ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC MAI THỊ VÂN PHƯƠNG TRÌNH FERMAT VÀ GIẢ THUYẾT EULER LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên 2017 c ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC MAI THỊ VÂN PHƯ[.]
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC MAI THỊ VÂN PHƯƠNG TRÌNH FERMAT VÀ GIẢ THUYẾT EULER LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên - 2017 c ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC MAI THỊ VÂN PHƯƠNG TRÌNH FERMAT VÀ GIẢ THUYẾT EULER LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Chun ngành: Phương pháp tốn sơ cấp Mã số: 60.46.01.13 NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC GS.TSKH HÀ HUY KHOÁI Thái Nguyên - 2017 c i Mục lục Lời cảm ơn ii Bảng ký hiệu Mở đầu Bài toán Fermat Giả thuyết Euler 1.1 Những trường hợp đặc biệt toán Fermat 1.2 Giả thuyết Euler 19 Sự tồn nghiệm phương trình Euler 25 2.1 Elkies Giả thuyết Euler 25 2.2 Khoảng trống tổng bậc hai 39 Kết luận 52 Tài liệu tham khảo 53 c ii Lời cảm ơn Tơi xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc tới thầy tơi GS.TSKH Hà Huy Khối, người trực tiếp hướng dẫn luận văn, tận tình bảo hướng dẫn tơi tìm hướng nghiên cứu, tìm kiếm tài liệu, giải vấn đề nhờ tơi hồn thành luận văn cao học Tơi xin bày tỏ lịng biết ơn chân thành sâu sắc tới Thầy hứa cố gắng để xứng đáng với công lao Thầy Tôi xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu, phòng Đào tạo trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên, đặc biệt thầy giáo dạy cao học Phương pháp Toán sơ cấp quan tâm giúp đỡ suốt thời gian học tập trường Tôi xin cảm ơn quý thầy Khoa Tốn - Tin ln quan tâm, động viên, trao đổi đóng góp ý kiến quý báu suốt trình học tập, nghiên cứu hồn thành luận văn tơi Nhân dịp tơi xin gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè ln động viên, cổ vũ, tạo điều kiện thuận lợi cho suốt trình học tập Thái Nguyên, ngày tháng năm 2017 Tác giả luận văn Mai Thị Vân c Bảng ký hiệu R Z Q S K E P(m) P3 P SL2 (Q) Tập số thực Tập số nguyên Tập số hữu tỉ Mặt affine Tập hợp ánh xạ hữu tỉ Đường cong elliptic trường hàm K Tập hợp điểm E Không gian ánh xạ ba chiều Nhóm tuyến tính ma trận cấp hai hệ số hữu tỉ Kết thúc chứng minh c Mở đầu Bài toán Fermat câu chuyện độc vơ nhị lịch sử tốn học giới, khởi nguồn từ cổ đại với nhà toán học Pythagore Bài toán cuối (sau giới toán học gọi Định lý cuối Fermat, hay Định lý lớn Fermat) có gốc từ định lý Pythagore: "Trong tam giác vng, bình phương cạnh huyền tổng bình phương hai cạnh góc vng" Sau chứng minh phương trình x4 + y = z khơng có nghiệm ngun khơng tầm thường, Fermat phát biểu Định lý cuối Fermat, nói phương trình xn + y n = z n khơng có nghiệm ngun không tầm thường với n ≥ Năm 1769, Euler phát biểu giả thuyết tổng qt nói rằng, phương trình tương tự phương trình Fermat khơng có nghiệm khơng tầm thường số bậc lớn số ẩn Hơn 200 năm sau, N Elkies, nghiên cứu sinh Đại học Harvard, người đưa phản ví dụ cho giả thuyết Euler với phương trình bậc gồm ẩn Cơng trình mở đầu cho hướng nghiên cứu mới, gắn liền việc xét nghiệm phương trình x4 + y + z = u4 (1) với việc nghiên cứu đường cong Elliptic Mục đích luận văn trình bày lịch sử toán Fermat Giả thuyết Euler, với cơng trình Elkies kết liên quan đến nghiệm nguyên phương trình Euler c Bố cục luận văn gồm phần mở đầu, hai chương trình bày nội dung luận văn, phần kết luận danh mục tài liệu tham khảo Chương 1: "Bài tốn Fermat Giả thuyết Euler" trình bày lịch sử chứng minh số trường hợp Định lý Fermat, kết Euler Giả thuyết Euler Chương 2: "Sự tồn nghiệm phương trình Euler" trình bày kết Elkies kết liên quan đến nghiệm