��I HÅC TH�I NGUY�N TR×ÍNG ��I HÅC S× PH�M Teui VONGDALA T�P DUY NH�T CHO C�C H�M PH�N H�NH VÎI GI� TRÀ KHUY�T LU�N V�N TH�C S� TO�N HÅC TH�I NGUY�N 2015 c ��I HÅC TH�I NGUY�N TR×ÍNG ��I HÅC S× PH�M T[.]
I HÅC THI NGUYN TR×ÍNG I HÅC S× PHM Teui VONGDALA TP DUY NHT CHO CC HM PH N HNH VỴI GI TRÀ KHUYT LUN VN THC S TON HÅC THI NGUYN - 2015 c I HÅC THI NGUYN TR×ÍNG I HÅC S× PHM Teui VONGDALA TP DUY NHT CHO CC HM PHN HNH VẻI GI TR KHUYT Chuyản ngnh: ToĂn giÊi tẵch M số: 60.46.01.02 LUN VN THC S TON HC Ngữới hữợng dăn khoa hồc: PGS.TS H TRN PHìèNG THI NGUYN - 2015 c Líi cam oan i B£n luên vôn ny l sỹ nghiản cựu ởc lêp cừa tổi dữợi sỹ hữợng dăn cừa PGS.TS H TrƯn Phữỡng, cĂc kát quÊ luên vôn chữa tứng ữủc cổng bè c¡c cỉng tr¼nh cõa c¡c t¡c gi£ kh¡c Viằt Nam Hồc viản Teui VONGDALA XĂc nhên cừa trững khoa ToĂn XĂc nhên cừa ngữới hữợng dăn khoa hồc PGS.TS H TrƯn Phữỡng c Lới cÊm ỡn ii Luên vôn ữủc thỹc hiằn v hon thnh tÔi trữớng Ôi hồc Sữ phÔm ThĂi Nguyản dữợi sỹ hữợng dăn khoa hồc cừa PGS.TS H TrƯn Phữỡng Tổi xin by tọ lỏng biát ỡn vổ hÔn tợi PGS.TS H TrƯn Phữỡng - ngữới  tên tẳnh dẳu dưt tổi tứ nhỳng bữợc chêp nhỳng Ưu tiản trản ữớng nghiản cựu khoa hồc vợi tĐt cÊ niÃm say mả khoa hồc v tƠm huyát cừa ngữới thƯy Tổi cụng chƠn th nh c£m ìn c¡c th¦y Vi»n To¡n håc, c¡c thƯy cổ khoa ToĂn - Trữớng Ôi hồc Sữ phÔm ThĂi Nguyản  tên tẳnh giÊng dÔy trang b cho tổi nhỳng kián thực cỡ s trản ữớng nghiản cựu khoa hồc Tổi cụng xin chƠn thnh cÊm ỡn cĂc thƯy cổ Phỏng o tÔo Ôi hồc Sữ phÔm ThĂi Nguyản  tÔo mồi iÃu kiằn cho tỉi v· t i li»u v thõ tưc h nh ch½nh º tổi hon thnh bÊn luên vôn ny Tổi xin by tọ lỏng biát ỡn sƠu sưc tợi nhỳng ngữới thƠn gia ẳnh cừa mẳnh Nhỳng ngữới luổn ởng viản chia s´ khâ kh«n v ln mong mäi tỉi th nh cổng Tổi cụng gỷi lới cÊm ỡn án cĂc bÔn lợp Cao hồc ToĂn K21,  ởng viản giúp ù tổi quĂ trẳnh hồc têp v lm luên vôn BÊn luên vôn khổng th trĂnh khọi nhỳng thiáu sõt, tĂc giÊ rĐt mong nhên ữủc sỹ ch bÊo tên tẳnh cừa cĂc thƯy cổ v bÔn b ỗng nghiằp ThĂi Nguyản, thĂng nôm 2015 TĂc giÊ luên v«n Teui VONGDALA c iii Mưc lưc MÐ U 1 Mởt số kián thực cỡ bÊn lỵ thuyát Nevanlinna 1.1 CĂc hm Nevanlinna v tẵnh chĐt 1.2 C¡c ành lỵ cỡ bÊn 1.2.1 Cổng thực Jensen v nh lỵ cỡ thự nhĐt 1.2.2 nh lỵ cỡ bÊn thự hai 8 10 XĂc nh nhĐt hm phƠn hẳnh vợi iÃu kiằn chựa giĂ tr khuyát 16 2.1 Hm phƠn hẳnh chung gi¡ trà 2.1.1 C¡c kh¡i ni»m mð ¦u 2.1.2 Mët sè tẵnh chĐt 2.2 XĂc nh hm phƠn hẳnh bi iÃu kiằn Ôi sè chùa gi¡ trà khuy¸t 16 16 20 27 Kát luên 43 Ti liằu tham kh£o 43 c