Output file ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN Chu Văn Sơn TÍCH PHÂN ĐỐI VỚI ĐỘ ĐO NGẪU NHIÊN ỔN ĐỊNH VÀ ĐỘ ĐO NGẪU NHIÊN POISSON LUẬN VĂN THẠC SỸ KHOA HỌC Hà Nội Năm 2012 z ĐẠI[.]
ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN Chu Văn Sơn TÍCH PHÂN ĐỐI VỚI ĐỘ ĐO NGẪU NHIÊN ỔN ĐỊNH VÀ ĐỘ ĐO NGẪU NHIÊN POISSON LUẬN VĂN THẠC SỸ KHOA HỌC Hà Nội - Năm 2012 z ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN Chu Văn Sơn TÍCH PHÂN ĐỐI VỚI ĐỘ ĐO NGẪU NHIÊN ỔN ĐỊNH VÀ ĐỘ ĐO NGẪU NHIÊN POISSON Chuyên ngành: Lý thuyết xác suất thống kê toán học Mã số: 60 46 15 LUẬN VĂN THẠC SỸ KHOA HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: GS TSKH ĐẶNG HÙNG THẮNG Hà Nội - Năm 2012 z Mục lục Mở đầu Bảng ký hiệu viết tắt Phân bố ổn định phân bố Poisson 1.1 1.2 Biến ngẫu nhiên ổn định R 1.1.1 Các định nghĩa tương đương phân bố ổn định 1.1.2 Tính chất biến ngẫu nhiên ổn định 1.1.3 Biến ngẫu nhiên α-ổn định đối xứng 15 Phân phối ổn định nhiều chiều 16 1.2.1 Véc tơ ngẫu nhiên ổn định Rd 16 1.2.2 Hàm đặc trưng véc tơ ngẫu nhiên ổn định 21 1.2.3 Véc tơ ngẫu nhiên ổn định chặt véc tơ ngẫu nhiên ổn định đối xứng 23 1.3 Quá trình ngẫu nhiên ổn định 24 1.4 Biến ngẫu nhiên Poisson 26 Tích phân độ đo ngẫu nhiên ổn định 2.1 2.2 29 Định nghĩa tích phân ổn định q trình ngẫu nhiên ổn định 29 Định nghĩa cấu trúc tích phân ngẫu nhiên ổn định 34 z 2.2.1 Độ đo ngẫu nhiên α-ổn định 34 2.2.2 Định nghĩa cấu trúc tích phân ổn định 37 2.3 Tính chất tích phân độ đo ngẫu nhiên ổn định 42 2.4 Ví dụ 50 Tích phân độ đo ngẫu nhiên Poisson 55 3.1 Độ đo ngẫu nhiên Poisson 55 3.2 Tích phân độ đo ngẫu nhiên Poisson 58 3.3 Mở rộng tích phân độ đo ngẫu nhiên Poisson 61 3.4 Độ đo ngẫu nhiên Poisson quy tâm 65 Kết luận 70 Tài liệu tham khảo 71 z MỞ ĐẦU Trong giải tích ngẫu nhiên, Tích phân ngẫu nhiên đóng vai trò quan trọng, phục vụ đắc lực cho việc tính tốn ngẫu nhiên, nghiên cứu q trình ngẫu nhiên phương trình vi phân ngẫu nhiên Trong luận văn này, tơi cố gắng trình bày cách có hệ thống định nghĩa tính chất tích phân độ đo ngẫu nhiên ổn định độ đo ngẫu nhiên Poisson mà lĩnh hội thời gian qua Các kết trình bày luận văn chủ yếu trình bày [9], [11], trình bày lại vấn đề chứng minh chi tiết kết dựa sở chứng minh có, bổ sung thêm ví dụ minh họa Nội dung luận văn chia làm ba chương: Chương Kiến thức chuẩn bị Nội dung chương gồm: +) Các định nghĩa tương đương biến ngẫu nhiên ổn định, biến ngẫu nhiên ổn định chặt biến ngẫu nhiên ổn định đối xứng tính chất biến ngẫu nhiên ổn định +) Định nghĩa tính chất biến ngẫu