Cac dang bdhsg toan 7

CÁC CHUYÊN ĐỀ BDHSG TOÁN CHUYỀN ĐỀ BỒI DƯỠNG HSG TOÁN PHẦN ĐẠI SỐ Chuyền đề 1: Các tốn thực phép tính: Các kiến thức vận dụng: - Tính chất phép cộng , phép nhân - Các phép toán lũy thừa: an = ; (am)n = am.n ; am.an = am+n ; am : an = am –n ( a 0, m n) ( a.b)n = an bn ; Một số tốn : Bài 1: a) Tính tổng : 1+ + +… + n , 1+ + +… + (2n -1) b) Tính tổng : 1.2 + 2.3 + 3.4 + … + n.(n+1) 1.2.3+ 2.3.4 + 3.4.5 + ….+ n(n+1)(n+2) Với n số tự nhiên khác không HD : a) 1+2 + + + n = n(n+1) 1+ 3+ 5+ …+ (2n-1) = n2 b) 1.2+2.3+3.4+ …+ n(n+1) = [1.2.(3 - 0) + 2.3.(4 - 1) + 3.4(5 – 2) + … + n(n + 1)( (n+2) – (n – 1))] : = [ 1.2.3 – 1.2.3 + 2.3.4 – 2.3.4 +……+ n( n+1)(n+2)] : = n(n+ 1)(n+2) :3 1.2.3 + 2.3.4+ 3.4.5 + ….+ n(n+1)(n+2) = [ 1.2.3(4 – 0) + 2.3.4( -1) + 3.4.5.(6 -2) + ……+ n(n+1)(n+2)( (n+3) – (n-1))]: = n(n+1)(n+2)(n+3) : Tổng quát: Bài 2: a) Tính tổng : S = 1+ a + a2 +… + an b) Tính tổng : A = với a2 – a1 = a3 – a2 = … = an – an-1 = k HD: a) S = 1+ a + a2 +… + an Ta có : aS – S = an+1 – Nếu a = S=n aS = a + a2 +… + an + an+1 ( a – 1) S = an+1 – Nếu a khác , suy S = b) Áp dụng với b – a = k Ta có : A = = = Bài : a) Tính tổng : 12 + 22 + 32 + … + n2 b) Tính tổng : 13 + 23 + 33 + … + n3 HD : a) 12 + 22 + 32 + ….+ n2 = n(n+1)(2n+1): b) 13 + 23 + 33 + … + n3 = ( n(n+1):2)2 CÁC CHUYÊN ĐỀ BDHSG TOÁN Bài 3: Thùc hiÖn phÐp tÝnh: a) A = b) HD : A = Bài 4: ;B= 1, Tính: P= 2, Biết: 13 + 23 + + 103 = 3025 Tính: S = 23 + 43 + 63 + + 203 Bài 5: a) TÝnh b) Cho Chøng minh r»ng Bài 6: a) Tính : b) TÝnh HD: Nhận thấy 2011 + = 2010+2 = … = c) Bài 7: a) Tính giá trị biểu thức: CC CHUYÊN ĐỀ BDHSG TOÁN b) Chøng tá r»ng: Bài 8: a) Tính giá trị biểu thức: b) Chứng minh r»ng tỉng: Chun đề 2: Bài tốn tính chất dãy tỉ số nhau: Kiến thức vận dụng : -Nếu - Có với gt tỉ số dều có nghĩa = k Thì a = bk, c = d k, e = fk Bài tập vận dụng Dạng Vận dụng tính chất dãy tỉ số để chứng minh đẳng thức Bài 1: Cho HD: Từ Chứng minh rằng: suy = Bài 2: Cho a,b,c R a,b,c thoả mãn b2 = ac Chứng minh rằng: = HD: Ta có (a + 2012b)2 = a2 + 2.2012.ab + 20122.b2 = a2 + 2.2012.ab + 20122.ac = a( a + 2.2012.b + 20122.c) (b + 2012c)2 = b2 + 2.2012.bc + 20122.c2 = ac+ 2.2012.bc + 20122.c2 = c( a + 2.2012.b + 20122.c) Suy : = Bài 3: Chøng minh r»ng nÕu HD : Đặt Suy : th× a = kb, c = kd CÁC CHUYÊN ĐỀ BDHSG TOÁN Vậy BiÕt Bài 4: với a,b,c, d Chứng minh : HD : Ta có = (1) = (2) Từ (1) (2) suy : Xét TH đến đpcm Bài : Cho tØ lÖ thøc Chøng minh r»ng: vµ biến đổi theo HD : Xuất phát từ hướng làm xuất Bài 6 : Cho d·y tØ sè b»ng nhau: TÝnh HD : Từ Suy : Nếu a + b + c + d = a + b = -( c+d) ; ( b + c) = -( a + d) = -4 Nếu a + b + c + d a=b=c=d =4 Bài : a) Chøng minh r»ng: NÕu Th× CÁC CHUYÊN ĐỀ BDHSG TOÁN b) Cho: Chøng minh: HD : a) Từ (1) (2) (3) Từ (1) ;(2) (3) suy : Bài 8: Cho chứng minh biểu thức sau có giá trị nguyên HD Từ Nếu x + y + z + t = P = - Nếu x + y + z + t x = y = z = t P=4 Bài : Cho số x , y , z khác thỏa mãn điều kiện : Hãy tính giá trị biểu thức : B = Bài 10 : a) Cho số a,b,c,d khác Tính T =x2011 + y2011 + z2011 + t2011 Biết x,y,z,t thỏa mãn: b) Tìm số tự nhiên M nhỏ có chữ số thỏa mãn điều kiện: M = a + b = c +d = e + f Biết a,b,c,d,e,f thuộc tập N* ; ; c) Cho số a, b, c thỏa mãn : Tính giá trị biểu thức : M = 4( a - b)( b – c) – ( c – a )2 Một số tương tự Bài 11: Cho d·y tØ sè b»ng nhau: CÁC CHUYÊN ĐỀ BDHSG TOÁN TÝnh Bài 12: Cho số x , y , z, t khác thỏa mãn điều kiện : ( n số tự nhiên) x + y + z + t = 2012 Tính giá trị biểu thức P = x + 2y – 3z + t Dạng : Vận dụng tính chất dãy tỉ số để tìm x,y,z,… Bài 1: Tìm cặp số (x;y) biết : HD : Áp dông tÝnh chÊt d·y tØ sè b»ng ta cã: => với y = thay vào không thỏa mãn Nếu y khác => -x = 5x -12 => x = Thay x = vào ta đợc: =>1+ 3y = -12y => = -15y => y = VËy x = 2, y = thoả mÃn đề Bi : Cho v a + b + c ≠ 0; a = 2012 Tính b, c HD : từ a = b = c = 2012 Bài : Tìm số x,y,z biết : HD: Áp dụng t/c dãy tỉ số nhau: (vì x+y+z Suy : x + y + z = 0,5 từ tìm x, y, z Bài : Tìm x, biết rằng: HD : Từ Suy : 0) CÁC CHUYÊN ĐỀ BDHSG TOÁN Bài 6: T×m x, y, z biÕt: (x, y, z ) HD : Từ Từ x + y + z = x+y= - z , y +z = -x,z+x= - y thay vào đẳng thức ban đầu để tìm x Bi : Tìm x, y, z biết Bi : Tìm x , y biết : Chuyên đề 3: Vận dụng tính chất phép tốn để tìm x, y Kiến thức vận dụng : - Tính chất phép toán cộng, nhân số thực - Quy tắc mở dấu ngoặc, quy tắc chuyển vế - Tính chất giá trị tuyệt đối : với A ; - Bất đẳng thức giá trị tuyệt đối : dấu ‘=’ xẩy AB 0; dấu ‘= ‘ xẩy A,B >0 ; với m > - Tính chất lũy thừa số thực : A2n với A ; - A2n với A Am = An m = n; An = Bn 0< A < B A = B (nếu n lẻ ) A = B ( n chẵn) An < Bn ; Bài tập vận dụng Dạng 1: Các tốn Bài 1: Tìm x biết a) x + 2x + 3x + 4x + … + 2011x = 2012.2013 b) HD : a) x + 2x + 3x + 4x + … + 2011x = 2012.2013 x( + + + ….+ 2011) = 2012.2013 b) Nhận xét : 2012 = 2011+1= 2010 +2 = 2009 +3 = 2008 +4 CÁC CHUYÊN ĐỀ BDHSG TỐN Từ Bài Tìm x ngun biết a) b) 1- + 32 – 33 + ….