��I HÅC TH�I NGUY�N TR×ÍNG ��I HÅC S× PH�M L� V�N CH×ÌNG V�N �� DUY NH�T CÕA LÔY THØA MËT H�M PH�N H�NH VÎI �A THÙC ��O H�M CÕA CHÓNG LU�N V�N TH�C S� TO�N HÅC Th¡i Nguy¶n 2020 c ��I HÅC TH�I NGUY�N T[.]
I HÅC THI NGUYN TR×ÍNG I HÅC S× PHM L VN CH×ÌNG VN DUY NHT CÕA LƠY THØA MËT HM PH N HNH VỴI A THÙC O HM CÕA CHĨNG LUN VN THC S TON HÅC Th¡i Nguy¶n - 2020 c I HÅC THI NGUYN TR×ÍNG I HÅC S× PHM L VN CH×ÌNG VN DUY NHT CÕA LƠY THØA MËT HM PH N HNH VỴI A THÙC O HM CÕA CHểNG Chuyản ngnh : TON GII TCH M số : 8.46.01.02 LUN VN THC S TON HC Ngữới hữợng dăn khoa hồc: PGS TS H TRN PHìèNG ThĂi Nguyản - 2020 c Líi cam oan Tỉi xin cam oan r¬ng nởi dung trẳnh by luên vôn ny l trung thüc v khỉng trịng l°p vỵi · t i kh¡c Tỉi cụng xin cam oan rơng cĂc kát quÊ nảu luên vôn, ti liằu tham khÊo v nởi dung trẵch dăn Êm bÊo tẵnh trung thỹc chẵnh xĂc ThĂi Nguyản, thĂng nôm 2020 Ngữới viát luên vôn Lả Vôn Chữỡng XĂc nhên cừa trững khoa ToĂn XĂc nhên cừa ngữới hữợng dăn PGS TS H TRN PHìèNG i c Líi c£m ìn Tỉi xin b y tä láng bi¸t ìn chƠn thnh tợi PGS TS H TrƯn Phữỡng, ngữới  tên tẳnh ch bÊo, tÔo iÃu kiằn v giúp ù tổi cõ thảm nhiÃu kián thực, khÊ nông nghiản cựu, tờng hủp ti liằu hon thnh luên vôn mởt c¡ch ho n ch¿nh Tỉi cơng xin gûi líi c£m ìn án gia ẳnh, bÔn b v cĂc ỗng nghiằp  ởng viản, giúp ù tổi quĂ trẳnh hồc têp cừa mẳnh Do thới gian v trẳnh ở cỏn hÔn chá nản luên vôn khổng trĂnh khọi nhỳng thiáu sõt Chúng tổi rĐt mong nhên ữủc sỹ gõp ỵ cừa cĂc thƯy cổ v cĂc bÔn luên vôn ữủc hon thiằn hỡn Tổi xin chƠn thnh cÊm ỡn! ThĂi Nguyản, thĂng nôm 2020 Ngữới viát luên vôn Lả Vôn Ch÷ìng ii c Mưc lưc Líi cam oan Líi c£m ỡn Mửc lửc M Ưu Kián thực chuân b 1.1 1.2 CĂc hm Nevanlinna v hai nh lỵ cỡ b£n 1.1.1 C¡c h m Nevanlinna v tẵnh chĐt 1.1.2 Hai nh lỵ cỡ bÊn 1.1.3 Quan hằ số khuyát v im bọ ữủc Picard Hm ám m rởng v mởt số tẵnh chĐt 1.2.1 Mët sè kh¡i ni»m 1.2.2 Mët sè t½nh chĐt cừa hm ám m rởng i ii iii 10 V§n à nhĐt 17 Kát luên Ti liằu tham khÊo 40 42 2.1 2.2 Mët sè kh¡i ni»m v k¸t qu£ chu©n bà 17 CĂc nh lỵ nh§t 22 iii c Mð ¦u Cho f l mởt hm phƠn hẳnh trản mt phng phực C, a ∈ C ∪ {∞} Ta k½ hi»u E f (a) = f −1 (a) = {z ∈ C : f (z) = a} Ef (a) = {(z, n) ∈ C × N : f (z) = a, ordf −a (z) = n} Cho f v g l hai h m ph¥n hẳnh trản mt phng phực C v a l mởt giĂ tr