ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ——————–o0o——————– PHẠM THỊ ĐỊNH ỨNG DỤNG CỦA CẤP VÀ CHỈ SỐ CHO SỐ NGUYÊN THEO MODULO THÁI NGUYÊN, 5/2019 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ——————–[.]
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ——————–o0o——————– PHẠM THỊ ĐỊNH ỨNG DỤNG CỦA CẤP VÀ CHỈ SỐ CHO SỐ NGUYÊN THEO MODULO THÁI NGUYÊN, 5/2019 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ——————–o0o——————– PHẠM THỊ ĐỊNH ỨNG DỤNG CỦA CẤP VÀ CHỈ SỐ CHO SỐ NGUYÊN THEO MODULO Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp Mã số: 8460113 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC GIÁO VIÊN HƯỚNG DẪN TS NGÔ THỊ NGOAN THÁI NGUYÊN, 5/2019 Mục lục Lời cảm ơn Mở đầu Kiến thức chuẩn bị 1.1 Lý thuyết chia hết tập số nguyên 1.2 Đồng dư thức phương trình đồng dư Ứng dụng cấp số số nguyên 2.1 Khái niệm, ví dụ, tính chất cấp cho số nguyên theo modulo 2.2 Khái niệm tính chất nguyên thủy modulo 2.3 Cấp cho số nguyên theo modulo ứng dụng để kiểm tra tính nguyên tố 2.4 Cấp cho số nguyên theo modulo ứng dụng nhận diện nguyên thủy số nguyên tố 2.5 Cấp cho số nguyên theo modulo áp dụng nhận diện số nguyên có nguyên thủy 2.6 Chỉ số cho số nguyên theo modulo ứng dụng 5 16 16 21 24 27 34 43 Kết luận 48 Tài liệu tham khảo 49 Lời cảm ơn Trước tiên xin gửi lời cảm ơn chân thành sâu sắc tới TS Ngô Thị Ngoan với lịng nhiệt huyết ln bảo tận tình cho tơi từ ngày đầu tiên, đồng thời đưa lời khun bổ ích giúp tơi hồn thiện luận văn Tơi xin gửi lời cảm ơn tới thầy cô, tập thể cán khoa Toán - Tin, Trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên, Ban lãnh đạo đồng nghiệp trường Trung học phổ thơng Hồnh Bồ - tỉnh Quảng Ninh, bạn học viên lớp cao học tốn K11D, khơng trang bị cho tơi kiến thức bổ ích mà cịn ln giúp đỡ, tạo điều kiện thuận lợi q trình tơi học tập trường Cuối tơi xin cảm ơn gia đình, bạn bè người thân người ủng hộ, động viên tơi vượt qua khó khăn để em hoàn thành tốt luận văn Thái Nguyên, ngày 25 tháng năm 2019 Mở đầu Nội dung luận văn nghiên cứu khái niệm tính chất cấp số cho số nguyên theo modulo m, đồng thời xét số ứng dụng điển hình chúng tốn số học có liên quan Luận văn bao gồm hai chương Chương luận văn trình bày kiến thức chuẩn bị lý thuyết chia hết tập số nguyên, đồng dư thức, lớp thặng dư đầy đủ, hệ thặng dư đầy đủ, hệ thặng dư thu gọn Các kiến thức tham khảo chủ yếu từ tài liệu [1] Nội dung Chương gồm mục, từ Mục 2.1 đến Mục 2.6, đề cập đến khái niệm ứng dụng cấp cho số nguyên theo modulo, nguyên thủy modulo, số cho số nguyên theo modulo Trước tiên luận văn trình bày khái niệm cấp cho số nguyên a theo modulo m (với điều kiện a nguyên tố với modulo m), số mũ nguyên dương nhỏ e cho ae ≡ (mod m), kí hiệu e = ordm a Sau luận văn giới thiệu khái niệm tính chất nguyên thủy cho số nguyên theo modulo m, thặng dư khơng âm nhỏ α modulo m thỏa mãn ordm α = ϕ(m) Khái niệm nguyên thủy modulo m có nhiều ứng dụng số học, chẳng hạn sinh đủ ϕ(m) thặng dư nguyên tố với modulo m, Tiếp đến luận văn khảo sát tiêu chuẩn để kiểm tra tính nguyên tố số số nguyên dương cách ứng dụng tính chất cấp cho số nguyên theo modulo nguyên thủy modulo (Định lý 