+ (-3)x = Dạng : Tìm x có chứa giá trị tuyệt đối  Dạng : Khi giải cần tìm giá trị x để GTTĐ khơng, so sánh giá trị để chia khoảng giá trị x ( so sánh –a –b) Bài : Tìm x biết : a) b) HD : a) (1) VT = nên VP = x – 2012 (*) Từ (1) Kết hợp (*) x = 4023:2 b) (1) Nếu x 2010 từ (1) suy : 2010 – x + 2011 – x = 2012 x = 2009 :2 (lấy) Nếu 2010 < x < 2011 từ (1) suy : x – 2010 + 2011 – x = 2012 hay = 2012 (loại) Nếu x từ (1) suy : x – 2010 + x – 2011 = 2012 x = 6033:2(lấy) Vậy giá trị x : 2009 :2 6033:2 Một số tương tự: Bài : a) T×m x biÕt b) T×m x biÕt: c) T×m x biết: Bi : a)Tìm giá trị x ®Ĩ: b) Tìm x biết: Bài : tìm x biết : a) b) CÁC CHUYÊN ĐỀ BDHSG TOÁN Dạng : Sử dụng BĐT giá trị tuyệt đối Bài : a) Tìm x ngyên biết : b) Tìm x biết : HD : a) ta có Mà suy ( 1) xẩy dấu “=” Hay (1) x nguyên nên x {3;4;5} b) ta có (*) Mà nên (*) xẩy dấu “=” Suy ra: Các tương tự Bài : Tìm x nguyên biết : Bài : Tìm x biết Bài : Tìm x, y thoả mÃn: = Bi : Tỡm x, y biết : HD : ta có với x,y với x Suy : với x,y m Bi : Tìm số nguyên x tho¶ m·n Dạng chứa lũy thừa số hữu tỉ Bài 1: Tìm số tự nhiên x, biết : a) 5x + 5x+2 = 650 b) 3x-1 + 5.3x-1 = 162 HD : a) 5x + 5x+2 = 650 5x ( 1+ 52) = 650 5x = 25 x = b) 3x-1 + 5.3x-1 = 162 3x -1(1 + 5) = 162 3x – = 27 x=4 Bài : Tìm số tự nhiên x, y , biết: a) 2x + 3y = 12x b) 10x : 5y = 20y HD : a) 2x + 3y = 12x Nhận thấy : ( 2, 3) = x – = y-x = x=y=1 x y y x 2y b) 10 : = 20 10 = 10 x = 2y Bài : Tìm m , n nguyên dương thỏa mãn : a) 2m + 2n = 2m +n b) 2m – 2n = 256 HD: a) 2m + 2n = 2m +n 2m + n – 2m – 2n = 2m ( 2n – 1) –( 2n – 1) = (2m -1)(2n – 1) = b) 2m – 2n = 256 2n ( 2m – n - 1) = 28 CÁC CHUYÊN ĐỀ BDHSG TOÁN Dễ thấy m n, ta xét trường hợp : + Nếu m – n = n=8,m=9 + Nếu m – n 2m – n – số lẻ lớn 1, VT chứa TSNT khác 2, mà VT chứa TSNT suy TH không xẩy : n = , m = Bài : Tìm x , biết : HD : Bài : Tìm x, y biết : HD : ta có Suy : với x,y (y – 1)2012 với x,y Mà Các tập tương tự : Bài : Tìm x, y biết : a) với y b) Chuyên đề 4: Giá trị nguyên biến , giá trị biểu thức : Các kiến thức vận dụng: - Dấu hiệu chia hết cho 2, 3, 5, - Phân tích TSNT, tính chất số nguyên tố, hợp số , số phương - Tính chất chia hết tổng , tích - ƯCLN, BCNN số Bài tập vận dụng : * Tìm x,y dạng tìm nghiệm đa thức Bài 1: a) T×m số nguyên tố x, y cho: 51x + 26y = 2000 b) Tìm số tự nhiên x, y biết: c) Tìm x, y nguyên biết: xy + 3x - y = d) Tìm số nguyên tố tho¶ m·n : x 2-2y2=1 HD: a) Từ 51x + 26y = 2000 17.3.x = 2.