phực hỳu hÔn hoc Ta nõi f v g chung a kº c£ bëi (vi¸t ngn gån l CM) n¸u Ef (a) = Eg (a) Ta nâi f v g chung a khæng kº bëi (vi¸t ngn gån l IM) n¸u E f (a) = E g (a) Cho f l mët h m ph¥n hẳnh, mởt hm phƠn hẳnh a(z) ữủc gồi l hm nhä cõa f n¸u T (r, a) = o(T (r, f )) Vỵi h m nhä a(z), ta nâi f, g chung h m a(z) CM (ho°c IM) n¸u h m f − a v g − a chung gi¡ trà CM (IM tữỡng ựng) Nôm 1977, Rubel v Yang  chựng minh: Cho f l mởt hm nguyản khĂc hơng, náu f v f chung hai giĂ tr hỳu hÔn phƠn biằt a v b k cÊ thẳ f = f Nôm 1979, Mues v Steinmetz ([14])  chựng minh kát quÊ tữỡng tỹ thay i·u ki»n CM bði IM Tø nhúng cæng trẳnh ny cừa cĂc tĂc giÊ Â nÊy sinh vĐn à nhĐt cho cĂc hm phƠn hẳnh vợi Ôo h m cõa chóng N«m 2008, T Zhang v W L u ([16])  xem xt vĐn à nhĐt cho lụy thứa bêc n cừa mởt hm phƠn hẳnh chung mởt hm nhọ vợi Ôo hm cĐp k cừa nõ v thu ữủc mởt số kát quÊ và vĐn à ny Cử th, cĂc tĂc giÊ Â ữa mởt số iÃu kiằn Ôi số cĂc hm f n − a v f (k) − a c v chung gi¡ trà khæng kº bëi ho°c kº c£ bëi th¼ f n = f (k) , â a(z) l mët h m nhä K½ hi»u n0i Mj (f ) = (f ) v P [f ] = f (1) t X n1i f (k) nki Mj (f ) j=1 GƯn Ơy cõ nhiÃu tĂc giÊ Â m rởng nghiản cựu cừa T Zhang v W L u cho c¡c tr÷íng hđp: thay thá lụy thứa bêc n cừa hm phƠn hẳnh f k¸t qu£ T Zhang v W L u cõa bi a thực bêc n cừa hm õ; thay thá Ôo hm cĐp k cừa hm phƠn hẳnh f bi mởt ỡn thực chựa cĂc Ôo hm cĂc cĐp Mj [f ] hoc a thực chựa cĂc Ôo hm P [f ] cừa hm õ Mửc ẵch chẵnh cừa luên vôn l giợi thiằu mởt số nghiản cựu gƯn Ơy cõa T Zhang, W L u, A Banerjee, B Chakraborty v mởt số tĂc giÊ khĂc theo hữợng nghiản cựu nõi trản Luên vôn chia lm hai chữỡng, Chữỡng chúng tổi trẳnh by mởt số kián thực cƯn chuân b, cƯn thiát cho cĂc nởi dung cừa luên vôn Chữỡng l chữỡng chẵnh cừa luên vôn, chúng tổi trẳnh by mởt số kát quÊ và vĐn à nhĐt cho cĂc hm phƠn hẳnh lụy thỳa cừa mởt hm phƠn hẳnh cõ chung mởt giĂ tr hay h m nhä vỵi ìn thùc ho°c a thùc vi phƠn cừa nõ ThĂi Nguyản, thĂng nôm 2020 Ngữới viát luên vôn Lả Vôn Chữỡng c Chữỡng Kián thực chuân b 1.1 CĂc hm Nevanlinna v hai nh lỵ cỡ bÊn Trong lỵ thuyát phƠn bố giĂ tr Nevanlinna, cĂc hm xĐp x, hm ám, hm c trững cừa mởt hm phƠn hẳnh ữủc gồi l cĂc h m Nevanlinna, âng mët vai trá quan trång, xuy¶n suèt lỵ thuyát Trong phƯn ny chúng tổi giợi thiằu cĂc hm cỡ bÊn ny v tẵnh chĐt cừa chúng 1.1.1 CĂc hm Nevanlinna v tẵnh chĐt Cho f l mởt hm phƠn hẳnh trản mt phực C v r > l mởt số thỹc dữỡng nh nghắa 1.1.1 Hm m(r, f ) = 2π Z2π log+ f −a f −a f − a â cf l h» sè kh¡c nhä nh§t khai triºn Taylor cừa hm f lƠn cên im 0, c1 /(f − a) l h» sè kh¡c nhä nh§t khai triºn Taylor cõa h m 1/(f − a) lƠn cên im Nhên xt 1.1.6 Ta thữớng dũng (2) cừa nh lỵ cỡ bÊn thự nhĐt dữợi dÔng = T (r, f ) + O(1), f a õ O(1) l Ôi lữủng b chn r → ∞ T r, Cho f l mët h m phƠn hẳnh, r > Kẵ hiằu 1 Nram (r, f ) = N r, + 2N (r, f ) − N (r, f ) f v gåi l h m gi¡ trà ph¥n nh¡nh cõa h m f Hin nhiản Nram (r, f ) nh lỵ 1.1.7 ( nh lỵ cỡ bÊn thự hai) GiÊ sỷ f l hm phƠn hẳnh khĂc hơng trản C, a1 , , aq ∈ C, (q > 2) l cĂc hơng số phƠn biằt, õ vợi mội ε > 0, b§t ¯ng thùc q X (q − 1)T (r, f ) ≤ N r, + N (r, f ) − Nram (r, f ) + log T (r, f ) f − a j j=1 c + (1 + ε) log+ log T (r, f ) + O(1) q X ≤ N r, + N (r, f ) + log T (r, f ) f − a j j=1 + (1 + ε) log+ log T (r, f ) + O(1) úng vợi mồi r r0 nơm ngoi mởt têp E cõ ở o Lebesgue hỳu hÔn 1.1.3 Quan hằ số khuyát v im bọ ữủc Picard GiÊ sỷ f (z) l hm phƠn hẳnh trản C Ta kẵ hi»u 1 N (r, ) ) f −a f −a = − lim sup ; δf (a) = lim inf r→∞ T (r, f ) T (r, f ) r→∞ N (r, ) f −a Θf (a) = − lim sup ; T (r, f ) r→∞ 1 N (r, ) − N (r, ) f −a f −a θf (a) = lim inf r→∞ T (r, f ) m(r, ành ngh¾a 1.1.8 δf (a) ữủc gồi l số khuyát, f (a) gồi l số khuyát khổng k bởi, f (a) gồi l bêc cừa cừa số khuyát Nhên xt Náu f (z) = a vỉ nghi»m th¼ N (r, f −1 a ) = vỵi måi r suy δf (a) = Chng hÔn f (z) = ez thẳ δf (0) = 1 N¸u N (r, ) = o(T (r, f )) â δf (a) = Nhữ vêy số khuyát f a bơng số nghiằm cừa phữỡng trẳnh quĂ ẵt so vợi cĐp tông cừa nõ Vợi mội hm phƠn hẳnh f v a ∈ C, ta luæn câ δf (a) f (a) nh lỵ sau cho ta mởt tẵnh chĐt cừa số khuyát, thữớng ữủc gồi l bê · quan h» sè khuy¸t c ành lỵ 1.1.9 Cho f l hm phƠn hẳnh khĂc hơng trản C Khi õ têp hủp cĂc giĂ tr cừa a m Θf (a) > cịng lm l ¸m ữủc, ỗng thới ta cõ X X f (a) + θf (a) Θf (a) b a∈C b aC Hằ quÊ 1.1.10 ( nh lỵ Picard) GiÊ sỷ f l hm phƠn hẳnh trản C, náu f khổng nhªn gi¡ trà a1 , a2 , a3 ∈ C {} thẳ f l hm hơng Cho f l mởt hm phƠn hẳnh trản C Mởt phƯn tỷ a ∈ C ∪ {∞} ÷đc gåi l gi¡ trà bọ ữủc Picard cừa f náu a f (C), tực l phữỡng trẳnh f (z) = a khổng cõ nghiằm