2.3.1) Vì vai trò quan trọng nguyên thủy số học toán liên quan nên, luận văn khảo sát kĩ toán nhận diện nguyên thủy modulo số nguyên tố (Định lý 2.4.7), áp dụng hiệu cấp cho số nguyên theo modulo Lưu ý có số ngun dương khơng có ngun thủy, chẳng hạn: số 8, số 12 khơng có ngun thủy, Do đó, tiếp đến luận văn trình bày ứng dụng cấp cho số nguyên theo modulo vào tốn nhận diện lớp số ngun dương có nguyên thủy số nguyên 1, 2, 4, pk , 2pk với p số nguyên tố lẻ (Định lý 2.5.19) Phần cuối luận văn giới thiệu khái niệm số cho số nguyên theo modulo số, xét số ứng dụng vào phương trình đồng dư Ngồi luận văn trình bày nhiều ví dụ minh họa giúp cho người đọc dễ theo dõi, tập thích hợp cho phổ thơng Dưới tóm lược nội dung mục Chương • Mục 2.1 đề cập đến khái niệm tính chất cấp cho số nguyên theo modulo ví dụ minh họa • Mục 2.2 trình bày khái niệm tính chất ngun thủy modulo • Mục 2.3 trình bày ứng dụng cấp cho số nguyên theo modulo vào tốn kiểm tra tính ngun tố dựa định lý Lucas hệ • Mục 2.4 trình bày ứng dụng cấp cho số nguyên theo modulo vào nhận diện nguyên thuỷ số nguyên tố • Mục 2.5 khảo sát ứng dụng cấp cho số nguyên theo modulo vào toán nhận diện số ngun có ngun thủy • Mục 2.6 dành để trình bày khái niệm tương tự khái niệm lơgarit, khái niệm số cho số nguyên theo modulo sở, xét vài ứng dụng vào phương trình đồng dư Thái Nguyên, ngày 25 tháng năm 2019 Tác giả luận văn Phạm Thị Định Chương Kiến thức chuẩn bị Nội dung Chương tham khảo chủ yếu từ tài liệu [1] phần nhỏ tài liệu [3] Các kiến thức chương nhằm chuẩn bị kiến thức giúp cho việc trình bày chương sau hệ thống dễ theo dõi Mục 1.1 nhắc lại lý thuyết chia hết tập số nguyên; đồng thời mục nhắc lại khái niệm hệ số nhị thức định lý nhị thức Mục 1.2 nhắc lại khái niệm đồng dư thức thức, hệ thặng dư đầy đủ, định lý Euler, định lý Fermat nhỏ, phương trình đồng dư 1.1 Lý thuyết chia hết tập số nguyên Trong tập hợp số ngun Z, phép tốn cộng, trừ nhân ln thực được, nhiên phép chia cho số nguyên khác thực được, nghĩa phương trình ax = b, a, b ∈ Z; a 6= lúc có nghiệm Z Trong trường hợp ax = b có nghiệm Z, đến khái niệm chia hết Định nghĩa 1.1.1 Giả sử a, b hai số nguyên, b 6= Ta nói b chia hết a hay b ước a kí hiệu b | a có số nguyên q cho a = bq Khi ta nói a chia hết cho b hay a bội b viết a b Khi b khơng chia hết a ta kí hiệu b - a Ví dụ 1.1.2 Trong tập số nguyên Z, ta có (i) −5 chia hết 10 hay 10 chia hết cho −5, 10 = (−2).(−5) (ii) −1 ước số nguyên a a = 1.a = (−1).(−a) (iii) bội số nguyên b 6= = b.0 Chú ý 1.1.3 Nếu b | a a 6= từ a = bq ta có q 6= |q| ≥ |a| = |b|.|q| ≥ |b| Các tính chất chia hết trình bày vắn tắt (i) Số nguyên a ước a = ±1 (ii) Nếu b | a ±b | ±a (iii) Nếu a | b b | a a = ±b (iv) Nếu b | a1 , b | a2 , , b | an , với b, a1 , a2 , , an ∈ Z b | (a1 x1 + a2 x2 + · · · + an xn ), ∀x1 , x2 , , xn ∈ Z Định lý 1.1.4 Với cặp số nguyên a, b cho trước (b 6= 0), tồn cặp số nguyên q, r thỏa mãn hệ thức a = bq + r, ≤ r < |b| Chứng minh Sự tồn cặp số nguyên q, r: Xét tập hợp M gồm bội b không vượt a M = {bx : x ∈ Z, bx ≤ a} Ta thấy −|b|.