Đang tải... (xem toàn văn)
ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN HÀ NỘI VŨ THỊ HẢI THANH PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TOÁN CỰC TRỊ VÀ ỨNG DỤNG LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Chuyên ngành Phương pháp toán sơ cấp Mã số 60 4[.]
ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN HÀ NỘI VŨ THỊ HẢI THANH PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TOÁN CỰC TRỊ VÀ ỨNG DỤNG LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Chuyên ngành: Phương pháp toán sơ cấp Mã số: 60 46 40 NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC PGS.TS Nguyễn Đình Sang Hà Nội - 2012 z Mục lục Mục lục Lời nói đầu Lời cảm ơn Bảng kí hiệu i iii iv v Cực trị hàm số 1.1 Kiến thức chuẩn bị 1.2 Các phương pháp tìm cực trị 1 1.3 1.2.1 Áp dụng điều kiện cần, điều kiện đủ 1.2.2 Phương pháp sử dụng bất đẳng thức Một số toán tổng quát ứng dụng 1.3.1 Bài toán tổng quát 1.3.2 Bài tập tham khảo Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ 2.1 Các khái niệm 2.1.1 Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số 2.1.2 Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ tập hợp 2.1.3 Một số tính chất giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ 2.1.4 Một số định lý giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ 2.2 Các phương pháp tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ 2.2.1 Phương pháp sử dụng đạo hàm 2.2.2 Phương pháp tập giá trị 2.2.3 Phương pháp lượng giác 2.2.4 Phương pháp hình học i z 11 11 14 19 19 19 20 22 24 26 26 31 37 44 MỤC LỤC 2.2.5 Phương pháp sử dụng bất đẳng thức 2.2.6 Một số tập vận dụng Kết luận Tài liệu tham khảo ii z 51 63 69 70 Lời nói đầu Bài toán cực trị địa phương cực trị tuyệt đối tốn quan trọng giải tích tốn học có nhiều ứng dụng khác toán học nhiều ngành khoa học khác như: Kinh tế, Khoa học công nghệ, v.v Để giải tốn cực trị, có nhiều phương pháp khác Mục đích luận văn giới thiệu phương pháp giải dạng tốn này, cho bình luận phương pháp đồng thời đưa số ứng dụng Những ứng dụng tốn cực trị có nhiều, giới hạn phương pháp tốn sơ cấp hạn chế luận văn thạc sĩ nên luận văn nêu số ứng dụng Bản luận văn gồm chương: Chương 1: Cực trị hàm số Trình bày tốn cực trị địa phương, đưa điều kiện cần, điều kiện đủ để có cực trị Cho ví dụ khơng thỏa mãn điều kiện đủ có cực trị Trình bày phương pháp khác để giải tốn cực trị, tổng qt hóa số toán cực trị với mong muốn đưa cách giải nhanh gọn cho toán dạng Chương 2: Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ Phần đầu chương trình bày định nghĩa giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số tập, điều kiện đủ để tồn giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm biến tính chất giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ Trong phạm vi chương trình phổ thơng, hàm số nhiều biến khơng nghiên cứu Vì để tìm giá trị lớn nhất, giá nhỏ hàm nhiều biến, ta phải quy tốn tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ tập hợp số Phần luận văn trình bày số phương pháp khác để giải tốn tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ dành nhiều thời gian cho phương pháp bất đẳng thức Phần cuối chương số toán vận dụng phối hợp nhiều phương pháp z Lời cảm ơn Hoàn thành luận văn này, nỗ lực thân, nhận bảo, giúp đỡ từ nhiều phía thầy, giáo, gia đình bạn bè Tơi xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc tới người thầy kính mến PGS.TS Nguyễn Đình Sang, người trực tiếp truyền thụ kiến thức, định hướng nghiên cứu tận tình hướng dẫn cho tơi hồn thành luận văn Tơi xin chân thành cảm ơn thầy, giáo khoa Tốn - Cơ - Tin học, Trường Đại học Khoa học tự nhiên - Đại học Quốc gia Hà Nội, người trực tiếp giảng dạy giúp đỡ q trình học tập