ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HOÀNG HÀ MY TẬP IĐÊAN NGUYÊN TỐ LIÊN KẾT CỦA LŨY THỪA IĐÊAN CẠNH LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN 2019 c ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HOÀN[.]
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HOÀNG HÀ MY TẬP IĐÊAN NGUYÊN TỐ LIÊN KẾT CỦA LŨY THỪA IĐÊAN CẠNH LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - 2019 c ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HOÀNG HÀ MY TẬP IĐÊAN NGUYÊN TỐ LIÊN KẾT CỦA LŨY THỪA IĐÊAN CẠNH Ngành: Đại số lý thuyết số Mã số: 84 601 04 LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: PGS TS NGUYỄN THỊ DUNG THÁI NGUYÊN - 2019 c Lời cam đoan Tôi xin cam đoan luận văn kết nghiên cứu riêng hướng dẫn PGS TS Nguyễn Thị Dung, kết nghiên cứu hoàn toàn trung thực không trùng lặp với luận văn trước Các thông tin, tài liệu luận văn ghi rõ nguồn gốc Thái Nguyên, tháng năm 2019 Học viên HOÀNG HÀ MY Xác nhận Xác nhận khoa chuyên môn người hướng dẫn khoa học PGS TS NGUYỄN THỊ DUNG i c Lời cảm ơn Luận văn "Tập iđêan nguyên tố liên kết lũy thừa iđêan cạnh" thực Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên hoàn thành hướng dẫn nhiệt tình, tận tụy PGS TS Nguyễn Thị Dung Tơi xin bảy tỏ lịng biết ơn chân thành sâu sắc tới người hướng dẫn khoa học Tơi xin trân trọng cảm ơn Ban giám hiệu Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái ngun, Ban chủ nhiệm Khoa Tốn thầy khoa Toán tham gia giảng dạy tạo điều kiện tốt để học tập nghiên cứu Nhân dịp này, xin gửi lời cảm ơn tới gia đình, bạn bè, đồng nghiệp động viên giúp đỡ tơi nhiều q trình học tập Thái Nguyên, tháng năm 2019 Học viên HOÀNG HÀ MY ii c Mục lục Lời cam đoan i Lời cảm ơn ii Mở đầu 1 Kiến thức chuẩn bị 1.1 Tập iđêan nguyên tố liên kết 1.1.1 Iđêan đơn thức 1.1.2 Đồ thị iđêan cạnh Bao đóng nguyên 13 1.2 Iđêan nguyên tố liên kết lũy thừa iđêan cạnh 16 2.1 Matching Factor-critical 16 2.2 Sự bảo toàn tập iđêan nguyên tố liên kết 20 2.3 Bao đóng nguyên tập ổn định 37 Tài liệu tham khảo 43 iii c Mở đầu Cho R = K[x1 , , xn ] vành đa thức n biến trường K G = (V, E) đồ thị với tập đỉnh V = V (G) = {x1 , , xn } tập cạnh E = E(G) Ta giả thiết đồ thị G khơng có đỉnh lập, nghĩa tất đỉnh G nằm cạnh Iđêan cạnh G, kí hiệu I = IG , iđêan R sinh tập đơn thức khơng chứa bình phương xi x j cho {xi , x j } ∈ E Một vấn đề nhiều người quan tâm tìm tập iđêan nguyên tố liên kết lũy thừa iđêan cạnh, nghĩa tập Ass(R/I k ) = {p ⊂ R | p iđêan nguyên tố p = (I k : c) với c ∈ R}, k ≥ Ta biết I iđêan đơn thức vành đa thức R nên iđêan nguyên tố liên kết iđêan đơn thức sinh tập tập biến Các iđêan nguyên tố liên kết với I tương ứng với tập phủ đỉnh tối thiểu đồ thị G Min(R/I) = Ass(R/I), Min(R/I) tập iđêan nguyên tố tối thiểu I Đối với iđêan cạnh, ta ln có Ass(R/I) ⊂ Ass(R/I k ) với số nguyên k Trong trường hợp dấu xảy với k I gọi xoắn tự chuẩn tắc Trong [1], M Brodmann chứng minh tập Ass(R/I k ) ổn định với k đủ lớn, nghĩa tồn số nguyên dương N1 cho Ass(R/I k ) = Ass(R/I N1 ), với k ≥ N1 , số N1 nhỏ thỏa mãn tính chất gọi số ổn định I Mặc dù người ta chứng minh Ass(R/I k ) ổn định với k đủ lớn, dáng điệu Ass(R/I k ) với k nhỏ lại thất thường