|a| bội b không vượt a nên M 6= ∅ Hơn nữa, M phận Z bị chặn a M có số lớn nhất, chẳng hạn bq, q ∈ Z Vì |b| ≥ nên ba + |b| > bq , bq + |b| ∈ / M bội b ta có bq ≤ a < bq + |b| hay ≤ a − bq < |b| Đặt r = a − bq ta r ∈ Z, a = bq + r ≤ r < |b| Để chứng minh tính cặp q, r ta giả sử có cặp số nguyên q1 , r1 thỏa mãn hệ thức a = bq + r, ≤ r < |b|; a = bq1 + r1 , ≤ r1 < |b| Từ ta có b(q − q1 ) = −(r − r1 ) |r − r1 | < |b| Khi |b| > |b||q − q1 | = |r − r1 | < |b| ta |q − q1 | < Do |q − q1 | = hay q = q1 kéo theo r = r1 Định nghĩa 1.1.5 Cho a, b số nguyên cho trước, b 6= Khi có đẳng thức a = bq + r, q số nguyên, ≤ r < |b|, ta nói a chia cho b thương q số dư r Kí hiệu a ≡ r (mod b) Chú ý 1.1.6 Trong trường hợp số dư r = 0, ta có a = bq, nghĩa a chia hết cho b Như vậy, phép chia hết trường hợp riêng phép chia có dư Số nguyên d gọi ước chung số nguyên a1 , a2 , , an d ước đồng thời số nguyên Một ước chung d số nguyên a1 , a2 , , an cho ước chung a1 , a2 , , an ước d gọi ước chung lớn (viết tắt ƯCLN) số Các số nguyên a1 , a2 , , an gọi nguyên tố ƯCLN số Số tự nhiên lớn khơng có ước khác ngồi gọi số nguyên tố Chúng ta nhắc lại định lý không đề cập đến chứng minh Định lý 1.1.7 (Định lý bản) Mỗi số tự nhiên lớn phân tích thành tích thừa số nguyên tố phân tích khơng kể đến thứ tự thừa số Nội dung định lý nói lên vai trị quan trọng số nguyên tố tập số tự nhiên: số tự nhiên lớn “cấu tạo” từ số nguyên tố phép nhân, mà biết số nguyên tố số có ước Từ định lý bản, nhà tốn học đến ứng dụng như: tiêu chuẩn chia hết, ước chung lớn - bội chung nhỏ Các ứng dụng định lý đề cập chương trình học đại học, luận văn ta bỏ qua không nhắc lại Phần cuối mục ta nhắc lại khái niệm tính chất hệ số nhị thức Định nghĩa 1.1.8 Cho n, r số nguyên không âm, hệ số nhị thức n! r ≤ n ngược lại; ta kí hiệu nr = r!(n−r)! thường kí hiệu hệ số nhị thức Cnr n Từ định nghĩa, ta có n0 = = nn nr = n−r Định lý 1.1.9 (Đồng thức Pascal) Cho n r hai số nguyên n−1 + dương, r ≤ n Khi nr = n−1 r r−1 Chứng minh Ta biến đổi vế phải đưa vế trái: ! ! n−1 n−1 (n − 1)! (n − 1)! + = + r−1 r (r − 1)!(n − r)! r!(n − r − 1)! r(n − 1)! (n − r)(n − 1)! + r(r − 1)!(n − r)! r!(n − r)(n − r − 1)! r(n − 1)! (n − r)(n − 1)! = + r!(n − r)! r!(n − r)! (n − 1)![r + (n − r)] (n − 1)!n = = r!(n − r)! r!(n − r)! ! n! n = = r!(n − r)! r = Định lý sau ta sử dụng hệ số nhị thức để tìm khai triển (x + y)n Định lý 1.1.10 (Định lý nhị thức) Cho x, y hai số thực n P số nguyên không âm Khi (x + y)n = nr=0 nr xn−r y r Chứng minh Chứng minh phương pháp quy nạp Với n = 0, ta có P (x + y)0 = 0r=0 0r x0−r y r = x0 y = Do giả thiết với n = Giả sử định lý với số k ≥ đó, tức ! k X k k−r r (x + y)k = x y (1.1) r r=0 ... 2.4 trình bày ứng dụng cấp cho số nguyên theo modulo vào nhận diện nguyên thuỷ cho số nguyên tố Mục 2.5 khảo sát ứng dụng cấp cho số nguyên modulo vào toán nhận diện số nguyên có nguyên thủy Mục... niệm ứng dụng cấp cho số nguyên theo modulo, nguyên thủy modulo, số cho số nguyên theo modulo Trước tiên luận văn trình bày khái niệm cấp cho số nguyên a theo modulo m (với điều kiện a nguyên. .. cấp số số nguyên Nội dung Chương đề cập đến khái niệm ứng dụng cấp cho số nguyên theo modulo, nguyên thủy modulo, số cho số nguyên theo modulo Mục 2.1 đề cập đến khái niệm tính chất cấp cho số