trường tồn thể bạn bè người thân đóng góp ý kiến, giúp đỡ, động viên tơi q trình học tập, nghiên cứu hoàn thành luận văn Ứng dụng tốn cực trị có nhiều, giới hạn phương pháp toán sơ cấp hạn chế luận văn thạc sĩ nên luận văn trình bày phần Do thời gian có hạn lực có phần hạn chế nên chắn luận văn không tránh khỏi thiếu sót Kính mong nhận ý kiến đóng góp thầy cô bạn bè đồng nghiệp để luận văn hoàn chỉnh Xin chân thành cảm ơn Hà Nội, ngày 20 tháng 11 năm 2012 Học viên Vũ Thị Hải Thanh z Bảng kí hiệu N N∗ Z Z+ Z∗+ R R∗ R+ R∗+ C [a; b] (a; b) (a; b] tập số tự nhiên tập số tự nhiên khác không tập số nguyên tập số nguyên không âm tập số nguyên dương tập số thực tập số thực khác không tập số thực không âm tập số thực dương tập số phức = {x ∈ R|a ≤ x ≤ b} = {x ∈ R|a < x < b} = {x ∈ R|a < x ≤ b} v z Chương Cực trị hàm số Trong chương này, trình bày khái niệm cực trị hàm số Điều kiện để có cực trị hàm số, đưa số ví dụ minh họa điều kiện cần, điều kiện đủ giới thiệu phương pháp tìm cực trị kèm theo ví dụ tập 1.1 Kiến thức chuẩn bị Định nghĩa 1.1 Cho khoảng (a; b) ⊂ R hàm số f : (a; b) → R Ta nói rằng, hàm f đạt cực đại địa phương(tương ứng cực tiểu địa phương) x0 ∈ (a; b) nếu: ∃δ cho (x0 − δ; x0 + δ) ⊂ (a; b) f (x0 ) ≥ f (x) (tương ứng f (x0 ) ≤ f (x)), với x ∈ (x0 − δ; x0 + δ) f số lân cận x0 Điểm x0 mà hàm đạt cực đại địa phương cực tiểu địa phương gọi chung điểm cực trị hàm số Định lý 1.1 (Định lý Fermat - Điều kiện cần để hàm số có cực trị) Cho khoảng (a; b) ⊂ R hàm số f : (a; b) → R Nếu điểm c ∈ (a; b) điểm cực trị hàm số f tồn f (c) f (c) = Điểm x0 mà f (x0 ) = đạo hàm không xác định gọi điểm dừng hàm f Nhận xét: Nếu hàm f : (a; b) → R hàm khả vi (a; b) điểm cực trị f phải nằm số điểm dừng f Định lý 1.2 (Điều kiện đủ để hàm số đạt cực trị) Giả sử hàm số f liên tục (a; b) chứa điểm x0 có đạo hàm z Chương Cực trị hàm số khoảng (a; x0 ) (x0 ; b) - Nếu f (x) đổi dấu từ âm sang dương x qua điểm x0 hàm số đạt cực tiểu điểm x0 - Nếu f (x) đổi dấu từ dương sang âm x qua điểm x0 hàm số đạt cực đại điểm x0 Định lý 1.3 Giả sử hàm số f (x) xác định khoảng (a; b), x0 điểm dừng f (x) Hàm f (x) khả vi cấp cấp x0 Khi đó: - Nếu f 00 (x0 ) < hàm số f đạt cực đại x0 - Nếu f 00 (x0 ) > hàm số f đạt cực tiểu x0 1.2 1.2.1 Các phương pháp tìm cực trị Áp dụng điều kiện cần, điều kiện đủ Dựa vào điều kiện cần, điều kiện đủ để hàm số đạt cực trị, ta xây dựng quy tắc tìm cực trị hàm số f (x) liên tục khoảng (a; b) sau đây: Quy tắc - Tìm f (x) ; - Tìm điểm xi , (i = 1, 2, 3, ) mà f có đạo hàm hàm số liên tục khơng có đạo hàm; - Xét dấu f (x).Nếu f (x) đổi dấu x qua điểm xi hàm số đạt cực trị xi Ví dụ 1.1 Tìm cực trị hàm số: p y = x(1 − x)2 Lời giải Hàm y xác định liên tục R Với x 6= x 6= 1 − 3x y = p 3 x2 (1 − x) z Chương Cực trị hàm số y0 = ⇔ x = Lập bảng biến thiên hàm y: x −∞ y0 + + +∞ − + √ +∞ y −∞ Từ bảng biến thiên ta thấy: √ Hàm số đạt cực đại x = 13 , giá trị cực đại hàm số y( 13 ) = 34 Hàm số đạt cực tiểu x = 1, giá trị cực tiểu hàm số y(1) = Chú ý: Khi qua điểm x = đạo hàm y không đổi dấu nên hàm số cho khơng có cực trị điểm x = Ví dụ 1.2 Tìm cực trị hàm số: ... đích luận văn giới thiệu phương pháp giải dạng tốn này, cho bình luận phương pháp đồng thời đưa số ứng dụng Những ứng dụng tốn cực trị có nhiều, giới hạn phương pháp tốn sơ cấp hạn chế luận văn thạc. .. thành luận văn Ứng dụng tốn cực trị có nhiều, giới hạn phương pháp toán sơ cấp hạn chế luận văn thạc sĩ nên luận văn trình bày phần Do thời gian có hạn lực có phần hạn chế nên chắn luận văn không... chế luận văn thạc sĩ nên luận văn nêu số ứng dụng Bản luận văn gồm chương: Chương 1: Cực trị hàm số Trình bày tốn cực trị địa phương, đưa điều kiện cần, điều kiện đủ để có cực trị Cho ví dụ khơng