Hơn việc tìm tập ổn định Ass(R/I N1 ) phức tạp điều iđêan nguyên tố p liên kết với lũy thừa nhỏ I lại không thiết liên kết với lũy thừa lớn I Đối với iđêan I, p ∈ Ass(R/I k ) kéo theo p ∈ Ass(R/I k+1 ) với k ≥ ta nói Ass(R/I k ) tạo thành dãy tăng Tuy nhiên, lớp iđêan thỏa mãn điều kiện c Kí hiệu I k bao đóng nguyên I k Iđêan I gọi chuẩn tắc I k = I k với k ≥ Theo trên, lớp iđêan I cho Ass(R/I k ) thỏa mãn điều kiện dãy tăng Tuy nhiên, điều kiện cho bao đóng nguyên, nghĩa I iđêan vành giao hoán Noether R, ta có Ass(R/I k ) ⊆ Ass(R/I k+1 ) với k đủ lớn (xem Ratliff [11]), nghĩa tồn số nguyên dương N2 cho Ass(R/I k ) ⊆ Ass(R/I N2 ) với k > N2 Nhiều tính chất đẹp tập Ass(R/I N2 ) nghiên cứu [5] Mục đích luận văn trình bày lại số kết tập iđêan nguyên tố liên kết lũy thừa iđêan cạnh viết J Martinez-Bernal, S Morey R Villarreal báo [9] Trong báo lý thuyết matching tối ưu tổ hợp, họ chứng minh hai kết chính: - Tập iđêan nguyên tố liên kết lũy thừa iđêan cạnh tạo thành dãy tăng - Nhìn chung vành giao hoán Noether, Ass(R/I N2 ) ⊂ Ass(R/I N1 ), với iđêan cạnh tập ổn định nhau, nghĩa Ass(R/I k ) = Ass(R/I k ) với k ≥ max{N1 , N2 } Ngoài phần Mở đầu, Kết luận Tài liệu tham khảo nội dung luận văn gồm hai chương: Chương phần Kiến thức chuẩn bị Trong chương này, ta nhắc lại số kiến thức tập iđêan nguyên tố liên kết, iđêan đơn thức, đồ thị iđêan cạnh bao đóng nguyên Chương phần nội dung luận văn, trình bày kết báo [9] iđêan nguyên tố liên kết lũy thừa iđêan cạnh Ở chương này, ta tìm hiểu ba phần: Matching Factor-critical, bảo toàn tập iđêan nguyên tố liên kết, bao đóng nguyên tập ổn định Phần kết luận luận văn tổng kết số công việc thực c Chương Kiến thức chuẩn bị 1.1 Tập iđêan nguyên tố liên kết Cho R vành giao hoán, Noether, I iđêan R Các kiến thức mục viết dựa theo [8] [12] Định nghĩa 1.1.1 ([12, Định lý 3.52], [12, Định nghĩa 4.1], [12, Bổ đề 4.5]) (i) Giả sử I 6= R Khi tập Var(I) iđêan nguyên tố p R chứa I có phần tử tối thiểu theo quan hệ bao hàm gọi iđêan nguyên tố tối thiểu I Tập tất iđêan nguyên tố tối thiểu I ký hiệu Min(R/I) (ii) Cho q iđêan R Ta nói q nguyên sơ q 6= R ab ∈ q, a ∈ /q √ kéo theo b ∈ q với a, b ∈ R √ (iii) Giả sử q nguyên sơ Khi p := q iđêan nguyên tố R ta gọi q p-nguyên sơ Hơn p iđêan nguyên tố nhỏ R chứa q, nghĩa iđêan nguyên tố p R mà chứa q chứa p Vì p iđêan nguyên tố tối thiểu q Một phân tích I = q1 ∩ ∩ qn , qi pi -nguyên sơ, gọi phân tích nguyên sơ I Phân tích nguyên sơ I gọi phân tích nguyên sơ thu gọn qi không thừa (tức bỏ qi phân tích trên) pi đơi phân biệt Ví dụ 1.1.2 Trong vành số nguyên Z, iđêan nguyên sơ iđêan có dạng mZ với m lũy thừa số nguyên tố c Nếu q1 , q2 hai iđêan p-nguyên sơ R q1 ∩ q2 iđêan p-nguyên sơ R Vì từ phân tích ngun sơ I ta đưa phân tích thu gọn cách bỏ thành phần nguyên sơ thừa ghép thành phần nguyên sơ có Hệ 1.1.3 ([12, Hệ 4.18], Định lý thứ nhất) Giả sử I = q1 ∩ ∩ qn = q01 ∩ ∩ q0m hai phân tích ngun sơ thu gọn I, qi pi -nguyên sơ q0i p0i -nguyên sơ Khi n = m {p1 , , pn } = {p01 , , p0n } Giả sử I = q1 ∩ ∩ qn phân tích nguyên sơ thu gọn I, qi pi -nguyên sơ Theo hệ trên, tập {p1 , , pn } xác định (không phụ thuộc vào phân tích nguyên sơ thu gọn I) gọi tập iđêan