ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ——————–o0o——————– LÊ THỊ NGỌC BÍCH NỬA NHÓM SỐ VÀ ĐA THỨC CHIA ĐƯỜNG TRÒN LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên 2017 c ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KH[.]
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ——————–o0o——————– LÊ THỊ NGỌC BÍCH NỬA NHĨM SỐ VÀ ĐA THỨC CHIA ĐƯỜNG TRỊN LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Thái Nguyên - 2017 c ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ——————–o0o——————– LÊ THỊ NGỌC BÍCH NỬA NHĨM SỐ VÀ ĐA THỨC CHIA ĐƯỜNG TRÒN Chuyên ngành: Phương pháp toán sơ cấp Mã số: 60 46 01 13 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC TS NGUYỄN DUY TÂN Thái Nguyên - 2017 c Mục lục Lời nói đầu Nửa nhóm số 1.1 Một số định nghĩa tính chất 1.2 Tập Apéry 13 Mối liên hệ nửa nhóm số đa thức bù trừ 16 2.1 Đa thức chia đường tròn đa thức bù trừ 16 2.2 Định lý 20 2.3 Đa thức bù trừ nhị phân 24 Một vài ứng dụng 27 3.1 Nửa nhóm số đối xứng 27 3.2 Mọi nửa nhóm số với chiều nhúng đối xứng 29 3.3 Phân bố gián đoạn độ gián đoạn 30 3.3.1 Độ gián đoạn cực đại đa thức chia đường tròn nhị phân 32 3.3.2 Tổng Sylvester số Bernoulli 35 Kết luận 38 Tài liệu tham khảo 39 c Lời nói đầu Ta xét tập S = S(3, 7) gồm tổ hợp tuyến tính ngun khơng âm 7, tức S = {3u + 7v | u, v ∈ Z≥0 } = {0, 3, 6, 7, 9, 10, 12, 13, 14, 15, 16, } Khi S ví dụ nửa nhóm số: S tập Z≥0 mà đóng với phép cộng Z≥0 \ S tập hữu hạn Đối với nửa nhóm số S = S(3, 7), ta liên kết với chuỗi lũy thừa hình thức sau đây, gọi chuỗi Hilbert S: HS (x) = X xs = + x3 + x6 + x7 + x9 + x10 + x12 + x13 + x14 + · · · ∈ Z[[x]] x∈S Ta nhân chuỗi HS (x) với (1 − x) ta nhận đa thức, gọi đa thức nửa nhóm S: PS (x) =(1 − x)HS (x) =(1 − x)(1 + x3 + x6 + x7 + x9 + x10 )+ (1 − x)(x12 + x13 + x14 + · · · ) =(1 + x3 + x6 + x7 + x9 + x10 ) − (x + x4 + x7 + x8 + x10 + x11 ) + x12 =1 − x + x3 − x4 + x6 − x8 + x9 − x11 + x12 Bằng tính tốn trực tiếp ta kiểm tra đẳng thức đáng ngạc nhiên sau c PS (x) = − x + x3 − x4 + x6 − x8 + x9 − x11 + x12 x14 + x7 + = x +x+1 (x21 − 1)(x − 1) = (x − 1)(x7 − 1) (x21 − 1)(x − 1) Nhận xét đa thức chia đường tròn Φ21 (x) Do (x − 1)(x7 − 1) ta có PS(3,7) (x) = Φ21 (x) Như ta thấy đa thức nửa nhóm S(3, 7) với đa thức chia đường tròn Φ21 (x) Một kết cổ điển nói ta có đẳng thức tương tự ta thay cặp (3, 7) cặp số nguyên tố phân biệt (p, q) ta xét nửa nhóm số tương ứng S(p, q), tức ta có PS(p,q) (x) = Φpq (x) Mục đích đề tài tìm hiểu chứng minh kết nói riêng tìm hiểu mối liên hệ nửa nhóm số dạng S(p, q) đa thức chia đường trịn nói chung Theo đó, luận văn có trình bày hai chứng minh cho kết cổ điển nói trên, phiên bao gồm trường hợp cặp (p, q) không thiết nguyên tố (xem Định lý 2.2.1), đồng thời có đưa vài hệ Đặc biệt luận văn trình số ứng dụng việc xét số gián đoạn nửa nhóm số Ngồi phần lời nói đầu, kết luận tài liệu tham khảo luận văn gồm chương: Chương