( 1000 – 13 y) 3,17 số NT nên x mà x NT x = Lại có 1000 – 13y , 1000 – 13y > y NT y= 10 CÁC CHUN ĐỀ BDHSG TỐN (2, 7) = b) Ta có f(0) = c f(0) f(1) - f(-1) = (a + b + c) - ( a – b + c) = 2b , f(1) f(-1) chia hết cho ( 2, 3) = f(1) b c chia hết cho Vậy a, b, c chia hết cho Bài : a) Chøng minh r»ng lµ mét sè tù nhiờn b) Cho số nguyên tố (n > 2) Chứng minh hợp số n n 2n n n HD : b) ta có (2 +1)( – 1) = -1 = -1 (1) Do - chia hêt cho lµ sè n n nguyªn tè (n > 2) suy -1 chia hết cho hay -1 hợp số Chuyên đề : Bất đẳng thức 1.Kiến thức vận dụng * Kỹ thuật làm trội : Nếu a1 < a2 < a3 Chøng tỏ rằng: không số nguyên HD : Ta cú Mặt khác = – N Do N >1 nên M < Vậy < M < nên M không số nguyên Bài Chứng minh : (1) , (2) với a, b, c HD : (*) Do (*) với a,b nên (1) Bài : Với a, b, c số dương Chứng minh a) (1) b) (2) 16 CÁC CHUYÊN ĐỀ BDHSG TOÁN HD : a) Cách : Từ (*) Do (*) suy (1) Cách 2: Ta có Dấu “ =” xẩy a = b b) Ta có : Lại có Suy Bài : Dấu “ = ” xẩy a = b = c a) Cho z, y, z số dơng Chứng minh rằng: b) Cho a, b, c tho¶ m·n: a + b + c = Chøng minh r»ng: HD : b) Tính ( a + b + c)2 từ cm Chuyên đề : Các toán đa thức ẩn Bài : Cho đa thức P(x) = a x3 + bx2 + cx + d ( a khác 0) Biết P(1) = 100 , P( -1) = 50 , P(0) = , P( 2) = 120 Tính P(3) HD : ta có P(1) = 100 a + b + c + d = 100 P(-1) = 50 - a + b – c + d = 50 P( 0) = d=1 P(2) = 8a + 4b + c + d = 120 Từ tìm c, d, a XĐ P(x) Bài : Cho víi a, b, c lµ số hữu tỉ Chứng tỏ rằng: Biết HD : f( -2) = 4a – 2b + c f(3) = 9a + 3b + c f(-2).f(3) =(4a – 2b + c)( 9a + 3b + c) Nhận thấy ( 4a – 2b + c) + ( 9a + 3b + c) = 13a + b + 2c = ( 4a – 2b + c ) = - ( 9a + 3b + c) Vậy f(-2).f(3) = - ( 4a – 2b + c).( 4a – 2b + c) = - ( 4a -2b + c)2 Bi Cho đa thức với a, b, c c¸c sè thùc BiÕt r»ng f(0); f(1); f(2) cã gi¸ trị nguyên Chứng minh 2a, 2b có giá trị nguyªn HD : f(0) = c , f(1) = a + b + c , f(2) = 4a + 2b + c Do f(0) ,f(1), f(2) nguyên c , a + b + c 4a + 2b + c nguên a + b 4a + 2b = (a + b) + 2a = 4( a + b) -2b ngyên 2a , 2b nguyên 17 CÁC CHUYÊN ĐỀ BDHSG TOÁN Bài Chøng minh r»ng: f(x) cã giá trị nguyên với x nguyên 6a, 2b, a + b + c vµ d số nguyên HD: f(0) = d , f(1) = a + b + c + d , f(2) = 8a +4 b + c + d Nếu f(x) có giá trị nguyên với x d , a + b + c + d, 8a +4b + c + d số nguyên Do d nguyên a + b + c nguyên (a + b + c + d) + (a + b +c +) +2b nguyên 2b nguyên 6a nguyên Chiều ngược lại cm tng t Bi 5: Tìm tổng hệ số đa thức nhận đợc sau bỏ dấu ngoặc biÓu thøc: A(x) = HD : Giả sử A( x) = ao + a1x + a2x2 + … + a4018x4018 Khi A(1) = ao + a1 +a2 + …….