MÐ U N«m 1926, R Nevanlinna ữủc chựng tọ mởt hm phƠn hẳnh trản mt phng phực C ữủc xĂc nh mởt cĂch nhĐt bi Ênh ngữủc khổng tẵnh cừa phƠn biằt cĂc giĂ tr Cổng trẳnh ny cừa ặng ữủc xem l nguỗn cho cĂc vĐn à nghiản cựu và têp xĂc nh nhĐt Và sau, viằc nghiản cựu sỹ xĂc nh cĂc hm phƠn hẳnh bi Ênh ngữủc cừa mởt têp hỳu hÔn phƯn tỷ  thu hút ữủc sỹ quan tƠm cừa nhiÃu nh toĂn hồc v ngoi nữợc Nôm 1977, Gross ([4]) à xuĐt nghiản cựu vĐn à xĂc nh nhĐt hm phƠn hẳnh (hm nguyản) bi Ênh ngữủc cừa mởt têp hỳu hÔn Khi nghiản cựu vĐn à cừa Gross, nôm 1996 H Yi ([11]) chựng minh hai hm phƠn hẳnh phÊi trũng náu chúng chung têp S = {z : z n + az n−m + b = 0}, õ m, n l hai số nguyản dữỡng cho m v n khổng cõ ữợc số chung, n > 2m + (m ≥ 2) v a, b l cĂc hơng số khĂc khổng cho phữỡng trẳnh zn + azn−m + b = khæng câ nghi»m bëi Nôm 1998, Fang v Hua ([3])  chựng minh: náu hai hm phƠn hẳnh f v g thọa mÂn (, f ) > 11 12 , Θ(∞, g) > 11 12 v Ef (S) = Eg (S) K¸t qu£ trản cừa Fang v Hua cho thĐy mởt iÃu kiằn Ôi số f g, õ iÃu kiằn Ôi số cõ chựa iÃu kiằn và số khuyát tÔi ∞ V· sau câ nhi·u nh to¡n håc ti¸p tưc m rởng theo hữợng nghiản cựu ny vợi mong muốn tẳm cĂc iÃu kiằn Ôi số mợi cõ chựa số khuyát hai hm phƠn hẳnh trũng Chng hÔn, Lahiri ([5]), Lahiri v Banerjee ([6]), A Banerjee v S Majumder ([1, 2]) Vợi mong muốn tẳm hiu vĐn à hm phƠn hẳnh ữủc xĂc nh mởt cĂch nhĐt bi iÃu kiằn Ôi số cõ chựa giĂ tr khuyát, chúng tổi chồn à ti Têp nhĐt cho cĂc hm phƠn hẳnh vợi giĂ tr thẳ f g , â S = {z : z − z − = 0} c Möc ẵch chẵnh cừa luên vôn l trẳnh by mởt số kát quÊ ữủc chựng minh nôm 2013 bi A Banerjee v S Majumder [1] v [2] Luên vôn ny gỗm cõ hai chữỡng nhữ sau: Chữỡng 1: Mởt số kián thực cỡ s lỵ thuyát Nevanlinna Trong chữỡng ny chúng tổi trẳnh by mởt số kián thực cỡ bÊn lỵ thuyát phƠn bố giĂ tr Nevanlinna cho cĂc hm phƠn hẳnh v mởt số khĂi niằm v kẵ hiằu sỷ dửng Chữỡng Chữỡng 2: Têp giĂ tr nhĐt cho cĂc hm phƠn hẳnh vợi giĂ tr khuyát Ơy l chữỡng chẵnh cừa luên vôn, chúng tổi trẳnh by lÔi mởt số kát quÊ nghiản cùu cõa A Banerjee v S Majumder v· i·u ki»n Ôi số cõ chựa giĂ tr khuyát hai hm phƠn hẳnh l bơng khuyát c Chữỡng Mởt số kián thực cỡ bÊn lỵ thuyát Nevanlinna 1.1 CĂc hm Nevanlinna v tẵnh chĐt Trữợc hát ta nhưc lÔi mởt số khĂi niằm và khổng im v cỹc im cừa hm phƠn hẳnh, thữớng ữủc sỷ dửng lỵ thuyát phƠn bố nh nghắa 1.1 Cho hm chnh hẳnh f trản mt phng phực C, im z0 ∈ C ÷đc gåi l khỉng iºm bëi k > cừa hm f (z) náu tỗn tÔi mởt hm chnh hẳnh h(z) khổng triằt tiảu lƠn cên U cừa z0 cho lƠn