Nửa nhóm số: Trong chương chúng tơi trình bày định nghĩa nửa nhóm số số bất biến liên quan nửa nhóm số như: số Frobenius, chiều nhúng, bội, chuỗi Hilbert nửa nhóm số, đa thức nửa nhóm số Chúng tơi chủ yếu sử dụng tài liệu [4] [5] cho nội dung chương c Chương Mối liên hệ nửa nhóm số đa thức bù trừ: Trình bày tổng qt hóa đa thức chia đường tròn: Đa thức bù trừ, giới thiệu Bachman Đồng thời trình bày kết (folklore) đa thức nửa nhóm số chiều nhúng với đa thức bù trừ nhị phân Chương Một vài ứng dụng: Trong chương đưa định nghĩa nửa nhóm số đối xứng trình bày kết chứng minh nửa nhóm số với chiều nhúng đối xứng Bên cạnh chúng tơi trình bày số ứng dụng việc xét số gián đoạn nửa nhóm số trình bày kết Hong-Lee-Lee-Park độ gián đoạn cực đại đa thức chia đường tròn nhị phân Luận văn viết dựa theo báo Numerical semigroups, cyclotomic polynomials, and Bernoulli numbers tác giả P Moree (2004) phần sách Numerical semigroups tác giả J C Rosales and P A García-Sánchez (2009) Luận văn thực Trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên hoàn thành hướng dẫn TS Nguyễn Duy Tân Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành sâu sắc tới người hướng dẫn khoa học mình, người đặt vấn đề nghiên cứu, dành nhiều thời gian hướng dẫn tận tình giải đáp thắc mắc tác giả suốt trình làm luận văn Tác giả học tập nhiều kiến thức chun ngành bổ ích cho cơng tác nghiên cứu thân Tác giả xin bày tỏ lòng cảm ơn sâu sắc tới thầy giáo, cô giáo tham gia giảng dạy lớp Cao học Toán K9B2 (khóa 2015 - 2017); nhà trường phịng chức trường; khoa Toán - Tin, trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên quan tâm giúp đỡ tác giả suốt thời gian học tập trường Tác giả xin gửi lời cảm ơn tới tập thể lớp Cao học Tốn K9B2 (khóa 2015 - 2017) động viên giúp đỡ tác giả nhiều c trình học tập, nghiên cứu Cuối cùng, tác giả xin gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè, lãnh đạo đơn vị công tác đồng nghiệp động viên, giúp đỡ tạo điều kiện tốt cho tác giả học tập nghiên cứu Thái Nguyên, 2017 Lê Thị Ngọc Bích Học viên lớp Cao học Toán K9B2 Khoa Toán Tin - Trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên c Chương Nửa nhóm số 1.1 Một số định nghĩa tính chất Định nghĩa 1.1.1 Xét a1 , , am số nguyên dương Ta đặt S = S(a1 , , am ) tập tất tổ hợp tuyến tính ngun khơng âm a1 , , am , nghĩa là, S = {x1 a1 + · · · + xm am | xi ∈ Z≥0 , ∀i = 1, , m} Khi đó, S nửa nhóm (nghĩa đóng với phép cộng) Nửa nhóm S gọi nửa nhóm số phần bù Z≥0 \S hữu hạn Tập {a1 , , am } gọi hệ sinh nửa nhóm số S Mệnh đề 1.1.2 Ta có S(a1 , , am ) nửa nhóm số a1 , , am nguyên tố Chứng minh "⇒": Giả sử S := S(a1 , , am ) nửa nhóm số, tức Z≥0 \ S hữu hạn Gọi d ước chung lớn a1 , , am Khi phần tử s S chia hết cho d Vì Z≥0 \ S hữu hạn, nên tồn x cho x x + thuộc S Điều suy d ước x x + Do d = "⇐": Ta giả sử ước chung lớn a1 , , am Khi tồn z1 , , zm ∈ Z cho z1 a1 + · · · + zm am = Bằng cách chuyển