+ a4018 A(1) = nên ao + a1 +a2 + …….+ a4018 = Bài 6 : Cho x = 2011 Tính giá trị biểu thức: HD : t A = x = 2012 A = 2011 Chuyên đề Các toán thực tế Kiến thức vận dụng - Tính chất đại lượng tỉ lệ thuận : Đại lượng y tỉ lệ thuận với đại lượng x khi : y = k.x ( k hệ số tỉ lệ ) - Tính chất đại lượng tỉ lệ nghịch : Đại lượng y đại lượng x gọi hai đại lượng tỉ lệ nghịch khi : x.y = a ( a hệ số tỉ lệ ) - Tính chất dãy tỉ số Bài tập vận dụng *Phương pháp giải : - Đọc kỹ đề , từ xác định đại lượng toán - Chỉ đại lượng biết , đại lượng cần tìm - Chỉ rõ mối quan hệ đại lượng ( tỉ lệ thuận hay tỉ lệ nghịch) - Áp dụng tính chất đại lượng tỉ lệ tính chất dãy tỉ số để giải 18 CÁC CHUYÊN ĐỀ BDHSG TOÁN Bài 1 : Một vật chuyển động cạnh hình vng Trên hai cạnh đầu vật chuyển động với vận tốc 5m/s, cạnh thứ ba với vận tốc 4m/s, cạnh thứ tư với vận tốc 3m/s Hỏi độ dài cạnh hình vng biết tổng thời gian vật chuyển động bốn cạnh 59 giây Bài : Ba líp 7A,7B,7C cã 94 häc sinh tham gia trồng Mỗi học sinh lớp 7A trồng đợc cây, Mỗi học sinh lớp 7B trồng đợc cây, Mỗi học sinh lớp 7C trồng đợc cây, Hỏi lớp có học sinh Biết số lớp trồng đợc nh Bi : Một ô tô phải từ A ®Õn B thêi gian dù ®Þnh Sau ®i đợc nửa quÃng đờng ô tô tăng vận tốc lên 20 % đến B sớm dự định 10 phút Tính thời gian ô tô từ A đến B Bi : Trên quÃng đờng AB dài 31,5 km An từ A đến B, Bình từ B đến A Vận tốc An so với Bình 2: Đến lúc gặp nhau, thời gian An so với Bình 3: Tính quÃng đờng ngời tới lúc gặp ? Bi : Ba đội công nhân làm công việc có khối lượng Thời gian hồn thành cơng việc đội І, ІІ, ІІІ 3, 5, ngày Biêt đội ІІ nhiều đội ІІІ người suất công nhân Hỏi đội có cơng nhân ? Bài : Ba ô tô khởi hành từ A phía B Vận tốc ô tô thứ ô tô thứ hai Km/h Biết thơi gian ô tô thứ nhất, thứ hai thứ ba hết quãng đường AB : 40 phút, , Tính vận tốc tơ ? PHẦN HÌNH HỌC I Một số phương pháp chứng minh hình hoc 1.Chứng minh hai đoạn thẳng nhau: P2 : - Chứng minh hai tam giác chứa hai đoạn thẳng - Chứng minh hai đoạn thẳng hai cạnh bên tam giác cân - Dựa vào tính chất đường trung tuyến, đường trung trực đoạn thẳng - Dựa vào định lí Py-ta- go để tính độ dài đoạn thẳng 2.Chứng minh hai góc nhau: P2 : - Chứng minh hai tam giác chứa hai góc - Chứng minh hai góc hai góc đáy tam giác cân - Chứng minh hai