ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC NGUYỄN THỊ THU HƢƠNG VỀ PHƢƠNG PHÁP MA TRẬN CHO BÀI TOÁN TỔ HỢP VÀ HÌNH HỌC LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN 2018 c ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƢỜNG ĐẠI[.]
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC - NGUYỄN THỊ THU HƢƠNG VỀ PHƢƠNG PHÁP MA TRẬN CHO BÀI TỐN TỔ HỢP VÀ HÌNH HỌC LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - 2018 c ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC - NGUYỄN THỊ THU HƢƠNG VỀ PHƢƠNG PHÁP MA TRẬN CHO BÀI TỐN TỔ HỢP VÀ HÌNH HỌC Chuyên ngành: Phƣơng pháp Toán sơ cấp Mã số: 46 01 13 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC TS Nguyễn Thanh Sơn THÁI NGUYÊN - 2018 c i Mục lục Bảng ký hiệu ii Mở đầu Chương Ma trận số kiến thức 1.1 Ma trận phép toán ma trận 1.2 Định thức ma trận 1.3 Giá trị riêng, véctơ riêng 1.4 Chéo hóa ma trận 1.5 Chuẩn ma trận 1.6 Phân tích SVD ma trận chuẩn Chương Phương pháp ma trận tổ hợp 2.1 Ma trận đồ thị 2.2 Đếm đường đi: phương pháp ma trận chuyển 2.3 Đếm số bao trùm 2.4 Đếm chu trình Euler Chương Phương pháp ma trận hình 3.1 Quay khơng gian 3.2 Giao nhân 3.3 Góc không gian 3.4 Giao không gian bị liệt kê học 4 11 13 17 18 28 28 31 37 42 47 47 50 53 58 Kết luận 61 Tài liệu tham khảo 62 c ii Bảng ký hiệu K Trường số M (m × n, K) Khơng gian ma trận cỡ m × n trường K A Ma trận A AT Ma trận chuyển vị ma trận A In Ma trận đơn vị cấp n tr(A) Vết ma trận A sgn(σ) Dấu phép hoán vị σ det(A) Định thức ma trận A pA (x) Đa thức đặc trưng ma trận A kAkR Chuẩn Frobenius ma trận A kAkp Chuẩn p ma trận A diag Ma trận đường chéo ker(A) Hạt nhân ma trận A span(v1 , v2 , , ) Không gian véctơ sinh {v1 , v2 , , } im(A) Ảnh ma trận A A(k, :) Hàng thứ k ma trận A A(:, k) Cột thứ k ma trận A G(V, E) Đồ thị G có tập đỉnh V tập cạnh E deg(u) Bậc đỉnh u indeg(u) Bậc vào đỉnh u outdeg(u) Bậc đỉnh u A(G) Ma trận kề đồ thị G M (G) Ma trận liên thuộc đồ thị G L(G) Ma trận Laplacian đồ thị G Lv (G) → − L (G) Phần phụ đại số L(G) CG (n) Số đường đóng có độ dài n G cG Sô bao trùm đồ thị G c(G, v) Sơ bao trùm có gốc v đồ thị G SVD Phân tích kỳ dị ma trận Ma trận Laplacian đồ thị có hướng G c Mở đầu Trong tốn học, lý thuyết ma trận đại số tuyến tính nội dung bản, quan trọng có nhiều nhiều ứng dụng Ngày nay, ma trận ứng dụng vào hàng loạt lĩnh vực khác nhau, từ giải tích tới hình học vi phân lý thuyết đồ thị, từ học vật lý tới kỹ thuật, Vì trở thành trọng tâm nội dung học tập sở cho việc đào tạo bậc đại học sau đại học thuộc chuyên ngành khoa học công nghệ tất trường đại học Về mặt lịch sử, tác phẩm “Nghiên cứu số học” (Disquisitiones Arithmeticae, năm 1801), để xác định phép biến đổi tuyến tính, Gauss đưa ký hiệu dạng bảng, ma trận Ơng định nghĩa tích hai ma trận Điều gợi ý cho Cauchy ([5]) tới định lý tích hai định thức Vào kỷ 19, Cayley Silvester phát triển lý thuyết ma trận Các khái niệm ma trận định thức ngày