nguyên phương trình kiểu Fermat cách đánh giá khoảng trống tổng bậc hai c Chương Bài toán Fermat Giả thuyết Euler Chương trình bày lịch sử chứng minh số trường hợp Định lý Fermat, kết Euler Giả thuyết Euler 1.1 Những trường hợp đặc biệt toán Fermat Người ta chứng minh rằng, phương trình x4 +y +z +t4 = w2 có ba nghiệm phụ thuộc tham số Trong phần này, chúng tơi trình bày số kết phương trình x4 + y + z + t4 = (x2 + y + z − t2 )2 , đặc biệt chứng tỏ nhận nhiều vô hạn nghiệm phụ thuộc tham số cách tìm điểm đường cong Elliptic trường Q(m) Jacobi Madden xét phương trình x4 + y + z + t4 = (x + y + z + t)4 (1) Họ cho thấy tồn vô số nghiệm nguyên phương trình (1) Đây trường hợp đặc biệt phương trình x4 + y + z + t4 = w4 , (2) Elkies tìm thấy tập hợp vô hạn nghiệm nguyên t = Trong phần này, xem xét trường hợp đặc biệt phương trình tương tự x4 + y + z + t4 = w2 c (3) Xét phương trình (3), nói nghiệm tầm thường có số x, y, z, t, w 0, ví dụ (x, y, z, t, w) = (x, 0, 0, 0, x2 ) Nếu số x, y, z, t, w số khơng, phương trình khơng có nghiệm khơng tầm thường, Fermat chứng minh phương trình x4 + y = w2 khơng có nghiệm ngun khác khơng Nghiệm phụ thuộc tham số biết không tầm thường sơ cấp: (x, y, z, t, w) = (a2 , ab, b2 , ab, a4 + b4 ) Trong nghiệm tìm thấy Fauquembergue, số x, y, z, t, w số không, chẳng hạn z = 0: (x, y, z, t, w) = (ac, bc, 0, ab, a4 + a2 b2 + b4 ) a2 +b2 = c2 Nghiệm sau tìm thấy Fauquembergue, lần với giả thiết a2 + b2 = c2 : (x, y, z, t, w) = (2a2 bc3 , 2ab2 c3 , (a2 − b2 )c4 , 2ab(a4 + b4 ), (a6 +2a5 b+3a4 b2 +3a2 b4 +2ab5 +b6 )(a6 −2a5 b+3a4 b2 +3a2 b4 −2ab5 +b6 )) Ba nghiệm phụ thuộc tham số cho ta nghiệm không tầm thường, ngoại trừ ab = 1.1.1 Phương trình x4 + y + z + t4 = (x2 + y + z − t2 )2 Trong nghiên cứu phương trình (3), ta thấy số tính chất cần ý Xét ba trường hợp sau i) Nếu w = x2 +y +z +t2 x2 y +x2 z +z t2 +y z +y t2 +z t2 = 0; thế, có nghiệm tầm thường ii) Nếu w = x2 + y − z − t2 x2 y − x2 z − y z = t2 (x2 + y − z ) Đây trường hợp thú vị phức tạp Chúng ta nghiên cứu tương lai iii) Nếu w = x2 + y + z − t2 x2 y + x2 z + y z = t2 (x2 + y + z ) Trường hợp thú vị thảo luận đây, bắt đầu mệnh đề Đây trường hợp nghiên cứu c Mệnh đề 1.1.1 Nếu x2 + y + z 6= (x, y, z, t) thoả mãn x4 + y + z + t4 = (x2 + y + z − t2 )2 (4) (x2 + y + z )(y z + z x2 + x2 y ) = (x2 + y + z − t2 )2 (5) y z + z x2 + x2 y t = x2 + y + z (6) và Chứng minh Ta có x4 + y + z + t4 − (x2 + y + z − t2 )2 = 2((x2 + y + z )t2 −(y z + z x2 + x2 y )) Vì (4) bậc bốn, từ ta viết nghiệm phương trình (x : y : z : t) Phương trình biểu diễn mặt P3 , S = {(x : y : z : t) ∈ P3 |x4 + y + z + t4 = (x2 + y + z − t2 )2 } Giả sử t 6= 0, ta xét mặt affine tương ứng (x, y, z) ↔ (x : y : z : 1) Điều cho ta thấy mặt thú vị khơng gian ba chiều; xem hình vẽ 1.1 Câu hỏi đặt Có đường cong hữu tỉ m → (x(m), y(m), z(m)) mặt S Nếu xyz 6= 0, (5) thể sau (x2 + y + z )( 1 + + ) = (x2 + y + z − t2 )2 2 x y z Điều dẫn tới bổ đề sau Bổ đề 1.1.2 Nếu (x : y : z : t) nghiệm (4) mà xyzt 6= 1 1 : : : nghiệm (4) x y z t c ... Mục đích luận văn trình bày lịch sử toán Fermat Giả thuyết Euler, với cơng trình Elkies kết liên quan đến nghiệm nguyên phương trình Euler c Bố cục luận văn gồm phần mở đầu, hai chương trình bày...ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC MAI THỊ VÂN PHƯƠNG TRÌNH FERMAT VÀ GIẢ THUYẾT EULER LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Chun ngành: Phương pháp tốn sơ cấp Mã số: 60.46.01.13 NGƯỜI HƯỚNG DẪN... đầu Bài toán Fermat Giả thuyết Euler 1.1 Những trường hợp đặc biệt toán Fermat 1.2 Giả thuyết Euler 19 Sự tồn nghiệm phương trình Euler 25 2.1 Elkies Giả thuyết Euler