cên õ hm f ữủc biu diạn dữợi dÔng f (z) = (z z0 )k h(z) Nghắa l f (n)(z0) = 0, vợi méi n = 1, , k − v f (k)(z0) 6= nh nghắa 1.2 im z0 ữủc gồi l cüc iºm bëi k > cõa h m f (z) náu lƠn cên U cừa z0 hm f ữủc biu diạn dữợi dÔng h(z), õ hm h(z) l h m ch¿nh h¼nh khỉng f (z) = (z z0 )k triằt tiảu lƠn cên U cừa z0 Vợi mội số thỹc x > 0, kẵ hiằu: log+ x = max{log x, 0} c Khi â log x = log+ x − log+(1/x) Cho f l mởt hm phƠn hẳnh trản C, r > 0, vợi méi ϕ ∈ [0; 2π], ta câ f (reiϕ ) d ữủc gồi l hm xĐp x cừa hm f BƠy giớ ta nh nghắa cĂc hm ám Cho f l hm phƠn hẳnh v r > K½ hi»u n(r, 1/f ) l sè khỉng iºm kº c£ bëi, n(r, 1/f ) l sè khæng iºm khæng kº bëi cõa f , n(r, f ) l sè cüc iºm kº c£ bëi, n(r, f ) l sè cüc iºm khæng kº bëi cõa f Dr = {z ∈ C : |z| |r|} ành ngh¾a 1.4 H m N (r, ∞; f ) = N (r, f ) = Zr n(t, f ) − n(0, f ) dt + n(0, f ) log r t ÷đc gåi l h m ¸m kº c£ bëi cõa f (cán gồi l hm ám tÔi cĂc cỹc im) Hm N (r, ∞; f ) = N (r, f ) = Zr n(t, f ) − n(0, f ) dt + n(0, f ) log r t ÷đc gåi l h m ¸m khỉng kº bëi Trong â n(0, f ) = lim n(t, f ), n(0, f ) = lim n(t, f ) t→0 t→0 c ành ngh¾a 1.5 H m T (r, f ) = m(r, f ) + N (r, f ) gåi l h m °c tr÷ng cõa h m f C¡c h m °c tr÷ng T (r, f ), hm xĐp x m(r, f ) v hm ám N (r, f ) l ba h m cì b£n lỵ thuyát phƠn bố giĂ tr, nõ cỏn gồi l cĂc hm Nevanlinna Tiáp theo ta à cêp án mởt số hm ám m rởng thữớng dũng chựng minh cĂc nh lỵ và xĂc nh nhĐt hm phƠn hẳnh Cho f l hm phƠn hẳnh v r > 0, k½ hi»u nk (r, f ) l sè cüc iºm bëi ct cöt bði k Dr cõa f (tùc l c¡c cüc iºm bëi l > k ch¿ ữủc tẵnh k lƯn tờng nk (r, f )) H m Zr Nk (r, f ) = nk (r, f ) − nk (0, f ) dt + nk (0, f ) log r t ÷đc gåi l h m ¸m bëi ct cưt bði k, â nk (0, f ) = limt→0 nk (r, f ) Sè k nk (r, f ) ÷đc gåi l ch¿ sè bëi ct cưt Cho a ∈ C ∪ {∞}, k½ hi»u n(r, 1/(f − a)) l sè c¡c khæng iºm kº c£ bëi, n(r, 1/(f − a)) l sè c¡c khỉng iºm ph¥n bi»t cõa f − a Dr N (r, 0; f ) = N (r, )= f −a Zr n(t, 1 ) − n(0, ) f −a f −a dt t ) log r, f −a 1 Zr n(t, ) − n(0, ) f −a f −a N (r, 0; f ) = N (r, )= dt f −a t + n(0, + n(0, ) log r f −a Cho a ∈ C ∪ {∞}, k½ hi»u nk)(r, 1/(f − a)) l sè c¡c khæng iºm kº c£ bëi, nk)(r, 1/(f − a)) l sè c¡c khỉng iºm ph¥n bi»t cõa f − a c vỵi bëi khỉng v÷đt qu¡ k; n(k (r, 1/(f − a)) l sè c¡c khæng iºm kº c£ bëi, n(k (r, 1/(f − a)) l sè c¡c khỉng iºm ph¥n bi»t cõa f a Dr vợi ẵt nhĐt bơng k °t Dr Nk) (r, )= f −a Zr nk) (t, 1 ) − nk) (0, ) f −a f −a dt + nk) (0, ) log r, t f −a N k) (r, )= f −a Zr nk) (t, 1 ) − nk) (0, ) f −a f −a dt + nk) (0, ) log