nhiên ổn định nhiều chiều +) Quá trình ngẫu nhiên ổn định +) Biến ngẫu nhiên có phân phối Poisson Chương Tích phân ngẫu nhiên ổn định Nội dung chương gồm: +) Hai phương pháp định nghĩa tích phân ngẫu nhiên ổn định: • Định nghĩa tích phân ngẫu nhiên ổn định trình ngẫu nhiên ổn định • Định nghĩa cấu trúc tích phân ngẫu nhiên ổn định +) Các tính chất tích phân ngẫu nhiên ổn định +) Một số ví dụ minh họa Chương Tích phân độ đo ngẫu nhiên Poisson Nội dung chương z gồm: +) Định nghĩa tích phân độ đo ngẫu nhiên Poisson hàm f ∈ L1 (ν) mở rộng tới hàm thuộc L1,0 (ν) +) Độ đo ngẫu nhiên Poisson quy tâm tích phân độ đo ngẫu nhiên Poisson quy tâm Khi nghiên cứu đề tài nhận thấy nội dung đề tài có nhiều vấn đề khó, địi hỏi nhiều kiến thức sâu sắc giải tích ngẫu nhiên, trình độ thời gian hạn chế nên luận văn cịn nhiều thiếu sót Tơi mong nhận ý kiến phê bình bảo thầy phản biện độc giả Trong trình học tập nghiên cứu thầy GS TSKH Đặng Hùng Thắng cung cấp tài liệu tận tình hướng dẫn, tơi xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc tới Thầy giúp đỡ q báu Tơi xin cảm ơn thầy khoa Tốn - Cơ - Tin học, đặc biệt thầy cô môn Xác suất - Thống kê truyền đạt cho nhiều kiến thức quý báu Cuối xin cảm ơn thành viên lớp cao học chuyên ngành Lý thuyết Xác suất Thống kê tốn học khóa 2009-2011 tổ chức buổi thảo luận để nâng cao trình độ chun mơn, cảm ơn tất bạn bè đồng nghiệp có ý kiến đóng góp để luận văn hồn thiện Hà Nội, ngày 25 tháng 04 năm 2012 Học viên Chu Văn Sơn z BẢNG KÝ HIỆU VIẾT TẮT (Ω, F, P ) không gian xác suất (E, ε, m) không gian đo Sα (σ, β, µ) phân phối α-ổn định, số ổn định α, tham số σ, β, µ SαS phân phối α-ổn định đối xứng Poisson (λ) phân phối Poisson tham số λ T không gian hàm f : E → R đo thỏa mãn Z |f (x)|α m(dx) < ∞ α 6= E Z |f (x)β(x) ln |f (x)||m(dx) < ∞ α = E M độ đo ngẫu nhiên ổn định I(f ) Z f (x)M (dx) tích phân hàm f độ đo ngẫu nhiên ổn định tích phân hàm f độ đo ngẫu nhiên ổn định M E ξ độ đo ngẫu nhiên Poisson N (E) Z f (x)ξ(ω, dx) họ độ đo đếm E tích phân hàm f độ đo ngẫu nhiên Poisson ξ E Xf L1 (P ) tích phân hàm f độ đo ngẫu nhiên Poisson ξ Z L1 (ν) = h : E → R, h đo được, |h|dν < ∞ E L1 (P ) = X : Ω → R, X biến ngẫu nhiên, E[|X|] < ∞ L1,0 (ν) L1,0 (ν) = {f : E → R, |f | ∧ ∈ L1 (ν)} L1 (ν) z Chương Phân bố ổn định phân bố Poisson 1.1 1.1.1 Biến ngẫu nhiên ổn định R Các định nghĩa tương đương phân bố ổn định Định nghĩa 1.1.1 Một biến ngẫu nhiên X gọi có phân bố ổn định với số thực dương A, B tồn số thực dương C số D cho: d AX1 + BX2 = CX + D, (1.1) với X1 , X2 độc lập X Biến