đường thẳng song song mà hai góc cặp góc so le ,đồng vị - Dựa vào tính chất đường phân giác tam giác Chứng minh ba điểm thẳng hàng: P2 : - Dựa vào số đo góc bẹt ( Hai tia đối nhau) - Hai đường thẳng vng góc với đường thẳng thứ điểm 19 CÁC CHUYÊN ĐỀ BDHSG TOÁN - Hai đường thẳng qua điểm song song với đường thẳng thứ - Dựa vào tính chất đường trung tuyến, phân giác, trung trực, đường cao Chứng minh hai đường thẳng vng góc P2 : - Tính chất tam giác vng, định lí Py – ta – go đảo - Qua hệ đường thẳng song song đường thẳng vng góc - Tính chất đường trung trực, ba đường cao Chứng minh đường thẳng đồng quy( qua điểm ) P2 : - Dựa vào tính chất đường tam giác So sánh hai đoạn thẳng, hai góc : P2 : - Gắn hai đoạn thẳng , hai góc vào tam giác từ vận định lí quan hệ cạnh góc đối diện tam giác , BĐT tam giác - Dựa vào định lí quan hệ đường xiên hình chiếu, đường xiên đường vng góc II Bài tập vận dụng Bài : Cho tam gi¸c ABC cã Â < 90 Vẽ phía tam giác hai D đoạn thẳng AD vuông góc AB; AE vuông góc AC Chứng minh: DC = BE vµ DC BE E HD: A Phân tích tìm hướng giải *Để CM DC = BE cần CM ∆ABE = ∆ ADC ( c.g.c) Có : AB = AD, AC = AE (gt) I Cần CM : Có : K * Gọi I giao điểm AB CD B Để CM : DC BE cần CM Có ( Hai góc đối đỉnh) Cần CM ( ∆ABE = ∆ ADC) Lời giải C a) Ta có , mặt khác AB = AD, AC = AE (gt) Suy ∆ABE = ∆ ADC(c.g.c) DC = BE b) Gọi I giao điểm AB CD Ta có ( Hai góc đối đỉnh) , ( ∆ ADI vuông A) ( ∆ABE = ∆ ADC) DC BC *Khai thác 1: Từ ta thấy : DC = BE vµ DC BE ∆ABD ∆ ACE vng cân, có ∆ABD ∆ ACE vng cân , Từ B kẻ BK CD D ba điểm E, K, B thẳng hàng Ta có tốn 1.2 Bi 1: Cho tam giác ABC có Â < 900 Vẽ phía tam giác hai đoạn thẳng AD vuông góc AB; AE vuông góc vµ b»ng AC Từ B kẻ BK CD K Chứng minh ba điểm E, K, B thẳng hàng HD : Từ chứng minh DC BE mà BK CD K suy ba điểm E, K, B thẳng hàng *Khai thác 1.1 20 ... khơng chia hết cho b) Ta có 3638 = (362)19 = 129619 = ( 7. 185 + 1) 19 = 7. k + ( k N*) 4133 = ( 7. 6 – 1)33 = 7. q – ( q N*) Suy : = 7k + + 7q – = 7( k + q) Bài : a) Chøng minh r»ng: chia hÕt cho 30... động bốn cạnh 59 giây Bài : Ba líp 7A,7B,7C cã 94 häc sinh tham gia trồng Mỗi học sinh lớp 7A trồng đợc cây, Mỗi học sinh lớp 7B trồng đợc cây, Mỗi học sinh lớp 7C trồng đợc cây, Hỏi lớp có học... , -1 = – = – = ( + 1) -1 = 7. A + -1 = 7. A Xét n = 3k +1 n – = 23k+1 – = 2.83k – = 2.(7A+1) -1 = 7A + không chia hết cho Xét n = 3k+2 n – = 23k +2 -1 = 4.83k – = 4( 7A + 1) – = A + không chia