quen thuộc với nhà tốn học, chúng góp phần làm chín dần ý niệm không gian n chiều Trong lý thuyết đồ thị, đồ thị tập hợp mối quan hệ đỉnh cạnh đồ thị Mối quan hệ có biểu diễn dạng danh sách cạnh kề dạng ma trận Từ việc khảo sát tính chất đặc trưng đồ thị thực thông qua khảo sát ma trận đồ thị ngược lại Bài toán đếm cây, đếm nhánh, đếm đường đồ thị chuyển thành tốn tính định thức ma trận Ở khía cạnh khác, coi cột ma trận véc tơ phương phẳng, ma trận mang thơng tin phương phẳng Những phép tốn ma trận biểu biến đổi hay tương tác mang tính hình học phẳng mà thơng qua đó, nhiều tốn hình học giải c Với mong muốn tìm hiểu sâu ứng dụng ma trận giải toán tổ hợp tốn hình học, chúng tơi lựa chọn đề tài Về phương pháp ma trận cho toán tổ hợp hình học hướng dẫn TS Nguyễn Thanh Sơn Mục đích luận văn sử dụng số khái niệm tính chất ma trận, định thức, giá trị riêng, phân tích giá trị kỳ dị ma trận để giải số tốn quay khơng gian con, giao hai khơng gian, số tốn đếm tổ hợp Ngoài phần Mở đầu, Kết luận Tài liệu tham khảo, luận văn chia làm ba chương Chương Ma trận số kiến thức chuẩn bị Chương tổng hợp lại định nghĩa, số tính chất, định lý ma trận, định thức, phép toán ma trận, vết ma trận, phân tích SVD ma trận Chương Phương pháp ma trận tổ hợp liệt kê Chương trình bày ứng dụng phương pháp ma trận vào toán đếm số học tổ hợp, cụ thể tốn đếm cây, đếm chu trình, đếm số đường đồ thị Một đồ thị biểu diễn dạng ma trận, từ ta suy đặc trưng dựa ma trận Chương Phương pháp ma trận hình học Trong chương phép phân tích SVD sử dụng để trả lời câu hỏi: cho trước hai không gian con, chúng gần nào, chúng có giao hay khơng, ta “quay” khơng gian thành khơng gian cịn lại khơng Luận văn hồn thành trường Đại học Khoa học, Đại học Thái Nguyên Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn tới TS Nguyễn Thanh Sơn, người định hướng chọn đề tài tận tình hướng dẫn, cho nhận xét quý báu để tơi hồn thành luận văn Tơi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành sâu sắc tới thầy cô, người tận tâm giảng dạy bảo tác giả suốt trình học tập thực luận văn Tôi xin bày tỏ lòng biết chân thành tới phòng Sau Đại học, khoa Toán - Tin, trường Đại học Khoa học, Đại học Thái Nguyên giúp đỡ tạo điều kiện cho tơi suốt q trình học tập nghiên cứu khoa học c Cuối xin gửi làm cảm ơn tới gia đình, bạn bè, đồng nghiệp động viên, giúp đỡ tạo điều kiện tốt cho học tập nghiên cứu Thái Nguyên, tháng 10 năm 2018 Người viết luận văn Nguyễn Thị Thu Hương c Chương Ma trận số kiến thức chuẩn bị Nhằm đạt tính tồn vẹn định luận văn nhắc lại số kiến thức bản, chương tổng hợp lại định nghĩa, số tính chất, định lý ma trận, định thức, phép toán ma trận, vết ma trận, phân tích SVD ma trận Nội dung chương tổng hợp từ giáo trình đại số tuyến tính [1] sách chun khảo tính tốn ma trận [7] 1.1 Ma trận phép toán ma trận Định nghĩa 1.1.1 ([1]) Mỗi bảng có dạng a11 a12 a 21 a22 A= · · am1 am2 · · · a1n · · · a2n ··· · · · · amn aij ∈ K (1 ≤ i ≤ m, ≤ j ≤ n), gọi ma trận m hàng n cột với phần tử K Nếu m = n, ta nói A ma trận vuông cấp n Véctơ hàng (ai1 , ai2 , , ain ) gọi hàng thứ i ma trận A Véctơ cột (a1j , a2j , , amj )T gọi cột thứ j ma trận A c Ma trận nói thường ký hiệu gọn A = (aij )m×n Tập hợp tất ma trận m hàng, n cột với phần tử K ký hiệu M (m×n, K) Ta định nghĩa hai phép toán cộng nhân với vơ hướng M (m × n, K) sau: a11 a12 a 21 a22 · · am1 am2 · · · a1n b11 b12 · · · a2n b21 b22 + ··· · · · · · · amn bm1 bm2 a11 + b11 a12 + b12 a +b a22 + b22 21 21 = · · am1 + bm1 am2 + bm2 a11 a12 a 21 a22 a · · am1 am2 · · · b1n · · · b2n ··· · · · · bmn · · · a1n + b1n · · · a2n + b2n , ··· · · · · amn + bmn · · · a1n aa11 aa12 · · · a2n aa21 aa22 = ··· · · · · · · amn aam1 aam2 · · · aa1n · · · aa2n , (a ∈ K) ··· · · · · aamn Cho hai ma trận A = (aij ) ∈ M (m × n, K), B = (bjk ) ∈ M (n × p, K) Định nghĩa 1.1.2 ([1]) Tích AB ma trận A ma trận B ma trận C = (cik ) ∈ M (m × p, K) với phần tử xác định sau cik = n X (1 ≤ i ≤ m, ≤ k ≤ p) aij bjk , j=1 Ví dụ 1.1.3 a b c x t ax + by + cz at + bu + cv d e f y u = dx + ey + f z dt + eu + f v g h i z v gx + hy + iz gt + hu + iv Ví dụ 1.1.4 " " # −2 15 −1 0 = −1 17 # " # h i −2 = c " # −4 12 −6 Nhận xét 1.1.5 Điều kiện để định nghĩa ma trận tích AB số cột A số hàng B Có thể xảy trường hợp tích AB định nghĩa mà tích BA khơng Ma trận 0 I = In = · 0 · ··· · · · 0 · · · · ··· gọi ma trận đơn vị cấp n Định nghĩa 1.1.6 ([1]) Ma trận A ∈ M (n × n, K) gọi ma trận khả nghịch (hoặc ma trận không suy biến) có ma trận B ∈ M (n × n, K) cho AB = BA = In Khi đó, ta nói B nghịch đảo A ký hiệu B = A−1 Nhận xét A khả nghịch ma trận nghịch đảo xác định Thật vậy, giả sử B B nghịch đảo A Khi B = BIn = B(AB ) = (BA)B = In B = B Trong Mục 1.2, điều kiện cần đủ đơn giản ma trận vuông khả nghịch Định nghĩa 1.1.7 Cho ma trận A cỡ m × n, ta đổi hàng ma trận A thành cột (và cột thành hàng) ta ma trận cỡ n × m, gọi ma trận chuyển vị ma trận A, ký hiệu AT AT = (cij )n×m , cij = aji , i = 1, , n, j = 1, , m Tính chất 1.1.8 (A + B)T = AT + B T (kA)T = kAT (AB)T = B T AT Định nghĩa 1.1.9 Nếu A = AT A gọi ma trận đối xứng (A ma trận vng có phần tử đối xứng qua đường chéo thứ nhất) A = −AT A gọi phản đối xứng (A ma trận vng có phần tử đối xứng trái dấu qua đường chéo thứ nhất, phần tử đường chéo thứ 0) c 1 1 1 ...ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC - NGUYỄN THỊ THU HƢƠNG VỀ PHƢƠNG PHÁP MA TRẬN CHO BÀI TỐN TỔ HỢP VÀ HÌNH HỌC Chuyên ngành: Phƣơng pháp Toán sơ cấp Mã số: 46 01 13 LUẬN... tài Về phương pháp ma trận cho toán tổ hợp hình học hướng dẫn TS Nguyễn Thanh Sơn Mục đích luận văn sử dụng số khái niệm tính chất ma trận, định thức, giá trị riêng, phân tích giá trị kỳ dị ma trận. .. tổng hợp lại định nghĩa, số tính chất, định lý ma trận, định thức, phép toán ma trận, vết ma trận, phân tích SVD ma trận Chương Phương pháp ma trận tổ hợp liệt kê Chương trình bày ứng dụng phương