyapunov Trong Poincaré lại tiếp cận tới tốn định tính mang tính đặc thù tảng lý thuyết hệ động lực Ơng nhìn nhận hệ phương trình vi phân Otonom mơ hình tốn hệ vật lý tiến hóa theo thời gian với tính chất nhóm nghiên cứu tính chất egodic hệ Lý thuyết hệ động lực chia thành ba nhánh nhỏ: Động lực khả vi nghiên cứu ánh xạ khả vi đa tạp trơn; động lực tôpô nghiên cứu ánh xạ liên tục không gian tôpô, thường không gian metric compact; lý thuyết egodic nghiên cứu tính chất bảo toàn độ đo ánh xạ đo không gian đo, thường giả thiết hữu hạn z MỤC LỤC Trong khuôn khổ luận văn, tác giả trình bày số nội dung lý thuyết egodic Cụ thể tính chất egodic hệ động lực định lý, đặc biệt định lý egodic hầu khắp nơi Birkhoff Bố cục luận văn trình bày theo ba chương với nội dung cụ thể sau: • Chương Kiến thức chuẩn bị Chương chủ yếu giới thiệu mô hình tốn học q trình ngẫu nhiên trình bày số khái niệm hệ động lực ngẫu nhiên • Chương Trung bình theo tập hợp trung bình theo thời gian Chương nêu định nghĩa phát triển số tính chất trung bình theo tập hợp trung bình theo thời gian • Chương Hệ động lực có tính chất egodic Trình bày tính chất egodic hệ động lực trình ngẫu nhiên Bên cạnh đó, tác giả đưa điều kiện cần đủ để hệ động lực có tính chất egodic thơng qua định lý egodic hầu khắp nơi Mặc dù cố gắng thời gian kiến thức có hạn nên luận văn khó tránh khỏi sai sót ngồi ý muốn Tác giả mong nhận ý kiến góp ý thầy, bạn đọc quan tâm Tác giả xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, 10-2014 Học viên Nguyễn Học Thức z Chương Kiến thức chuẩn bị 1.1 Không gian xác suất biến ngẫu nhiên 1.1.1 Không gian đo Không gian đo cặp (Ω, B), bao gồm không gian mẫu Ω với σ - trường B tập Ω (cịn gọi khơng gian biến cố) Một σ trường hay σ - đại số B họ tập Ω với tính chất sau: Ω ∈ B (1.1) Nếu F ∈ B F c = {x : x ∈ / F} ∈ B (1.2) Nếu Fi ∈ B; i = 1, 2, , ∪ Fi ∈ B (1.3) Theo luật de Morgan ta có ∞ ∞ i=1 i=1 ∩ Fi = ( ∪ Fic )c ∈ B Có hai σ - trường đặc biệt là: • σ - trường lớn Ω họ tất tập Ω (còn gọi tập luỹ thừa) • σ - trường nhỏ {Ω, Ø} gồm khơng gian tồn thể Ω với tập rỗng Ø = Ωc (gọi không gian tầm thường) Nếu thay điều kiện hợp đếm (1.3) hợp hữu hạn họ tập họ tập gọi trường 1.1.2 Không gian xác suất Không gian xác suất ba (Ω, B, m), bao gồm không gian mẫu Ω, σ - trường B tập Ω độ đo xác suất m xác định σ - trường; z CHƯƠNG KIẾN THỨC CHUẨN BỊ nghĩa m(F) gán cho số thực với phần tử F B thỏa mãn điều kiện sau: Không âm: m(F) ≥ 0, với F ∈ B (1.4) m(Ω) = (1.5) Chuẩn hóa: Cộng tính đếm được: Nếu Fi ∈ B, i = 1, 2, tập rời ∞ ∞ (1.6) m ∪ Fi = Σ m(Fi ) i=1 i=1 Hàm tập m thỏa mãn (1.4) (1.6) (không thiết phải thỏa mãn (1.5)) gọi độ đo; (Ω, B, m) gọi không gian độ đo Một hàm tập thỏa mãn (1.6) với dãy hữu hạn