r, t f −a N(k (r, )= f −a Zr n(k (t, 1 ) − n(k (0, ) f −a f −a dt + n(k (0, ) log r, t f −a N (k (r, )= f −a Zr n(k (t, 1 ) − n(k (0, ) f −a f −a dt + n(k (0, ) log r, t f −a â nk) (0, 1 1 ) = lim nk) (t, ), nk) (0, ) = lim nk) (t, ), t→0 t→0 f −a f −a f −a f −a n(k (0, 1 1 ) = lim n(k (t, ), n(k (0, ) = lim n(k (t, ) t→0 t→0 f −a f a f a f a Dạ thĐy Nk v r, f −a 1 = N r, +N (2 r, +· · ·+N (k r, f −a f −a f −a N r, h + N (2 r, h = N2 r, h ≤ N r, h K½ hi»u nE (r, a; f, g), (nE (r, a; f, g)) l sè c¡c khæng iºm kº c£ (khổng k bởi) tÔi cĂc khổng im chung bëi cõa f − a v g − a v n0(r, a; f, g), (n0(r, a; f, g)) sè c¡c khổng im k cÊ (khổng k bởi) tÔi tĐt c£ c¡c khæng iºm chung cõa f − a v g − a °t c Zr NE (r, a; f, g) = nE (t, a; f, g) − nE (0, a; f, g) dt + nE (0, a; f, g) log r, t Zr N E (r, a; f, g) = Zr N0 (r, a; f, g) = nE (t, a; f, g) − nE (0, a; f, g) dt + nE (0, a; f, g) log r, t n0 (t, a; f, g) − n0 (0, a; f, g) dt + n0 (0, a; f, g) log r, t Zr N (r, a; f, g) = n0 (t, a; f, g) − n0 (0, a; f, g) dt + n0 (0, a; f, g) log r t â nE (0, a; f, g) = lim nE (t, a; f, g), nE (0, a; f, g) = lim nE (t, a; f, g), t→0 t→0 n0 (0, a; f, g) = lim n0 (t, a; f, g), n0 (t, a; f, g) = lim n0 (t, a; f, g) t→0 t→0 C¡c h m NE (r, a; f, g), (N E (r, a; f, g)) ữủc gồi l hm ám k cÊ (hm ám khổng k bởi) tÔi cĂc khổng im chung bëi cõa f − a v g − a, N0(r, a; f, g); (N 0(r, a; f, g)) l h m ám k cÊ (hm ám khổng k bởi) tÔi t§t c£ c¡c khỉng iºm chung cõa f − a v g a nh lỵ 1.1 Cho cĂc hm phƠn hẳnh f1 , f2 , à à à , fp , â: (1) (2) (3) (4) m(r, m(r, N (r, N (r, p X ν=1 p Y ν=1 p X ν=1 p Y fν ) ≤ fν ) ≤ fν ) ≤ fν ) ≤ ν=1 p X ν=1 p X ν=1 p X ν=1 p X ν=1 c m(r, fν ) + log p; m(r, fν ); N (r, fν ); N (r, fν ); (5) (6) T (r, T (r, p X fν ) ≤ p X ν=1 ν=1 p Y p X fν ) ≤ ν=1 T (r, fν ) + log p; T (r, f ) =1 Viằc chựng minh cĂc tẵnh chĐt ny l ỡn giÊn, ta ch cƯn dỹa theo tẵnh chĐt : náu a1, , ap l cĂc số phực phƠn biằt thẳ p p Y X + log aν log+ |aν | ... I HÅC THI NGUYN TR×ÍNG I HÅC S× PHM Teui VONGDALA TP DUY NHT CHO CC HM PH N HNH VỴI GI TR KHUYT Chuyản ngnh: ToĂn giÊi tẵch M số: 60.46.01.02 LUN VN... giÊng dÔy trang b cho tổi nhỳng kián thực cỡ s trản ữớng nghiản cựu khoa hồc Tổi cụng xin chƠn thnh cÊm ỡn cĂc thƯy cổ Phỏng o tÔo Ôi hồc Sữ phÔm ThĂi Nguyản  tÔo mồi iÃu kiằn cho tổi và ti... z n + az n−m + b = 0}, â m, n l hai số nguyản dữỡng cho m v n khổng cõ ữợc số chung, n > 2m + (m ≥ 2) v a, b l c¡c h¬ng sè kh¡c khổng cho phữỡng trẳnh zn + aznm + b = khỉng câ nghi»m bëi N«m