trản C ỵ rơng, náu a l mởt im bọ ữủc Picard thẳ N r, = 0, õ f (a) = Tứ nh lỵ Picard, ta d¹ f −a d ng suy ra: M»nh · 1.1.11 Mội hm phƠn hẳnh khĂc hơng trản C cõ nhiÃu nhĐt l hai im im bọ ữủc Picard, mội hm nguyản trản C cõ nhiÃu nhĐt mởt im bọ ữủc Picard 1.2 Hm ám m rởng v mởt số tẵnh chĐt 1.2.1 Mởt số khĂi niằm Vợi hm phƠn hẳnh f , siảu bêc cừa f , kỵ hiằu bði ρ2 (f ), ÷đc x¡c ành bði ρ2 (f ) = lim sup r→∞ log log T (r, f ) log r ành ngh¾a 1.2.1 Cho p l số nguyản dữỡng v a C {} (i) K½ hi»u N (r, a; f | ≥ p) l hm ám k cÊ tÔi cĂc a- im cừa f m câ bëi khỉng nhä hìn p (ii) K½ hi»u N (r, a; f ≥ p) l h m ¸m khỉng k tÔi cĂc a- im cừa f m cõ khỉng nhä hìn p c (iii) K½ hi»u N (r, a; f | ≤ p) l h m ¸m kº cÊ tÔi cĂc a- im cừa f m cõ khổng lợn hỡn p (iv) Kẵ hiằu N (r, a; f p) l hm ám khổng k tÔi c¡c a- iºm cõa f m câ bëi khỉng lỵn hìn p nh nghắa 1.2.2 Vợi a C {} v số nguyản dữỡng p, kẵ hiằu Np (r, a; f ) = N (r, a; f ) + N (r, a; f | ≥ 2) + · · · + N (r, a; f | ≥ p) Rã r ng N1 (r, a; f ) = N (r, a; f ) nh nghắa 1.2.3 Vợi a C {} v số nguyản dữỡng p, t p (a, f ) = − lim sup r→∞ Np (r, a; f ) T (r, f ) Dạ thĐy δ(a, f ) ≤ δp (a, f ) ≤ δp−1 (a, f ) ≤ ≤ δ2 (a, f ) ≤ δ1 (a, f ) = Θ(a, f ) nh nghắa 1.2.4 Cho hai số nguyản n, p, nh nghắa àp = min{n, p} v àp = p + − µp Khi â ta d¹ r ng kiºm chùng Np (r, 0; f n ) àp Nàp (r, 0; f ) nh nghắa 1.2.5 Cho f v g l hai hm phƠn hẳnh trản C v a C {} (i) Kỵ hiằu N L (r, a; f ) l h m ¸m kº cÊ tÔi cĂc a- im chung (cõ > 1) cõa f v g thäa m¢n bëi cõa a− iºm â èi vỵi f lỵn hìn èi vỵi g 1) (ii) Kỵ hiằu NE (r, a; f ) l hm ám khổng k tÔi cĂc a- im chung cừa f v g thọa mÂn cừa a im õ ối vợi f bơng ối vợi g v bơng c (2 (iii) Kỵ hiằu N E (r, a; f ) l hm ám khổng k tÔi cĂc a- im chung cõa f v g thäa m¢n bëi cõa a− iºm â ối vợi f bơng ối vợi g v lợn hỡn (2 1) Tữỡng tỹ, ta nh nghắa cĂc hm N L (r, a; g), NE (r, a; g), N E (r, a; g) ành ngh¾a 1.2.6 Cho f l mởt hm phƠn hẳnh, n0i, n1i, , nki l cĂc số nguyản khổng Ơm Biu diạn n0i Mj (f ) = (f ) f (1) n1i f (k) nki ÷đc gåi l ìn thùc vi phƠn sinh bi f vợi bêc dMj = d(Mj ) = k X nij i=0 v ë cao ΓMj = k X (i + 1)nij i=0 Têng P [f ] = t X Mj (f ) j=1 ÷đc gồi l a thực vi phƠn sinh bi f vợi bªc d(P ) = max{d(Mj ) : j t} v ë cao ΓP = max{ΓMj : j t} Sè d(P ) = max{d(Mj ) : j t} v