c giá trị zi sang bên vế phải, ta tìm i1 , , ik , j1 , , jl cho zi1 ai1 + · · · + zik aik = + (−zj1 )aj1 + · · · + (−zjl )ajl Đặt s = (−zj1 )aj1 +· · ·+(−zjl )ajl Khi s s+1 thuộc S Ta chứng minh n ≥ (s − 1)s + (s − 1) = s2 − n thuộc S Thật ta chia n cho s ta n = qs + r với ≤ r < s Vì n ≥ (s − 1)s + (s − 1) nên q ≥ s − ≥ r Do n = (rs + r) + (q − r)s = r(s + 1) + (q − r)s ∈ S, s s + thuộc S Như Z≥0 \ S tập tập hữu hạn {1, 2, , s2 − 1} S nửa nhóm số Định nghĩa 1.1.3 Nếu S nửa nhóm số, max(Z≥0 \S) =: F (S) số Frobenius S Ta có cách phát biểu khác sau Đặt d(k, a1 , , am ) số cách biểu diễn k thành tổ hợp tuyến tính ngun khơng âm a1 , , am Khi F (S) số k lớn cho d(k, a1 , , am ) = Định lý 1.1.4 (Sylvester) Nếu a, b hai số nguyên dương nguyên tố F (S(a, b)) = ab − a − b Chứng minh Ta chứng minh phương trình ab − a − b = ax + by khơng có nghiệm nguyên không âm x, y Giả sử phản chứng ab − a − b = ax + by, với x, y ngun khơng âm Khi a(b − x − 1) = b(y + 1) Suy y + chia hết cho a (vì a b nguyên tố nhau) Do y ≥ a − ax + by ≥ b(a − 1) = ab − b > ab − a − b, mâu thuẫn Mặt khác, xét k số nguyên dương lớn ab − a − b Ta chứng minh phương trình k = ax + by có nghiệm ngun khơng âm x, y Thật vậy, a, b nguyên tố nên tồn x, y ∈ Z cho c k = ax + by Gọi x0 số dư x cho b, tức x = bq + x0 , với q ∈ Z ≤ x0 ≤ b − Khi k = ax + by = ax0 + b(y + q) = ax0 + by0 , với y0 = y + q Vì ab − a − b + ≤ k = ax0 + by0 ≤ a(b − 1) + by0 nên 1 ≤ b(y0 + 1) Do y0 ≥ > −1 y0 ≥ y0 số nguyên b−1 Ta có điều phải chứng minh Chú ý 1.1.5 (1) Ở chương sau ta đưa chứng minh khác cho định lý Sylvester (2) Việc tính tốn số Frobenius nửa nhóm nói chung vấn đề khó (xem [5]) Định nghĩa 1.1.6 Một hệ sinh nửa nhóm số S gọi hệ sinh tối tiểu khơng có tập thực sinh nửa nhóm số S Người ta chứng minh nửa nhóm số S có hệ sinh tối tiểu, đồng thời hệ sinh tổi tiểu hữu hạn (ta chứng minh khẳng định đây) Lực lượng hệ sinh tối tiểu gọi chiều nhúng nửa nhóm số S kí hiệu e(S) Phần tử nhỏ hệ sinh tối tiểu gọi bội nửa nhóm số S kí hiệu m(S) Chú ý 1.1.7 (1) Dễ thấy m(S) số nguyên dương nhỏ S Thật giả sử {a1 = m(S) < a2 < < ae } hệ sinh tối tiểu S Xét s số nguyên dương S Khi s = λ1 a1 + + λe ae , với a1 , , ae ∈ Z≥0 Vì s 6= nên tồn i cho λi 6= Khi ta có s ≥ λi ≥ ≥ a1 , ta có điều phải chứng minh (2) Người ta chứng minh e(S) ≤ m(S) c ... hệ nửa nhóm số đa thức bù trừ: Trình bày tổng qt hóa đa thức chia đường trịn: Đa thức bù trừ, giới thiệu Bachman Đồng thời trình bày kết (folklore) đa thức nửa nhóm số chiều nhúng với đa thức. .. n Sau số tính chất đa thức chia đường tròn Đa thức chia đường trịn có bậc ϕ(n), với ϕ hàm Euler Đa thức Φn (x) đa thức với hệ số nguyên bất khả quy trường số hữu tỷ Ta có phân tích đa thức xn... điều phải chứng minh c 16 Chương Mối liên hệ nửa nhóm số đa thức bù trừ 2.1 Đa thức chia đường tròn đa thức bù trừ Định nghĩa 2.1.1 Đa thức chia đường tròn thứ n, Φn (x) định nghĩa Φn (x) = Y (x