biến cố rời gọi cộng tính hay cộng tính hữu hạn 1.1.3 Biến ngẫu nhiên Cho (Ω, B) (A, BA ) hai không gian đo Một biến ngẫu nhiên hay hàm đo xác định (Ω, B) lấy giá trị (A, BA ) ánh xạ hàm f : Ω → A với tính chất Nếu F ∈ BA f −1 (F) = {x : f (x) ∈ F} ∈ B (1.7) Trong trường hợp A không rõ ta coi f biến ngẫu nhiên A - giá trị Nếu σ - trường khơng cho cách rõ ràng ta nói f B/BA - đo 1.2 Quá trình ngẫu nhiên hệ động lực Bây xét hai mơ hình tốn học q trình ngẫu nhiên Đầu tiên mơ hình quen thuộc: trình ngẫu nhiên dãy biến ngẫu nhiên Mơ hình thứ hai gặp hơn: q trình ngẫu nhiên xây dựng từ hệ động lực trừu tượng bao gồm không gian xác z CHƯƠNG KIẾN THỨC CHUẨN BỊ suất phép biến đổi khơng gian Hai mơ hình kết nối việc xét dịch chuyển thời gian để phép biến đổi 1.2.1 Quá trình ngẫu nhiên Một trình ngẫu nhiên thời gian rời rạc, đơn giản trình ngẫu nhiên dãy biến ngẫu nhiên {Xn }n∈I , với I tập số, xác định không gian xác suất (Ω, B, m) Hai tập số phổ biến quan tâm tập số nguyên Z trường hợp trình ngẫu nhiên hai phía tập số ngun khơng âm Z+ trường hợp trình ngẫu nhiên gọi phía Q trình ngẫu nhiên phía thường khó để chứng minh lý thuyết cung cấp mơ hình tốt cho q trình ngẫu nhiên vật lý 1.2.2 Hệ động lực Giả sử ta nghiên cứu hệ thống (hay trình) tiến hóa theo thời gian điều quan trọng ta muốn mơ tả mơ hình tốn học Tập hợp tất trạng thái có hệ thống xét tạo thành khơng gian X mà ta gọi không gian trạng thái hệ cho Định nghĩa 1.2.1 Hệ động lực trừu tượng bao gồm không gian xác suất (Ω, B, m) với phép biến đổi đo T : Ω → Ω Tính đo theo nghĩa F ∈ B ta có T −1 F ∈ B Bộ bốn (Ω, B, m, T ) gọi hệ động lực lý thuyết egodic Mơ hình q trình ngẫu nhiên dãy họ biến ngẫu nhiên xác định không gian xác suất thông thường xem biến ngẫu nhiên với phép biến đổi xác định không gian xác suất Nghĩa qua phép biến đổi định trước từ biến ngẫu nhiên ban đầu sinh biến ngẫu nhiên tạo thành dãy biến ngẫu nhiên không gian ta xét Bây giờ, ta giả sử T ánh xạ đo từ khơng gian mẫu Ω vào Dễ dàng thấy ta định nghĩa phép biến đổi T sau: T x = T (T x) T ánh xạ đo Tương tự vậy, ta có T n z ... Chương Hệ động lực có tính chất egodic Trình bày tính chất egodic hệ động lực q trình ngẫu nhiên Bên cạnh đó, tác giả đưa điều kiện cần đủ để hệ động lực có tính chất egodic thơng qua định lý egodic. .. KHOA HỌC TỰ NHIÊN * * * * * NGUYỄN HỌC THỨC TÍNH CHẤT EGODIC CỦA HỆ ĐỘNG LỰC VÀ CỦA QUÁ TRÌNH NGẪU NHIÊN Chuyên ngành: Lý thuyết xác suất thống kê toán học Mã số : 60460106 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA... định tính mang tính đặc thù tảng lý thuyết hệ động lực Ơng nhìn nhận hệ phương trình vi phân Otonom mơ hình tốn hệ vật lý tiến hóa theo thời gian với tính chất nhóm nghiên cứu tính chất egodic hệ