k (bªc cao nhĐt cừa Ôo hm cừa f P [f ]) tữỡng ựng ữủc gồi l bêc thĐp v bêc cừa P [f ] P [f ] ữủc gồi l thuƯn nhĐt náu d(P ) = d(P ) P [f ] ữủc gồi l a thực vi phƠn tuyán tẵnh sinh bi f náu d(P ) = 1, ngữủc lÔi P [f ] ữủc gồi l khổng tuyán tẵnh c K½ hi»u Q = max{ΓMj − d(Mj ) : j t} = max{n1j + 2n2j + · · · + knkj : j t} Tữỡng tỹ, ta cụng cõ nh nghắa vợi ỡn thực vi ph¥n M [f ] : λ = ΓM − dM 1.2.2 Mởt số tẵnh chĐt cừa hm ám m rởng Trong phƯn ny, ta trẳnh by mởt số bờ à và tẵnh chĐt cừa hm ám m rởng Vợi F, G l hai hm phƠn hẳnh khĂc hơng, kỵ hiằu H l hm sau H= 2F F 00 − F0 F −1 − G00 2G0 − G0 G−1 (1.1) Bê · 1.2.7 ([2]) Vợi hm phƠn hẳnh f trản mt phng phực C, ta câ + δ2 (0, f ) ≥ 2Θ(0, f ) Chùng minh Ta câ 2N (r, 0; f ) N2 (r, 0; f ) − lim sup T (r, f ) T (r, f ) r→∞ r→∞ N2 (r, 0; f ) − 2N (r, 0; f ) ≤ lim sup T (r, f ) r→∞ ≤ 0, 2Θ(0, f ) − δ2 (0, f ) − = lim sup bê · ÷đc chùng minh Bê à 1.2.8 ([2]) Cho f l hm phƠn hẳnh khĂc hơng v M [f ] l ỡn thực vi phƠn câ bªc dM v ë cao ΓM Khi â T (r, M ) ≤ dM T (r, f ) + λN (r, ∞; f ) + S(r, f ) Bê · 1.2.9 ([2]) Ta câ N (r, 0; M ) ≤ T (r, M ) − dM T (r, f ) + dM N (r, 0; f ) + S(r, f ) 10 c Bê · 1.2.10 ([2]) Ta câ N (r, 0; M ) ≤ dM N (r, 0; f ) + λN (r, ∞; f ) + S(r, f ) Bê · 1.2.11 ([13]) Cho f l hm phƠn hẳnh khĂc hơng v t Pn i i=0 f R(f ) = Pm j j=0 bj f l hm hỳu t bĐt khÊ quy theo bián f vợi hằ số hơng số {ai } v {bj }, â an 6= v bm 6= Khi â ta câ T (r, R(f )) = pT (r, f ) + S(r, f ), â p = max{n, m} Bê · 1.2.12 ([2]) Ta câ N (r, ∞; M ) ≤ dM N (r, 0; f ) + λN (r, ∞; f ) + S(r, f ) f dM Chùng minh Gåi z0 l cüc iºm cõa f câ bªc t Khi â nâ l mët cüc im cừa d f dM vợi bêc n1 + 2n2 + · · · + knk = λ Gåi z0 l khỉng iºm cõa f câ bªc s Khi â l khổng im cừa d f dM vợi bêc nhiÃu nh§t l sdM Do â N (r, ∞; M ) ≤ dM N (r, 0; f ) + λN (r, ∞; f ) + S(r, f ) f dM Bờ à ữủc chựng minh Bờ à 1.2.13 ([2]) Vợi hai hm phƠn hẳnh khĂc hơng f1 v f2 bĐt ký ta câ Np (r, ∞; f1 f2 ) ≤ Np (r, ∞; f1 ) + Np (r, ∞; f2 ) Chùng minh Gåi z0 l mët cüc iºm cõa fi vợi bêc ti vợi i = 1, Khi õ, z0 l cỹc im cừa f1 f2 vợi bêc nhiÃu nhĐt t1 + t2 Trữớng hủp GiÊ sû t1 ≥ p v t2 ≥ p Khi â t1 + t2 p Do õ z0 ữủc tẵnh nhiÃu nhĐt p lƯn vá trĂi cừa hm ám trản, z0 ữủc im p + q lƯn vá phÊi cừa hm ám trản 11 c Tr÷íng hđp Gi£ sû t1 ≥ p v