ngẫu nhiên X thỏa mãn (1.1) gọi ổn định chặt (1.1) với D = Biến ngẫu nhiên X gọi ổn định đối xứng phân bố đối xứng tức X −X có phân bố Một biến ngẫu nhiên ổn định đối xứng ổn định chặt Định lý 1.1.2 Với biến ngẫu nhiên ổn định X, có số thực α ∈ (0, 2] z cho C (1.1) thỏa mãn C α = Aα + B α (1.2) Số α gọi số ổn định, biến ngẫu nhiên ổn định X có số ổn định α gọi biến ngẫu nhiên α-ổn định Ví dụ 1.1.3 Nếu X biến ngẫu nhiên Gaussian với trung bình µ phương sai v (S ∼ N (µ, v )) X ổn định với α = Vì AX1 + BX2 ∼ N ((A + B)µ, (A2 + B )v ), suy (1.1) thỏa mãn với C = (A2 + B ) D = (A + B − C)µ Định nghĩa 1.1.4 (Định nghĩa tương đương 1.1.1) Một biến ngẫu nhiên X gọi có phân bố ổn định với ∀n ≥ có số dương bn số thực an cho: d X1 + X2 + · · · + Xn = bn X + an , (1.3) với X1 , X2 , , Xn độc lập X Nếu X ổn định theo nghĩa 1.1.1 ổn định theo định nghĩa 1.1.4 Điều ngược lại Do định nghĩa 1.1.1 1.1.4 tương đương Định nghĩa 1.1.5 (Tương đương 1.1.1 1.1.4) Một biến ngẫu nhiên X gọi có phân bố ổn định có dãy biến ngẫu nhiên độc lập Y1 , Y2 , , Yn , hai dãy số dương {dn } {an } cho: Y1 + Y2 + · · · + Yn d + an ⇒ X dn (1.4) Định nghĩa 1.1.6 (Tương đương định nghĩa 1.1.1; 1.1.4; 1.1.5) Một biến ngẫu nhiên X gọi có phân bố ổn định có tham số z < α ≤ 2, σ ≥ 0, −1 ≤ β ≤ số thực µ cho hàm đặc trưng cho cơng thức: E exp iθX = n α α exp −σ |θ| − iβsign(θ) tan πα + iθµ o (1.5) n o exp −σ|θ| + iβ sign(θ) ln |θ| + iµθ π Tham số α gọi số ổn định 1 sign(θ) = −1 α 6= 1, α = θ > 0, θ = 0, θ < Nhận xét: 1) Hàm đặc trưng (1.5) viết dạng E exp iθX = exp{σ α (−|θ|α + iθω(θ, α, β)) + iµθ}, với ω(θ, α, β) = πα β|θ|α−1 tan α 6= 1, −β ln |θ| π α = 2) Do hàm đặc trưng (1.5) đặc trưng tham số: α ∈ (0, 2]; σ ≥ 0; β ∈ [−1, 1] µ ∈ R Nên ta ký hiệu phân bố ổn định Sα (σ, β, µ) viết X ∼ Sα (σ, β, µ) Một số trường hợp đặc biệt: a) Phân bố Gaussian: S2 (σ, 0, µ) = N (µ, 2σ ), với hàm mật độ (x−µ) √ e− 4σ2 f (x) = 2σ π b) Phân bố Cauchy: S1 (σ, 0, µ) với hàm mật độ f (x) = 2σ π((x − µ)2 + 4σ ) z ... pháp định nghĩa tích phân ngẫu nhiên ổn định: • Định nghĩa tích phân ngẫu nhiên ổn định q trình ngẫu nhiên ổn định • Định nghĩa cấu trúc tích phân ngẫu nhiên ổn định +) Các tính chất tích phân ngẫu. .. M độ đo ngẫu nhiên ổn định I(f ) Z f (x)M (dx) tích phân hàm f độ đo ngẫu nhiên ổn định tích phân hàm f độ đo ngẫu nhiên ổn định M E ξ độ đo ngẫu nhiên Poisson N (E) Z f (x)ξ(ω, dx) họ độ đo. .. 26 Tích phân độ đo ngẫu nhiên ổn định 2.1 2.2 29 Định nghĩa tích phân ổn định trình ngẫu nhiên ổn định 29 Định nghĩa cấu trúc tích phân ngẫu nhiên ổn định