nguyên tố liên kết I, ký hiệu Ass(R/I) (xem [12, Định nghĩa 4.19]) Nhìn chung thành phần ngun sơ qi khơng xác định nhất, pi tối thiểu qi Định lý 1.1.4 ([12, Định lý 4.29], Định lý thứ hai) Giả sử I = q1 ∩ ∩ qn = q01 ∩ ∩ q0n hai phân tích ngun sơ thu gọn I, qi pi -nguyên sơ q0i p0i -nguyên sơ Khi pi tối thiểu tập {p1 , , pn } qi = q0i Theo định lý trên, thành phần nguyên sơ qi ứng với iđêan nguyên tố liên kết tối thiểu pi xác định nhất, ta gọi chúng thành phần ngun sơ lập, cịn lại gọi thành phần nguyên sơ nhúng I Nghĩa ta mơ tả lại phân tích ngun sơ I sau: I = q1 ∩ ∩ qt ∩ Q1 ∩ ∩ Qs , √ √ qi ∈ Min(R/I), với i = 1, ,t xác định Q j với j = 1, , s iđêan nguyên tố nhúng Ví dụ 1.1.5 Cho vành R = K[x, y, z] I = (x2 , y2 , xyz) iđêan R Khi ta có phân tích ngun sơ I I = (x2 , y2 , x) ∩ (x2 , y2 , y) ∩ (x2 , y2 , z) = (x, y2 ) ∩ (x2 , y) ∩ (x2 , y2 , z), c √ đặt q1 = (x, y2 ), q2 = (x2 , y), q3 = (x2 , y2 , z) Ta có q1 = (x, y) = p1 , √ √ q2 = (x, y) = p2 , q3 = (x, y, z) = p3 qi pi -nguyên sơ, với i = 1, 2, √ Đặt q01 = q1 ∩ q2 = (x2 , xy, x2 y2 , y2 ) = (x2 , xy, y2 ) Khi q01 = (x, y) = p1 Suy I = q01 ∩ q3 phân tích nguyên sơ thu gọn I tập iđêan nguyên tố liên kết Ass(R/I) = {p1 , p3 } xác định Mặt khác, p1 ⊂ p3 nên tập Ass(R/I) p1 iđêan ngun tố lập, p3 iđêan nguyên tố nhúng Do q01 xác định q3 chưa xác định Thật vậy, tồn iđêan √ q03 = (x2 , y2 , z2 , xyz) cho q01 ∩ q03 = I mà q03 = (x, y, z) = p3 Rõ ràng q03 p3 -nguyên sơ q3 ( q03 Kết sau cho ta thấy iđêan nguyên tố liên kết bảo tồn qua địa phương hóa Định lý 1.1.6 [8, Định lý 6.2] Giả sử S ⊂ R tập nhân đóng N RS mơđun Xem Spec(RS ) tập Spec(R), ta có AssR (N) = AssRS (N) Nếu R Noether với R-mơđun M ta có Ass(MS ) = Ass(M) ∩ Spec(RS ) Từ kết trên, ta thấy iđêan nguyên tố p R iđêan nguyên tố liên kết I tồn phần tử c ∈ R cho p = (I : c) = {r ∈ R | rc ∈ I} (xem [12, Định lý 4.17]) Vì Ass(R/I k ) = {p ⊆ R | p ∈ Spec R tồn c ∈ R cho p = (I k : c)} Nhìn chung, ta ln có Min(R/I) ⊆ Ass(R/I k ) Nếu trường hợp dấu xảy với k I xoắn tự chuẩn tắc Trong [1], Brodmann R vành Noether I iđêan R tập Ass(R/I k ) ổn định k đủ lớn Nghĩa tồn số nguyên dương N1 cho Ass(R/I k ) = Ass(R/I N1 ) với k > N1 Số N1 nhỏ thỏa mãn tính chất số ổn định I Mặc dù biết tập Ass(R/I k ) ổn định k đủ lớn, dáng điệu k đủ nhỏ biết đến Việc tìm số N1 xác định tập ổn định Ass(R/I N1 ) phức tạp iđêan nguyên tố p liên kết với lũy thừa nhỏ I khơng thiết lại liên kết với lũy thừa lớn I Khi iđêan I cho p ∈ Ass(R/I k ) kéo theo p ∈ Ass(R/I k+1 ) với k > tập Ass(R/I k ) thỏa mãn điều kiện dãy tăng Mặc dù coi đẹp lớp iđêan thỏa c ... kiến thức tập iđêan nguyên tố liên kết, iđêan đơn thức, đồ thị iđêan cạnh bao đóng ngun Chương phần nội dung luận văn, trình bày kết báo [9] iđêan nguyên tố liên kết lũy thừa iđêan cạnh Ở chương... IGk Rõ ràng I = IG iđêan cạnh ta có: iđêan nguyên tố liên kết I iđêan đơn thức nguyên tố sinh tập tập biến; iđêan nguyên tố liên kết tập Ass(R/I) tương ứng với tập phủ đỉnh tối thiểu đồ thị G;... Factor-critical, bảo toàn tập iđêan nguyên tố liên kết, bao đóng nguyên tập ổn định Phần kết luận luận văn tổng kết số công việc thực c Chương Kiến thức chuẩn bị 1.1 Tập iđêan nguyên tố liên kết Cho R vành