t2 < p Tr÷íng hđp 2.1 Gi£ sû t1 + t2 p Khi õ z0 ữủc ám nhiÃu nhĐt p vá trĂi cừa hm án trản nõ ữủc ám p + q lƯn vá phÊi cừa hm ám Trữớng hủp 2.2 GiÊ sỷ t1 + t2 < p Trữớng hủp ny xuĐt hiằn t2 ¥m tùc l z0 l khỉng iºm cõa f2 Khi õ z0 ữủc ám nhiÃu nhĐt max{0, t1 + t2 } ð v¸ tr¡i cõa h m ¸n trản nõ ữủc ám p lƯn vá phÊi cừa hm ám Trữớng hủp GiÊ sỷ t1 < p v t2 ≥ p Khi â t1 + t2 p Trữớng hủp ny cõ ữủc phƠn tẵch nhữ  lm Trữớng hủp Trữớng hủp Gi£ sû t1 < p v t2 < p Tr÷íng hđp 4.1 Gi£ sû t1 + t2 ≥ p Khi õ z0 ữủc ám nhiÃu nhĐt p lƯn vá trĂi nõ ữủc ám max{0, t1 } + max{0, t2 } lƯn vá phÊi cừa biu thực trản Trữớng hủp 4.2 GiÊ sỷ t1 + t2 < p Khi õ z0 ữủc ám nhiÃu nhĐt max{0, t1 + t2 } lƯn nõ ữủc ¸m max{0, t1 } + max{0, t2 } ð v¸ phÊi cừa hm ám trản Kát hủp tĐt cÊ cĂc trữớng hủp ta suy kát luên cừa bờ à Bờ à 1.2.14 ([10]) Vợi hm phƠn hẳnh f ta câ Np (r, 0; f (k) ) ≤ Np+k (r, 0; f ) + kN (r, ∞; f ) + S(r, f ) Bê · 1.2.15 ([2]) Cho f l mởt hm phƠn hẳnh v M [f ] l mët ìn thùc vi ph¥n cõa f , â Np (r, 0; M [f ]) ≤ dM Np+k (r, 0; f ) + λN (r, ∞; f ) + S(r, f ) Chựng minh Ró rng vợi hm phƠn hẳnh f khĂc hơng bĐt ký, náu p q th¼ Np (r, f ) ≤ Nq (r, f ) 12 c Tiáp theo, kát hủp vợi Bờ à 1.2.13 v Bê · 1.2.14, ta thu ÷đc Np (r, 0; M [f ]) ≤ ≤ ≤ ≤ k X i=0 k X i=0 k X i=0 k X ni Np (r, 0; f (i) ) + S(r, f ) ni {Np+i (r, 0; f ) + iN (r, ∞; f )} + S(r, f ) ni Np+i (r, 0; f ) + λN (r, ∞; f )} + S(r, f ) ni Np+k (r, 0; f ) + λN (r, ∞; f )} + S(r, f ) i=0 ≤ dM Np+k (r, 0; f ) + λN (r, ∞; f )} + S(r, f ), i·u n y k²o theo k¸t luªn cõa bê · Bê · 1.2.16 ([7]) Cho p, n l hai số nguyản dữỡng Khi õ vợi > ta câ Np (r, 0; f n ) ≤ (n − nδp (0, f ) + ε)T (r, f ) Chựng minh Ta thĐy rơng Np (r, 0; f n ) ≤ nNp (r, 0; f ) Tø nh nghắa hm p (0, f ), vợi mồi n ta câ δp (0, f ) − Np (r, 0; f ) ε + , T (r, f ) n thay thá vo bĐt ng thực trản ta cõ kát luên cừa Bờ à Bờ à 1.2.17 ([12]) Vợi hm phƠn hẳnh f v a thực vi phƠn P [f ] sinh bði f ta câ N (r, ∞; P ) ≤ d(P )N (r, ∞; f ) + (ΓP − d(P ))N (r, ∞; f ) Bê à 1.2.18 ([6]) Vợi hm phƠn hẳnh f v a thùc vi ph¥n P [f ] sinh bði f ta câ P [f ] 1 ≤ (d(P ) − d(P ))m r, + S(r, f ) m r, f f d(P ) 13 c Bê · 1.2.19 ([3]) Gi£ sû P [f ] l a thùc vi phƠn sinh bi hm phƠn hẳnh khĂc hơng f Khi â P [f ] N r, ∞; f d(P ) ≤ (ΓP − d(P ))N (r, ∞; f ) + (d(P ) − d(P ))N (r, 0; f | ≥ k + 1) + QN (r, 0; f | ≥ k + 1) + d(P )N (r, 0; f | ≤ k) + S(r, f ) Bê · 1.2.20 ([7]) Cho P [f ] l a thùc vi phƠn cừa hm phƠn hẳnh f , õ N (r, 0; P [f ]) ≤ (ΓP − d(P ))N (r, ∞; f ) + d(P )N (r, 0; f ) + (d(P ) − d(P )) m(r, ) + T (r, f ) + S(r, f ) f Chùng minh Tø Bê · 1.2.18, ta câ d(P )m r, 1 ≤ m r, + S(r, f ) f P [f ] (1.2) Sû dưng bê · 1.2.17, 1.2.18 v b§t ¯ng thùc (1.2) ta câ 1 + O(1) p 1 ≤ T (r, P [f ]) − d(P )m r, + S(r, f ) f 1 ≤ (d(P ) − d(P ))m r, + d(P )m(r, f ) + d(P )N (r, ∞; f ) f 1 + S(r, f ) + (ΓP − d(P ))N (r, ∞; f ) − d(P )m r, f ≤ (ΓP − d(P ))N (r, ∞; f ) + d(P )N (r, 0; f ) 1 + (d(P ) − d(P )) m r, + T (r, f ) + S(r, f ) f N (r, 0; P [f ]) = T (r, P [f ]) − m r, i·u ph£i chùng minh Bê · 1.2.21 ([7]) Cho j v p l hai sè nguy¶n dữỡng thọa mÂn j p+1 GiÊ sỷ P [f ] l a thực vi phƠn vợi P > (k + 1)d(P ) − (p + 1) Khi â N (j+ΓP −d(P ) r, 0; f d(P ) ≤ N (j (r, 0; P [f ]) 14 c Chùng minh Gi£ sû z0 l khỉng iºm cõa f vỵi bêc t Náu td(P ) < j + P d(P ) thẳ bờ à l hin nhiản Do õ ta gi£ sû td(P ) ≥ j + ΓP − d(P ) X²t hai tr÷íng hđp: Tr÷íng hđp Gi£ sû t ≥ k + Khi â z0 l khổng im cừa P [f ] cõ bêc ẵt nhĐt l min{n0j t + n1j (t − 1) + · · · + nkj (t − k)} j = min{tdMj − (ΓMj − dMj )} j = (t + 1)d(P ) − max{ΓMj } j ≥ (j + ΓP − d(P )) + d(P ) − ΓP ≥ j, i·u ny suy kát luên cừa bờ à Trữớng hủp Ti¸p theo ta gi£ sû t ≤ k Khi â kd(P ) ≥ td(P ) ≥ j + ΓP − d(P ) ≥ p + + ΓP − d(P ), mƠu thuăn vẳ P > (k + 1)d(P ) − (p + 1) Bê · 1.2.22 ([7]) Cho j v p l hai số nguyản dữỡng thọa mÂn j ≥ p+1 Gi£ sû P [f ] l a thực vi phƠn thuƯn nhĐt vợi P > (k + 1)d(P ) − (p + 1) Khi â Np (r, 0; P [f ]) ≤ Np+ΓP −d(P ) (r, 0; f d(P ) ) + (ΓP − d(P ))N (r, ∞; f ) + S(r, f ) 15 c ... Luên vôn chia lm hai chữỡng, Chữỡng chúng tổi trẳnh by mởt số kián thực cƯn chuân b, cƯn thiát cho cĂc nởi dung cừa luên vôn Chữỡng l chữỡng chẵnh cừa luên vôn, chúng tổi trẳnh by mởt số kát quÊ... Nevanlinna, õng mởt vai trỏ quan trồng, xuyản suốt lỵ thuyát Trong phƯn ny chúng tổi giợi thiằu cĂc hm cỡ bÊn ny v tẵnh chĐt cừa chúng 1.1.1 CĂc hm Nevanlinna v tẵnh chĐt Cho f l mởt hm phƠn hẳnh trản... I HÅC THI NGUYN TR×ÍNG I HÅC S× PHM L VN CH×ÌNG VN DUY NHT CÕA LƠY THØA MËT HM PH N HNH VỴI A THÙC O HM CÕA CHĨNG Chuyản ngnh : TON GII TCH